Entrecruzamento teórico-metodológico entre registros de representação e teoria da objetivação

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UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL

DEPARTAMENTO DE HUMANIDADES E EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO STRICTO SENSU EM EDUCAÇÃO NAS CIÊNCIAS – MESTRADO E DOUTORADO

DEISE PEDROSO MAGGIO

ENTRECRUZAMENTO TEÓRICO-METODOLÓGICO ENTRE REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO E TEORIA DA OBJETIVAÇÃO

Ijuí 2018

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DEISE PEDROSO MAGGIO

ENTRECRUZAMENTO TEÓRICO-METODOLÓGICO ENTRE REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO E TEORIA DA OBJETIVAÇÃO

Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação Scricto Sensu em Educação nas Ciências da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, como requisito parcial para a obtenção do título de Doutora em Educação nas Ciências. Linha de pesquisa: Currículo e formação de professores

Área de concentração: Matemática

Orientadora: Prof.ª Dr.ª Cátia Maria Nehring

Ijuí 2018

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M193e

Maggio, Deise Pedroso.

Entrecruzamento teórico-metodológico entre registros de representação e teoria da objetivação / Deise Pedroso Maggio. – Ijuí, 2018.

127 f. : il. ; 30 cm.

Tese (doutorado) – Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (Campus Ijuí). Educação nas Ciências.

“Orientadora: Cátia Maria Nehring”

1. Pesquisa em sala de aula. 2. Conhecimento algébrico. 3. Critério cognitivo de reconhecimento. 4. Trabalho Conjunto. 5. Argumentação. I. Nehring, Cátia Maria. II. Título.

CDU: 37.012

Catalogação na Publicação

Eunice Passos Flores Schwaste CRB10/2276

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AGRADECIMENTOS

À professora orientadora da pesquisa, Cátia Maria Nehring, pelas orientações certamente competentes desde o período do Mestrado, pela confiança, pelo reconhecimento de meu traballho e pelas indagações necessárias para a atualização de saberes.

Aos professores Isabel Koltermann Battisti, Maria Simone Vione Schwengber, Pedro Augusto Pereira Borges e Vanessa Dias Moretti, pelas contribuições obviamente consistentes e imprescindíveis, durante a Banca de Qualificação, para o desenvolvimento desta tese.

Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Educação nas Ciências da UNIJUÍ pela intelectualidade inspiradora e seriedade com que tratam a Educação.

Aos colegas do Grupo de Estudos em Educação Matemática (GEEM) pelas discussões que me orientaram teórico-metodologicamente e acirraram minhas reflexões.

A todos que conheci durante este período de doutoramento, que de um modo ou de outro compartilharam momentos de incerteza próprios de uma pesquisa científica e suas vivências, os quais me constituiram como sujeito.

Aos acadêmicos do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal do Pampa (UNIPAMPA) que participaram do estudo exploratório e possibilitaram afirmar a hipótese desta tese.

À UNIPAMPA, pela concessão de afastamento para a realização das atividades de doutoramento.

À minha família, meus pais, minha irmã e ao meu esposo, pelo incentivo constante aos estudos, pela escuta inscansável e paciência admirável.

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“Imaginação é mais importante que conhecimento. Conhecimento é limitado, a imaginação cerca o mundo.”

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RESUMO

A presente pesquisa está inserida em um contexto educacional, de pesquisa em ensino e sala de aula, que carece de metodologias de pesquisa científica de produção e de análise de dados adequados a pesquisas que têm por objeto de estudo a sala de aula - a exemplo de aulas de álgebra. Tem-se por problemática: a argumentação no processo de ensino-aprendizagem de álgebra na Educação Superior. Por questão de pesquisa: como explicar a progressão do pensamento algébrico, em meio a um trabalho conjunto em situação de aula? Para tanto, formulou-se o seguinte objetivo geral: estabelecer um referencial teórico-metodológico para pesquisas em ensino e sala de aula. Tendo em mente esse objetivo, esta pesquisa é de natureza qualitativa, teórica e explicativa, de modo que não pretende testar uma hipótese, comprová-la ou refutá-la, mas sim compreender a seguinte hipótese: a aprendizagem de conceitos algébricos em um espaço de sala de aula assenta-se sobre o discurso nos planos individual e coletivo, e este discurso explicita-se por meio da produção de argumentos em um contexto de trabalho conjunto entre professor e estudante e entre estudante e estudante. A produção de dados deu-se por meio de um Estado da Arte e de um entrecruzamento teórico-metodológico entre duas teorias semióticas: uma de natureza semio-cognitiva - teoria dos Registros de Representação Semiótica -, e outra de natureza semio-cultural - Teoria da Objetivação. Os procedimentos de análise seguiram os movimentos recursivos da Análise Textual Discursiva: unitarização, categorização e metatextos. As categorias de análise são reconhecimento e trabalho conjunto, e a unidade de análise é conhecimento algébrico. Pode-se inferir que as transformações de conversão e tratamento não são suficientes para explicar a aprendizagem em álgebra, uma vez que, de um ponto de vista didático-metodológico, o tempo de reação ou de resposta do sujeito não importa, como no teste de reconhecimento de funções afins de Duval (1988a), e sim a tomada de consciência em meio a um trabalho conjunto entre professor e estudante de substituições semióticas concernentes à operação de designação. Processos argumentativos, tais como generalizações, desencadeiam a necessidade dessa prática algébrica pautada em substituições semióticas. Esta pesquisa não pretendeu testar ou comprovar hipóteses, mas explicar um dado fenômeno intrínseco ao espaço de sala de aula, portanto pesquisas futuras podem testar a hipótese deduzida levando em consideração duas categorias de análise: transformações e substituições semióticas, e trabalho conjunto.

Palavras-chave: Pesquisa em Sala de Aula; Conhecimento Algébrico; Critério Cognitivo de Reconhecimento; Trabalho Conjunto; Argumentação.

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ABSTRACT

The present research is inserted in an educational context, of research in teaching and classroom, that lacks methodologies of scientific research of production and analysis of data appropriate to researches that have for object of study the classroom - the example of Algebra classes. The research problem is: the argumentation in the teaching-learning process of algebra in Higher Education. The research question is the following: How to explain the progression of algebraic thinking, in the midst of a joint work in the classroom situation? The general objective is to establish: to establish a theoretical-methodological reference for research in teaching and classroom. With these objectives in mind, this is a qualitative, theoretical, explicative research, and it is not either intended to test a hypothesis, or prove it or refute it; rather, it aims to understand the following hypothesis: learning algebraic concepts in a classroom setting is grounded on discourse at both individual and collective levels, and this discourse becomes explicit by means of arguments in the context of conjoint work between teacher and students, and between student and student. Data were produced based on a State of the Art and a theoretical-methodological intersection between two semiotic theories: one of semio-cognitive nature - the Semiotic Representation Registers theory - and the other of semio-cultural nature - Theory of Objectification. Analysis procedures followed the recursive movements of Textual Discourse Analysis: unitarization, categorization and metatexts. The analysis categories are recognition and conjoint work, and the analysis unit is algebraic knowledge. It is possible to infer that the transformations of conversion and treatment are not enough to explain algebra learning, since, from a methodological-didactical point of view, the subject’s reaction or response time does not matter, as in Duval’s (1988a) test of recognition of related functions; rather, the important thing is awareness in a conjoint work between teacher and student, and semiotic replacements regarding the designation operation. Argumentative processes, such as generalizations, trigger the need for this algebraic practice based on semiotic replacements. This research was not intended to test or prove hypotheses, but to explain a given phenomenon intrinsic to classroom space, so future research can test the hypothesis deduced taking into account two categories of analysis: transformations and semiotic substitutions, and joint work.

Keywords: Classroom research; Algebraic Knowledge; Cognitive Recognition Criterion; Conjoint Work; Argumentation.

