Seguem agora, para iniciarmos este capítulo, algumas definições, envolvendo traduções conservativas e alguns conceitos básicos, tais como já dadas nos capítulos anteriores. Continuaremos utilizando as definições antigas, mas colocaremos as de Jeřábek (2012) para verificarmos se existe alguma diferença entre as definições. O autor não faz
distinção entre lógica e sistema lógico.
Definição 4.1.1. Uma lógica sobre um conjunto de fórmulas L é um par L = (L, ⊢),
em que L é um conjunto codificado como um subconjunto enumerável recursivo de 𝜔, o
domínio de L, e ⊢ ⊆ ℘(L) × L é uma relação de consequência sobre L que satisfaz o que
segue, para todos Γ, Δ ⊆ L e todo 𝜙 ∈ L. (i) 𝜙 ⊢ 𝜙
(ii) Se Γ ⊢ 𝜙, então Γ, Δ ⊢ 𝜙
(iii) Se Δ ⊢ 𝜙 e, para todo 𝜙’ ∈ Δ, Γ ⊢ 𝜙’, então Γ ⊢ 𝜙.
De fato, como demonstramos a seguir, esta relação de consequência possui uma correspondência com o operador de consequência Tarskiano, dada por X ⊢ 𝑥 se, e somente se, 𝑥 ∈ C(X).
Proposição 4.1.1. Se C é um operador de consequência Tarskiano sobre X, então a
relação ⊢ ⊆ ℘(X) × X definida por A ⊢ 𝑎 se, e somente se, 𝑎 ∈ C(A) satisfaz as condições da Definição 4.1.1.
Demonstração. Pelo axioma da autodedutibilidade do operador de consequência, {𝑎} ⊆
C({𝑎}), ou ainda, 𝑎 ∈ C({𝑎}), daí, 𝑎 ⊢ 𝑎. Se B ⊢ 𝑎, ou seja, 𝑎 ∈ C(B), de B ⊆ B∪A,
pela monotonicidade, C(B) ⊆ C(B∪A), daí, 𝑎 ∈ C(B∪A) e B, A ⊢ 𝑎. E, se B ⊢ 𝑎 e, para todo 𝑎′ ∈ B, A ⊢ 𝑎′, então 𝑎 ∈ C(B) e, para todo 𝑎′ ∈ B, 𝑎′ ∈ C(A), daí, B ⊆ C(A) e,
pelas condições da definição do operador de consequência, C(B) ⊆ C(C(A)) = C(A). Logo, como 𝑎 ∈ C(B), 𝑎 ∈ C(A) e A ⊢ 𝑎. Portanto, ⊢ satisfaz as condições da Definição 4.1.1.
Proposição 4.1.2. Se ⊢ é a relação de consequência sobre X dada na Definição 4.1.1,
então C : ℘(X) −→ ℘(X) tal que C(A) = {𝑎 : A ⊢ 𝑎} é um operador de consequência Tarskiano sobre X.
Demonstração. Se A ⊆ X, dado 𝑎 ∈ A, temos, pelo item (i) da Definição 4.1.1, 𝑎 ⊢ 𝑎,
pelo item (ii) da Definição 4.1.1, A ⊢ 𝑎 e, daí, 𝑎 ∈ C(A), pela definição de C segundo o enunciado. Logo, A ⊆ C(A). Consideremos A e B subconjuntos de X tais que A ⊆ B, então, se 𝑎 ∈ C(A), pela definição de C, A ⊢ 𝑎. Daí, pelo item (ii) da Definição 4.1.1, B ⊢
𝑎, logo, 𝑎 ∈ C(B) e, portanto, C(A) ⊆ C(B). Agora, se, para A ⊆ X, 𝑎 ∈ C(C(A)), pela
definição de C, C(A) ⊢ 𝑎. Se 𝑎′ ∈ C(A), pela definição de C, A ⊢ 𝑎′ e, daí, pelo item (iii)
da Definição 4.1.1, A ⊢ 𝑎 e, novamente pela definição de C, 𝑎 ∈ C(A). Portanto, C(C(A)) ⊆ C(A).
Portanto, uma lógica de Tarski pode ser definida tanto através de um par (L,
C), em que C é um operador de consequência sobre L, quanto por meio de um par (L, ⊢),
em que ⊢ é uma relação de consequência sobre L.
Definição 4.1.2. Uma lógica é finitária se Γ ⊢ 𝜙 implica que Δ ⊢ 𝜙 para algum conjunto
finito Δ ⊆ Γ.
Segue abaixo uma definição de lógica proposicional, um caso específico do que (FEITOSA, 1997) definiu como sistema lógico.
Definição 4.1.3. Uma lógica L = (L, ⊢) é dita uma lógica proposicional se L é o
conjunto de fórmulas construídas indutivamente a partir de um conjunto de variáveis e um conjunto de conectivos finitários e ⊢ satisfaz, para toda substituição Φ, ou seja, para todo endomorfismo na álgebra livre das fórmulas, se Γ ⊢ 𝜙, então Φ(Γ) ⊢ Φ(𝜙).
O par CPC = (LCPC, ⊢CPC) denotará a relação usual da lógica proposicional
clássica, em que a quantidade de variáveis é infinitamente enumerável e o conjunto de conectivos Booleanos é finito e completo. Ademais, os conectivos grandes ⋀︀
e ⋁︀
serão utilizados de maneira usual de forma que ⋀︀∅ = ⊤ e ⋁︀∅ = ⊥.
Definição 4.1.4. Uma tradução entre as lógicas L0 = (L0, ⊢0) e L1 = (L1, ⊢1) é uma
função f : L0 −→ L1, denotada por f : L0 −→ L1, tal que, para todo Γ ⊆ L0 e 𝜙 ∈ L0, Γ
⊢0 𝜙 implica f(Γ) ⊢1 f(𝜙).
Exceto pela utilização de ⊢ ao invés do operador de consequência, a definição de tradução é a mesma. A definição de tradução conservativa também é a mesma, ou seja, ao invés do “implica” na definição acima, vale “se, e somente se”. Um conceito novo de
tradução mais geral é dado a seguir.
Definição 4.1.5. Uma tradução mais geral entre uma lógica L0 = (L0, ⊢0) e uma lógica
proposicional L1 = (L1, ⊢1) é uma tradução f : L0 −→ L1 tal que, para toda tradução g :
L0 −→ L1, existe uma substituição Φ de forma que, para todo 𝜙 ∈ L0, g(𝜙) ⊢1 Φ(f(𝜙)) e
Φ(f(𝜙)) ⊢1 g(𝜙).
