LISTA DE EXERC´ICIOS COMPLEMENTAR 03 – v. 2.0 Assuntos:

(1)

UFPE — MA054 — 2013.2 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA

LISTA DE EXERC´ ICIOS COMPLEMENTAR 03 – v. 2.0

Assuntos: Curvas cˆonicas n˜ao-degeneradas.

Orienta¸c˜ ao: Estes exerc´ıcios complementam (e não substituem) aqueles nos livros recomendados (endorsados) para esta disciplina. Dar solu¸cões leg´ıveis e completas, explicando todos os passos e detalhes, e indicando as proprie- dades, fórmulas e resultados utilizados. Mostrar todos os cálculos e racio- c´ınios: Só as respostas não servem ! Desenhos podem elucidar e inspirar e, portanto, esbo¸cos das curvas devem ser feitos, No entanto, a habilidade de esbo¸car/desenhar não será explorada nas provas, embora a interpreta¸cão de figuras dadas é um aspecto que pode aparecer em exames.

Quest˜ ao 1. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas para o plano, considerem-se os seguintes pontos do plano: O (0, 0), P (1, − 1), Q ( − 1, 0), R (4, 1), S ( − 1, 2) e T (3, 4).

1.a. Determinar a posi¸cão relativa da reta descrita por 3x − 4y = − 3 com rela¸cão à circunferência de centro P e raio 2;

1.b. Calcular o raio da circunferência de centro S que é tangente à reta dada pela equa¸cão y = 5;

1.c. Determinar, por meio de equa¸cão(ões) reduzida(s), o lugar geométrico dos centros (x

⁰

, y

⁰

) das circunferˆencias de raio 1 que tangenciam a reta ←→

QR;

1.d. Calcular o raio da circunferˆencia de centro Q que tangencia exteriormente a circunferˆencia de centro R e raio 3;

1.e. Calcular o raio da circunferˆencia de centro Q que tangencia interiormente a circunferˆencia de centro R e raio 10;

1.f. Determinar, por meio de equa¸cão(ões) reduzida(s), o lugar geométrico dos centros (x

0

, y

0

) das circunferˆencias de raio 1 que tangenciam (externa ou internamente) a circunferˆencia de centro T e raio 5.

Recordar que, para elipses e hip´erboles:

(Defini¸c˜ ao bifocal) Dados dois pontos distintos F e F

^′

(focos) no plano,

seja c =

¹2

dist(F, F

^′

) > 0. O n´ umero 2c ´e dito distˆ ancia focal , e o

segmento de reta F F

^′

, eixo focal. Dado um n´ umero real a > c, a

elipse E determinada pelos dados (F, F

^′

, a) ´e o L.G. dos pontos P no

(2)

plano tais que:

E : dist(P, F ) + dist(P, F

^′

) = 2a.

Dado um n´ umero real a tal que 0 < a < c, a hip´erbole H determinada pelos dados (F, F

^′

, a) ´e o L.G. dos pontos P no plano tais que:

H : | dist(P, F ) − dist(P, F

^′

) | = 2a.

Ambas as equa¸c˜oes podem ser expressas em coordenadas;

(Equa¸c˜ ao reduzida ou cartesiana) Com os mesmos dados do item ante- rior, consideremos o sistema de coordenadas cartesianas Oxy determi- nado por: a origem O coincide com o ponto m´edio do segmento de reta F F

^′

(centro C), o eixo Ox ´e a reta ←→

F F

^′

orientada no sentido do ve- tor −−→

F F

^′

, e o sistema est´a orientado positivamente

¹

. Com isto, C(0, 0), F (c, 0), e F

^′

( − c, 0). Os pontos P (x, y) sobre a elipse E satisfazem, para b = √

a

²

− c

²

> 0:

E : x

²

a

²

+ y

²

b

²

= 1.

