As traduções conservativas entre lógicas, estudadas por Feitosa (1997), consti- tuem uma classe especial de traduções entre lógicas definidas por da Silva, D’Ottaviano e Sette (1999) e são investigadas em (D’OTTAVIANO; FEITOSA, 1999a), (D’OTTAVIANO; FEITOSA, 1999b) e (FEITOSA; D’OTTAVIANO, 2001).
Definição 2.1.1. Sejam L1 = (𝐿1, C1) e L2 = (𝐿2, C2) duas lógicas. Uma aplicação conservativa de L1 em L2 é uma função t : 𝐿1 −→ 𝐿2 tal que, para todo 𝑥 ∈ 𝐿1, temos
que 𝑥 ∈ C1(∅) se, e somente se, t(𝑥) ∈ C2(∅).
Definição 2.1.2. Sejam L1 = (𝐿1, C1) e L2 = (𝐿2, C2) duas lógicas. Uma tradução conservativa de L1 em L2 é uma função t : 𝐿1 −→ 𝐿2 tal que, para todo conjunto X∪{𝑥}
⊆ 𝐿1, temos que 𝑥 ∈ C1(X) se, e somente se, t(𝑥) ∈ C2(t(X)). A lógica L1 é denominada
conservativamente tradutível na lógica L2 se existe uma tradução conservativa de L1 em
L2.
Percebemos que traduções conservativas são traduções (da SILVA; D’OTTAVIANO; SETTE, 1999) em que vale a volta da condição para que a função t seja uma tradução.
Quando L1 e L2 são sistemas lógicos ℒ1 e ℒ2, uma tradução conservativa de ℒ1 em ℒ2 é
uma função t : For(𝐿1) −→ For(𝐿2) tal que, para todo subconjunto Γ∪{𝐴} ⊆ For(𝐿1),
Γ ⊢C1 𝐴 se, e somente se, t(Γ) ⊢C2 t(𝐴). Assim como para as traduções, ao invés de t :
𝐿1 −→ 𝐿2 podemos escrever t : L1 −→ L2.
Os resultados mencionados abaixo são frutos dos trabalhos de Feitosa e D’Ottaviano em diversos artigos ((FEITOSA, 1997), (D’OTTAVIANO; FEITOSA, 1999a), (FEITOSA; D’OTTAVIANO, 2001) e (D’OTTAVIANO; FEITOSA, 2007)). A seguir,
salientamos alguns resultados relevantes para o desenvolvimento de nossa pesquisa.
Proposição 2.1.1. Se t : L1 −→ L2 é uma função injetiva e t(C1(X)) = C2(t(X)), para todo X ⊆ 𝐿1, então t é uma tradução conservativa.
Demonstração. Como t(C1(X)) ⊆ C2(t(X)), pela Proposição 1.6.9, t é uma tradução, ou
seja, para todo X∪{𝑥} ⊆ 𝐿1, se 𝑥 ∈ C1(X), então t(𝑥) ∈ C2(t(X)). Suponhamos que t(𝑥)
∈ C2(t(X)) = t(C1(X)). Daí existe 𝑦 ∈ C1(X) de forma que t(𝑥) = t(𝑦). Pelo enunciado t
é injetiva, então 𝑥 = 𝑦, ou seja, 𝑥 ∈ C1(X). Portanto, t é uma tradução conservativa.
Proposição 2.1.2. Se t : L1 −→ L2 é uma tradução conservativa sobrejetiva, então
t(C1(X)) = C2(t(X)), para todo X ⊆ 𝐿1.
Demonstração. Como t é uma tradução, pela Proposição 1.6.9, t(C1(X)) ⊆ C2(t(X)).