Em relação ao novo conceito de Jeřábek (2012) de tradução mais geral dado acima, atentamos para o fato de que apesar do nome “mais geral”, este conceito é um caso particular do conceito de tradução de da Silva, D’Ottaviano e Sette (1999) e, portanto, é uma noção mais restrita e não mais geral do que tradução.
Definição 4.1.6. Uma lógica L’ é universal se, para toda lógica finitária L com quantidade
de fórmulas contável, existe uma tradução conservativa f : L −→ L’.
O primeiro resultado, e apenas ele, é dado para uma lógica de conclusão múltipla cuja definição é dada a seguir.
Definição 4.1.7. Uma lógica de conclusão múltipla sobre um conjunto de fórmulas L é
um par L = (L, ⊢) tal que ⊢ ⊆ ℘(L) × ℘(L) e satisfaz, para todos Γ, Γ’, Δ, Δ’, Ξ ⊆ L e todo 𝜙 ∈ L.
(i) 𝜙 ⊢ 𝜙
(ii) Se Γ ⊢ Δ, então Γ, Γ’ ⊢ Δ, Δ’
Uma lógica de conclusão múltipla finitária é tal que
Se Γ ⊢ Δ, então Γ’ ⊢ Δ’ para algum Γ’ ⊆ Γ, Δ’ ⊆ Δ e Γ’, Δ’ finitários.
Para uma lógica de conclusão múltipla finitária, a condição (iii) dada acima implica o que segue
Se Γ, 𝜙 ⊢ Δ e Γ ⊢ 𝜙, Δ, então Γ ⊢ Δ.
Utilizaremos CPCm = (LCPC, CPC) para denotar a estrutura maximal da relação de consequência de conclusão múltipla para a lógica proposicional clássica, daí Γ
CPC Δ se, e somente se, existem subconjuntos finitos Γ’ ⊆ Γ, Δ’ ⊆ Δ tais que ⊢CPC ⋀︀Γ’
→ ⋁︀
Δ’.
As definições de tradução, tradução conservativa, lógica proposicional e tradução mais geral são generalizadas naturalmente.
Teorema 4.1.3. Se L = (L, ⊢) é uma lógica de conclusão múltipla consistente (∅ 0 ∅),
finitária e cujo domínio L é um conjunto contável de fórmulas, então existe uma tradução conservativa e mais geral f : L −→ CPCm.
Demonstração. Consideremos uma enumeração não necessariamente injetiva, L = {𝜙n : n
∈ 𝜔}. Daremos uma definição indutiva sobre n para uma sequência de fórmulas f(𝜙n) = 𝜓n ∈ LCPC. A enésima variável proposicional do CPC será denotada por 𝑝n, além disso,
também utilizaremos as seguintes notações: 𝜙X = {𝜙i : i ∈ X}, 𝜓X = {𝜓i : i ∈ X} e n =
{i ∈ 𝜔 : i < n}. Por hipótese de indução vamos assumir que os 𝜓i’s já foram definidos
para todo i < n de forma que, para todos X, Y ⊆ n: (*) Se 𝜙X ⊢ 𝜙Y, então 𝜓X CPC 𝜓Y.
Como ⊢ é consistente, temos que ∅ 0 ∅, daí a afirmação segue trivialmente para n = 0. Definiremos 𝜓n da seguinte forma:
𝜓n = 𝛾n ∨ 𝑝n ∧ 𝛿n, em que:
𝛾n = ⋁︀(⋀︀ 𝜓X ∧ ¬⋁︀ 𝜓Y), para X, Y ⊆ n, 𝜙X ⊢ 𝜙n, 𝜙Y e 𝛿n =⋀︀(⋀︀ 𝜓X → ⋁︀ 𝜓Y), para X, Y ⊆ n, 𝜙X, 𝜙n ⊢ 𝜙Y.
Os parênteses não fazem diferença na definição de 𝜓n, ou seja, podemos entender 𝜓n tanto como (𝛾n ∨ 𝑝n) ∧ 𝛿n, quanto como 𝛾n ∨ (𝑝n ∧ 𝛿n). Isso porque se 𝜙X ⊢ 𝜙n, 𝜙Y e 𝜙W, 𝜙n ⊢ 𝜙Z, então, pela Definição 4.1.7, 𝜙X, 𝜙W ⊢ 𝜙Y, 𝜙Z, daí, por (*)
CPC ⋀︀ 𝜓X ∧ ⋀︀ 𝜓W → ⋁︀ 𝜓Y ∨⋁︀ 𝜓Z
CPC ⋁︀(⋀︀ 𝜓X ∧ ¬ ⋁︀ 𝜓Y) → ⋀︀(⋀︀ 𝜓W → ⋁︀ 𝜓Z), para X, Y ⊆ n, 𝜙X ⊢ 𝜙n, 𝜙Y
e W, Z ⊆ n, 𝜙W, 𝜙n ⊢ 𝜙Z, ou seja,
CPC 𝛾n → 𝛿n.
No CPC temos que as fórmulas (𝛾n ∨ 𝑝n) ∧ 𝛿n e 𝛾n ∨ (𝑝n ∧ 𝛿n) diferem quando 𝛾n assume o valor verdadeiro e 𝛿n o valor falso. Como CPC 𝛾n → 𝛿n, claramente, sempre
que 𝛾n assume valor verdadeiro, 𝛿n também assume valor verdadeiro, daí (𝛾n ∨ 𝑝n) ∧ 𝛿n e 𝛾n ∨ (𝑝n ∧ 𝛿n) coincidem.
Provaremos, agora, que (*) segue para X, Y ⊆ n+1. Se X, Y ⊆ n, o resultado segue pela hipótese de indução.
Consideremos n ∈ X∩Y, ou seja, 𝜙n ∈ 𝜙X e 𝜙n ∈ 𝜙Y. Se 𝜙X ⊢ 𝜙Y, para X, Y
⊆ n+1 e 𝜓X = 𝜓W, 𝜓n e 𝜓Y = 𝜓Z, 𝜓n, para W, Z ⊆ n. Então, por hipótese de indução, 𝜓W CPC 𝜓Z. Como 𝜓n CPC 𝜓n, então 𝜓X CPC 𝜓Y.