Os pontos P(x, y) sobre a hip´erbole Hsatisfazem, parab=√

c²−a²>0:

H : x

²

a

²

− y

²

b

²

= 1;

(Sistema de equa¸c˜ oes param´ etricas) Com os mesmos dados do primeiro item, a hipérbole admite, pelo menos, dois sistemas de equa¸cões para- métricas padrão, revistos na Questão 2. Já a elipse admite o sistema

x(θ) = a cos (θ),

y(θ) = b sen(θ), onde θ ∈

^R

ou, ao menos, θ ∈ [0, 2π);

Associados a ambas as curvas, temos os seguintes dados: a excentrici- dade

²

e = c/a (0 < e < 1 para E , e e > 1 para H ); as retas diretri- zes

³

, dadas, respectivamente, por d : x = a/e = a

²

/c e d

^′

: x = − a/e

1Uma rota¸cão no sentido sinistrógiro (anti-horário) por um ângulo reto leva o eixoOx no eixoOy.

2Em geral, a excentricidade é uma medida de c relativa ao parâmetroa. Já c é dito excentricidade linear. Uma circunferência satisfaz a defini¸cão “bifocal” comaigual ao raio eF =C=F^′ , ou seja, os focos coincidem com o centro. Disto, c= 0∴e= 0 para circunferências.

3Vide a defini¸c˜ao por foco e diretriz.

(3)

(verticais); o parˆ ametro focal p = dist(F, d) = dist(F

^′

, d

^′

) = b

²

/c; e os v´ ertices A(a, 0), A

^′

( − a, 0), B (b, 0), e B

^′

( − b, 0). Todos eles est˜ao so- bre as curvas, exceto B e B

^′

no caso da hip´erbole. Os v´ertices fornecem os segmentos de reta ditos eixo maior AA

^′

e eixo menor BB

^′

, cujos comprimentos

⁴

são 2a e 2b, respectivamente, e também chamados de eixos maior e menor (da´ı, a e b serem denominados semieixos maior e menor, respectivamente). No caso da hipérbole, também temos as retas ass´ ıntotas, dadas por y = bx/a e y = − bx/a, respectiva- mente.

Recordar que, para elipses, hip´erboles e par´abolas:

(Defini¸c˜ ao por foco e diretriz) Sejam F (foco) ponto no plano, e d (di- retriz) uma reta no plano tal que d não passa por P , e um n´ umero real positivo e (excentricidade). A curva cônica não-degenerada C associada aos dados (F, d, e) é o L.G. dos pontos P do plano tais que:

C : dist(P, F ) = e · dist(P, d).

A curva é dita uma elipse, parábola ou hipérbole conforme 0 < e < 1, e = 1, ou e > 1. No caso da elipse E e da hipérbole H , as defini-

¸c˜oes apresentadas nos itens anteriores se aplicam, observando-se que tanto (F, d, e) como (F

^′

, d

^′

, e) produzem (independentemente) descri-

¸cões completas de E e H através da defini¸cão por foco e diretriz.

Obs. No caso da parábola P , só há um foco e uma diretriz. A partir dos dados (F, d), uma vez que e = 1 necessariamente, consideremos o parâmetro focal p = dist(F, d) > 0, sua metade a = p/2, e o sistema de coordenadas cartesianas Oxy orientado positivamente, e determinado por: o eixo Ox é igual à reta perpendicular a d por F (eixo da par´ a- bola); a origem O no v´ ertice V , o qual é o ponto médio do segmento de reta entre F e o ponto H em que aquela perpendicular intercepta d; e Ox é orientado com o sentido do vetor −−→

HF . Com isto, F (a, 0), e d : x = − a (vertical). Com isto, a partir da defini¸cão por foco e diretriz, obtemos a equa¸cão reduzida (cartesiana) da parábola, a saber,

4No caso da elipse,a > b mas, no caso da hipérbole,apode ser maior que, igual a, ou menor que b. Por isto, há os nomes alternativos eixo realou transversopara AA^′, e eixo imaginárioouconjugadoparaBB^′ no caso da hipérbole.

