Professor: Adhimar Flávio Oliveira
29 de Setembro de 2014
Conteúdo
1 Atividades 1
2 Giroscópios e precessão 1
3 Condições de equilíbrio 5
4 Centro de gravidade 5
5 Exercícios 6
6 Questões 7
1
Atividades
1. Estude o texto abaixo
2. Resolver os exercícios e questões apresentados nas seções 5 e 6 deste texto.
3. Postar na ferramenta Portfólio em Portfólios Individuais aos exercícios e questões pedidos no item 3, compartilhando apenas com os Forma-dores. Não esqueça de associar a atividade a avalição da Semana.
Em caso de dúvidas utilize a ferramenta Correio ou o Fórum Dúvidas e Su-gestões.
2
Giroscópios e precessão
Figura 1:
Lembrando que a velocidade angular, momento angular e torque são grandezas vetoriais.
[1◦Caso:] O volante não está girando (Figura 2). Inicialmente não existe
rotação e
~
Li= 0 (1)
A variação d~Lem um intervalo de tempo curto dt é
d~L
dt =~τ (2)
d~L=~τdt (3)
O aumento crescente do momento angular horizontal significa que o gi-roscópio gira para baixo com velocidade crescente, até atingir o suporte. [2◦
Caso:] O volante está inicialmente girando
~
Li6= 0 (4)
~τ =~r×P~ (5) Isso faz com que a direção do eixo varie, mas não o seu módulo. As variações ded~Locorrem sempre no plano xy horizontal de modo que o vetor momento angular e o eixo do volante que com ele se move estão sempre em um plano horizontal. O eixo não cai, ele sofre precessão.
Inicialmente o giroscópio possui momento angular L~. Depois de dt, o momento angular éL~ +d~L(Figura 3), sendo
d~L=~τdt (6)
dφ= |d~L|
|L|~ (7)
A taxa com a qual o eixo se move,dφ/dt, denomina-se velocidade angular de presseção escalar Ω
Ω = dφ
dt = |d~L|
|~L|
dt =
τz
Lz = pr
Iω (8)
em que p é módulo da força peso.
Figura 3:
X~
F = 0, (9)
P
Fx= 0, PFy = 0 ePFz = 0.
A segunda condinção de equilíbrio é
X
~τ = 0 (10)
4
Centro de gravidade
O centro de massa (CM) é definido como
~rCM =
m1~r1+m2~r2+...+mi~ri
m1+m2+...+mi =
P imi~ri P
imi
(11)
Para uma partícula que possui massamie peso~pi =mi~g. O vetor torque é
~τi =~ri×~pi=~ri×mi~g (12)
Fazendo M =m1+m2+...+mi, o torque total é
~τ = m1~r1+m2~r2+...+mi~ri
m1+m2+...+mi
×M~g =
P imi~ri P
imi
×M~g (13)
~τ =~rCM ×M~g =~rCM ×p~ (14)
O torque gravitaciona total é obtido como se o peso ~pestivesse atuando no ponto dado pelo vetor posição ~rCM do centro de massa, que também chamamos de centro de gravidade.
Se ~g possui um valor constante em todos os pontos de um corpo, seu centro de gravidade coincide com seu centro de massa.
Exemplo 1: Uma prancha uniforme (Figura 4), volumosa, de compri-mento L=6,0 m e massa M=90 kg repousa sobre dois cavaletes separados por uma distância D=1,5 m, localizada em pontos equidistantes do centro de gravidade da prancha. Seu primo Tobias tenta ficar em pé na extremidade direita da prancha. Qual deve ser a massa de Tobias para que a prancha permaneça em repouso?
Figura 4:
Figura 5:
onde p é o peso total. A base de roda é a distância entre o eixo dianteiro das rodas e o eixo traseiro (Figura 5). Qual é a distância entre o eixo traseiro e o centro de gravidade do carro?
5
Exercícios
1. Certo giroscópio realiza precessão a uma taxa de 0,50 rad/s quando usado na Terra. Se fosse levado para uma base lunar, onde a aceleração da gravidade é 0,165 g, qual seria a sua taxa de precessão?
modo que a prancha se equilibre horizontalmente sobre o sustentáculo colocado abaixo do seu ponto médio?
6
Questões
1. Sente-se numa cadeira rígida, retilínea, e encoste-se no encosto da ca-deira. Tente levantar-se sem jogar o tronco para frente e sem apoiar-se em alguma coisa. Por que você não consegue? Explique detalhada-mente sua resposta.