Suponhamos que 𝑦 ∈ C2(t(X)), como t é sobrejetiva e C2(t(X)) ⊆ 𝐿2, então C2(t(X)) ⊆
Im(t). Logo, existe 𝑥 ∈ 𝐿1 tal que t(𝑥) = 𝑦. Como t é uma tradução conservativa, 𝑥
∈ C1(X) e 𝑦 = t(𝑥) ∈ t(C1(X)). Portanto, t(C1(X)) = C2(t(X)).
Corolário 2.1.3. Se t : L1 −→ L2 é uma função bijetiva, então t é uma tradução
conservativa se, e somente se, t(C1(X)) = C2(t(X)), para todo X ⊆ 𝐿1.
Teorema 2.1.4. Seja t : L1 −→ L2 uma tradução. Então t é uma tradução conservativa
se, e somente se, para todo X ⊆ 𝐿1, t-1(C2(t(X))) ⊆ C1(X). Demonstração. (⇒) Se 𝑥 ∈ t-1(C
2(t(X))), então t(𝑥) ∈ t∘t-1(C2(t(X))) ⊆ C2(t(X)). Daí,
de t ser uma tradução conservativa, 𝑥 ∈ C1(t(X))). Portanto, t-1(C2(t(X))) ⊆ C1(X).
(⇐) Temos que t é uma tradução, então basta demonstrar a volta da condição para t ser uma tradução conservativa. Se t(𝑥) ∈ C2(t(X))), como t-1(C2(t(X))) ⊆ C1(X)
e 𝑥 ∈ t-1(t(𝑥)), então t-1(t(𝑥)) ⊆ C
1(X) e 𝑥 ∈ C1(X). Portanto, t é uma tradução
Teorema 2.1.5. Seja t : L1 −→ L2 uma função entre lógicas tal que C1 e C2 são finitários. A função t é uma tradução conservativa se, e somente se, para todo X∪{𝑥} ⊆ 𝐿1 finito, tem-se que 𝑥 ∈ C1(X) se, e somente se, t(𝑥) ∈ C2(t(X)).
Demonstração. (⇒) Pela definição de tradução conservativa, 𝑥 ∈ C1(X) se, e somente se,
t(𝑥) ∈ C2(t(X)), para todo X∪{𝑥} ⊆ 𝐿1, inclusive para X finito.
(⇐) Considere X ⊆ 𝐿1 um conjunto e 𝑥 ∈ C1(X), como C1 é finitário, C1(X)
= {𝑥 : 𝑥 ∈ C1(𝑋𝑖), para 𝑋𝑖 subconjunto finito de X}. Daí t(𝑥) ∈ {t(𝑥) : t(𝑥) ∈ C2(t(𝑋𝑖)),
para 𝑋𝑖 subconjunto finito de X}, como C2 é finitário, t(𝑥) ∈ C2(t(X)). Analogamente, se
t(𝑥) ∈ C2(t(X)), então 𝑥 ∈ C1(X).
Observamos que a composição de traduções conservativas é uma tradução conservativa; a função identidade entre lógicas é uma tradução conservativa; a composição de traduções conservativas é associativa; e a identidade é uma unidade para a compo- sição. Feitosa (1997) definiu a categoria Trcon, em que os morfismos são as traduções conservativas e os objetos são as lógicas. Esta categoria é uma subcategoria de Tr, pois os objetos de Trcon e Tr são os mesmos, as lógicas, e, como toda tradução conservativa é uma tradução, dadas duas lógicas L1 e L2 a coleção das traduções conservativas de L1 em
L2 é um subconjunto da coleção das traduções de L1 em L2.
Proposição 2.1.6. Considere a função quociente Q : L −→ L/∼, Q(𝑥) = [𝑥] = {𝑦 : 𝑥 ∼
𝑦}, definida na Proposição 1.6.11, ou seja, dada a lógica L = (L, C), ∼ é uma relação de equivalência em L tal que 𝑥 ∼ 𝑦 se, e somente se, C(𝑥) = C(𝑦). Então Q é uma tradução conservativa.
