TÓPICO 4 — SÉRIES DE PAGAMENTOS
2.2 VALOR PRESENTE PARA SÉRIES ANTECIPADAS
Acadêmico, veremos como calcular o valor presente para séries antecipadas, ou seja, aquelas em que o primeiro pagamento é feito logo no ato da contratação. A fórmula para o cálculo do valor Presente para séries antecipadas é dada por:
Perceba que, comparando com a fórmula do valor presente para séries postecipadas, o que mudou foi o R para R(1 + i). Isso acontece porque não incidem juros sobre o primeiro pagamento, por isso temos uma parcela limpa. Novamente,
UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO À EDUCAÇÃO FINANCEIRA
Exemplo: você deseja comprar um carro em 1 + 11 prestações mensais de R$1.599,00 cada. Os juros são de 3,9% a.m. Qual o valor do carro à vista?
Substituindo os dados do problema na fórmula, temos:
Ou seja, você pagará pelo carro à vista R$15.682,84.
3 VALOR FUTURO
O método para o cálculo do valor futuro deriva da fórmula clássica dos juros compostos e das duas fórmulas que você acabou de estudar. Para séries postecipadas, temos que:
Já para séries antecipadas:
A seguir, veremos dois exemplos, um para o cálculo do valor futuro para séries postecipadas, e um para séries antecipadas.
Exemplo 1 (série postecipada): a que valor chegaríamos, após 15 meses, se investirmos R$350,00 no fim de cada mês em uma aplicação com juros de 5%
a.m.? Temos que R = 350, i = 0,05 e n = 15. Substituindo na fórmula:
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Ou seja, chegaríamos a R$7.552,50 com essa aplicação.
Exemplo 2 (série antecipada): qual o valor de uma aplicação, com depósitos feitos no início de cada mês, se o valor mensal é de R$50,00, os juros são de 0,78%a.m. e o prazo é de 60 meses? Temos que R = 50, i = 0,0078 e n = 60.
Substituindo na fórmula:
Ou seja, o valor para a aplicação é de R$3.836,75.
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Ao ver esses cálculos complexos para a descoberta do valor futuro, você talvez esteja pensando: se as parcelas são todas iguais, não seria suficiente multiplicarmos o valor da parcela pelo número de pagamentos? Esse raciocínio até faz sentido, mas é incorreto, porque desconsidera a capitalização sofrida pelas parcelas. No instante 2, a primeira parcela já não vale mais o seu valor nominal, e sim esse valor acrescido dos juros (WAKAMATSU, 2012, p. 52).
NOTA
4 VALOR DAS PARCELAS
Acadêmico, a seguir, veremos as duas fórmulas para o cálculo do valor das parcelas, para série postecipada e para série antecipada. Em seguida, veremos dois exemplos práticos. É importante destacar que, o que queremos descobrir agora é o R da fórmula. Para séries postecipadas, temos que:
Já para séries antecipadas:
A seguir, veremos dois exemplos, um para o cálculo do valor das parcelas para série postecipada, e uma para série antecipada:
Exemplo 1 (série postecipada): vamos supor que você deseja adquirir uma televisão cujo valor à vista é de R$1.500,00. Você deseja fazê-lo em dez vezes mensais, com juros de 5% a.m. Qual o valor das parcelas, sendo que a primeira parcela vence 30 dias após a compra? Temos que P = 1.500, n = 10 e i = 0,05.
Substituindo os dados na fórmula:
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Ou seja, o valor das parcelas é de R$194,25.
Exemplo 2 (série antecipada): vamos supor que você deseja adquirir um jogo de mesa de R$600,00 por meio de uma entrada mais 17 pagamentos mensais.
Sob a taxa de juros de 3% a.m., qual o valor das parcelas? Temos que P = 600, n = 18 e i = 0,03. Substituindo os dados na fórmula:
Ou seja, o valor das parcelas é de R$40,66.
5 TAXA DE JUROS
A detecção da taxa de juros, embora derivada de um raciocínio de simples elaboração, demanda um cálculo um pouco mais complexo do que as que temos feito habitualmente. Isso se deve ao fato de que a equação que temos que é esta,
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Para resolver o problema, teríamos que solucionar uma equação que contém polinômios de grau n. Para isso, precisamos utilizar o método da interpolação linear, que nos fornece uma boa estimativa da taxa de juros. Veja o exemplo de Samanez (2010, p. 118):
Exemplo 1: calcular a taxa de juros mensal efetiva à qual foi tomado um financiamento de R$300.00,00 que será liquidado em 18 prestações mensais de R$37.758,88. Temos que P = 300.000,00, n = 18, R = 37.758,88. Queremos descobrir o i. O ponto de partida é descobrir o fator de valor Presente das séries uniformes.
A relação entre o fator de valor presente e a taxa de juros é exponencial.
