Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

(1)

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

PROVA DE MATEMÁTICA IME – 1ª FASE – 2019 ENUNCIADOS

1) Aristeu e seu irmão nasceram nos séculos XX e XXI, respectivamente. Neste ano, 2018, os dois já fizeram aniversário e a idade de cada um deles é a soma dos três últimos dígitos do ano de seu respectivo nascimento. Qual é a soma das idades dos dois irmãos?

a) 23 b) 26 c) 29 d) 32 e) 39

2) Os ângulos   ₁, ₂, ₃, ,₁₀₀ são os termos de uma progressão aritmética na qual

11 26 75 90 .

4

 +  +  +  =  O valor de sen(¹⁰⁰i 1₌ i) é:

a) −1 b) ²

− 2 c) 0 d) ²

2 e) 1

3) Calcule o valor do determinante:

( )² ( ) (² )²

4 2 1

log 81 log 900 log 300

log 9 2 4 log 3 2 log 3+ + log 3 2+

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16

4) Seja a inequação 6x⁴−5x³−29x²+10x0. Seja (a, b) um intervalo contido no conjunto solução dessa inequação. O maior valor possível para b a− é:

a) 2 b) ¹³

6 c) ¹

3 d) ⁵

2 e) ⁸

3

5) Sejam x ,₁ x₂ e x₃ as raízes da equação x³−ax 16− =0. Sendo a um número real, o valor de x₁³+x³₂+x³₃ é igual a:

a) 32 a− b) 48 2a− c) 48 d) 48 2a+ e) 32 a+ 6) Seja z um número complexo tal que z¹² , Re z( )=1 e _{arg z}( ) _0, _.

2

 

  A soma dos inversos dos possíveis valores de z está no intervalo:

a) ^{1 3}, 2 2

 

 

  b) ^{3 5}, 2 2

 

 

  c) ^{5 7}, 2 2

 

 

  d) ^{7 9}, 2 2

 

 

  e) ^{9 11}, 2 2

 

 

 

7) Definimos a função f : → da seguinte forma:

( ) ( )

( ) ²

f 0 0 f 1 1

f 2n f n , n 1 f 2n 1 n , n 1

 =

 =

 = 

 + = 



Definimos a função g : → da seguinte forma: _{g n}( )=f n f n 1 .( ) ( + )

(2)

Podemos afirmar que:

a) g é uma função sobrejetora.

b) g é uma função injetora.

c) f é uma função sobrejetora.

d) f é uma função injetora.

e) _{g 2018}( ) tem mais de 4 divisores positivos.

8) Em um jogo de RPG “Role-Playing Game” em que os jogadores lançam um par de dados para determinar a vitória ou a derrota quando se confrontam em duelos, os dados são icosaedros regulares com faces numeradas de 1 a 20. Vence quem soma mais pontos na rolagem dos dados e, em caso de empate, os dois perdem. Em um confronto, seu adversário somou 35 pontos na rolagem de dados. É sua vez de rolar os dados. Qual sua chance de vencer este duelo?

a) ¹

2 b) ³

76 c) ⁹

400 d) ¹

80 e) ³ 80

9) Um hexágono regular está inscrito em um círculo de raio R. São sorteados 3 vértices distintos do hexágono, a saber: A, B e C. Seja r o raio do círculo inscrito ao triângulo ABC. Qual a probabilidade de que r ^R?

= 2

a) 0 b) ¹

10 c) ³

5 d) ¹

20 e) ¹ 6 10) O número de soluções reais da equação abaixo é:

( )²⁰¹⁸ (x )² cos x = −2 2 ^

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

11) Seja um triângulo ABC com lados a, b e c opostos aos ângulos ˆA, ˆB e ˆC, respectivamente. Os lados a, b e c formam uma progressão aritmética, nesta ordem.