Demonstração. Pela Proposição 1.6.11, Q é uma tradução. E, se Q(X) = {[𝑥] : 𝑥 ∈ X} e
Q(𝑥) ∈ C∼(Q(X)), então, existe 𝑦 ∈ Q(𝑥) = [𝑥] tal que 𝑦 ∈ C(X). Pela definição de ∼,
C(𝑦) = C(𝑥), daí 𝑥 ∈ C(𝑦) e, portanto, 𝑥 ∈ C(X).
O teorema a seguir, encontrado em (FEITOSA, 1997) e (FEITOSA; D’OTTAVIANO, 2001), nos dá uma condição necessária e suficiente para a existência de tradução conserva- tiva entre duas lógicas. Ele foi utilizado na obtenção de muitas traduções conservativas dadas por D’Ottaviano e Feitosa.
Teorema 2.1.7. Sejam L1 = (𝐿1, C1) e L2 = (𝐿2, C2) lógicas, com 𝐿2 enumerável; L1∼1
e L2∼2 as lógicas co-induzidas por 𝑄1, L1 e 𝑄2, L2, respectivamente, com ∼1 e ∼2 relações de equivalência em 𝐿1 e 𝐿2, respectivamente, tais que 𝑥 ∼1 𝑦 se, e somente se, C1(𝑥) = C1(𝑦) e 𝑧 ∼2 𝑤 se, e somente se, C2(𝑧) = C2(𝑤). Existe uma tradução conservativa
t : L1 −→ L2 se, e somente se, existe uma tradução conservativa t* : L1∼1 −→ L2∼2.
Ademais, se t* existe, então é injetiva.
Demonstração. (⇒) Se t : L1 −→ L2 é uma tradução conservativa, como, pela proposição
anterior, 𝑄2 é uma tradução conservativa, temos que 𝑄2∘t é uma tradução conservativa.
Tomemos 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐿1 tais que 𝑥 ∼1 𝑦, daí C1(𝑥) = C1(𝑦). Consequentemente, de t ser
uma tradução conservativa, C2(t(𝑥)) = C2(t(𝑦)), daí t(𝑥) ∼2 t(𝑦) e 𝑄2(t(𝑥)) = 𝑄2(t(𝑦)).
Portanto, 𝑄2∘t é compatível com ∼1. Pela Proposição 1.6.12, existe uma única tradução
t* : L1∼1 −→ L2∼2 tal que t*∘𝑄1 = 𝑄2∘t. Temos o seguinte diagrama:
L1 𝑡 𝑄1 // L1∼1 𝑡* L2 𝑄2 //L2∼2 Figura 1
Suponhamos que t* não é conservativa. Como 𝑄1 é uma tradução conservativa
sobrejetiva, então existe t*(𝑄1(𝑦)) ∈ C2∼2(t*(𝑄1(X))) de forma que 𝑄1(𝑦) /∈ C1∼1(𝑄1(X)),
consequentemente, 𝑦 /∈ C1(X). Como t*∘𝑄1 = 𝑄2∘t e 𝑄2, t e 𝑄2∘t são traduções con-
servativas, temos que 𝑄2(t(𝑦)) ∈ C2∼2(𝑄2(t(X)) e 𝑦 ∈ C1(X), o que é uma contradição.
Logo, t* é uma tradução conservativa.
(⇐) Consideremos a tradução conservativa t* : L1∼1 −→ L2∼2. Como 𝐿2 é
enumerável, podemos escrever 𝐿2 = {𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, . . . }. Seja t : L1 −→ L2 dada por t(𝑥) = 𝑦, tal que 𝑦 ∈ 𝑄2-1∘t*∘𝑄1(𝑥) e 𝑦 tem menor índice em 𝐿2. A função quociente 𝑄2 é uma
tradução conservativa sobrejetiva. Daí, pela Proposição 2.1.2, 𝑄2(C1(X)) = C2(𝑄2(X)),
para todo X ⊆ 𝐿1. Pela Proposição 1.6.16, 𝑄2é uma tradução fechada. Se B é um conjunto
fechado de L2, 𝑄2(B) é um conjunto fechado de L2∼2, como t*∘𝑄1 é uma tradução, pela
Proposição 1.6.15, t-1(B) = [𝑄
2-1∘t*∘𝑄1]-1(B) = [t*∘𝑄1]-1(𝑄2(B)) é um fechado de L1.