Logo, o gráfico da função entre as duas variáveis terá um formato de curva, porém, em algumas ocasiões, essa curva se assemelha a uma reta. É pensando assim que conseguimos fazer uma aproximação (WAKAMATSU, 2012).
É importante destacar que o i correto é o que nos dá o fator com valor 7,94515. Nesse caso, o que podemos fazer é estimar valores para i que nos levem a números próximos dele. Devemos recorrer a tabela dos fatores de valor presente e então veremos que o é 8,20141 e é 7,70162. Com isso, deduzimos que a taxa que buscamos está entre 10% a.m. e 11% a.m.
Veja a tabela dos fatores de valor presente acessando: http://aulasdematematica.
com.br/documentos/aulasdematematica.com.br-vp_serie_uniforme.pdf.
DICAS
Agora, observe o próximo gráfico e repare como podemos fazer a seguinte relação de proporcionalidade de triângulos:
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GRÁFICO 3 – CURVA DE TAXA DE JUROS
FONTE: Samanez (2010, p. 118)
Existem outros métodos que também nos dão um valor aproximado, porém, o da interpolação linear é o mais confiável, inclusive é o que os softwares utilizam em cálculos desse tipo.
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6 QUANTIDADE DE PAGAMENTOS
Acadêmico, podemos também calcular o número de parcelas na operação.
Pense por exemplo que você saiba a dívida que tem, saiba o total que vai poder contribuir mensalmente, e conheça a taxa de juros. Nesse caso, basta determinar o número de pagamentos para resolver a situação. Mais uma vez, teremos que fazer a divisão entre as séries postecipadas e antecipadas.
Para séries postecipadas, temos que:
Já para séries antecipadas, temos:
Acompanhe os exemplos do autor Gimenes (2009):
Exemplo 1 (séries postecipadas): em quantas prestações mensais de R$125,00 será pago um eletrodoméstico que custa R$2.500,00 se a taxa contratada for de 2% a.m.? Temos que R = 125, P = 2500 e i = 0,02. Substituindo os dados na fórmula:
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Perceba que o valor que encontramos é um valor fracionado. Nesses casos, o que ocorre é o pagamento integral de todas as parcelas inteiras e mais um montante proporcional ao restante do valor. Para calcular esse valor, devemos considerar que essa quantia, mais o montante de todas as outras pagas, leva ao valor total da operação.
Exemplo 2 (séries antecipadas): você pretende acumular R$800.000,00 em alguns anos, para ter uma aposentadoria tranquila. Para tanto, você pode aplicar R$1.700,00 ao término de cada mês em fundo de renda fixa que paga 1% de juros ao mês. Quantos depósitos você precisa para chegar até os R$800.000,00? Temos que Fn = 800.000, R = 1700 e i = 0,01. Substituindo os dados na fórmula:
Ou seja, seriam necessários 175,02 depósitos de R$1.700,00 remunerados a 1% ao mês para acumular R$800.000,00. Isso representa aproximadamente 14 anos e meio de poupança.
7 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Acadêmico, para iniciar nosso estudo sobre sistemas de amortização, pense em uma dívida que será paga pelo sistema parcelado. Pense também que todas as parcelas em questão são compostas por dois elementos: os juros que incidem na operação e uma contribuição efetiva para a redução do débito.
Chamamos de amortização o segmento de uma parcela que corresponde
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o mesmo valor, A e J são inversamente proporcionais. À medida que um é mais decisivo para a composição da parcela, o outro deixa de sê-lo. A é menor quando o pagamento está nos seus primeiros instantes. Os juros no instante n podem ser calculados pela fórmula: Jn = SDn-1 xi. O termo SDn-1 traduz o saldo devedor no instante imediatamente anterior ao do pagamento em questão (WAKAMATSU, 2012).
Para compreender melhor essa ideia, acompanhe o exemplo a seguir de Gimenes (2009, p. 182):
Exemplo: um imóvel de R$100.000,00 foi financiado para você a 2% ao mês, durante 120 meses. Tal financiamento, pelo sistema de pagamentos uniformes, gerou uma parcela fixa de R$2.204,81. Quanto foi pago de juros e quanto foi amortizado na primeira parcela?
Temos que:
Os juros devem ser calculados primeiro para que a amortização seja encontrada. Note que o mês em análise é o primeiro e o juros devem incidir sobre o saldo devedor original no instante zero.
Agora, uma simples substituição pode ser realizada. Veja:
Acadêmico, o que acabou de ser demonstrado foi o seguinte: um financiamento de R$100.000,00 gerou 120 parcelas de R$2.204,81. Se você tivesse pagado apenas uma parcela, seu saldo devedor para a quitação imediata seria de R$100.000,00 menos a amortização de R$204,81, já que os juros pagos foram de R$2.000,00. Ficou surpreso? É isso mesmo acadêmico: você pagou R$2.204,81 e ainda deve R$99.795,19.
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