Se 𝜙X ⊢ 𝜙n, 𝜙Y, para X, Y ⊆ n, então, ⋀︀ 𝜓X ∧ ¬⋁︀ 𝜓Y CPC 𝛾n CPC 𝜓n, daí, 𝜓X CPC 𝜓n, 𝜓Y.
Se 𝜙X, 𝜙n ⊢ 𝜙Y, para X, Y ⊆ n, então, temos que 𝜓n CPC 𝛿n CPC ⋀︀ 𝜓X →
⋁︀
𝜓Y, daí, 𝜓X, 𝜓n CPC 𝜓Y.
Portanto, f está bem definida e, por (*) e L ser finitária, f é uma tradução de
L no CPCm.
Mostraremos, agora, que f é conservativa. Suponhamos que 𝜙W 0 𝜙Z, então,
W∩Z = ∅. Podemos assumir, pela condição (iii) da Definição 4.1.7, para Ξ = L, que W∪Z = 𝜔. Definiremos uma valoração 𝑣 tal que:
𝑣(𝑝𝑛) = ⎧ ⎨ ⎩ 1, se n ∈ W; 0, se n ∈ Z.
Mostraremos, por indução sobre n, que 𝑣(𝜓n) = 𝑣(𝑝n).
Se n ∈ W e 𝜙X ⊢ 𝜙n, 𝜙Y, para X, Y ⊆ n, então, não é o caso que X ⊆ W e Y
⊆ Z ao mesmo tempo. Se i ∈ X - W, então 𝑣(𝜓𝑖) = 0, pela hipótese de indução. Se i ∈ Y
- Z, então 𝑣(𝜓𝑖) = 1, novamente pela hipótese de indução. Logo, 𝑣(⋀︀𝜓X) = 0 ou 𝑣(⋁︀𝜓Y)
= 1. Como X, Y são quaisquer, temos 𝑣(𝜓𝑛) = 𝑣(𝛾𝑛) = 0.
Se n ∈ W e 𝜙X, 𝜙n ⊢ 𝜙Y, para X, Y ⊆ n, utilizando um procedimento análogo, 𝑣(𝜓𝑛) = 𝑣(𝛿𝑛) = 1.
Portanto, 𝜓W 2CPC 𝜓Z.
A função f também é mais geral, basta considerarmos uma tradução qualquer g : L −→ CPCm e Φ a substituição definida por Φ(𝑝𝑛) = g(𝜙n). Demonstraremos por
(**) CPC g(𝜙n) ↔ Φ(𝜓n).
Provaremos um resultado equivalente, 𝛼 CPC g(𝜙n) CPC 𝛽, em que: 𝛼 = ⋁︀ (⋀︀ g(𝜙X) ∧ ¬⋁︀ g(𝜙Y)), para X, Y ⊆ n, 𝜙X ⊢ 𝜙n, 𝜙Y e 𝛽 = ⋀︀ (⋀︀ g(𝜙X) →⋁︀ g(𝜙Y)), para X, Y ⊆ n, 𝜙X, 𝜙n ⊢ 𝜙Y.
Este resultado segue por g ser uma tradução. Se X, Y ⊆ n, segue pela hipótese de indução. Se n ∈ X∩Y, 𝜙X ⊢ 𝜙Y, então g(𝜙X) CPC g(𝜙Y), daí, g(𝜙n), g(𝜙X) CPC
g(𝜙Y), logo, g(𝜙n) CPC g(𝜙X) → g(𝜙Y). Além disso, claramente, de 𝜙X ⊢ 𝜙n, temos
g(𝜙X) CPC g(𝜙n) e⋀︀ g(𝜙X) ∧ ¬⋁︀ g(𝜙Y) CPC g(𝜙n). Se X, Y ⊆ n, 𝜙X ⊢ 𝜙n, 𝜙Y, então
g(𝜙X) CPC g(𝜙n), g(𝜙Y), daí, ⋀︀ g(𝜙X) ∧ ¬⋁︀ g(𝜙Y) CPC g(𝜙n). Se X, Y ⊆ n, 𝜙X, 𝜙n ⊢ 𝜙Y, então g(𝜙X), g(𝜙n) CPC g(𝜙Y), daí, g(𝜙n) CPC ⋀︀ g(𝜙X) → ⋁︀ g(𝜙Y). Portanto, em
todos os casos, 𝛼 CPC g(𝜙n) CPC 𝛽.
Pelas definições de 𝛾n, 𝛿n e pela hipótese de indução, 𝛼 CPC g(𝜙n) CPC 𝛽
é equivalente a Φ(𝛾n) CPC g(𝜙n) CPC Φ(𝛿n), que pela definição de 𝜓n é equivalente a
(**).
Como a definição de f na demonstração do teorema acima é recursiva, pode ser realizada através de um algoritmo com um “oráculo” para ⊢. Como f é uma tradução conservativa na lógica decidível CPCm, então temos a redução de Turing de f para a
relação ⊢. Ou seja, se ⊢ é decidível, então f é computável e, em geral, f é Turing-equivalente à ⊢.
O resultado acima foi demonstrado para lógicas de conclusão múltipla. O teorema a seguir trata do mesmo resultado para lógica de conclusão única e ele segue como consequência do teorema anterior:
Teorema 4.1.4. Se L = (L, ⊢) é uma lógica finitária cujo domínio L é um conjunto
contável de fórmulas, então existe uma tradução conservativa mais geral f : L −→ CPC. Demonstração. Primeiramente definiremos a extensão de múltipla-conclusão conservativa
de L, Lm = (L, ⊢m), da seguinte forma:
Γ ⊢m Δ se, e somente se, ∃𝛿 ∈ Δ; Γ ⊢ 𝛿
Consideremos f como no Teorema 4.1.3. Como ⊢CPC é o fragmento de única
conclusão de CPC, então temos f : L −→ CPC. Se g : L −→ CPC, então g : Lm −→
CPCm, daí g é CPC-equivalente à Φ∘f para alguma substituição Φ.
disso, notamos que Epstein (1990) falou sobre a possível não existência de uma tradução conservativa do CPI no CPC, com este resultado, fica evidente tal existência. Feitosa (1997) já havia, muito antes do resultado de Jeřábek (2012), analisado e percebido a
existência de uma tradução conservativa do CPI no CPC.