Determine a relação correta entre as funções trigonométricas dos ângulos dos vértices desse triângulo.

a) _{2sen A C}(^ˆ ₊^ˆ)₌_{sen A}( )^ˆ ₊_{sen C}( )^ˆ

b) _{2cos A C}(^ˆ ₊^ˆ)₌_{cos A}( )^ˆ ₊_{cos C}( )^ˆ

c) _{2sen A C}(^ˆ ₋^ˆ)₌_{sen A}( )^ˆ ₋_{sen C}( )^ˆ

d) _{2cos A C}(^ˆ ₋^ˆ)₌_{cos A}( )^ˆ ₋_{cos C}( )^ˆ

e) _{2cos A C}(^ˆ ₊^ˆ)₌_{sen A}( )^ˆ ₊_{sen C}( )^ˆ

12) Uma hipérbole equilátera de eixo igual a 4, com centro na origem, eixos paralelos aos eixos coordenados e focos no eixo das abscissas sofre uma rotação de 45 no sentido anti-horário em torno da origem. A equação dessa hipérbole após a rotação é:

a) xy=2 b) x²+xy y− ²=4 c) x²−y² =2 d) xy= −2 e) x²−y² = −2

(3)

13) Em um setor circular de 45 , limitado pelos raios OA e OB iguais a R, inscreve-se um quadrado MNPQ, onde MN está apoiado em OA e o ponto Q sobre o raio OB.

Então, o perímetro do quadrado é:

a) 4R b) 2R c) 2R 2 d) 4R 5 e) 4R ⁵ 5 14) Considere as afirmações abaixo:

I) se três pontos são colineares, então eles são coplanares;

II) se uma reta tem um ponto sobre um plano, então ela está contida nesse plano;

III) se quatro pontos são não coplanares, então eles determinam 6 (seis) planos;

IV) duas retas não paralelas determinam um plano;

V) se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua interseção é uma reta.

Entre essas afirmações:

a) apenas uma é verdadeira.

b) apenas duas são verdadeiras.

c) apenas três são verdadeiras.

d) apenas quatro são verdadeiras.

e) todas são verdadeiras.

15) Em um tetraedro ABCD, os ângulos ABC e ˆ ACB são idênticos e a aresta AD é ˆ ortogonal à BC. A área do ABC é igual à área do ACD, e o ângulo MAD^ˆ é igual ao ângulo MDA,^ˆ onde M é o ponto médio de BC. Calcule a área total do tetraedro ABCD, em cm ,² sabendo que BC=2 cm, e que o ângulo BAC é igual a ˆ 30 .

a) (2− 3) b) (2+ 3) c) 4 2( − 3) d) 4 2( + 3) e) 4

(4)

PROVA DE MATEMÁTICA IME – 1ª FASE – 2019 RESPOSTA E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES

1) d (Sistemas de numeração)

2) d (Progressão aritmética e trigonometria) 3) e (Logaritmos e determinantes)

4) b (Inequação, teorema das raízes racional e algoritmo de Ruffini) 5) c (Fórmula de Newton e relações de Girard)

6) c (Números complexos e trigonometria) 7) e (Função e teoria dos números)

8) e (Probabilidade)

9) b (Probabilidade e geometria plana) 10) d (Função trigonométrica e exponencial) 11) a (Progressão aritmética e geometria plana) 12) a (Geometria analítica cônicas e rotação) 13) e (Geometria plana)

14) b (Geometria espacial de posição) 15) d (Geometria espacial)

(5)

PROVA DE MATEMÁTICA IME – 1ª FASE – 2019 ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES

1) Aristeu e seu irmão nasceram nos séculos XX e XXI, respectivamente. Neste ano, 2018, os dois já fizeram aniversário e a idade de cada um deles é a soma dos três últimos dígitos do ano de seu respectivo nascimento. Qual é a soma das idades dos dois irmãos?

a) 23 b) 26 c) 29 d) 32 e) 39

RESOLUÇÃO: d

Seja A o ano de nascimento de Aristeu e B a no de nascimento de seu irmão.

Como Aristeu nasceu no século XX, então 1901 A 2000. É dito que a idade de Aristeu em 2018 é a soma dos três últimos dígitos do ano de seu nascimento, então A2000 e podemos escrever A 19ab 1900 10a= = + +b, onde a e b são algarismos na base 10.

O irmão de Aristeu nasceu no século XXI, então B 2001 e podemos escrever B=20cd=2000 10c d,+ + onde c e d são algarismos na base 10.