(4)

P : x = y

²

4a , isto ´e, P : x = y

²

2p . Também obtemos que o vértice está sobre P . Quanto a parametriza¸cões, sendo x uma fun¸cão x(y) de y na equa¸cão reduzida, podemos tomar y(t) = t ∈

^R

como parˆametro, expressando x(t) diretamente.

(Equa¸c˜ ao focal) Vide a Quest˜ao 3;

(Equa¸c˜ ao geral) Todas as curvas cônicas admitem equa¸cão com formato da equa¸cão geral do 2

^o

grau em x e y: Ax

²

+Bxy +Cy

²

+Dx +Ey +F = 0.

Finalmente, recordar que se discutiu como adaptar as descri¸cões e equa¸cões acima ao se trocarem os papéis dos eixos Ox e Oy, transladar-se a curva cônica em questão, e se fazer rota¸cão do sistema de coordenadas cartesianas.

Quest˜ ao 2 (Dif´ıcil. Revisão das parametriza¸cões da hipérbole dadas, apre- sentada em formato de exerc´ıcio. Ao menos, entender os enunciados e tentar resolvê-lo). Considere-se a hipérbole H de centro C

⁰

(x

⁰

, y

⁰

) e semieixos trans- verso (menor, real) e conjugado (maior, imagin´ario), respectivamente, a e b.

Portanto, H admite a equa¸c˜ao cartesiana (reduzida) (x − x

⁰

)

²

a

²

− (y − y

⁰

)

²

b

²

= 1.

2.a. Demonstrar que H admite as equa¸c˜oes param´etricas abaixo:

x(θ) = x

⁰

+ a sec (θ),

y(θ) = y

0

+ b tan (θ), θ ∈ ( − π, π] \

±

^π2

.

Em outras palavras, demonstrar que, por um lado, todos os pontos

P (θ) (x(θ), y (θ)) acima satisfazem a equa¸c˜ao cartesiana de H e, por outro lado, cada ponto P e sobre H ´e P

θ e

para algum θ e ∈ ( − π, π] \

±

^π²

; 2.b. Dada uma base real b > 1, considerem-se as seguintes fun¸c˜oes:

f

^b

:

^R

−→

^R

t 7−→ f

^b

(t) = b

^t

+ b

⁻^t

2 g

^b

:

^R

−→

^R

t 7−→ g

^b

(t) = b

^t

− b

⁻^t

2 Estas fun¸c˜oes foram, aqui, denotadas arbitrariamente. No entanto, quando

b = e (o n´ umero de Euler), elas s˜ao denominadas cosseno e seno hiper-

b´ olicos, e denotadas por cosh (t) e senh(t), respectivamente. Tais fun¸c˜oes

(5)

s˜ao cont´ınuas e tˆem imagens Im(f

^b

) = [1, + ∞ ) e Im(g

^b

) =

^R

. As restri¸cões de ambas as fun¸cões ao intervalo real [0, + ∞ ) são estritamente crescentes.

Verificar as propriedades abaixo:

i. f

^b

´e uma fun¸c˜ao par, e g

^b

´e uma fun¸c˜ao ´ımpar; e

ii. Para todo n´ umero real t, tem-se que (f

^b

(t))

²

− (g

^b

(t))

²

= 1.

2.c. Repetir o Item 2.a para as equa¸c˜oes param´etricas abaixo:

x(t) = x

⁰

± a f

^b

(t),

y(t) = y

⁰

+ b g

^b

(t), t ∈

^R

.

Quest˜ ao 3 (Médio para dif´ıcil. Equa¸cões focais. Ao menos, entender os enunciados e tentar resolver o exerc´ıcio). Seja C uma curva cônica não- degenerada com excentricidade e > 0, reta diretriz d dada pela equa¸cão cartesiana

d : Ax+By+C = 0, e foco F (x

⁰

, y

⁰

) correspondente a d. Portanto, C ´e o L.G.

dos pontos P no plano que satisfazem equa¸c˜ao C : dist(P, F ) = e · dist(P, d).