Novamente temos no teorema acima que se ⊢ é decidível, então f é computável. Destacamos que o sentido de decidível está associado a ser decidível por matrizes finitas. Caso contrário, como acaba de ser mostrado que existe uma tradução conservativa do CPI no CPC, se o CPI fosse decidível, então esta tradução conservativa seria computável e, pela tese de Church, seria recursiva, visto que o CPC pode ser caracterizado por um número finito de valores verdade. Teríamos, então, que o CPI também poderia ser caracterizado desta forma, ou seja, por matrizes finitas, o que contradiz o resultado de Gödel (1981a). Isto fica claro também devido a ⊢ e f serem Turing-equivalentes, o que pode ser visto pela construção de f dada no artigo.
O mesmo resultado dos teoremas acima também vale para o nosso conceito de tradução contextual abstrata, como vemos no resultado abaixo por nós demonstrado.
Corolário 4.1.5. Se L = (L, ⊢) é uma lógica finitária cujo domínio L é um conjunto
contável de fórmulas, então existe uma tradução contextual abstrata f : L −→ CPC. Demonstração. Tomemos a função f do Teorema 4.1.4, pela Proposição 3.3.1, f é uma
tradução contextual abstrata.
Após nossos comentários e corolário acima, voltaremos aos resultados de Jeřábek (2012). Sejam L uma lógica proposicional e B um conjunto de conectivos que podem ser definidos em L. Utilizamos a notação LB para o fragmento de L cujas fórmulas são
apenas aquelas construídas a partir de B.
Definição 4.1.8. Sejam X um conjunto e B um conjunto de operações sobre X. Um clone
sobre X é um conjunto de operações finitárias sobre X que é fechado para a composição e contém todas as projeções. Denotamos por [B] o clone gerado por B.
Por exemplo, se B é um conjunto de funções Booleanas, ou seja, um conjunto de operações n-árias de {0, 1}𝑛 em {0, 1}, 𝑛 ≥ 1, daí, as funções definíveis no CPCB são
exatamente as funções a partir de [B]. Na verdade um clone [B] é um conjunto de funções definidas por uma fórmula utilizando variáveis proposicionais e conectivos de B. E, clones sobre {0, 1} correspondem a fragmentos do CPC. Post (1941) descreveu o reticulado de clones sobre {0, 1}, os clones que vamos utilizar são os seguintes:
𝑇0 é o clone de toda função f tal que f(0, . . . , 0) = 0;
𝑆 é o clone de toda função f tal que f(¬𝑥1, . . . , ¬𝑥𝑛) = ¬ f(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛);
𝐿 é o clone de toda função linear, ou seja, de toda função f tal que f(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) = 𝑐 +
Σ𝑖∈𝐼 𝑥𝑖, em que + denota a adição módulo 2, 𝑐 ∈ {0, 1} e 𝐼 ⊆ {1, . . . , n};
𝑀 é o clone de toda função monótona, ou seja, de toda função f tal que f(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ≤
f(𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) sempre que (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ≤ (𝑦1, . . . , 𝑦𝑛);
𝑇1,∞ é o clone de toda função limitada inferiormente por uma variável, ou seja de toda
função f tal que existe 𝑖, 𝑥𝑖 ≤ f(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛), para todo (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ∈ {0, 1}𝑛.
O resultado de Post sobre o reticulado de clones garante o próximo lema, mas, colocaremos uma demonstração direta nossa.
Lema 4.1.6. Seja B é um conjunto de funções Boolenas, então → /∈ [B] se, e somente
se, B está incluído em 𝑇0, 𝑆, 𝐿 ou 𝑀 .
Demonstração. Se B não está incluído em 𝑇0, 𝑆, 𝐿 e 𝑀 , claramente um operador binário
⊗ deve ser tal que 0⊗0 = 1, 1⊗1 = 1, 0⊗1 = 1 e 1⊗0 = 0, daí, → ∈ [B]. Por outro lado,
caso B esteja incluído em 𝑇0, como 0 → 0 = 1, → /∈ [B];
caso B esteja incluído em 𝑆, como ¬1 → ¬1 = 1 e ¬(1 → 1) = 0,→ /∈ [B]; caso B esteja incluído em 𝐿, se c = 1, então 0 → 1 seria 1+(0+1) = 1+1 = 0 e, se c = 0, então 1 → 1 seria 0+(1+1) = 0+0 = 0, logo, → /∈ [B];
caso B esteja incluído em 𝑀 , como (0, 0) ≤ (1, 0), mas 0 → 0 > 1 → 0, então → /∈ [B].
Falaremos, agora, devido aos próximos resultados, um pouco sobre a lógica do
paradoxo LP, introduzida por Priest (1979), que nos permite trabalhar com proposições tais
como os paradoxos auto-referenciais, ou seja, proposições que sejam concomitantemente verdadeiras e falsas. LP é uma lógica proposicional com os conectivos ∧, ∨, ¬ e constantes ⊤, ⊥ cuja relação de consequência é dada pelo reticulado A3 = ⟨{0, *, 1}, ∧, ∨, 0, 1, ¬⟩ tal
que:
Os valores de verdade designados de LP são * e 1.
¬ ∧ 1 * 0 ∨ 1 * 0
1 0 1 1 * 0 1 1 1 1
* * * * * 0 * 1 * *
0 1 0 0 0 0 0 1 * 0
Demonstração. Suponhamos que existe uma tradução conservativa f do CPC em LP e
{𝑣𝑖 : 𝑖 < 𝑛} o conjunto de todas as valorações em A3 tal que 𝑣𝑖(f(⊥)) = 0 e 𝑣𝑖(𝑝𝑗) = *
para toda variável 𝑝𝑗 que não ocorre em f(⊥). Tomemos 𝜙𝑖 = 𝑝𝑖, para 𝑖 < 𝑛, e 𝜙𝑛 =
¬⋀︀
𝑖<𝑛𝑝𝑖, daí, 𝜙0, . . . , 𝜙𝑛 ⊢CPC ⊥, como f é uma tradução, f(𝜙0), . . . , f(𝜙𝑛) ⊢LP f(⊥).