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LISTA DE SIGLAS

ATD - Análise Textual Discursiva EMP - Educação Matemática e Pesquisa

GEEM - Grupo de Estudos em Educação Matemática NDE - Núcleo Docente Estruturante do Curso

PPC - Projeto Pedagógico do Curso PPG – Programa de Pós-Graduação RD - Repositórios Digitais Brasileiros RDT - Repositórios Digitais Temáticos

REVEMAT - Revista Eletrônica de Educação Matemática RRS - Registros de Representação Semiótica

SSSC - Sistemas Semióticos de Significação Cultural TCC - Trabalho de Conclusão de Curso

TEF - Teoria Elementar das Funções TO - Teoria da Objetivação

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LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Unidades simbólicas da equação ... 19

Quadro 2 - Características visuais de representação no plano cartesiano ... 20

Quadro 3 - Unidades visuais para a reta no plano cartesiano ... 20

Quadro 4 - Correspondência entre as unidades de sentido ... 20

Quadro 5 - Unidade visual da parábola cuja expressão é ... 27

Quadro 6 - Unidades simbólicas e visuais da curva base cuja expressão é ... 29

Quadro 7 - Unidades simbólicas e visuais das senoides em geral ... 30

Quadro 9 - Unidades simbólicas e visuais das cossenoides em geral ... 32

Quadro 11 - Unidades simbólicas e visuais de outras exponenciais ... 33

Quadro 13 - Unidades simbólicas e visuais de outras logarítmicas ... 34

Quadro 14 - Características dos raciocínios matemáticos ... 53

Quadro 15 - Distinções entre os discursos em língua natural e língua formal ... 58

Quadro 16 - Pesquisas que mencionam e/ou adotam as funções discursivas da língua ... 68

Quadro 17 - Situações problema propostas aos alunos da Educação Básica e da Educação Superior ... 69

Quadro 18 - Sequência de questões sobre funções contextualizadas pela criptografia ... 71

Quadro 19 - Objetivos das questões contextualizadas pela criptografia ... 75

Quadro 20 - Quatro tipos de operações de substituição semiótica mobilizadas em álgebra ... 77

Quadro 21 - Índices de aprovação, reprovação e evasão dos acadêmicos em Teoria Elementar das Funções ... 83

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Teste de reconhecimento com retas no plano cartesiano ... 17

Figura 2 - Identificação e integração de 18 representações de variáveis visuais da reta ... 21

Figura 3 - Hipótese fundamental de aprendizagem: estrutura do funcionamento cognitivo em Matemática em função da conceitualização ... 22

Figura 4 - Translações da parábola ... 25

Figura 5 - Translações da reta... 27

Figura 6 - Estrutura da representação de curvas em função da conceitualização ... 29

Figura 7 - Atividade abordada em Encontro de Monitoria ... 84

Figura 8 - Processo de Categorização Misto ... 88

Figura 9 - Atividade em sala de aula como trabalho conjunto ... 91

Figura 10 - Os estudantes e a professora discutem a estratégia para encontrar o número de fichas de bingo na semana 10 ... 93

Figura 11 - Resolução de uma equação linear ... 95

Figura 12 - Relações entre Sistemas Semióticos Culturais de Significação, Artefatos e Atividades ... 98

Figura 13 - Novas formas de representação do conhecimento, a partir do surgimento da imprensa ... 101

Figura 14: Tarefas introdutórias ao simbolismo algébrico ... 116

Figura 15: Estrutura e implementação da atividade ... 116

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SUMÁRIO

CONSIDERAÇÕES INICIAIS ... 14

1 PROBLEMATIZAÇÃO DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO: DELIMITAÇÃO E DEFINIÇÃO DA QUESTÃO DE PESQUISA... ... 16

1.1 Abordagem Experimental e Modelo Cognitivo do Funcionamento do Pensamento Matemático de Raymond Duval ... 16

1.2 Pesquisas Relacionadas ... 23

1.2.1 Translação e Correspondência entre as Unidades de Sentido ... 24

1.2.2 Simetria aliada à Translação e Correspondência entre as Unidades de Sentido ... 28

1.2.3 Discussões ... 35

1.3 Práticas de Pesquisa e Ensino da Autora sob a ótica dos Registros de Representação Semiótica ... 41

1.4 Além das Transformações de Conversão e Tratamento ... 53

1.4.1 Argumentação em Matemática segundo Raymond Duval ... 53

1.4.2 Funções Discursivas da Língua ... 60

1.4.3 Pesquisas Relacionadas ... 68

1.4.4 Operação Discursiva de Designação em Álgebra... 76

1.5 Definição do problema, da hipótese, da questão e dos objetivos de pesquisa ... 79

2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS DA PESQUISA ... 82

2.1 Natureza da Pesquisa ... 82

2.2 Contexto da Pesquisa ... 83

2.1.1 Estudo Exploratório: Encontros de Monitoria ... 83

2.2.2 Procedimentos de Produção de Dados... 86

2.2.3 Procedimentos de Análise de Dados ... 86

3 TEORIA DA OBJETIVAÇÃO: CONTRIBUIÇÕES TEÓRICO-METODOLÓGICAS PARA O PROCESSO DE ENSINO ... 89

3.1 Trabalho Conjunto: Unidade metodológica de análise da TO ... 90

3.2 Saber e Conhecimento: Uma relação dialética ... 94

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3.3.1 Pensamento Algébrico ... 98 3.4 Aprendizagem como Processo de Objetivação ... 102 3.5 Sala de Aula: Um espaço de produção de saberes e sujeitos não alienados ... 105

4 DISCUSSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS: PERSPECTIVAS TEÓRICO-METODOLÓGICAS E DIDÁTICO-TEÓRICO-METODOLÓGICAS ... 110

REFERÊNCIAS ... 120

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CONSIDERAÇÕES INICIAIS

A presente pesquisa está inserida na linha de pesquisa Currículo e Formação de Professores, do PPG em Educação nas Ciências da Unijuí e Formação do Professor de Matemática - Inicial e Continuada do GEEM, liderado pela orientadora deste trabalho. Tem por temática a cognição e argumentação em Educação Algébrica e, por problemática, a argumentação no processo de ensino-aprendizagem1_{de álgebra na Educação Superior.}

Registro é adotado nesta pesquisa nos termos da teoria de RRS. A teoria de RRS aborda a aprendizagem em Matemática cognitivamente. É uma teoria semiótico-cognitiva que discute o papel dos signos/registros de representação semiótica2_{: sistemas de escritas} (numérica, algébrica e simbólica/língua formal), gráficos cartesianos, figuras geométricas e língua natural na aprendizagem de conceitos matemáticos. A aprendizagem, no paradigma desta teoria, ocorre desde que haja a mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação do mesmo conceito e está atrelada ao reconhecimento de regras de correspondência semiótica entre dois registros de representação, e não aos conceitos matemáticos em questão.

Esta pesquisa é uma continuação de reflexões que vêm sendo efetuadas ao longo de minha trajetória acadêmica, científica e docente em Matemática/Educação Matemática, fundamentada no referencial teórico-metodológico de RRS. Minhas primeiras produções acadêmico-científicas tiveram a aprendizagem em álgebra por principal objeto de estudo e protocolos de estudantes por fonte de produção de dados. Assim, constataram-se resultados similares aos de outras pesquisas, a saber: dificuldades apresentadas por estudantes diante de transformações de conversão, etc.

Já no Mestrado em Educação nas Ciências, o ensino planejado e vivenciado em sala de aula por um professor que conhecia/dominava/utilizava RRS passou a ser o foco de atenção, e, além das transformações de conversão e tratamento, outro conceito da teoria foi adotado: o conceito de variação redacional de conteúdos cognitivos. Constatou-se um “desgaste pedagógico” (MAGGIO; NEHRING, 2011), de modo que, na condução das transformações de conversão e tratamento, perguntas recorrentes e referencialmente equivalentes eram “devolvidas aos estudantes” (BROUSSEAU, 2008) para encaminhá-los a pensar. Em minha

1_{Utilizarei como palavra composta porque, nesta tese, concebo ensino e aprendizagem como uma única} atividade, e não como duas atividades isoladas, tal como concebidas na Teoria da Objetivação (Capítulo 3). 2_{A partir deste momento, usarei a expressão registros de representação para referir-se a sistemas semióticos.}

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prática docente, esta problemática do emprego do registro da língua natural no ensino-aprendizagem persistia.