3.a. Escrever esta equa¸cão em coordenadas cartesianas para P (x, y ), uti- lizando, para tanto, as distâncias, em coordenadas, expressas a partir dos dados da questão;

3.b. Elevar a express˜ao ao quadrado para obter, denotando por k o n´ umero real

r e

²

A

²

+ B

²

, a seguinte equa¸c˜ao para C :

(x − x

⁰

)

²

+ (y − y

⁰

)

²

= (kAx + kBy + kC)

²

;

3.c. Observar que k 6 = 0 e, portanto, a reta diretriz tamb´em admite a equa¸c˜ao cartesiana d : lx + my + n = 0, onde l, m e n denotam, respectivamente, kA, kB e kC . Da´ı, escrever a equa¸ c˜ ao focal de C relativa a F e d:

(x − x

⁰

)

²

+ (y − y

⁰

)

²

− (lx + my + n)

²

= 0.

Obs. Cada elipse e cada hipérbole possui duas equa¸cões com este formato, cada uma com rela¸cão a um par de foco e reta diretriz da curva.

4. Encontrar a excentricidade, o parˆametro focal, as retas diretrizes, a equa-

¸cão reduzida (cartesiana), uma equa¸cão geral (de grau 2), equa¸cões paramé-

tricas e equa¸c˜oes focais para as seguintes curvas no plano:

(6)

4.a. A par´abola de foco ( − 5, 0) e v´ertice na origem O (0, 0);

4.b. A par´abola de foco ( − 7, 3) e v´ertice ( − 5, 3);

4.c. A elipse de excentricidade 1/2 cujo eixo maior tem extremidades dadas por (1, − 4) e (5, − 4);

4.d. A elipse de centro na origem O (0, 0), focos sobre o eixo horizontal ← Ox → e comprimento do eixo maior igual a 20 unidades, sabendo-se que tal elipse passa pelo ponto (8, 3). Tamb´em encontrar todos os focos e v´ertices desta elipse (ou seja, encontrar as coordenadas de cada um daqueles pontos);

4.e. A hipérbole cuja equa¸cão reduzida é dada abaixo. Também encon- trar: as coordenadas do centro, vértices e focos; os comprimentos dos eixos transverso (real) e conjugado (imaginário); e equa¸cões para as ass´ıntotas:

(y − 3)

²

36 − (x + 5)

²

64 = 1

5. Identificar o objeto geométrico dado pela equa¸cão, calculando os valores, pontos e retas notáveis que se aplicam a ele (Ex.: centro, raio, vértice(s), ex- tremidades e comprimento de eixos, foco(s), distância focal, parâmetro focal, excentricidade, diretriz(es), ass´ıntotas, etc.):

5.a. 4x

²

− 8x − y

²

+ 2y + 3 = 0;

5.b. − x

²

+ 9y

²

+ 4x − 54y + 77 = 0.

6. Considere-se uma curva cônica não-degenerada C de excentricidade posi- tiva e. Uma amplitude focal (ou um “latus rectum” ) de C é definido com uma corda de C (segmento de reta com extremidades sobre C ) perpendicular ao eixo focal (se elipse ou hipérbole) ou eixo da parábola (se for este o caso), e passando por um foco de C . Estes nomes também se aplicam ao seu com- primento, e se denota por ℓ a metade de tal medida (“semi-latus rectum”).

Assim, ℓ = a = r (raio) na circunferência. Mostrar que, se e > 0, então ℓ = e · p, onde e é a excentricidade, e p é o parâmetro focal. Especificamente:

ℓ = p = 2a na par´abola; e ℓ = b

²

/a na elipse e na hip´erbole.

7. (Dif´ıcil.) Seja C uma elipse ou hip´erbole de focos F e F

^′

e semieixo maior a. Um c´ ırculo diretor de C é uma circunferência de raio 2a e centro num dos focos. Provar que, para cada foco, C é o L.G. dos pontos do plano que equidistam daquele foco e do c´ırculo diretor com centro no outro foco.