Novamente pelas Proposições 2.1.2 e 1.6.16, t é uma tradução. Suponhamos, agora, que a tradução t não é conservativa, então existem X∪{𝑥} ⊆ 𝐿1 tais que t(𝑥) ∈ C2(t(X)) e 𝑥 /∈
C1(X). De t(𝑥) ∈ C2(t(X)), 𝑄2(t(𝑥)) ∈ C2(𝑄2(t(X))) e da definição de t temos que 𝑄2∘t
= t*∘𝑄1, daí t*(𝑄1(𝑥)) ∈ C2(t*(𝑄1(X))). Como t*∘𝑄1 é uma tradução conservativa, 𝑥 ∈
C1(X), o que é uma contradição. Portanto, t é uma tradução conservativa.
Ademais, se t*(𝑄1(𝑥)) = t*(𝑄1(𝑦)), então 𝑄2(t(𝑥)) = 𝑄2(t(𝑦)). Logo, t(𝑥) ∼2
t(𝑦), e C2(t(𝑥)) = C2(t(𝑦)). A função t é uma tradução conservativa, como demonstramos
acima, daí C1(𝑥) = C1(𝑦), e 𝑥 ∼1 𝑦, logo, 𝑄1(𝑥) = 𝑄1(𝑦). Portanto, t* é injetiva.
Mostraremos, abaixo, bem como Feitosa (1997), alguns resultados a respeito da categoria Trcon, inclusive que ela é co-completa.
Proposição 2.1.8. A categoria Trcon possui equalisador.
Demonstração. Dados dois morfismos de Trcon 𝑡1, 𝑡2 : L1 −→ L2, seja E = {𝑥 : 𝑥 ∈ 𝐿1
e 𝑡1(𝑥) = 𝑡2(𝑥)}. Considerando a inclusão i : E −→ L1, em que E é a lógica induzida por
i e L1, temos que se h : L −→ L1 é tal que 𝑡1∘ ℎ = 𝑡2∘ ℎ, então existe um único morfismo
k de Trcon que comuta o diagrama:
E 𝑖 //L1 𝑡1 // 𝑡2 //L2 L ℎ >> 𝑘 OO Figura 2
Claramente a inclusão é uma tradução conservativa, pois, pela definição de inclusão: se 𝑥 ∈ C𝐸(X), então i(𝑥) ∈ C𝐸(i(X)) e, daí i(𝑥) ∈ C1(i(X)). Por outro lado, se
i(𝑥) ∈ C1(i(X)), então 𝑥 ∈ C1(i(X))∩E, consequentemente, 𝑥 ∈ C𝐸(X).
Definimos k : L −→ E por k(𝑥) = h(𝑥). Como, para 𝑥 ∈ L, h(𝑥) é único e
𝑡1(h(𝑥)) = 𝑡2(h(𝑥)), temos que h(𝑥) ∈ E. Logo, h = i∘k e k está bem definida.
Pela Proposição 1.6.18, como E é a lógica induzida por i e L1 e h é uma
tradução, então k é uma tradução. Consideremos k(𝑥) ∈ C𝐸(k(X)), daí h(𝑥) ∈ C1(h(X)),
de h ser conservativa, 𝑥 ∈ C(X). Portanto, k é uma tradução conservativa.
Além disso, se existe k’ : L −→ E tal que i∘k’ = h = i∘k, como i é injetiva, então admite inversa à esquerda e, daí, k’ = k.
Portanto, o par (E, i) é o equalisador de 𝑡1 e 𝑡2.