A partir de um Estado da Arte, localizaram-se duas pesquisas que utilizam as operações cognitivas discursivas da língua, a saber: Brandt, Moretti e Bassoi (2014) e Mossi (2016). Ambas analisam discursos em álgebra de estudantes da Educação Básica e Superior. Na primeira pesquisa, é sugerido que interações entre professores e estudantes e entre estudantes e estudantes sejam levadas em consideração nas investigações que enfocam a teoria de RRS. A segunda pesquisa – que, aliás, toma Brandt, Moretti e Bassoi (2014) como referencial teórico – abrange a formulação de conjecturas, de generalizações e de justificativas por estudantes.

Este contexto acarreta a seguinte conjectura: transformações de conversão e tratamento, assim como operações cognitivas discursivas, são necessárias, mas não são suficientes para explicitar indícios de apreensão conceitual em contexto de sala de aula. Este espaço demanda incessantemente interações entre professor e estudante e entre estudante e estudante, sendo indispensável o emprego da língua natural. Não basta o professor dominar formas de designação de um conteúdo; é necessário que o estudante também as utilize/domine/aprenda. Conforme D’Amore (2005), a teoria de RRS deve ser investigada segundo as novidades das observações, sendo que o autor desta teoria não observou uma classe durante semanas, mas buscou entender o funcionamento do cérebro de estudantes.

A TO aborda a aprendizagem em Matemática como um processo social e coletivo em sala de aula. É uma teoria semiótico-cultural que discute o papel não só da linguagem, mas de gestos e contextos histórico-culturais no desenvolvimento do pensamento algébrico. A aprendizagem, no paradigma desta teoria, ocorre em meio a um trabalho conjunto entre professor e estudante e estudante e estudante, pois é por meio do trabalho conjunto que se analisa a objetivação do conhecimento em sala de aula. Portanto, na TO, a aprendizagem não é concebida como o resultado de atos individuais, mas como um processo cultural-histórico.

A hipótese fundamental desta tese pressupõe que: o ensino-aprendizagem de conceitos algébricos em um espaço de sala de aula assenta-se sobre o discurso nos planos individual e coletivo, e este discurso explicita-se por meio da produção de argumentos em um contexto de trabalho conjunto entre professor e estudante e entre estudante e estudante.

A presente investigação tem por questão de pesquisa: como explicar a progressão do pensamento algébrico em meio a um trabalho conjunto em situação de aula? Tem por objetivo geral estabelecer um referencial teórico-metodológico para pesquisas em ensino e sala de aula.

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A presente pesquisa, então, é estruturada em quatro capítulos.

No Capítulo 1, são apresentados a abordagem experimental de Raymond Duval – autor da teoria de RRS – e o modelo cognitivo do funcionamento do pensamento matemático desencadeado por esta abordagem. Na sequência, são destacadas duas pesquisas que transformaram o seu teste de reconhecimento em objeto de ensino. Após, são apresentadas discussões acerca do modo como a epistemologia da aprendizagem cognitiva é concebida por este teórico, tendo como parâmetro os pressupostos da Didática da Matemática. A seguir, práticas de pesquisa e de ensino da autora deste trabalho, em termos de RRS, são retomadas. Logo, são apresentados conceitos estruturantes da teoria de RRS acerca da argumentação e do raciocínio argumentativo; as funções discursivas da língua materna e linguagem matemática; e a centralidade da operação cognitiva de designação em álgebra.

No Capítulo 2, é apresentada a natureza da pesquisa que é de cunho teórico e explicativo. O contexto de produção de dados, por sua vez, constituído por um procedimento de revisão de literatura: Estado da Arte e pelo entrecruzamento teórico entre duas teorias semióticas: uma de natureza semio-cognitiva - RRS -, e outra de natureza semio-cultural - TO. E os procedimentos de análise conforme os movimentos recursivos da ATD.

No Capítulo 3, são apresentados conceitos-chave da TO: trabalho conjunto, saber e conhecimento, pensamento e pensamento algébrico, aprendizagem e objetivação, e sala de aula como um espaço de objetivação de conhecimento/tomada de consciência. O conceito de trabalho conjunto é a unidade metodológica de análise da TO, assim como o critério cognitivo de reconhecimento é na teoria de RRS.

No capítulo 4, apresenta-se o entrecruzamento teórico-metodológico entre dois conceitos-chave: reconhecimento e trabalho conjunto. Inicialmente, observa-se o teste de reconhecimento de Duval (1988a) a partir da TO, isto é, por meio de sua unidade de análise metodológica denominada de trabalho conjunto. Posteriormente, observa-se algumas tarefas de padrão, por meio dos RRS, ou seja, a partir da operação discursiva de designação. Tendo em vista, categorias de análise para as pesquisas em ensino e sala de aula.

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1 PROBLEMATIZAÇÃO DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO: DELIMITAÇÃO E DEFINIÇÃO DA QUESTÃO DE PESQUISA

O presente capítulo é constituído por cinco seções.

Na primeira seção, são apresentados o princípio experimental e o teste de reconhecimento de funções afins de Duval (1988a), bem como o seu modelo cognitivo do funcionamento do pensamento matemático.

Na segunda seção, são apontadas as pesquisas de Moretti (2003) e Silva (2008), que transformaram o teste cognitivo de reconhecimento em objeto de ensino, tendo em vista o ensino de outras funções. Além disso, discutem-se o teste de reconhecimento e as duas abordagens voltadas para o ensino, a partir das ideias de especialistas em Didática da Matemática, como Bruno D’Amore (2005) e Pais (2011).

Na terceira seção, são descritas as principais produções científicas e práticas de ensino da autora desta pesquisa – fundamentadas nos pressupostos teórico-metodológicos de Raymond Duval, em especial, nas transformações de conversão e tratamento. Tais produções e práticas foram realizadas no decorrer da formação inicial e contínua, bem como na atuação docente em Educação Superior. Além de descrições, são realizadas reflexões analíticas sobre esses estudos e práticas.

Na quarta seção, são apresentados conceitos estruturantes da teoria de RRS em termos de argumentação e raciocínio argumentativo; as funções discursivas da língua materna e linguagem matemática; e a operação cognitiva discursiva de designação como sendo essencial à aprendizagem em álgebra.

Na quinta e última seção, as práticas de ensino e de pesquisa da autora são retomadas, tendo em vista a relação entre ensino e pesquisa e a teoria de RRS, de modo a investigar a hipótese desta tese, que diz que práticas argumentativas são centrais no processo de ensino-aprendizagem de álgebra.

1.1 Abordagem Experimental e Modelo Cognitivo do Funcionamento do Pensamento Matemático de Raymond Duval

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Duval (1988a) construiu um teste de reconhecimento e o propôs a estudantes franceses do ensino básico ou do seconde3_{. Tal teste, apresentado abaixo, é composto por um conjunto de} atividades de reconhecimento.

Figura 1 - Teste de reconhecimento com retas no plano cartesiano

Fonte: Duval (1988a, p. 105)

Duval (1988a) organizou esse teste porque se preocupou em “[...] ilustrar [...] a natureza das dificuldades encontradas pela maioria dos alunos” (DUVAL, 1988a, p. 104), visto que “muitos estudos apontam dificuldades de leitura e de interpretação das representações gráficas cartesianas” (DUVAL, 1988a, p. 97). Ele cita algumas dificuldades: “[...] a ligação entre o conceito de inclinação e direção da reta no plano não é em geral efetuada” (HERSCOVICS, 1980 apud DUVAL, 1988a, p. 97); “[...] a confusão entre inclinação e altura parece ser frequente” (CLEMENT, 1985 apud DUVAL, 1988a, p. 97); “[...] impossibilidade de encontrar a equação de uma reta partindo de sua representação gráfica, até para os casos mais elementares” (DUVAL, 1988a, p. 97); “[...] para o caso das retas, a articulação entre o registro das representações gráficas e das equações parece não se estabelecer mesmo depois que os alunos tenham tido aulas sobre funções afins” (DUVAL, 1988a, p. 97).

