Parte 1: Comparação entre os conceitos de média e mediana

(135) A2: Aqui no meio, qual é o valor? (apontando para os valores 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 15 que correspondem às idades dos alunos que responderam ao questionário da pesquisa) (136) A5: É o 14. Entre o 15 e o 13 tem o 14 (escrevendo na folha de registro os números 13, 14 e 15)

(137) A2: Mas eu acho que é a média! [...] Prof. o valor do meio e a média, é a mesma coisa? (138) Pesq: São duas perguntas, tá vendo?, observa na folha da atividade, o que está pedindo? (apontando para a folha de atividades e sua ordem – Figura 6)

(139) A2: Uma pede para achar o valor do meio, e a outra a média, certo? (140) Pesq: Isso.

(141) A5: Sim, prof., mas o do meio não é a média? Assim ó, o que está entre o 13 e o 15 é o 14, tem o 15 que é o máximo, o 13 que é o mínimo e o 14 que é o meio.

Como o foco dessa atividade era encontrar as medidas de tendência central, estruturei a atividade na expectativa de que o grupo de alunos percebesse a existência de diferentes tipos de dados e de medidas, determinando qual a mais apropriada para cada conjunto de dados, conforme direciona a “Figura 5 – Como são os alunos da minha turma?”. Como a discussão se deu em torno das medidas da média e da mediana, estruturei o diálogo na tentativa de fazê-los perceber a diferença entre calcular a média e o valor do meio desse conjunto de dados.

A discussão inicial do grupo deu-se com base no significado que já lhes era conhecido: a média. Ao surgir o primeiro questionamento sobre a existência de outra medida de tendência central, o aluno A2 questionou se o valor do meio e a média eram a mesma coisa. Chamei a atenção para a folha de atividade, para que os alunos atentassem aos questionamentos que estavam sendo feitos, percebendo a existência de duas perguntas diferentes na folha de atividades: a primeira, que solicitava o valor do meio; e a segunda, o cálculo da média. No mesmo momento, o aluno A5 questiona se o valor do meio não seria o mesmo que a média, já que, se for desconsiderada a quantidade de vezes que cada dado aparece para este caso, a afirmação seria válida, como indica o Episódio 1 – Parte 2: “Reconhecendo as características do conceito de mediana”, que ocorreu na sequência do Episódio 1 – Parte 1.

Episódio 1 – Parte 2: Reconhecendo as características do conceito de mediana (142) Pesq: Se você colocar todos os valores em ordem, A5, considerando quantas vezes cada

um aparece, é o 14 que está no meio?

(143) A5: Eu acho que sim,(apresentando um conflito entre o que já conhecia média e a outra discussão proposta, a mediana)

(144) Pesq: Temos que prestar atenção para não esquecer a quantidade de vezes que cada um aparece, não é? Isso é importante para determinarmos o perfil?

(145) A2: Sim. Mas então, prof. se fosse tipo, outros números 9, 3, 8, 2, 3, 2, 5, 7 e 6, quem está no meio?

(146) A5: Vai descontando, o nove e o dois, o oito e o três (observe os dados demonstrando dúvidas), ah agora não tá tão fácil. (Dirigindo-se à professora) Do meio do três e do nove não tem.

(147) Pesq: Então vamos organizar em ordem e verificar o que acontece.

(148) A2: Ordem como, dos que têm? (...) Tipo, o 3 e o 2, que têm duas vezes bota duas vezes, ou só uma?

(149) Pesq: Quantas vezes ele apareceu?

(15 0) A5: Duas, então têm que pôr duas, (...) 9, 8, 7, 6, 5, 3, 3, 2, 2. (151) Pesqª: E aí, A5, consegue me falar que valor está no meio? (152) A5: Agora não, prof.

(153) A2: Se fosse dos números, daria o 6 e o 5, mas tem os dois que se repetem daí desconta prof.? (Considerando neste caso que deveriam ser usados os valores de 9 a 2 em ordem decrescente)

(154) Pesqª: Descontar como?

(155) A2: Dois desse lado. (Apontando para a extremidade do rol na qual aparecia o número 9) (156) Pesqª: E aí vocês terão o valor do meio?