Proposição 2.1.9. A categoria Trcon possui co-equalisador.
Demonstração. Dados dois morfismos de Trcon 𝑡1, 𝑡2 : L1 −→ L2, sejam F = {(𝑡1(𝑥), 𝑡2(𝑥)) : 𝑥 ∈ 𝐿1}, ∼ a menor relação de equivalência em L2 que contém F e L2∼ = (L/2∼,
C2∼) a lógica co-induzida por 𝑄2 e L2. Se h : L2 −→ E é tal que h ∘𝑡1 = h∘𝑡2, então
existe um único morfismo k de Trcon que comuta o diagrama:
L1 𝑡1 // 𝑡2 //L2 𝑄2 // ℎ "" L2∼ 𝑘 E Figura 3
Definimos k : L2∼ −→ E por k([𝑥]) = h(𝑥). Como, demonstrado na Proposição
2.1.6, 𝑄2 é uma tradução conservativa. Além disso, a função k está bem definida, pois,
dados [𝑦], [𝑧] ∈ L/2∼, se [𝑦] = [𝑧] e 𝑦 ̸= 𝑧, como 𝑦 ∼ 𝑧 e ∼ é a menor relação de equivalência
em L2 que contém F, (𝑦, 𝑧) ∈ F ou (𝑧, 𝑦) ∈ F. Se (𝑦, 𝑧) ∈ F, então existe 𝑥 ∈ 𝐿1 tal que 𝑡1(𝑥) = 𝑦 e 𝑡2(𝑥) = 𝑧. Como h(𝑡1(𝑥)) = h(𝑡2(𝑥)), então h(𝑦) = h(𝑧), e, portanto, k([𝑦]) =
k([𝑧]). Analogamente, se (𝑧, 𝑦) ∈ F, k([𝑧]) = k([𝑦]).
Visto que h é uma tradução, pela Proposição 1.6.17, k é uma tradução. Ade- mais, se [𝑦]∪[Y] ⊆ L/2∼ e k([𝑦]) ∈ C𝐸(k([Y])), então h(𝑦) ∈ C𝐸(k([Y])), como h e 𝑄2
são traduções conservativas, 𝑦 ∈ C2(Y) e [𝑦] ∈ C2∼([Y]). Portanto, k é uma tradução
conservativa.
Se existe k’ : L2∼ −→ E tal que k’∘𝑄2 = h = k∘𝑄2, como 𝑄2 é sobrejetiva,
possui inversa à direita e, daí, k’ = k.
Portanto, o par (L2∼, 𝑄2) é o co-equalisador de 𝑡1 e 𝑡2.
Proposição 2.1.10. Seja P a lógica produto de uma família de lógicas {L𝑖}i∈I, como
na Definição 1.6.25. As projeções 𝑝𝑖 : P −→ L𝑖 não são necessariamente traduções
conservativas.
Demonstração. Consideremos P = L1× L2, em que 𝐿1 = {𝑥1}, C1(∅) = {𝑥1}, C1({𝑥1})
= {𝑥1}, 𝐿2 = {𝑥2}, C2(∅) = ∅, C2({𝑥2}) = {𝑥2}, 𝐿1× 𝐿2 = {(𝑥1, 𝑥2)}, C𝑃(∅) = ∅ e
C𝑃({(𝑥1, 𝑥2)}) = {(𝑥1, 𝑥2)}.
Temos que se (𝑥1, 𝑥2) ∈ P, então 𝑝1((𝑥1, 𝑥2)) = 𝑥1 ∈ C1(∅), mas (𝑥1, 𝑥2) /∈
C𝑃(∅).
Logo, nem toda projeção é uma tradução conservativa.
Como nem toda projeção é um morfismo da categoria Trcon, não conseguimos obter a lógica produto de Trcon.