3_{Seconde corresponde ao 10º ano de escolaridade no ensino básico francês e ao 1º ano do Ensino Médio no} ensino básico brasileiro, conforme nota do tradutor do artigo de Duval (1988a).

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Duval (1988a) explica que tais dificuldades não têm relação com os conceitos ligados à função afim, mas com a falta de conhecimento das regras de correspondência entre o registro gráfico e a sua expressão algébrica correspondente, ou seja:

A razão profunda dessas dificuldades não se deve procurar nos conceitos matemáticos ligados à função afim, mas na falta de conhecimento das regras de correspondência semiótica entre o registro da representação gráfica e o registro da expressão algébrica (DUVAL, 1988a, p. 97).

Duval (1988a) afirma que o ensino privilegia a “[...] passagem da equação para a sua representação gráfica com a construção ponto a ponto, esquece-se que é a passagem inversa que traz problema” (DUVAL, 1988a, p. 97). Para realizar a passagem do gráfico para a sua equação correspondente, “[...] a abordagem ponto a ponto não é somente inadequada como constitui um obstáculo [...]” (DUVAL, 1988a, p. 97). Essa passagem, segundo ele, exige outro tipo de tratamento gráfico, que ele denomina de “interpretação global de propriedades figurais”.

Assim, Duval (1988a, p. 98) distingue três abordagens possíveis para a representação gráfica, ou três tipos de tratamentos gráficos, “[...] que não levam em conta os mesmos dados visuais do gráfico”: “abordagem ponto a ponto”, “abordagem de extensão do traçado efetuado” e “abordagem de interpretação global de propriedades figurais”.

O tratamento pautado no procedimento ponto a ponto consiste em identificar um ponto a partir de um par de números ou vice-versa (DUVAL, 1988a). “Este modo associativo limita-se a alguns valores particulares e aos pontos marcados no plano referencial” (DUVAL, 1988a, p. 98), isto é, essa abordagem atém-se a “[...] um conjunto finito de pontos marcados [...] ou à associação um ponto - um par ordenado” (DUVAL, 1988a, p. 98-99).

O tratamento pautado no procedimento de extensão do traçado “[...] se apoia em um conjunto infinito de pontos potenciais, quer dizer, no fundo homogêneo da folha, nos intervalos entre pontos marcados” (DUVAL, 1988a, p. 98-99), e “[...] se mantém orientado na busca de valores particulares sem se ocupar com a forma da expressão algébrica” (DUVAL, 1988a, p. 99). Dessa forma, mesmo se apoiando em um conjunto infinito de pontos, essa abordagem não relaciona os dados visuais do gráfico com a sua expressão algébrica correspondente.

O tratamento pautado na interpretação global de propriedades figurais leva em conta a relação entre a modificação do traçado do gráfico e simultaneamente a alteração na sua expressão algébrica correspondente (DUVAL, 1988a). Assim, “toda modificação desta imagem (traçado do gráfico), que leva a uma modificação na expressão algébrica

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correspondente, determina uma variável visual pertinente para a interpretação gráfica” (DUVAL, 1988a, p. 99), o que implica “[...] identificar todas as modificações pertinentes possíveis desta imagem, quer dizer, ver as modificações conjuntas da imagem e da expressão algébrica [...]” (DUVAL, 1988a, p. 99). Esta abordagem consiste na associação “[...] variável visual de representação – unidade significativa da expressão algébrica” (DUVAL, 1988a, p. 99).

O teste organizado por Duval (1988a) foi fundamentado no procedimento de interpretação global de propriedades figurais, que, por sua vez, exige a discriminação de todas as variáveis visuais. Este teste foi adaptado do estudo de Herscovics (1980 apud DUVAL, 1988a), que abordou a construção de significações para as equações lineares, e do teste de gráficos de Hart (1981 apud DUVAL, 1988a). Cabe destacar:

A questão do teste não é significativa uma vez que não exige alguma discriminação entre retas cujos valores possíveis das variáveis visuais são comuns, exceto uma, e também porque não propõe de modo simultâneo uma escolha entre várias expressões algébricas próximas: sem a discriminação de todas as variáveis visuais e das variações na expressão algébrica correspondente, não se pode falar apropriadamente de reconhecimento de uma reta e sua equação (DUVAL, 1988a, p. 104).

Para Duval (1988a), o reconhecimento de uma reta e sua equação correspondente só é possível a partir da discriminação das variáveis visuais e suas variações na expressão algébrica correspondente.

Duval (1988a) discriminou as unidades simbólicas da expressão algébrica e, a partir de Bertin (1977 apud DUVAL, 1988a), discriminou as variáveis visuais do gráfico e especificou outras. Além disso, utilizou um princípio experimental que consiste em isolar cada variável visual e observar as variações correspondentes no segundo registro. O princípio experimental, desse modo, consiste em “[...] mudar uma variável visual mantendo as duas outras constantes e ver as modificações que acontecem na expressão” (DUVAL, 1988a, p. 103).

As seguintes unidades simbólicas foram determinadas por Duval (1988a), como se nota no Quadro 1, abaixo, organizado com base em Duval (1988a).

Quadro 1 -Unidades simbólicas da equação Unidades simbólicas

Símbolos relacionais <, >, =,...

Símbolos de operações ou de sinais +, –

Símbolos de variável x, y...

Símbolos de expoente, coeficiente e de constante. 1, 2, .. Fonte: Duval (1988a, p. 100).

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Para determinar as variáveis visuais, Duval (1988a) partiu de variáveis visuais gerais, como se pode notar no Quadro 2, abaixo.

Quadro 2 - Características visuais de representação no plano cartesiano

Variáveis visuais gerais Valores Unidades simbólicas correspondentes

- implantação da tarefa (o que se destaca

como figura sobre o fundo) - linha - zona >, < =

- forma da tarefa (a linha traçada delimita ou

não uma zona aberta ou fechada) - linha curva - linha reta expoente da variável = 1 expoente da variável > 1 Fonte: Duval (1988a, p. 103, grifos do autor)

Além disso, para determinar as variáveis visuais, Duval (1988a) partiu de três variáveis visuais relativas, associadas aos seus respectivos valores visuais, como se observa no Quadro 3, abaixo.

Quadro 3 - Unidades visuais para a reta no plano cartesiano

Variáveis visuais Valores das variáveis visuais

- o sentido da inclinação do traçado: - a linha sobe da esquerda para a direita;

- a linha desce da esquerda para a direita;

- os ângulos do traçado com os eixos: - o ângulo formado com o eixo horizontal é menor

que o ângulo formado com o eixo vertical; - o ângulo formado com o eixo horizontal é maior

que o ângulo formado com o eixo vertical; - a posição do traçado em relação à origem do eixo

vertical: - o traçado passa abaixo da origem; - o traçado passa acima da origem; - o traçado passa pela origem. Fonte: Duval (1988a, p. 101, grifos do autor).

Após, Duval (1988a) apresenta a relação entre as variáveis visuais e as unidades simbólicas discriminadas por ele.

Quadro 4 - Correspondência entre as unidades de sentido

Variáveis visuais Valores Unidades simbólicas correspondentes

Sentido da inclinação ascendente coeficiente > 0 ausência de sinal

descendente coeficiente < 0 presença de sinal

Ângulo com os eixos partição simétrica coefic. Variável = 1 não há coefic. escrito

ângulo menor coefic. Variável < 1 há coefic. escrito

ângulo maior coefic. Variável > 1 há coefic. escrito

Posição sobre o eixo corta acima acresc. constante sinal +

corta abaixo subtrai-se constante sinal -

corta na origem sem correção aditiva ausência de sinal

Fonte: Duval (1988a, p. 101, grifos do autor).