Pela nossa construção, 𝑣𝑖(f(⊥)) = 0, portanto, 𝑣𝑖(f(𝜙𝑗 𝑖)) = 0, para algum 𝑗𝑖 ≤ 𝑛. Seja J
= {𝑗𝑖 : 𝑖 < 𝑛}. Se 𝑣(f(⊥)) = 0, então existe 𝑖 tal que 𝑣 e 𝑣𝑖 coincidem sobre variáveis
que ocorrem em f(⊥). Temos 𝑣𝑖(f(𝜙𝑗)) = 0, para algum 𝑗 ∈ J. Consideremos ⪯ a ordem
parcial induzida por * ≺ 0 e * ≺ 1, então funções definíveis em A3 são ⪯-monotônicas e 𝑣𝑖 ⪯ 𝑣, daí 𝑣(f(𝜙𝑗)) = 0. Logo, {f(𝜙𝑗) : 𝑗 ∈ J} ⊢LP f(⊥) e, pela conservatividade de f, {𝜙𝑗
: 𝑗 ∈ J} ⊢CPC ⊥ para algum |J| ≤ 𝑛, o que contradiz a definição de 𝜙0, . . . , 𝜙𝑛.
Este resultado é interessante por mostrar que não é o caso que sempre existe uma tradução conservativa entre duas lógicas e será utilizado na demonstração do próximo teorema.
Teorema 4.1.8. Se B é um conjunto de funções Boolenas, então CPCB é universal se,
e somente se, → é definível a partir de B.
Demonstração. Suponhamos que B é um conjunto de funções Booleanas, que CPCB é universal e → /∈ [B], então pelo lema anterior, B está incluído em 𝑇0, 𝑆, 𝐿 ou 𝑀 .
Se B ⊆ 𝑇0 ou B ⊆ 𝑆, então ⊤ /∈ [B], pois ⊤ nunca gera valor zero e ⊤(¬𝑥1, . . . , ¬𝑥𝑛) = 1 ̸= 0 = ¬(⊤(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛)). Daí, CPCB não possui tautologias e, portanto,
não há tradução conservativa, do CPC em CPCB, logo CPCB não é universal.
Se B ⊆ 𝐿, dadas 𝜙, 𝜓 ∈ 𝐿, 𝜙(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) = 𝑐 + Σ𝑖∈𝐼 𝑥𝑖 e 𝜓(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) = 𝑑
+ Σ𝑖∈𝐽 𝑥𝑖, tal que 𝜙 ≤ 𝜓, então, 𝜙 = 0, 𝜓 = 1 ou 𝜙 = 𝜓. Suponhamos que 𝜙 ̸= 0. Então
existe uma valoração Booleana v de forma que v(𝜙) = 1. Suponhamos, agora, que J * I, daí, podemos trocar a valoração de qualquer 𝑥𝑖, i ∈ J - I, para v(𝜓) = 0, contradizendo
𝜙 ≤ 𝜓. Portanto, 𝜙 = 0 ou J ⊆ I. Analogamente, obtemos 𝜓 = 1 ou I ⊆ J. Caso I =
J, 𝜙 = 𝜓 ou 𝜙 = ¬ 𝜓, para 𝜙 = ¬ 𝜓, 𝜙 ≤ 𝜓 apenas se 𝜙 e 𝜓 são funções constantes 0 e 1, respectivamente. Portanto, não existe uma sequência estritamente crescente de comprimento maior que três de funções lineares vinculadas. Daí não conseguimos uma tradução conservativa do CPC em CPCB e CPCB não é universal.
Se B ⊆ 𝑀 , como 𝑀 = [∧, ∨, ⊤, ⊥], podemos assumir B = {∧, ∨, ⊤, ⊥}. Consideremos uma substituição Φ tal que Φ(𝑝) = 𝑝 ∧ ¬𝑝. A substituição Φ é um homomor- fismo de reticulados limitados da respectiva álgebra livre. Seja A2 o reticulado limitado
de dois elementos. A função 𝜋 : A3 −→ A2 tal que 𝜋(1) = 𝜋(*) = 1 e 𝜋(0) = 0 é um
homomorfismo de reticulados limitados que preserva, em ambas direções, os conjuntos de elementos designados. Se v é uma valoração em A3 tal que v(Φ(Γ)) ≥ *, v(Φ(𝜙)) = 0,
então v’ = 𝜋 ∘ v ∘ Φ é uma valoração em A2 tal que v’(Γ) = 1 e v’(𝜙) = 0, daí Γ 0CPC 𝜙.
Por outro lado, se v’ é uma valoração em A2 tal que v’(Γ) = 1 e v’(𝜙) = 0, tomamos a
valoração v em A3 tal que v(𝑝𝑖) = *, se v’(𝑝𝑖) = 1, e v(𝑝𝑖) = 0, se v’(𝑝𝑖) = 0. Então, 𝜋 ∘ v
∘ Φ = v’, daí v(Φ(Γ)) ≥ * e v(Φ(𝜙)) = 0. Portanto, Γ ⊢ CPCB 𝜙 se, e somente se, Φ(Γ)
⊢LP Φ(𝜙) e Φ é uma tradução conservativa do CPCB em LP. Logo, pela proposição
acima, CPCB não é universal. Temos, então, a demonstração da ida do nosso enunciado.
Suponhamos que → seja definível a partir de B. Para mostrar que CPCB é
universal, construiremos uma função f : CPC −→ CPCB. Renomearemos toda variável
proposicional no estilo do hotel de Hilbert de modo a obtermos uma variável 𝑞 que não ocorre em qualquer fórmula. Associaremos cada fórmula 𝜙 que não contém 𝑞 a f(𝜙), uma fórmula implicacional equivalente a 𝜙 ∨ 𝑞. Essa fórmula existe, pois, [→] = 𝑇1,∞. Podemos
fazer uma construção mais explícita utilizando a completude funcional de {→, ⊥} para escrever 𝜙(𝑝1, . . . , 𝑝𝑛) ↔ 𝜓(𝑝1, . . . , 𝑝𝑛, ⊥) para alguma 𝜓 ∈ [→] e f(𝜙) = (𝜓(𝑝1, . . . , 𝑝𝑛,
𝑞) → 𝑞) → 𝑞.
Definição 4.1.9. Um reticulado residuado é uma estrutura ⟨𝐿, ∧, ∨, ·, →, ←, 1⟩, em que
⟨𝐿, ∧, ∨⟩ é um reticulado, ⟨𝐿, ·, 1⟩ é um monoide e, para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ L, 𝑏 ≤ 𝑎 → 𝑐 ⇔
𝑎 · 𝑏 ≤ 𝑐 ⇔ 𝑎 ≤ 𝑐 ← 𝑏.
Definição 4.1.10. Uma FL-álgebra é um reticulado residuado L com um elemento
distinguido 0 ∈ L.