Proposição 2.1.11. Seja S o co-produto de uma família de lógicas {L𝑖}i∈I, como na
Definição 1.6.26. Cada inclusão 𝑞𝑖 : L𝑖 −→ S é uma tradução conservativa.
Demonstração. Sejam X∪{𝑥} ⊆ 𝐿𝑖 e 𝑞𝑖(𝑥) ∈ C𝑆(𝑞𝑖(X)), como, para todo 𝑦 ∈ 𝐿𝑗, 𝑞𝑗(𝑦) =
𝑦, então 𝑥 ∈ C𝑆(X). Visto que os 𝐿𝑖 são dois a dois disjuntos, temos C𝑆(X)∩𝐿𝑖 = C𝑖(X).
Daí, 𝑥 ∈ C𝑖(X). Da definição de S, 𝑞𝑖 é uma tradução. Portanto, cada inclusão 𝑞𝑖 : L𝑖
Proposição 2.1.12. A categoria Trcon possui co-produto.
Demonstração. Sejam {L𝑖 = (𝐿𝑖, C𝑖)}i∈I uma família de lógicas de forma que se i ̸= j,
então 𝐿𝑖∩ 𝐿𝑗 = ∅, podemos considerar esta condição sem perda de generalidade, e S =
∐︀
i∈I𝐿𝑖.
Pela Proposição 2.1.11, cada inclusão 𝑞𝑖 : L𝑖 −→ S é uma tradução conservativa.
Considere que (E, {𝑓𝑖}i∈I) é tal que E é um objeto de Trcon e os 𝑓𝑖 são
morfismos de Trcon, i ∈ I. Existe um único morfismo k de Trcon que comuta o diagrama abaixo. L𝑖 𝑞𝑖 𝑓𝑖 S 𝑘 //E Figura 4
Definimos k : S −→ E por k(𝑥) = 𝑓𝑖(𝑥). A função k está bem definida, pois se
𝑥 ∈ S, por definição, existe um único i ∈ I, tal que 𝑥 ∈ 𝐿𝑖 e 𝑓𝑖 é uma função. Dado 𝑥 ∈ 𝐿𝑖,
temos que 𝑞𝑖(𝑥) = 𝑥, logo, k∘𝑞𝑖(𝑥) = k(𝑞𝑖(𝑥)) = k(𝑥) = 𝑓𝑖(𝑥), daí, k comuta o diagrama.
Seja X um conjunto fechado de E. Como k∘𝑞𝑖 é uma tradução, então, pela
Proposição 1.6.15, (k∘𝑞𝑖)-1(X) = 𝑞𝑖-1(k-1(X)) é um fechado de L𝑖. Visto que C𝑆 é o operador
de consequência mais fraco de S que faz todas as inclusões traduções, temos que k-1(X) é
um fechado de S. Assim, pela Proposição 1.6.15, k é uma tradução.
Consideremos X∪{𝑥} ⊆ S e k(𝑥) ∈ C𝐸(k(X)). Desde que k(𝑥) = 𝑓𝑗(𝑥) ∈
C𝐸(k(X)), existe j ∈ I de forma que 𝑥 ∈ 𝐿𝑗. Como cada 𝑓𝑗 é uma tradução conservativa,
então 𝑥 ∈ C𝑗(𝑋𝑗) ⊆ C𝑗(X) ⊆ C𝑆(X). Logo, k é uma tradução conservativa.
Ademais, se k’ : S −→ E é tal que k’∘𝑞𝑖 = 𝑓𝑖 = k∘𝑞𝑖. Suponhamos, por absurdo,
que k(𝑥) ̸= k’(𝑥) para algum 𝑥 ∈ S, então k(𝑞𝑖(𝑥)) = 𝑓𝑖(𝑥) ̸= k’(𝑞𝑖(𝑥)) o que contraria 𝑓𝑖
= k’∘𝑞𝑖. Portanto, k é única.
Teorema 2.1.13. A categoria Trcon é co-completa.
Demonstração. Segue das Proposições 2.1.9 e 2.1.12.