Duval (1988a) apresenta 18 variações para o caso das retas não paralelas ao eixo x, associando-as às suas equações correspondentes de grau um, como se nota na Figura 2, abaixo.

(22)

Figura 2 - Identificação e integração de 18 representações de variáveis visuais da reta

Fonte: Duval (1988a, p. 102).

Com base nesse entendimento, isto é, na correspondência entre os valores de tais variáveis e as unidades simbólicas, Duval (1988a) organizou o teste de reconhecimento supracitado. Cabe salientar que tal correspondência se configura em “[...] um meio importante de compreensão dos erros observados” (DUVAL, 1988a, p. 104).

Duval (1988a) constatou que, dos 165 alunos franceses que realizaram o teste, “[...] somente 1/4 dos alunos distinguem y = x + 2 e y = 2x e menos de um aluno em cada cinco acertaram os cinco itens” (DUVAL, 1988a, p. 106). Além disso, “[...] o resultado mais espetacular é que os 165 alunos [...] mesmo tendo passado por esta prova, somente 99 (60%) deles viam uma diferença de sentido na inclinação da reta associada à diferença entre y = x e y = –x” (DUVAL, 1988a, p. 106).

No que se refere à inclinação da reta, segundo Duval (1988a), o sentido da inclinação da reta no plano cartesiano não é congruente com o seu coeficiente na expressão algébrica correspondente. Para o autor, a inclinação requer a mobilização de duas unidades simbólicas distintas, a saber: sinal e coeficiente. Em suas palavras:

O conceito de inclinação, algebricamente traduzido pelo coeficiente, recobre duas unidades significativas diferentes: uma definida em relação ao sinal e a outra em relação ao inteiro 1. Estas duas unidades significativas correspondem a duas variáveis diferentes, respectivamente, o sentido da inclinação e ao ângulo. Não há congruência entre a direção da reta no plano cartesiano e o coeficiente que determina esta direção na expressão algébrica, uma vez que para qualquer valor do coeficiente dado (2, 1/2, –2, etc.) é necessário destacar duas propriedades distintas relativamente ao 0 e ao 1 (DUVAL, 1988a, p. 101-102).

No teste, foi utilizado o critério cognitivo de compreensão em Matemática, a saber: reconhecimento. De acordo com Duval (2012), a pesquisa realizada em 1988a comportou a sua primeira análise em função desse critério e acrescenta outras explicações a respeito disso.

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De um ponto de vista cognitivo, “[...] compreender em matemática é, antes de tudo, reconhecer os objetos matemáticos representados” (DUVAL, 2012, p. 310, grifos do autor), e “os processos cognitivos de reconhecimento de um mesmo objeto matemático estão baseados em fazer a correspondência entre as unidades de sentido que se podem distinguir dos conteúdos respectivos de duas representações diferentes” (DUVAL, 1988a, p. 310). Além do mais, “ser capaz de reconhecer o mesmo objeto em duas representações semióticas diferentes implica que, se uma só é dada, é possível espontaneamente convertê-la em outra e mesmo em uma terceira” (DUVAL, 1988a, p. 311). Por conseguinte, “o tipo de tarefa que permite estudar o reconhecimento dos objetos representados é uma tarefa de conversão de representação” (DUVAL, 1988a, p. 317).

O critério cognitivo de compreensão em Matemática foi utilizado, além deste teste do registro gráfico, abrangendo registros monofuncionais como esse, no decorrer das décadas de 80 e 90, e constituiu as bases para a criação de seu modelo cognitivo do funcionamento do pensamento matemático (DUVAL, 1993). Nesta produção, o autor apresenta sua hipótese fundamental de tese acerca da aprendizagem em Matemática: “a compreensão (integral) de um conteúdo conceitual repousa sobre a coordenação de ao menos dois registros de representação, e esta coordenação se manifesta pela rapidez e a espontaneidade da atividade cognitiva de conversão” (DUVAL, 1993, p. 282), ou seja, “a conceitualização implica coordenação de registros de representação” (DUVAL, 1993, p. 280).

O modelo cognitivo de funcionamento do pensamento matemático de Duval (1993) é apresentado no esquema da Figura 3.

Figura 3 - Hipótese fundamental de aprendizagem: estrutura do funcionamento cognitivo em Matemática em função da conceitualização

Fonte: Duval (1993, p. 282).

O esquema dessa figura supõe que “[...] não há noesis sem semiose [...]” (DUVAL, 1993, p. 270), como supracitado. Essa hipótese quer dizer que não há apreensão conceitual (conceitualização) de um objeto (conceito) matemático sem apreensão ou produção de uma

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representação semiótica (DUVAL, 1993). Esse esquema, que ilustra a estrutura do funcionamento cognitivo em Matemática, é esclarecido por Duval (1993):

No esquema desta figura, as flechas 1 e 2 correspondem as transformações internas [tratamento] a um registro e as flechas 3 e 4 às transformações externas, quer dizer, mudança de registro por conversões. A flecha C corresponde à compreensão integral de uma representação: ela supõe uma coordenação de dois registros. As flechas pontilhadas marcam a distinção clássica entre representante e representado [objeto/conceito] (DUVAL, 1993, p. 282).

Essa explicação quer dizer que a apreensão conceitual de um objeto matemático requer a coordenação de registros de representação semiótica, isto é, transformação de conversão. A congruência semântica é um fenômeno característico da conversão de representações semióticas, e há critérios de congruência, na perspectiva de Duval (1993).

Duval (1993) indica três critérios de congruência, que permitem determinar o caráter congruente ou não congruente de uma conversão: correspondência semântica de elementos significantes; univocidade semântica terminal; e organização das unidades significantes. O primeiro critério significa que, “[...] a cada unidade significante simples de uma das representações, pode-se associar uma unidade elementar” (DUVAL, 1993, p. 283). O segundo critério quer dizer que, “[...] a cada unidade significante elementar da representação de partida, corresponde a uma única unidade significante elementar no registro da representação de chegada” (DUVAL, 1993, p. 283). E o terceiro critério significa que “[...] as organizações respectivas das unidades significantes de duas representações comparadas conduzem apreender as unidades em correspondência semântica, segundo a mesma ordem nas duas representações” (DUVAL, 1993, p. 283).

Finalmente, cabe ressaltar que, segundo Duval (1988a), o seu conjunto de atividades de reconhecimento se limitou ao caso em que a linha é uma reta. De acordo com ele, uma abordagem experimental semelhante pode ser realizada para o caso em que a linha é uma curva aberta, como a parábola. Ou seja, “levando em conta de forma implícita ou explícita a expressão das funções, poderemos integrar outras características visuais importantes, como o caráter aberto ou fechado das curvas4_{” (DUVAL, 1988a, p. 103).}

1.2 Pesquisas Relacionadas

Os pesquisadores brasileiros na área de pesquisa em Educação Matemática têm utilizado os pressupostos de Duval (1988a; 1993) como referencial teórico-metodológico. Por

4_{“Estas possibilidades de extensão de análise de congruência foram sugeridas por F. Pluvinage” (DUVAL,} 1988a, p. 103).

(25)

exemplo, Moretti (2003) e Silva (2008) partiram principalmente desses escritos com vistas ao ensino de funções, estendendo a abordagem de Duval (1998a) para outras funções, descrevendo propriedades figurais e utilizando os procedimentos matemáticos de translação e simetria.

1.2.1 Translação e Correspondência entre as Unidades de Sentido

Moretti (2003), preocupado em “[...] como transformar objetos de pesquisa em objetos de ensino” (MORETTI, 2003, p. 149), propõe o uso da noção de translação como recurso no esboço de curvas por meio do procedimento de interpretação global de propriedades figurais. Ele parte das ideias de Duval (1988a) sobre o papel das representações semióticas na aprendizagem em Matemática e das ideias de Duval (1993) sobre o papel da congruência semântica na aprendizagem em Matemática.