Definição 4.1.11. Um cálculo de Lambek completo FL é uma lógica proposicional com
conectivos ∧, ∨, ·, →, ←, 1, 0 tal que ⊢FL é completo em relação à classe de matrizes lógicas cujas álgebras subjacentes são FL-álgebras, L, cujos elementos designados são {𝑥 ∈ L : 1 ≤ 𝑥}. O cálculo FLe é completo em relação às FL-álgebras comutativas, ou seja, tais que
𝑥 · 𝑦 = 𝑦 · 𝑥, para todos 𝑥, 𝑦 ∈ L. O cálculo FLew é completo em relação às FL-álgebras comutativas, tais que, para todo 𝑥 ∈ L, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
Dada uma sequência de fórmulas Γ = ⟨𝜙1, . . . , 𝜙𝑛⟩ utilizamos as notações Γ
← 𝜙𝑛−1) ← 𝜙𝑛, respectivamente. Se 𝑛 = 0, Γ → 𝜓 = 𝜓 ← Γ = 𝜓. Ademais, ∏︀ Γ = 𝜙1 · . . . · 𝜙𝑛, se n = 0, ∏︀ Γ = 1 e 𝜙𝑛 = 𝜙 · . . . · 𝜙 (n vezes). Em FL, para Γ−1 a sequência
inversa de Γ, Γ → 𝜓 é equivalente a ∏︀
Γ−1 → 𝜓 e 𝜓 ← Γ é equivalente a 𝜓 ← ∏︀
Γ−1.
Lema 4.1.9. Seja ⟨𝐿, ∧, ∨, ·, →, ←, 1⟩ um reticulado residuado e 𝑢 ∈ 𝐿. Então,
(i) 𝐿𝑢 = {𝑎 ∈ 𝐿 : 𝑎 · 𝑢 ≤ 𝑎 e 𝑢 · 𝑎 ≤ 𝑎} é fechado para →, ← e ∧;
(ii) Se 𝑢 = 𝑞 → 𝑞 para algum 𝑞 ∈ 𝐿, então 1 ≤ 𝑢, 𝑢2 ≤ 𝑢 e 𝐿
𝑢 contém 𝑢 e todos os
elementos da forma (𝑎 → 𝑞) → 𝑞.
Demonstração. (i) Consideremos 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐿𝑢. Como ⟨𝐿, ∧, ∨⟩ é um reticulado, 𝑎 ∧ 𝑏 ≤ 𝑎,
daí, de (𝑎 ∧ 𝑏) · 𝑢 ≤ 𝑎 · 𝑢 ≤ 𝑎 e (𝑎 ∧ 𝑏) · 𝑢 ≤ 𝑏 · 𝑢 ≤ 𝑏 temos que (𝑎 ∧ 𝑏) · 𝑢 ≤ 𝑎 ∧ 𝑏. De forma simétrica obtemos 𝑢 · (𝑎 ∧ 𝑏) ≤ 𝑎 ∧ 𝑏. Como (𝑎 → 𝑏) ≤ 𝑎 → 𝑏, pela definição de →, 𝑎 · (𝑎 → 𝑏) ≤ 𝑏, dai, de 𝑎 · (𝑎 → 𝑏) · 𝑢 ≤ 𝑏 · 𝑢 ≤ 𝑏 temos, novamente pela definição de →, que (𝑎 → 𝑏) · 𝑢 ≤ 𝑎 → 𝑏. Como 𝑎 · 𝑢 ≤ 𝑎, de 𝑎 · 𝑢 · (𝑎 → 𝑏) ≤ 𝑎 · (𝑎 → 𝑏) ≤ 𝑏 temos que 𝑢 · (𝑎 → 𝑏) ≤ 𝑎 → 𝑏. Simetricamente obtemos (𝑎 ← 𝑏) · 𝑢 ≤ 𝑎 ← 𝑏 e 𝑢 · (𝑎 ←
𝑏) ≤ 𝑎 ← 𝑏.
(ii) Como 1 é elemento neutro do monóide ⟨𝐿, ·, 1⟩, então, 𝑞 · 1 ≤ 𝑞, daí, 1 ≤ 𝑞 → 𝑞. Como 𝑎 · (𝑎 → 𝑏) ≤ 𝑏 e 𝑏 · (𝑏 → 𝑐) ≤ 𝑐, então 𝑎 · (𝑎 → 𝑏) · (𝑏 → 𝑐) ≤ 𝑏 · (𝑏 → 𝑐) ≤ 𝑐 e, daí, (𝑎 → 𝑏) · (𝑏 → 𝑐) ≤ 𝑎 → 𝑐. Claramente 𝑢2 ≤ 𝑢 é um caso particular de (𝑎 → 𝑏) · (𝑏 → 𝑐) ≤ 𝑎 → 𝑐, logo, 𝑢 ∈ 𝐿𝑢. Temos, por (𝑎 → 𝑏) · (𝑏 → 𝑐) ≤ 𝑎 → 𝑐 e definição de
→, que ((𝑎 → 𝑞) → 𝑞) · (𝑞 → 𝑞) ≤ (𝑎 → 𝑞) → 𝑞 e (𝑎 → 𝑞) · (𝑞 → 𝑞) · ((𝑎 → 𝑞) → 𝑞) ≤ (𝑎 → 𝑞) · ((𝑎 → 𝑞) → 𝑞) ≤ 𝑞. Portanto, (𝑞 → 𝑞) · ((𝑎 → 𝑞) → 𝑞) ≤ (𝑎 → 𝑞) → 𝑞.
Teorema 4.1.10. Uma lógica L é universal sempre que ela pode ser estendida conservati-
vamente a uma lógica L0 tal que
(i) FL→, ←, ∧ ⊆ L0 ⊆ CPC→, ←, ∧ ou (ii) FLe→, ∧ ⊆ L0 ⊆ CPC→, ∧ ou (iii) FLew→ ⊆ L0 ⊆ CPC→.
Demonstração. (i) Primeiramente, faremos um comentário. A partir dos Teorema 4.1.3 e
4.1.4, se L é uma lógica finitária cujo conjunto de formulas é contável e dado por F = {𝜙𝑛
: 𝑛 < 𝜔}, então existe uma tradução conservativa f : L −→ CPC tal que f(𝜙𝑛) = 𝜓𝑛 é
indutivamente definida como
(*) 𝜓n = (𝛾n ∨ 𝑝n) ∧ 𝛿n, em que:
𝛿n =⋀︀(⋀︀ 𝜓X → ⋁︀ 𝜓Y), para X, Y ⊆ n, 𝜙X, 𝜙n ⊢ 𝜙Y.