(157) A2: Então deve ser assim, desconta um para um, (apontando para ambas as extremidades) o que sobrar será o do meio, vai descontando até sobrar só um.

(158) Pesqª: Qual?

(159) A5: Se for pra descontar, sobra o cinco.

(160) Pesqª: Muito bem. Então vamos retomar, o que é que foi feito aqui? Como foi organizado para encontrarmos o valor do meio dos valores que temos?

(161) A2: Colocamos os números na ordem. Depois foi descontando das pontas até sobrar o

do meio.

Nos turnos 142 e 147, direcionei a atividade a partir de questionamentos, oferecendo-lhes duas importantes informações sobre as propriedades da mediana de um conjunto de dados: a necessidade de se considerar todos os dados e de organizá-los em ordem.

Não há como definirmos, pelo episódio, os modos de pensar dos alunos, mas temos indícios, neste caso em que os alunos estavam trazendo o significado de média para o entendimento de medida de tendência central, já que até então esses conheciam apenas o significado de média.

A situação apresenta uma importante distinção, que deve ser apontada quanto aos conhecimentos matemáticos se considerarmos a negociação de sentidos e significados. Ao matemático cabe o papel de desvincular cada vez mais as representações matemáticas das outras linguagens, desvinculando os conhecimentos de situações empíricas. Já o professor deve (re)contextualizá-los, criando situações que possibilitem que o aluno abstraia, generalize e assim conceitue possibilitando que o

aluno formule modos de pensar tanto no contexto da matemática escolar como em situações diferentes desta.

Retomando os episódios, pode-se supor que, em atividades de investigação estatística como a apresentada, busquei (re)contextualizar o conceito de mediana, trazendo à tona questionamentos os quais solicitam que os alunos encontrem o valor do meio. Neste caso, mesmo que o contexto fique em segundo plano no momento da discussão, este, possibilita o envolvimento dos alunos para que passem a investigar e perceber propriedades importantes da mediana, buscando níveis superiores de generalidade conforme o andamento da atividade dirigida pelas intervenções dos alunos e do professor.

No Episódio 1 - Parte 2, no turno 156, o aluno A2 aponta a possibilidade de que deveria descontar um para um, e conclui, após uma resposta afirmativa da pesquisadora, que, para determinar a mediana, seria necessário colocar os números em ordem e em seguida, descontar das pontas até sobrar do meio (turno 160), demonstrando estar indo em direção a níveis superiores de abstração do objeto matemático em questão, desvinculando-a gradativamente do contexto atribuído, situação que será melhor debatida no item 4.1.2.

Mas o fato de características importantes da mediana terem sido por mim apontadas, bem como tê-los auxiliado a encontrar o valor do meio do conjunto de dados proposto pelo aluno A2 e, posteriormente, o valor do meio das idades, os fez atribuir sentidos ao valor do meio, negociando seu significado, ou seja, pela interação com seus pares durante a investigação os alunos foram se aproximando da generalização do conceito de mediana; Significado

é uma unidade indecomponível de ambos os processos e não podemos dizer que ele seja um fenômeno da linguagem ou o fenômeno do pensamento. A palavra desprovida de significado não é palavra, é um som vazio. Logo, o significado é um traço constitutivo indispensável da palavra. É a própria palavra vista no seu aspecto interior. (...) o significado da palavra não é senão um generalização ou conceito. Generalização e significado da palavra são sinônimos. (VIGOTSKI, 2001, p. 398)

Assim, o significado é, portanto, o conceito atribuído a palavra, e permanece estável em todas as mudanças de sentido da palavra, no caso do episódio o significado de mediana é foco da discussão, porém sendo suscitada na discussão a expressão “valor do meio das idades” desperta diferentes sentidos constitutivos das formas de pensar dos alunos em relação ao signo. Dessa forma sentido e significado se relacionam, porém o sentido