A idade de cada um dos irmãos em 2018 é a soma dos três últimos dígitos do ano de seu respectivo nascimento, então

1º) Idade de Aristeu

( )

2018 A− = + + 9 a b 2018− 1900 10a b+ + = + + 9 a b 11a 2b 109+ = b 9 2b 18 11a 109 2b 109 18 91= −  − =

91 11a 10911a=99 =a 9  b=5 2º) Idade do irmão de Aristeu

( )

2018 B− = + + 0 c d 2018− 2000 10c d+ + = + c d 11c 2d 18+ = c deve ser par e 11c18 =c 0  d=9

Logo, Aristeu nasceu em 1995 e tem 23 anos, seu irmão nasceu em 2009 e tem 9 anos, e a soma de suas idades é 23 9 32.+ =

2) Os ângulos   ₁, ₂, ₃, ,₁₀₀ são os termos de uma progressão aritmética na qual

11 26 75 90 .

4

 +  +  +  =  O valor de sen(¹⁰⁰i 1₌ i) é:

a) −1 b) ²

− 2 c) 0 d) ²

2 e) 1

RESOLUÇÃO: d

Inicialmente, lembremos que, em uma progressão aritmética, termos equidistantes dos extremos têm soma igual à soma dos extremos.

Na PA :  ₁, ₂, ₃, ,₁₀₀, temos  +₁₁ Q₉₀ =  +  =  + ₂₆ ₇₅ ₁ ₁₀₀. Assim,

( )

11 26 75 90 2 1 100 1 100 .

4 4 8

  

 +  +  +  =    +  =   +  = Vamos agora calcular a soma dos termos da PA:

( 1 100)

100 i 1 i

100 25

50 .

2 8 4

=

 +    

 = =  =



Portanto, temos ( ¹⁰⁰i 1 i)

25 2

sen sen sen 6 sen .

4 4 4 2

=  =  =   += =

  

(6)

3) Calcule o valor do determinante:

( )² ( ) (² )²

4 2 1

log 9 2 4 log 3 2 log 3+ + log 3 2+

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16

RESOLUÇÃO: e

Observe que o determinante parece o determinante de uma matriz de Vandermonde.

Vamos “ajeitar” os logaritmos para evidenciar isso.

( )² ( ) (² )²

4 2 1

log 9 2 4 log 3 2 log 3 log 3 2

 = =

+ + +

( ) ( )

( ) ( ) ( )

4 2 2 2

2 2 2

2

4 2 1

log 3 log 3 10 log 3 10

log 3 2 4 log 3 2 log 3 log 3 2

=   =

+ + +

( )² ( )² ( )²

4 2 1

4 log 3 2 log 3 2 log10 log 3 2 log10 2 log 3 2 1 2 log 3 log 3 log 3 2

=   + + =

 

  + +  +

( )

( )² ( ) (² )²

4 2 1

4 log 3 2 log 3 1 log 3 2 4 log 3 2 log 3 1 log 3 2

=   + + =

  + +

( ) (² ) (² )²

1 2 1

8 log 3 log 3 1 log 3 2 log 3 log 3 1 log 3 2

=  + +

+ +

O determinante anterior é o determinante de uma matriz de Vandermonde, então

( ) ( ) ( ) ( )

8  log 3 2 log 3 1  log 3 2 log 3  log 3 1 log 3 8 1 2 1 16.

 =  + − +   + −   + − =    =

4) Seja a inequação 6x⁴−5x³−29x²+10x0. Seja (a, b) um intervalo contido no conjunto solução dessa inequação. O maior valor possível para b a− é:

a) 2 b) ¹³

6 c) ¹

3 d) ⁵

2 e) ⁸

3 RESOLUÇÃO: b

(7)

A equação 6x⁴−5x³−29x²+10x=0 tem uma raiz x=0 e, pelo teorema das raízes racionais, as outras possíveis raízes racionais são



1, 2, 5, 10, ¹, ⁵, ¹, ², ⁵, ¹⁰, ¹, ⁵



.

2 2 3 3 3 3 6 6

           

Testando essas raízes, começando pelos números inteiros de menor módulo, verificamos que x= −2 é raiz.

Vamos agora aplicar o algoritmo de Ruffini à equação 6x³−5x²−29x 10+ =0com a raiz x= −2.

−2 6 −5 −29 10

6 −17 5 0

Assim, temos _6x⁴₋_5x³₋_29x²₊_10x_{= }₀ _{x x 2 6x}( ₊ )( ²₋_{17x 5}_{+ =}) _0.

A equação do 2º grau 6x²−17x 5+ =0 tem raízes dadas por

17 289 4 6 5 17 1693 17 13 1 5

x x x .

2 6 12 12 3 2

 −    

= = =  =  =



Dessa forma, podemos escrever a inequação inicial como _{6x x}( ₂) _x ¹ _x ⁵ _0.