Como⋀︀
𝜓X∧ ¬⋁︀𝜓Y, para X, Y ⊆ n, 𝜙X⊢ 𝜙n, 𝜙Y, é classicamente equivalente
a ⋀︀
𝜓X∧ ⋀︀ ¬𝜓Y, para X, Y ⊆ n, 𝜙X ⊢ 𝜙n, 𝜙Y, que é classicamente equivalente a⋀︀(𝜓X∧
¬𝜓Y), para X, Y ⊆ n, 𝜙X ⊢ 𝜙n, 𝜙Y, que, por fim, é classicamente equivalente a ⋀︀(𝜓Z),
para Z ⊆ n, 𝜙Z ⊢ 𝜙n. Então, f(𝜙𝑛) = 𝜓𝑛 é indutivamente definida como sendo equivalente
a fórmula:
𝜓n = (𝛾n ∨ 𝑝n) ∧ 𝛿n, em que:
𝛾n = ⋁︀(⋀︀ 𝜓Z), para Z ⊆ n, 𝜙Z ⊢L 𝜙n e
𝛿n =⋀︀(𝜓X → 𝜓k), para X ⊆ n > k, 𝜙X, 𝜙n ⊢L 𝜙k.
Utilizaremos, dada a sequência X = ⟨𝑖1, . . . , 𝑖𝑚⟩, ⃗𝜙𝑋 para designar a sequência
⟨𝜙𝑖1, . . . , 𝜙𝑖𝑚⟩ e ⃗𝜓𝑋 para designar a sequência ⟨𝜓𝑖1, . . . , 𝜓𝑖𝑚⟩, além disso, 𝜋(𝑝, 𝑞) para
designar (𝑝 → 𝑞) → 𝑞. Mostraremos que existe uma tradução conservativa de L em L0. Considerando L como acima, a partir do nosso comentário, da definição de reticulado residuado e da demonstração do Teorema 4.1.4, para f(𝜙𝑛) = 𝜓𝑛, definimos indutivamente
𝜓n = (𝑞 → 𝑞) ∧ 𝛾n ∨ 𝛿n, em que:
𝛾n = ⋀︀(( ⃗𝜓Y → 𝜓k) ← ⃗𝜓X), para todo k < n e toda sequência disjunta livre de
repetição X e Y de elementos i < n tal que ⃗𝜙X, ⃗𝜙Y, 𝜙n ⊢L 𝜙k e
𝛿n = (⋀︀(𝜋(𝑝𝑛, 𝑞) ← ⃗𝜓Z)) → 𝜋(𝑝𝑛, 𝑞), para toda sequência disjunta livre de
repetição Z de elementos i < n tal que ⃗𝜙Z ⊢L 𝜙n e, caso não exista Z ⊆ n tal que ⃗𝜙Z ⊢L 𝜙n, a conjunção se reduz a 𝜋(𝑝𝑛, 𝑞).
Como 𝜓𝑛, trocando 𝑞 por ⊥, é classicamente equivalente a fórmula dada em
(*) no início desta demonstração, pois 𝜋(𝑝𝑛, ⊥) é classicamente equivalente a 𝑝𝑛 e ( ⃗𝜓𝑍 →
𝑝𝑛) → 𝑝𝑛 é classicamente equivalente a ⃗𝜓𝑍 ∨ 𝑝𝑛. Daí, f(Γ) ⊢L0 f(𝜙) ⇒ f(Γ) ⊢CPC f(𝜙) ⇒
Γ ⊢L 𝜙.
Para mostrar Γ ⊢L 𝜙 ⇒ f(Γ) ⊢FL f(𝜙) ⇒ f(Γ) ⊢L0 f(𝜙), basta mostrarmos, por
indução sobre n que para todo k < n e toda sequência Z de elementos de n, ⃗𝜙𝑍 ⊢L 𝜙𝑘 ⇒
⊢FL 𝜓⃗𝑍 → 𝜓𝑘. Por modus ponens, teremos ⃗𝜓𝑍 ⊢FL 𝜓𝑘. A demonstração para n = 0 segue
por vacuidade. Suponhamos que segue para n, demonstraremos que segue para n+1. Em FL temos 𝜓𝑖 · 𝜓𝑗 → 𝜓𝑖, 𝜓𝑗 · 𝜓𝑖 → 𝜓𝑖 e ⃗𝜓X → (𝑞 → 𝑞). Isto porque,
considerando uma valoração v num reticulado residuado L e 𝑢 = v(𝑞) → v(𝑞), 𝜓𝑖 é
construída a partir das fórmulas da forma 𝜋(𝑝𝑘, 𝑞) e 𝑞 → 𝑞 por meio de →, ← e ∧. Assim,
v(𝜓𝑖) ∈ 𝐿𝑢 pelo Lema 4.1.9. Claramente, v(𝜓𝑗) ≤ 𝑢, daí, v(𝜓𝑖) · v(𝜓𝑗) ≤ v(𝜓𝑖) e v(𝜓𝑗) ·
v(𝜓𝑖) ≤ v(𝜓𝑖). Finalmente, v(Π ⃗𝜓𝑥−1) ≤ 𝑢|𝑥| ≤ 𝑢 por (ii) do Lema 4.1.9.
Logo, é suficiente mostrar ⃗𝜙𝑍 ⊢L 𝜙𝑘 ⇒ ⊢FL 𝜓⃗𝑍 → 𝜓𝑘 para sequências livres de
Suponhamos que ⃗𝜙𝑋, 𝜙𝑛, ⃗𝜙𝑌 ⊢L 𝜙𝑘. Pela definição de 𝜓𝑛, ⊢FL 𝜓𝑛 → (( ⃗𝜓𝑌 →
𝜓𝑘) ← ⃗𝜓𝑋, daí, ⊢FL 𝜓𝑛 · Π ⃗𝜓𝑋−1 → ( ⃗𝜓𝑌 → 𝜓𝑘), logo, ⊢FL Π ⃗𝜓𝑋−1 → (𝜓𝑛 → ( ⃗𝜓𝑌 → 𝜓𝑘))
e ⊢FL 𝜓⃗𝑋 → (𝜓𝑛 → ( ⃗𝜓𝑌 → 𝜓𝑘)).