É sempre uma formação dinâmica, fluida, complexa, que tem várias zonas de estabilidade variada. O significado é apenas uma dessas zonas do sentido que a palavra adquire no contexto de algum discurso e, ademais, uma zona mais estável, uniforme e exata. Como se sabe, em contextos diferentes a palavra muda facilmente de sentido. (VIGOTSKI, 2001, p.465)

No episódio, os alunos trazem á tona os sentidos atribuídos, porém sem significá-lo a ponto de desvinculá-lo do conceito de média, tanto que, após terem encontrado corretamente esses valores, voltaram a questionar se este era a da média. Como identificamos no episódio quando, ao registrarem o conceito de mediana para um conjunto de números pares, os alunos se deparam com a necessidade de calcular a média dos dois valores do meio, o fato de ter surgido a necessidade de utilizar-se do cálculo da média para encontrar o valor do meio os fez retomar o questionamento anterior sobre a equivalência entre média e mediana, já que novamente estavam desconsiderando o número de vezes que cada dado aparecia.

Episódio 1 – Parte 3: Retomando a comparação entre média e mediana.

(261) A1 – Então tá gente! Deu 13, isso é a média? (Referindo-se ao número 13 como média de todo o conjunto de dez dados que representavam a idade).

(262) A5 – Desses sim, é a média (Referindo-se aos valores 13 e 13). (263) A1 – Não de tudo.

(264) A5 – De tudo não!

(265) A1 – Prof. esse 13 é a média?(Dirigindo-se a pesquisadora que estava em outro grupo). (266) Pesq. – Sim, é a média dos dois valores do meio, como conversamos antes, não é? (267) A1 – Não, prof., a média de tudo?

(268) Pesq. – O que vocês acham? Foram usados todos os valores para isso? (269) A1 – Sim, pra ordem, mas não na divisão.

(270) Pesq. – E como vocês me falaram antes que se calcula a média? (271) A1 – Soma tudo e divide por todos.

(272) Pesq.. - Então acho que agora vocês podem calcular a média, aí a gente vê se é o mesmo valor, pode ser?

(273) A1 – Sim, 13 X 8 + 14 +15 (utilizando a calculadora e falando em voz alta o que fazia), depois divide por 10 (risos ...) É deu 13, 3. Espera, vou fazer de novo. 13 X 8, pode, não é prof,. são oito que têm 13, dá pra fazer assim ( Pesquisadora balança a cabeça afirmativamente e o aluno continua) é deu 13, 3.

O valor do meio de um conjunto de dados é conhecido, na estatística, como uma medida de tendência central, que são aquelas que representam, por meio de um valor único ou central, um conjunto de representações que podem variar. Juntamente com a mediana, as medidas mais utilizadas são média e moda.

O conceito de mediana pode ser generalizado como o valor situado no meio de uma fila ordenada de valores, em ordem crescente, havendo, assim, uma relação entre a ordem dos valores e a quantidade de vezes que cada valor aparece. Evidentemente que a mediana, representando o valor que está no meio, significa dizer que 50 % dos dados

são iguais ou maiores a este e, da mesma forma, os outros 50 % têm valor igual ou menor que este. No caso de um número ímpar de valores ordenados, a mediana é o valor que está no meio, mas, no caso de um número par de valores ordenados, a mediana terá que ser calculada fazendo-se a média entre os dois valores centrais.

O Episódio 1 apresenta, em três diferentes momentos, a utilização da palavra média, cujo significado já é conhecido pelos alunos, para possibilitar a construção do significado de mediana, conceito este que foi adquirindo diferentes sentidos no processo de investigação quando considerados os diferentes contextos aos quais o valor do meio vinha sendo atribuído como palavra generalizante.

O processo de investigação, descrito nos episódios, apresenta indícios de negociação entre os sentidos atribuídos pelos alunos e os significados constituídos historicamente com o desenvolvimento do conhecimento matemático, como podemos observar no Episódio 1 – Parte 3, nos turnos 262 e 264, em que o aluno A5, em sua fala dá indícios da compreensão da necessidade de considerar todos os valores para o cálculo da mediana, ao afirmar que o número 13 (turno 262) é a média dos dois valores considerados (13 e 13) e não de todos os valores (turno 264). Logo cabe retomar que anteriormente, no turno 141 do Episódio 1 Parte 1 –, o próprio aluno A5 calculou a mediana como sendo a média entre os valores 13, 14 e 15, desconsiderando quantas vezes cada dado aparece. A comparação das falas do aluno A5 dá indícios de que para este aluno houve evolução na compreensão do significado de mediana, esta que se deu a partir da negociação das conjecturas levantadas com a pesquisadora e seus colegas, evoluindo a partir dos sentidos atribuídos à negociação do significado.