Feitosa (1997) obteve também resultados de traduções conservativas entre sistemas lógicos. Seguem algumas propriedades que consideramos pertinentes para o nosso trabalho.
Teorema 2.1.14. Se existe uma tradução conservativa recursiva de um sistema lógico ℒ1 = (𝐿1, C1) em um sistema lógico decidível ℒ2 = (𝐿2, C2), então o sistema ℒ1 também é decidível.
Demonstração. Suponhamos que existe uma tradução conservativa recursiva t : ℒ1 −→ℒ2.
Seja 𝛼 ∈ For(ℒ1), como t é recursiva, podemos determinar t(𝛼). Pela decidibilidade de
ℒ2, podemos verificar se t(𝛼) é ou não um teorema. Se ⊢C2 t(𝛼), então ⊢C1 𝛼; se 0C2
t(𝛼), então 0C1 𝛼. Daí, temos um método de decisão paraℒ1.
Corolário 2.1.15. Não existe uma tradução conservativa recursiva da lógica de primeira
ordem no cálculo proposicional clássico (CPC).
Demonstração. Se existe uma tradução conservativa recursiva t da lógica de primeira
ordem no CPC, então, como o CPC é decidível, pelo Teorema 2.1.14, a lógica de primeira ordem é decidível, o que é uma contradição. Portanto, não existe uma tal tradução t.
Proposição 2.1.16. Se ℒ1 = (𝐿1, C1) é um sistema lógico com uma axiomática Ω e
existe uma tradução conservativa sobrejetiva t de ℒ1 num sistema lógico ℒ2, então t(Ω) é uma axiomática para ℒ2.
Demonstração. Consideremos uma tradução conservativa sobrejetiva t do sistema lógico
ℒ1 no sistema lógico ℒ2. Seja 𝛽 ∈ For(ℒ2), então, como t é sobrejetiva, existe 𝛼 ∈ For
(ℒ1) de forma que t(𝛼) = 𝛽. Caso ⊢C2 𝛽, como t é conservativa, ⊢C1 𝛼. Dada uma
axiomática Ω para ℒ1, segue que Ω ⊢C1 𝛼, como t é uma tradução, t(Ω) ⊢C2 𝛽. Caso 0C2
𝛽, como t é uma tradução, 0C1 𝛼. Dada uma axiomática Ω para ℒ1, segue que Ω 0C1 𝛼,
e, daí, t(Ω) 0C2 𝛽. Portanto, t(Ω) é uma axiomática para ℒ2.
Proposição 2.1.17. Sejam ℒ1 = (𝐿1, C1) e ℒ2 = (𝐿2, C2) dois sistemas lógicos. Se t :
ℒ1 −→ℒ2 é uma aplicação conservativa e ℒ1 é não trivial, então ℒ2 também não o é.
Demonstração. Como ℒ1 é um sistema não trivial, então existe 𝛼 ∈ For(ℒ1) tal que 𝛼 /
∈ C1(∅). De t ser uma aplicação conservativa, temos que t(𝛼) /∈ C2(∅), daí ℒ2 é não
trivial.
Proposição 2.1.18. Sejam ℒ1 = (𝐿1, C1) e ℒ2 = (𝐿2, C2) dois sistemas lógicos. Se t :
ℒ1 −→ℒ2 é uma aplicação conservativa sobrejetiva e ℒ2 é não trivial, então ℒ1 é não trivial.
Demonstração. Como ℒ2 é um sistema não trivial, então existe 𝛽 ∈ For(ℒ2) tal que 𝛽 /∈
Teo(ℒ2). Como ℒ2 é uma aplicação sobrejetiva, existe 𝛼 ∈ For(ℒ1) tal que t(𝛼) = 𝛽.
De t ser uma aplicação conservativa, 𝛼 /∈ Teo(ℒ1). Portanto, ℒ1 é não trivial.