Suponhamos, agora, que ⃗𝜙𝑍 ⊢L 𝜙𝑛. Pelo Lema 4.1.9, ⊢FL 𝜓⃗𝑍 → (𝑞 → 𝑞). Pela
regra do corte, de ⃗𝜙𝑋, 𝜙𝑛, ⃗𝜙𝑌 ⊢L 𝜙𝑘 temos ⃗𝜙𝑋, ⃗𝜙𝑍, ⃗𝜙𝑌 ⊢L 𝜙𝑘, daí, pela hipótese de
indução, ⊢FL 𝜓⃗𝑋 → ( ⃗𝜓𝑍 → ( ⃗𝜓𝑌 → 𝜓𝑘)). Analogamente, temos ⊢FL 𝜓⃗𝑍 → (( ⃗𝜓𝑌 → 𝜓𝑘)
← ⃗𝜓𝑋). De ⊢FL 𝜓⃗𝑍 → ((𝜋(𝑝𝑛, 𝑞) ← ⃗𝜓𝑍) → 𝜋(𝑝𝑛, 𝑞)), temos que ⃗𝜓𝑍 implica a última
conjunção de 𝜓𝑛 e, finalmente, ⊢FL 𝜓⃗𝑍 → 𝜓𝑛.
(ii) Visto que, em FLe, (𝜙 ← 𝜓) = (𝜓 → 𝜙), o resultado segue de (i).
(iii) Como FLew é comutativa, podemos tratar de conjuntos ao invés de sequências. Definimos indutivamente
𝑟0 = 0, 𝑟𝑛+1 = 1 + 𝑛 · 2𝑛𝑟𝑛, 𝜀𝑛 = (Π(𝜓𝑋 𝑟𝑛 → 𝜓𝑘)) · ((Π(𝜓𝑍 → 𝑝𝑛)) → 𝑝𝑛), para 𝜙𝑋, 𝜙𝑛⊢L 𝜙𝑘 e 𝜙𝑍 ⊢L 𝜙𝑛, X e Z são subconjuntos de n e k < n, 𝜓𝑛 = (𝜀𝑛 → 𝑞) → 𝑞.
Entendemos 𝜓𝑋𝑟𝑛 como o multiconjunto de fórmulas que contém 𝑟𝑛 cópias de cada fórmula
𝜓𝑖, 𝑖 ∈ 𝑋. Ou seja, se X = {𝑖1, . . . , 𝑖𝑚}, então 𝜓𝑋 𝑟𝑛 → 𝜓𝑘 representa 𝜓𝑖1 → (𝜓𝑖1. . . → (𝜓𝑖1 ⏟ ⏞ rn → (𝜓𝑖2. . . → (𝜓𝑖2 ⏟ ⏞ rn → (. . . → (𝜓𝑖𝑚. . . → (𝜓𝑖𝑚 ⏟ ⏞ rn → 𝜓𝑘))) . . . ))).
Novamente temos que 𝜓𝑛, trocando 𝑞 por ⊥, é classicamente equivalente a
fórmula dada em (*) no início desta demonstração. Logo, f(Γ) ⊢L0 f(𝜙) ⇒ f(Γ) ⊢CPC f(𝜙)
⇒ Γ ⊢L 𝜙.
Para demonstrar Γ ⊢L 𝜙 ⇒ f(Γ) ⊢FLew f(𝜙) ⇒ f(Γ) ⊢L0 f(𝜙), basta demonstrar-
mos que 𝜙𝑊 ⊢L 𝜙𝑘 ⇒ ⊢FLew 𝜓𝑊 𝑟𝑛
→ 𝜓𝑘, para todo k < n e todo W ⊆ n.
A sentença é verdadeira por vacuidade para n = 0. Assumiremos que ela segue para n e demonstraremos para n+1. Como temos o enfraquecimento, basta considerarmos os casos k = n, W ⊆ n e k < n, W = X ∪ {n}, X ⊆ n.
Se 𝜙𝑋, 𝜙𝑛 ⊢L 𝜙𝑘. Então, usando a definição e comutatividade, temos ⊢FLew
𝜓𝑋𝑟𝑛 → (𝜀𝑛 → 𝜓𝑘), que implica ⊢FLew 𝜓𝑋 𝑟𝑛
→ ((𝜓𝑘 → 𝑞) → (𝜀𝑛 → 𝑞). Pela definição
de 𝜓𝑘 e comutatividade, temos ⊢FLew (𝜀𝑘 → 𝑞) → (𝜓𝑘 → 𝑞), daí ⊢FLew 𝜓𝑋 𝑟𝑛 → ((𝜀𝑘 → 𝑞) → (𝜀𝑛 → 𝑞)). Isto implica ⊢FLew 𝜓𝑋 𝑟𝑛 → (((𝜀𝑛 → 𝑞) → 𝑞) → ((𝜀𝑘 → 𝑞) → 𝑞)), ou seja, ⊢FLew 𝜓𝑋 𝑟𝑛
→ (𝜓𝑛 → 𝜓𝑘). Por enfraquecimento, usando 𝑟 ≤ 𝑟𝑛+1, temos ⊢FLew 𝜓𝑋
𝑟𝑛+1
→ (𝜓𝑛𝑟𝑛+1 → 𝜓𝑘).
enfraquecimento, ⊢FLew 𝜓W → ((Π(𝜓Z → 𝑝𝑛)) → 𝑝𝑛), para 𝜙𝑍 ⊢L 𝜙𝑛. Como 𝜙𝑋, 𝜙𝑛 ⊢L 𝜙𝑘 implica 𝜙𝑋, 𝜙𝑊 ⊢L 𝜙𝑘, pelo corte, então, pela hipótese de indução e enfraquecimento,
⊢FLew 𝜓𝑊 𝑟𝑛
→ (𝜓𝑋𝑟𝑛
→ 𝜓𝑘). Sabemos que existem no máximo n · 2n pares (X, k) tais
que X ⊆ n, k < n e 𝜙𝑋, 𝜙𝑛 ⊢L 𝜙𝑘, temos ⊢FLew 𝜓𝑊 𝑛2𝑛𝑟 𝑛 → Π(𝜓𝑋𝑟𝑛 → 𝜓𝑘). Finalmente, temos ⊢FLew 𝜓𝑊 𝑟𝑛+1 → 𝜀𝑛 e, daí, ⊢FLew 𝜓𝑊 𝑟𝑛+1 → 𝜓𝑛.
Na próxima seção discutiremos estes resultados, a fim de analisar possíveis impactos para o conceito de tradução conservativa.