Moretti (2003) baseia-se no procedimento de interpretação global de propriedades figurais para o caso das retas (função afim) de Duval (1988a) (Quadro 4, acima), com vistas ao esboço de outras curvas, no caso, das parábolas (função quadrática). Além disso, fundamenta-se na noção de congruência semântica de Duval (1993). Moretti (2003, p. 150), com base em Duval (1993), afirma que “os problemas de não congruência semântica tornam-se em geral mais agudos nas transformações de conversão de registros tornam-semióticos”.

Retomando a proposta de translação de Moretti (2003), a correspondência entre os coeficientes não é evidente para o caso de outras funções – mesmo para as funções polinomiais, com exceção do coeficiente independente das funções polinomiais. Diz o autor:

Nesse quadro [Quadro 4, página 17], percebe-se a relação entre as modificações nas expressões algébricas e as modificações na figura e vice-versa. O coeficiente independente b é responsável pela posição da reta no eixo das ordenadas [...]; o coeficiente angular a é responsável pelo ângulo que a reta forma com os eixos (das abscissas) [...]. Para o caso de outras funções, mesmo as polinomiais, essa correspondência entre os coeficientes, a não ser pelo coeficiente independente no caso das polinomiais, não é tão evidente assim (MORETTI, 2003, p. 152).

Com essa compreensão, Moretti (2003) questiona: como manter a relação entre variável visual e a unidade simbólica para outros tipos de funções? Ele destaca: “sem o uso da noção de limite e derivada, não há uma resposta para a questão, pelo simples fato de que, em geral, é preciso conhecer de antemão a forma da curva, para depois, então, poder esboçá-la segundo o modo 3 [interpretação global de propriedades figurais]” (MORETTI, 2003, p. 152). Para Moretti (2003), no tocante às outras funções, que não a função afim, para manter a

(26)

associação entre variável visual e unidade significativa, são necessárias as noções de cálculo diferencial e integral, a partir do limite e da derivada.

Contudo, Moretti (2003) propõe a noção de translação para promover a associação entre as variáveis visuais do gráfico e as unidades simbólicas de sua expressão algébrica correspondente. De acordo com ele, a utilização da noção de translação “[...] pode contribuir para que o esboço de curva mantenha-se bastante próximo do procedimento que permite estabelecer correspondência entre gráfico e expressão algébrica” (MORETTI, 2003, p. 152). Além disso, “[...] possibilita que se percebam mudanças tanto na posição da curva quanto na expressão algébrica correspondente” (MORETTI, 2003, p. 152).

Com esses entendimentos, Moretti (2003) faz um estudo para o caso das funções quadráticas, ou melhor, para as parábolas com vértices localizados fora da origem. Conforme o autor, as parábolas correspondentes às equações gerais, isto é, y=ax²+bx+c, sendo a≠0, b e c constantes reais, podem ser obtidas a partir de deslocamentos de parábolas com vértice situado na origem: y=ax², isto é, de deslocamentos de parábolas intermediárias.

Nessa perspectiva, Moretti (2003) apresenta e discute um exemplo em que a parábola correspondente à expressão algébrica y = 2x² - 8x - 10 pode ser esboçada a partir do deslocamento de y = 2x², como se observa na Figura 4, abaixo.

Figura 4 -Translações da parábola

Fonte: Moretti (2003, p. 154)

Como se observa na Figura 4, a parábola correspondente à expressão y = 2x² - 8x - 10, esboçada a partir do deslocamento de y = 2x², foi obtida a partir do seguinte tratamento, comumente denominado de completação de quadrado: y = 2x² - 8x - 10 ⇔ y = 2 (x² - 4x - 5) ⇔ y = 2 [(x - 2)² - 4 - 5] ⇔ y = 2 [(x - 2)² - 9] ⇔ y = 2 (x - 2)² - 18 ⇔ y + 18 = 2 (x - 2)² (MORETTI, 2003).

Para Moretti (2003), embora as expressões y = 2x² - 8x- 10 e y + 18 = 2 (x-2)² representem a mesma parábola, ao transformar y + 18 em y - (-18), a expressão y - (-18) = 2

(27)

[x - (+2)]² torna-se mais congruente com as translações apresentadas na Figura 4. Isso porque y - (-18) “[...] indica o movimento para baixo (-) em 18 unidades” e [x - (+2)] “[...] indica o movimento à direita (+) em 2 unidades” (MORETTI, 2003, p. 155).

Ainda no que se refere às transformações com vistas ao esboço da parábola correspondente à equação y = 2x² - 8x - 10, Moretti (2003) ressalta as transformações do tipo tratamento e conversão. Ocorreram tratamentos (algébricos) nos casos de y = 2x² - 8x - 10 para y + 18 = 2 (x - 2)² e de y + 18 = 2 (x - 2)² para y - (-18) = 2 [x - (+2)]²; conversões nos casos de y = 2x² para o seu gráfico cartesiano correspondente; tratamentos (gráficos) nos casos da translação do gráfico cartesiano de y = 2x² para o gráfico de y = 2 [x - (+2)]²; e translação do gráfico de 2 [x - (+2)]² para o gráfico de y - (-18) = 2 [x - (+2)]² (MORETTI, 2003).

Moretti (2003) destaca algumas implicações do uso da translação. No caso da conversão de y = ax² + bx + c para a sua curva correspondente, a translação pode “[...] minimizar bastante os problemas de não congruência entre equação e curva”, em razão da função intermediária, e o seu gráfico correspondente (MORETTI, 2003, p. 156). Contudo, “para as conversões y = ax² e curva esboçada, os problemas de não congruência podem ficar bastante reduzidos, possivelmente, por meio de um trabalho preliminar com os alunos no esboço de parábolas apenas desse tipo” (MORETTI, 2003, p. 156).

No que concerne ao tratamento da expressão y = 2x² - 8x – 10, “a expressão intermediária y = 2 (x - 2)² - 18 permite, por exemplo, concluir que a função y = 2x² - 8x – 10 possui raízes reais distintas” (MORETTI, 2003, p. 156). Conforme o autor, isso marca o papel das várias representações semióticas de um mesmo objeto matemático, defendido por Duval (1988b5_{, p. 99): “uma simples mudança na escrita é suficiente para exibir propriedades} diferentes do objeto, mesmo se for mantida a mesma referência”.

Ainda quanto ao tratamento de uma parábola do tipo y = ax² + bx + c, Moretti (2003) indica que outra mudança na sua escrita coloca em evidência outros elementos da mesma parábola: as coordenadas do vértice. Nesse sentido, cabe lembrar a seguinte escrita: y - (-18) = 2 [x - (+2)]², o que, de acordo com ele, genericamente, corresponde a seguinte forma:

, ou ainda, , que fornece

5_{DUVAL, R. Diferenças semânticas e coerência matemática: introdução aos problemas de congruência (1988b).} Revista Eletrônica de Educação Matemática (REVEMAT). Tradução de Méricles Thadeu Moretti. UFSC, Florianópolis, v. 07, n. 1, p.97-117, 2012.

(28)

diretamente as coordenadas do vértice: O , sendo que (MORETTI, 2003, p. 156-157).

Nessa perspectiva, Moretti (2003) aponta algumas situações para as parábolas correspondentes à equação do tipo y = ax² + bx + c, com a > 0, como se nota no Quadro 5, abaixo, organizado por mim com base em Moretti (2003, p. 57).

Quadro 5 - Unidade visual da parábola cuja expressão é Movimentos

de Translação

Valores da variável

visual simbólicas Unidades Valores da variável visual Exemplos

Translação para cima

O vértice da parábola ficará situado acima da origem do sistema

A parábola não cortará o eixo das abscissas

Não há raízes reais

Translação

para baixo O vértice da parábola ficará situado abaixo da origem do sistema

A parábola cortará o eixo das abscissas em dois pontos

Há raízes reais distintas Não há

translação O vértice da parábola ficará situado na origem do sistema

A parábola cortará o eixo das abscissas em um único ponto

Há raízes reais duplas/iguais Fonte: Moretti (2003, p. 53, grifos meu).

