EQUIVALÊNCIA DE TAXA DE JUROS EFETIVA

Segundo o autor Wakamatsu (2012, p. 40), “duas taxas de juros são equivalentes quando, embora tenham valores nominais distintos e sejam baseadas em quantidades diversas de tempo, levam um capital aos mesmos valores”. É o que ocorre quando pensamos em uma taxa efetiva mensal e uma anual. Nós podemos estabelecer valores para as duas, de modo que ambas montem um capital igual, ainda que suas bases de referência temporal sejam diferentes.

Acompanhe o exemplo (SAMANEZ, 2010. p. 47): consideremos uma aplicação de R$1.000,00 pelo prazo de um ano. Se o capital for aplicado à taxa efetiva de 42,5761% a.a., ou à taxa efetiva de 3% a.m., o montante será o mesmo, dado que essas duas taxas são equivalentes. Veja:

TÓPICO 3 — MATEMÁTICA FINANCEIRA: JUROS COMPOSTOS

e

Constata-se que as taxas efetivas de 42,5761% a.a. e 3% a.m. são equivalentes, pois resultam no mesmo montante a partir do mesmo capital. Toda taxa de juros se encontra em determinado prazo. Entretanto, pode ser convertida para outro prazo qualquer sem alterar seu valor intrínseco, o que viabiliza o cálculo dos juros em operações e facilita comparações entre taxa de juros. Assim, considerando o ano comercial (360 dias), a seguinte identidade nos permite relacionar por equivalência algumas taxas efetivas:

em que i_a é a taxa efetiva de juros anual, i_s é a semestral, i_t é a trimestral, i_m é a mensal, e i_d é a diária.

Vejamos mais um exemplo de Samanez (2010, p. 50): um investigador dispõe das seguintes alternativas de investimento: aplicar à taxa nominal de 48% a.a., com capitalizações mensais, ou à taxa de 50% a.a., com capitalizações semestrais. Qual alternativa representa a melhor aplicação?

Temos em mãos dois valores nominais: 48% e 50%. Também dispomos dos k e m essenciais para os cálculos da taxa efetiva. O que precisamos saber é o i_a , ou mais precisamente o valor que incidirá anualmente em cada uma das aplicações.

É na comparação entre eles que vamos chegar a uma conclusão precisa. Agora, analisaremos as duas situações:

Com isso, podemos perceber que, a segunda aplicação, embora parta de

RESUMO DO TÓPICO 3

Neste tópico, você aprendeu que:

• Os juros compostos são popularmente conhecidos como juros sobre juros ou regime de juros sobre juros.

• O dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos que a juros simples.

• A juros compostos, o dinheiro cresce exponencialmente em progressão geométrica ao longo do tempo. Já no regime de juros simples, o montante cresce linearmente.

• A principal diferença entre juros simples e compostos ocorre quando a capitalização é inferior a 1. Nesse caso, os juros simples são maiores que os compostos.

• A busca pelo tempo da transação é, talvez, uma das aplicações mais úteis da matemática financeira.

• O princípio de equivalência de capitais é fundamental na resolução dos problemas de cálculo financeiro.

• Dois capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando, levados para uma mesma data a mesma taxa de juros, tiverem valores iguais.

• O cálculo de equivalência de capitais é muito útil para situações em que queremos antecipar ou adiar o pagamento de uma dívida.

• Duas taxas de juros são equivalentes quando, embora tenham valores nominais distintos e sejam baseadas em quantidades diversas de tempo, levam um capital aos mesmos valores.

QUADRO 4 – FÓRMULAS DO TÓPICO 3

Juros compostos F_n = P [1 + (i . 1)]ⁿ Valor presente a juros compostos P =

Período de capitalização

Taxa de juros

Taxa de juros efetiva

Valor futuro pelo sistema overnight

FONTE: A autora

1 Sabemos que os juros podem ser aplicados por mês, dia, ano ou qualquer outro prazo estabelecido. Com relação aos juros compostos, conteúdo estudado nesse tópico, responda às seguintes perguntas:

a) O que são juros compostos?

b) Qual a diferença essencial entre juros simples e juros compostos?

c) Quais são os parâmetros que fazem parte de uma operação de juros compostos?

d) Qual a diferença entre a equivalência de capitais a juros simples e a equivalência de capitais a juros compostos?

e) O que é taxa de juros efetiva?

f) O que são duas taxas de juros equivalentes?

2 Qual o tempo necessário para que um capital, aplicado a uma taxa efetiva de 3% a.m., duplique o seu valor?

a) ( ) 23,45 meses.

b) ( ) 25 meses.

c) ( ) 22,45 meses.

d) ( ) 12 meses.