Definição 2.1.3. Sejam 𝐿1 e 𝐿2 duas linguagens, 𝑝0, 𝑝1, . . . as fórmulas atômicas de 𝐿1.
Se 𝐿1 é uma linguagem contendo apenas conectivos unários e binários, então diz-se que * : 𝐿1 −→ 𝐿2 é uma função esquemática se existem esquemas de fórmulas 𝐴, 𝐵♯, 𝐶Ξ de 𝐿2
tais que:
(i) 𝑝* = 𝐴(𝑝), para cada fórmula atômica de 𝐿1
(ii) (♯𝐷)* = 𝐵♯(𝐷*), para cada conectivo unário ♯ de 𝐿1
(iii) (𝐷 Ξ 𝐸)* = 𝐶Ξ(𝐷*, 𝐸*), para cada conectivo binário Ξ de 𝐿1.
Uma tradução t entre sistemas lógicos é esquemática se ela é uma função esquemática.
Definição 2.1.4. Diz-se que uma função * : 𝐿1 −→ 𝐿2 é relativamente literal a um dado
conectivo unário ♯, ou binário Ξ, se é esquemática e temos que (♯𝐴)* = ♯𝐴*, ou (𝐴 Ξ 𝐵)* = 𝐴* Ξ 𝐵*.
Definição 2.1.5. Diz-se que uma função * : 𝐿1 −→ 𝐿2 é literal se é relativamente literal
para cada conectivo de 𝐿1.
Uma tradução t entre sistemas lógicos é literal se ela é uma função literal.
Proposição 2.1.19. Sejam ℒ1 e ℒ2 os sistemas lógicos construídos sobre linguagens
nas quais o símbolo de condicional ocorre como primitivo ou pode ser definido. Se t :
ℒ1 −→ℒ2 é uma tradução conservativa literal para o símbolo de condicional e ℒ2 admite um Teorema da Dedução, então ℒ1 também admite.
Demonstração. Considerando que t é uma tradução conservativa literal para o símbolo de
condicional e que ℒ2 admite um Teorema da Dedução, temos que se Γ∪{𝛼, 𝛽} ⊆ For(ℒ1),
então
Γ ⊢C1 𝛼 → 𝛽 ⇔ t(Γ) ⊢C2 t(𝛼 → 𝛽) ⇔ t(Γ) ⊢C2 t(𝛼) → t(𝛽) ⇔ t(Γ)∪t(𝛼) ⊢C2
Proposição 2.1.20. Sejam ℒ1 e ℒ2 os sistemas lógicos construídos sobre linguagens nas quais o símbolo de condicional ocorre como primitivo ou pode ser definido. Se t :
ℒ1 −→ℒ2 é uma tradução conservativa literal para o símbolo de condicional e ℒ1 admite um Teorema da Dedução, então a imagem de t, Im(t), também admite.
Demonstração. Considerando que t é uma tradução conservativa, ℒ1 admite um Teorema
da Dedução e t é literal para o símbolo de condicional, temos que se t(Γ)∪{t(𝛼), t(𝛽)} ⊆ t(For(ℒ1)), então: t(Γ) ∪ t(𝛼) ⊢C2 t(𝛽) ⇔ t(Γ∪{𝛼}) ⊢C2 t(𝛽) ⇔ Γ∪{𝛼} ⊢C1 𝛽 ⇔ Γ ⊢C1
𝛼 → 𝛽 ⇔ t(Γ) ⊢C2 t(𝛼 → 𝛽) ⇔ t(Γ) ⊢C2 t(𝛼) → t(𝛽).
O resultado acima nos dá condições para a preservação de Meta-Teoremas de Dedução no contexto de implicações dedutivas. Se a tradução t da proposição acima é sobrejetiva, então ℒ2 admite um Teorema da Dedução.
Na próxima seção damos algumas definições de Russo (2013) que estão estrei- tamente ligadas aos conceitos de tradução e tradução conservativa.