Nesse sentido, Moretti (2003, p. 157) destaca que “[...] a translação fornece uma boa explicação para a existência ou não de raízes reais”, sendo que, “em geral, para explicar a não existência da raiz real, o aluno é convencido a aceitar o fato de que não é possível obter a raiz quadrada real de números negativos” (MORETTI, 2003, p. 157). Em outros termos, a translação possibilita a relação entre as coordenadas do vértice e a existência ou não de raízes reais.

Além disso, Moretti (2003) indica que o recurso da translação horizontal ou vertical pode ser utilizado para esboçar os gráficos de funções polinomiais do primeiro grau: y= ax+b, com , a partir das funções lineares: y = ax (funções intermediárias), como se observa na Figura 5, abaixo, que apresenta o caso para y = 2x + 1.

Figura 5 - Translações da reta

(29)

De acordo com Moretti (2003), a translação na horizontal torna mais evidente a raiz real, e a translação na vertical torna mais evidente o parâmetro b. Isto é, “o movimento de translação horizontal mostra com mais clareza a raiz (-b/a) e, no entanto, ela esconde o papel de b. Contrariamente, é o que se pode observar no movimento de translação vertical” (MORETTI, 2003, p. 159). Além do mais, “Um estudo preliminar apenas sobre as funções lineares ressaltaria a importância do coeficiente angular” (MORETTI, 2003, p. 159).

Segundo Moretti (2003, p. 159), a translação é uma transformação de grande economia na atividade de esboço de gráficos, uma vez que “[...] uma grande parte do trabalho está baseada na translação de uma curva cuja forma já é conhecida”. Para ele, esse tipo de transformação pode contribuir para o procedimento de interpretação global de propriedades figurais indicado por Duval (1988a). Além do mais, Moretti (2003) salienta que a translação pode ser combinada com noções de simetria (axial e central) para potencializar a capacidade dos alunos no esboço de curvas.

Por fim, Moretti (2003) sugere que esse estudo pode ser estendido para outras parábolas com concavidade voltada para a direita ou para a esquerda, visto que ele desenvolveu um estudo mais detalhado para as parábolas com concavidade voltada para cima. Assim, o estudo também pode ser estendido para as parábolas com concavidade voltada para baixo. Além disso, ele afirma que tal estudo pode ser realizado ainda para outras curvas, tais como as funções trigonométricas.

1.2.2 Simetria aliada à Translação e Correspondência entre as Unidades de Sentido

Silva (2008), sob orientação de Moretti, propôs uma forma de obter curvas a partir do procedimento de interpretação global de propriedades figurais de Duval (1988a) e do procedimento de translação nos moldes de Moretti (2003). Nessa perspectiva, a proposta de Silva (2008) partiu do modelo cognitivo de funcionamento do pensamento de Duval (1993). Além disso, Silva (2008) serviu-se da translação como recurso para esboçar as curvas, conforme Moretti (2003), ou seja, de uma curva base para obter outras curvas que pertencem ao mesmo grupo de curvas. Combinou, então, esses dois procedimentos com o procedimento de simetria, como se observa na Figura 6.

(30)

Figura 6 - Estrutura da representação de curvas em função da conceitualização

Fonte: Silva (2008, p. 85)

Dessa forma, Silva (2008) propôs uma abordagem para o esboço de curvas trigonométricas do tipo senoide e cossenoide, bem como curvas exponenciais e logarítmicas, de maneira a mostrar que tipo de modificações ocorre nas curvas diante de variações nos coeficientes de suas expressões algébricas correspondentes.

A seguir, segue o estudo detalhado de Silva (2008) acerca das senoides, ou melhor, da associação entre suas variáveis visuais (amplitude, período e simetria...) e os coeficientes das suas expressões algébricas correspondentes.

Quadro 6 - Unidades simbólicas e visuais da curva base cuja expressão é

Coeficiente Expressão (unidades da escrita algébrica) Curva (variáveis visuais)

b=1 O coeficiente não aparece. Amplitude 2, intervalo de imagem [-1,1].

k=1 O coeficiente não aparece. Período (comprimento do intervalo de

repetição da curva) igual a .

a=0 e c=0 Os coeficientes não aparecem. Não há translações;

O ponto (0,0) pertence à curva;

A curva é simétrica em relação à origem do sistema cartesiano.

Como se nota, no Quadro 6, acima, de acordo com Silva (2008), ele tomou a função

em todo o intervalo , ou seja, , como curva base. Para

obter a senoide base em todo esse intervalo, segundo o próprio autor, ele inicialmente utilizou uma tabela de pontos para os valores de x pertencentes ao intervalo e o procedimento de simetria em relação à origem do sistema cartesiano (simetria pontual ou axial) para obtê-la no intervalo , obtendo-a assim em todo o intervalo . Cabe marcar que ele

tomou a seguinte definição da função : “a função , é a função

que associa a cada um número que corresponde ao seno de x. Esta função é periódica de período em todo o seu domínio [...]” (SILVA, 2008, p. 85-86).

(31)

Além disso, cabe destacar, conforme Silva (2008), que a curva pode ser tomada como curva base para o grupo de funções com b negativo. Essa curva é obtida a partir da simetria de em relação ao eixo das abscissas (simetria linear).

A partir dessa curva base, ou senoide base, Silva (2008) obteve as demais senoides,

isto é, , com , como se observa no Quadro 7, abaixo.

Quadro 7 - Unidades simbólicas e visuais das senoides em geral Coeficiente Expressão (unidades da escrita algébrica) Curva (variáveis visuais)

b

Positivo:

Ausência do sinal +;

Presença do valor numérico desde que seja diferente de 1.

Amplitude 2b, intervalo imagem [-b, b].

Negativo:

Presença do sinal -;

Amplitude |2b|, intervalo imagem [b, -b], curva simétrica em relação ao eixo X àquela que apresenta coeficiente b positivo.

k

Positivo:

Período (comprimento do intervalo de

repetição da curva) igual a . Negativo:

Curva simétrica em relação ao eixo X àquela que apresenta coeficiente k positivo.

a

Positivo: +a (presença do coeficiente com o

sinal +). Translação no eixo Y de a unidades para cima em relação à senoide onde a=0. Modificação do intervalo imagem para [-b+a, b+a] se b > 0 ou para [b+a, -b+a] se b < 0.

Negativo: -a (presença do coeficiente com o sinal -).

Translação no eixo Y de a unidades para baixo em relação à senoide onde a=0. Modificação do intervalo imagem para [-b-a, b-a] se b>0 ou para [b-a, -b-a] se b < 0.

c

Positivo: +c (presença do coeficiente com o

sinal +). _{Translação no eixo X de} _unidades

para a direita em relação à senoide onde c=0.

Negativo: -c (presença do coeficiente com o

sinal -). _{Translação no eixo X de} _unidades

para a esquerda em relação à senoide onde c=0.

Neste quadro, as funções do tipo senoide tiveram seus coeficientes variados um a um, sempre tomando por base uma função de referência. Silva (2008) variou os valores do

(32)

, com ; os valores de k na forma , com ; e variou

os valores de c na forma , com .

Como se observa no Quadro 7, Silva (2008) estabeleceu as seguintes correspondências entre a escrita algébrica e a curva das senoides: o coeficiente b altera a amplitude da curva, ou seja, “[...] altera a distância vertical entre os seus valores máximos e mínimos” (SILVA, 2008, p. 88). Ainda, o coeficiente a indica translação vertical na curva (acima ou abaixo do eixo das abcissas) e influência na imagem da função. Além disso, o coeficiente c determina uma translação horizontal na curva (para direita ou esquerda do eixo das ordenadas), e o coeficiente k modifica o período da curva, implicando em contrações ou expansões da curva.