Compreende-se, assim, que o sentido atribuído a uma palavra depende da forma com que esta está sendo empregada, ou seja, considerando o contexto. Já o significado é estável, generalizado e instituído, ou seja, compartilhado por diferentes pessoas. Moysés, baseado nas concepções vigotskianas, afirma que,

[...] ao assimilar o significado de uma palavra o homem está dominando a experiência social. No entanto, essa depende da individualidade de cada um. É essa individualidade que faz com que uma mesma palavra conserve, ao mesmo tempo, um significado – desenvolvido historicamente – compartilhado por diferentes pessoas e um sentido todo próprio e pessoal de cada um (2001, p. 39).

Os episódios transcritos apresentam indícios, nos diálogos com que o grupo estava a lidar com diferentes sentidos atribuídos por seus conhecimentos prévios, o fato de já conhecerem o conceito de média os fez considerar que entre os valores 13, 14 e

15, tanto o valor do meio, quanto o da média era 14. E, de fato, se desconsiderarmos a quantidade de vezes que cada dado aparece, isso é verdadeiro.

Desde a elaboração dos questionários, os alunos mostraram conhecer esse significado. Como podemos identificar na afirmação do aluno A5, no segundo encontro, ao elaborar estratégias para determinar o perfil do aluno característico da turma.

Episódio 2 – Parte 1: Recorrendo aos significados atribuídos (74) A2 - Vamos fazer um perfil do grupo.

(75) A5 - Deve ser assim, tira as medidas e depois faz a média (risos e falas não identificadas). (76) A6 - Como se fosse somar eu A7 e o A2 e faz uma média dividindo por 3.

O mesmo ocorre no turno 405 (Episódio 1 – Parte 3) pelo aluno A1. As falas sugerem que o significado de média parece estar claro e, portanto, a discussão desse significado não se deu em nenhum momento da atividade de investigação, mas se fez presente na negociação do significado de mediana. Naturalmente que, ao utilizar-se de significados prévios já estabelecidos, surgiram conflitos que puderam ser desmistificados com vistas a diferentes contextos. A utilização do mesmo conceito em diferentes contextos possibilitou que o grupo percebesse propriedades inerentes ao conceito de mediana, para que sua elaboração pudesse ser efetivada através dos diferentes sentidos produzidos pelos alunos, permitindo a negociação de significados.

Para Oliveira (2004, p.50), “o sentido refere-se ao significado da palavra para cada indivíduo, composto por relações que dizem respeito ao contexto do uso da palavra e às vivências afetivas do indivíduo”. Ao tratar de situações de ensino e aprendizagem, as diferenças entre sentido e significado precisam ser consideradas pelo professor, pois, para Vigotski (2001), estas relações podem contribuir para a significação do saber matemático já que é pelos significados que a relação do indivíduo com o mundo são possibilitadas.

Para Pais (2006, p. 132) ao deparar-se com problemas nos quais é valorizada a interlocução entre o conceito, aspectos teóricos e sua resolução, estamos proporcionando ao aluno oportunidades que lhe possibilitam aproximar o sentido do significado do conhecimento, já que o sentido irá emergir da intersubjetividade do aluno e o significado atribuído estará sendo o objetivo a ser atingido, sem estabelecer uma ruptura entre estes, propiciando ao aluno uma melhor compreensão de conceitos e, consequentemente, a aprendizagem.