3 João paga hoje R$1.535,89 por um empréstimo realizado há 8 meses. O regime de capitalização foi de juros compostos e a taxa, de 8% a.m. Quanto João pegou emprestado?

a) ( ) R$721,13.

b) ( ) R$829,79.

c) ( ) R$920,35.

d) ( ) R$825,24.

4 Você deseja aplicar um montante de R$3.000,00 para chegar a uma quantia de R$3.800,00. Se o seu planejamento é manter a aplicação por 6 meses, qual a taxa de juros que nos levará ao valor desejado?

a) ( ) 3% a.m.

b) ( ) 2% a.m.

c) ( ) 4% a.m.

d) ( ) 5% a.m.

AUTOATIVIDADE

TÓPICO 4 —

UNIDADE 1

SÉRIES DE PAGAMENTOS

1 INTRODUÇÃO

Acadêmico, para iniciar nosso estudo sobre séries de pagamentos, pense quantas vezes você já realizou uma compra a prazo. Pense também nas ocasiões em que apenas por meio de várias parcelas é que você conseguiu alcançar seu objetivo de consumo.

Conforme o autor Gimenes (2009, p. 93), no Brasil, a compra financiada, ou a prazo, é uma questão cultural e fortemente enraizada. O autor também destaca que, “em uma realidade na qual a taxa de juros é alta, a compra parcelada quase sempre tem juros embutidos e pode sair mais cara do que deveria para o consumidor”.

Sabemos que, ao pagar de maneira parcelada, ou você arca com os juros discriminados em cada uma das parcelas, que levam a um valor superior ao do produto à vista, ou você acaba se submetendo aos tais juros embutidos. Afinal, a empresa não pode correr o risco de perder dinheiro, certo? O estudo das séries uniformes de pagamento trata exatamente disso.

O termo uniforme, que dá nome a esse tópico, se refere ao fato de que nesse sistema, todas as variáveis têm o mesmo valor. É o popular “cinco parcelas de 100 reais”, (ou qualquer outro valor), que encontramos em vários lugares.

As séries uniformes de pagamento podem ser antecipadas ou postecipadas.

Na primeira, paga-se uma das parcelas logo no início da transação, ou seja, quando n = 0. Já nas postecipadas, o primeiro pagamento ocorre somente quando o primeiro ciclo temporal está concluído. Ou seja, “as séries postecipadas são aquelas em que os pagamentos ocorrem no final de cada período e não na origem;

por exemplo, pagamentos de fatura de cartão de crédito” (SAMANEZ, 2010, p.

91, grifo do autor). Já as nas séries antecipadas, “os pagamentos são feitos no início de cada período respectivo; por exemplo, financiamentos com pagamento à vista” (SAMANEZ, 2010, p. 91).

Costumamos ver esses dois tipos de série nas propagandas dos produtos vendidos de forma parcela, exemplo “0 + 5”, é um exemplo de pagamento

UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO À EDUCAÇÃO FINANCEIRA

Por sua vez, um sistema “1 + 4” prevê também cinco pagamentos, mas um deve ser feito no ato da compra. As duas sistemáticas geram métodos diferentes para os cálculos dos parâmetros.

2 VALOR PRESENTE

Acadêmico, neste subtópico, aprenderemos como calcular o valor presente para séries postecipadas, e, em seguida, o valor presente para séries antecipadas.

2.1 VALOR PRESENTE PARA SÉRIES POSTECIPADAS

O cálculo do valor presente nas séries uniformes postecipadas tem como ponto de partida a fórmula básica dos juros compostos: F_n= P [1 + (i . 1)]ⁿ. Essa fórmula nos dá, por extensão, que:

Agora temos que pensar que, em uma série de pagamentos, cada uma das parcelas pode ser interpretada como um valor futuro em relação à origem.

Isso significa que nós podemos reproduzir essa conta, mas devemos substituir os F_n que variam em cada uma das parcelas, por R (um valor idêntico em todas as rodadas temporais). Assim, o desenvolvimento de uma série uniforme de pagamentos postecipadas, tendo como referência o valor presente, poderia ser expresso da seguinte maneira, para uma operação com N unidades de tempo:

Acadêmico, perceba que o somatório entre colchetes representa a soma dos termos de uma progressão geométrica (PG) finita. Com isso, chegamos a uma nova e definitiva fórmula para o cálculo do valor presente de uma série uniforme postecipada de pagamentos:

Agora, para compreendermos melhor o que acabamos de aprender, acompanharemos o exemplo a seguir, de Samanez (2010, p. 93):