No que se refere ao coeficiente b, vale apontar “[...] que há congruência semântica entre o coeficiente b da expressão algébrica e a amplitude da curva, propriedade figural associada a ele” (SILVA, 2008, p. 89). Conforme o autor, no que tange aos coeficientes c e a, não há congruência semântica do coeficiente c com a translação horizontal da curva, nem do coeficiente a com a translação vertical da curva. Assim, ele propõe um tratamento algébrico

na escrita da expressão para obter e na escrita da expressão

para obter . Ou seja:

[...] não há uma relação direta entre o sinal do coeficiente e o sentido do deslocamento da curva de y = sen x para a obtenção da curva de y=sen(x ± c), pois, o sinal ‘+’ nos remete ao lado direito do eixo X enquanto o sinal ‘-’ nos remete ao lado esquerdo devido à própria convenção da posição dos números na reta numérica o que não acontece nesta conversão. Sendo assim, esta transformação da expressão algébrica na representação gráfica requer maiores cuidados no sentido de se diminuir os problemas de congruência semântica. Para tanto, como se trata de uma translação, aplicaremos tratamento algébrico na expressão y=sen(x ± c), conservando o sinal ‘-‘ entre a variável x e o coeficiente c e teremos: y=sen(x - ±c), mesma forma aplicada no item 3.5.2 (que trata da variação do coeficiente a), quando a translação é vertical. Escrito dessa maneira o coeficiente c apresenta sinal diretamente relacionado ao sentido de deslocamento horizontal: se for negativo, a translação se dará para a esquerda e se for positivo, para a direita (SILVA, 2008, p. 94).

Esse mesmo estudo foi feito para o esboço de curvas trigonométricas do tipo cossenoide, como pode ser identificado no Quadro 8.

b=1 O coeficiente não aparece. Amplitude 2, intervalo de imagem [-1,1].

k=1 O coeficiente não aparece. Período (comprimento do intervalo de

a=0 e c=0 Os coeficientes não aparecem. Não há translações;

O ponto (0,0) pertence à curva;

A curva é simétrica em relação à origem do sistema cartesiano.

(33)

Neste quadro, Silva (2008) adotou a função , definida no intervalo , como curva base para o esboço das demais cossenoides. Para tanto, inicialmente usou a tabela de pontos para os valores de x pertencentes ao intervalo e utilizou a simetria da curva , definida no intervalo , em relação ao eixo das ordenadas (simetria linear). De acordo com ela, a função cossenoide pode ser obtida ainda por meio da

translação horizontal da senoide, isto é, translação no eixo das abscissas para a direita em unidades. Nos termos da própria autora da pesquisa: “[...] um estudo posterior ao das senoides, a curva da função cosseno pode ser reconhecida como sendo a mesma curva de

(SILVA, 200., p. 110).

A partir dessa curva base, Silva (2008) obteve as demais cossenoides, isto é, , com , como se observa no Quadro 9.

Quadro 9 - Unidades simbólicas e visuais das cossenoides em geral Coeficiente Expressão (unidades da escrita algébrica) Curva (variáveis visuais)

b

Positivo:

Amplitude 2b, intervalo imagem [-b, b].

Negativo:

Amplitude |2b|, intervalo imagem [b, -b], curva simétrica em relação ao eixo X àquela que apresenta coeficiente b positivo.

k

Positivo:

repetição da curva) igual a . Negativo:

a

Positivo: +a (presença do coeficiente com o sinal +).

Translação no eixo Y de a unidades para cima em relação à senoide onde a=0. Modificação do intervalo imagem para [-b+a, b+a] se b > 0 ou para [b+a, -b+a] se b < 0.

Negativo: -a (presença do coeficiente com o sinal -).

Translação no eixo Y de a unidades para baixo em relação à senoide onde a=0. Modificação do intervalo imagem para [-b-a, b-a] se b>0 ou para [b-a, -b-a] se b < 0.

c

Positivo: +c (presença do coeficiente com o

sinal +). _{Translação no eixo X de} _unidades

para a direita em relação à senoide onde c=0.

Negativo: -c (presença do coeficiente com o

sinal -). _{Translação no eixo X de} _unidades

para a esquerda em relação à senoide onde c=0.

(34)

Fonte: Silva (2008, p. 110-11)

Como se vê no Quadro 9, as funções do tipo cossenoide tiveram seus coeficientes variados um a um, sempre tomando por base uma função de referência, de forma análoga à do grupo das funções senoides. Além do mais, para o grupo de funções cossenoides, valem as mesmas conclusões de Silva (2008) sobre as correspondências entre a escrita algébrica e a curva das senoides. Isso leva a inferir que valem também para o caso de congruência semântica entre o coeficiente b e a amplitude da curva, e de não congruência semântica entre os coeficientes a e c e as translações vertical e horizontal.

Esse trabalho também foi realizado por Silva (2008) para o esboço de curvas

exponenciais, definidas como , tal que , onde e

. Para as curvas que têm como expressão algébrica ; e , sendo b, k e d constantes reais e , ela tomou o gráfico de

como curva base, como se nota no Quadro 10.

a>1 O coeficiente aparece O valor da base influencia diretamente o

crescimento da função.

k=1 O coeficiente não aparece O coeficiente k pode ser unido à base;

assim, influencia o crescimento da curva.

b=0 e d=0 Os coeficientes não aparecem. Não há translações;

O ponto (0,1) pertence à curva. Fonte: Organizado por mim com base em Silva (2008).

A partir dessa curva base, Silva (2008) obteve outras curvas com bases inversas, ou seja, com . Para esboçar tais curvas, utilizou o procedimento de simetria linear em relação ao eixo Y, descartando o uso da tabela de pontos, a qual foi usada somente para obter a curva base. Do mesmo modo, isto é, a partir da curva base, obteve curvas opostas: , sendo ; para isso, utilizou o procedimento de simetria linear em relação ao eixo X, descartando também o uso da tabela de pontos.

Além disso, a curva base supracitada foi utilizada para traçar outros gráficos: e , com b, k e d constantes reais e , como se vê no Quadro 11, a seguir.

Quadro 11 - Unidades simbólicas e visuais de outras exponenciais Coeficiente Expressão (unidades da escrita algébrica) Curva (variáveis visuais)

Negativo: -d

(presença do

coeficiente com o

Translação horizontal de d unidades para a esquerda da curva base.

(35)

d sinal -).

Positivo: +d

(presença do

coeficiente com o sinal +).

Translação horizontal de d unidades para a direita da curva base.

b

Negativo: -b

(presença do

coeficiente com o sinal -).

Translação vertical de b unidades para cima da curva base.

Positivo: +b

(presença do

coeficiente com o sinal +).

Translação vertical de b unidades para baixo da curva base.

Fonte: Organizado por mim com base em Silva (2008).

Dessa forma, Silva (2008) concluiu que o coeficiente b indica translação vertical (para cima ou para baixo) e que o coeficiente d indica translação horizontal (para a direita ou para a esquerda). Os coeficientes a e k influenciam o crescimento da curva, sendo que, “[...] quanto maior for o valor de k, mais acentuado será o crescimento da curva” (SILVA, 2008, p. 117). Ela ressalta que podem ocorrer casos em que há duas translações: tanto vertical quanto horizontal. Essa mesma observação vale para as curvas trigonométricas.

Esse trabalho também foi realizado por Silva (2008) para o esboço de curvas

logarítmicas, definidas como , tal que , com e

. Ela tomou o gráfico de como curva base, como se observa no Quadro 12.

a>1 O coeficiente aparece. O valor da base influencia diretamente o

crescimento da função.

b=0 e d=0 Os coeficientes não aparecem. Não há translações;

O ponto (1,0) pertence à curva. Fonte: Organizado por mim com base em Silva (2008).

Essa curva base é obtida por Silva (2008) por meio da simetria da curva em relação à reta (simetria linear). Dessa forma, de acordo com ela, outras funções logarítmicas de base podem ser esboçadas sem se recorrer ao procedimento ponto a ponto. Para esboçar curvas com base inversa, isto é, com , ela utiliza a simetria em relação ao eixo X.

Além disso, a curva base foi utilizada para traçar outros gráficos:

e , e , como se nota no