Com vistas ao cenário investigativo representado aqui pelos Episódios 1 e 2, pode-se sugerir que na, situação em questão, apesar de terem havido alguns direcionamentos no processo de investigação, os alunos tiveram a possibilidade de evidenciar os sentidos construídos subjetivamente durante a atividade, deixando de lado um resultado a ser encontrado mediante a ênfase no processo de negociação desenvolvido a partir de discussões que permitiram a negociação entre sentidos e significados estabelecidos.

Podemos caracterizar esse momento de negociação entre sentidos e significados estabelecidos pelos alunos e mediados pela pesquisadora como o ato de aprender matemática, possibilitado pela realização de tarefas matemáticas abertas que possibilitem a interação entre os sujeitos. A qual, juntamente com a discussão sobre conceitos e propriedades relativos ao conhecimento matemático possibilitam a aprendizagem matemática. A dinâmica pela qual se articulou a construção do significado de mediana se deu através do processo de negociação de propriedades matemáticas envolvidas. A negociação e o refutamento das estratégias levantadas deram-se pela linguagem, a interlocução entre a professora e os alunos pertencentes ao grupo possibilitou que diferentes estratégias fossem por vezes testadas, por outras refutadas, mas sempre discutidas e justificadas através da linguagem.

A mediação da aprendizagem por meio de signos (linguagem oral e escrita) é tratada por Vigotski (1989). O autor considera que a relação do adulto com a palavra envolve diferentes graus de generalidade em relação à criança. Para tanto, compete ao adulto (ou pessoa mais capaz) a tarefa de mediar os processos psicológicos e o desenvolvimento da aprendizagem.

Pino (2000), com base em Vigotski (1984 e 1985), define mediação como sendo “[...] toda intervenção de um terceiro “elemento” (material ou simbólico) que possibilite a interação entre o “termos” de uma relação.” (Ibidem, p.38). Destaca ainda a existência de dois tipos de mediadores externos: signo e instrumento, sendo o signo de caráter simbólico e foco de analise desta pesquisa. Para Pino (2000) os signos são orientados para regular as ações sobre o psiquismo das pessoas, a linguagem (fala) tem papel fundamental na mediação, considerando os diferentes graus de generalidade.

Considerar os diferentes graus de generalidade podem influenciar de forma significativa a aprendizagem. Segundo Pais (2006 p. 61-62), ensinar matemática, através da memorização de regras, modelos e repetição de fórmulas, sem a real compreensão do aluno, não parece uma estratégia eficiente, e, sim, a realização de

articulações entre representações, linguagens e conhecimentos, propondo atividades que ampliem a interatividade entre os alunos. O ato de ensinar matemática, especificamente nesta perspectiva, vai além de ensinar técnicas e conceitos prontos, mas está relacionado à capacidade de interpretação, análise e síntese estabelecendo na e pela negociação, a partir da linguagem, pois cenários de investigação estatística como esses podem vir a possibilitar diferentes formas para que a matemática venha a ser ensinada e aprendida.

Assim, o compartilhar dos sentidos é fundamental para que haja a apropriação dos significados nas relações interpessoais, que só é possível pela comunicação estabelecida pela linguagem.

A linguagem permite a interação, que ocorre de forma bastante evidente em cenários de investigação estatística. A interação, por sua vez, garante a negociação e a produção de significados para as palavras, que passam a integrar um sistema simbólico, tornando-se signos representando níveis superiores de generalidade e de sistematização. Retomando a vivência empírica, após terem calculado a mediana da idade dos alunos que responderam ao questionário, instiguei os alunos para que registrassem as estratégias utilizadas para efetuar esse cálculo. Na mesma atividade, questionei aos alunos sobre como utilizariam esse cálculo para qualquer que fosse a quantidade de dados pertencentes a um conjunto. A estratégia utilizada por eles foi a de testar o procedimento já utilizado anteriormente para obter a mediana de diferentes conjuntos de dados que variavam de 1 a 13, dados cada conjunto.

Ao socializar os resultados obtidos para cada conjunto de dados, os alunos perceberam que havia uma regularidade quanto aos conjuntos de dados que tivessem um número par e aqueles que tivessem um número impar de dados, como mostra a discussão abaixo:

Episódio 1 – Parte 4: Definindo o significado de mediana a partir de suas