3 2

  

+  −  −  Vamos dispor as raízes da expressão na reta real a fim de resolver a inequação pelo Método dos intervalos.

Portanto, ^6x⁴ ^5x³ ^29x² ^10x ⁰ ^x  ^{2, 0} ^{1 5}^, ^.

3 2

 

− − +    −   

Sendo (a, b) um intervalo contido no conjunto solução dessa inequação, então o maior valor possível para b a− é ⁵ ¹ ¹³.

2− =3 6

5) Sejam x ,₁ x₂ e x₃ as raízes da equação x³−ax 16− =0. Sendo a um número real, o valor de x₁³+x³₂+x³₃ é igual a:

a) 32 a− b) 48 2a− c) 48 d) 48 2a+ e) 32 a+ RESOLUÇÃO: c

Vamos usar a Fórmula de Newton para calcular S₃ =x₁³+x³₂+x .³₃ Sabemos que S₀ =x₁⁰+x⁰₂+x⁰₃ =3 e S₁ x¹₁ x¹₂ x¹₃ ₁ ⁰ 0,

= + + =  = − =1 então

3 2 1 0 3 1 0

1 S + 0 S −  − a S 16 S = 0 S =  + a S 16 S =  +  =a 0 16 3 48.

Esse problema também pode ser feito por meio da identidade de Gauss.

(8)

( )( )

3 3 3 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

x +x +x −3x x x = x +x +x x +x +x −x x −x x −x x . Como ₁ x₁ x₂ x₃ ⁰ 0,

 = + + = − =1 então ( )

3 3 3

1 2 3 1 2 3 3

x x x 3x x x 3 3 16 48.

1

 −  + + = =  =  − =

6) Seja z um número complexo tal que z¹² , Re z( )=1 e _{arg z}( ) _0, _. 2

 

  A soma dos inversos dos possíveis valores de z está no intervalo:

a) ^{1 3}, 2 2

 

 

  b) ^{3 5}, 2 2

 

 

  c) ^{5 7}, 2 2

 

 

  d) ^{7 9}, 2 2

 

 

  e) ^{9 11}, 2 2

 

 

 

RESOLUÇÃO: c

Seja z=rcis a forma trigonométrica do número complexo z.

12 12 k

z r cis12 sen12 0 12 k , k , k

12

=    =   =     =  

( ) 1

Re z 1 r cos 1 cos

=   =  =r 

( )



⁵



arg z 0, , , , ,

2 12 6 4 3 12

     

 

=   

 

Os possíveis valores de 1 1

z = =r cos são os cossenos dos ângulos acima. Assim, a soma pedida é

cos cos cos cos cos5 2 cos cos cos cos cos

12 6 4 3 12 4 6 6 4 3

2 3 3 2 1 6 3 2 1 2, 45 1, 73 1, 41 1 5 7

2 3, 3 ,

2 2 2 2 2 2 2 2 2

 + + + +  =  + + +  =

+ + + + + +  

=   + + + =    

7) Definimos a função f : → da seguinte forma:

( ) ( )

( ) ²

f 0 0 f 1 1

f 2n f n , n 1 f 2n 1 n , n 1

 =

 =

 = 

 + = 



Definimos a função g : → da seguinte forma: _{g n}( )=f n f n 1 .( ) ( + ) Podemos afirmar que:

a) g é uma função sobrejetora.

b) g é uma função injetora.

c) f é uma função sobrejetora.

d) f é uma função injetora.

e) _{g 2018}( ) tem mais de 4 divisores positivos.

(9)

RESOLUÇÃO: e

A função f não é injetora, pois ( ) ( ) ( ) ( ) f 2 1 =f 1 = 1 f 2 =f 1 . A função g não é injetora, pois

( ) ² ( )

f 2 1 1 + =1 f 3 =1

( ) ( ) ( )

f 2 2 =f 2 = 1 f 4 =1 ( ) ( ) ( )

g 2 =f 2 f 3 =  =1 1 1 ( ) ( ) ( )

g 3 =f 3 f 4 =  =1 1 1 ( ) ( )

g 2 g 3

 =

A função f não é sobrejetora, pois pela sua definição ela só assume valores que são quadrados perfeitos.

A função g não é sobrejetora, pois é o produto de dois valores da unção f e, consequentemente, só assume valores que são quadrados perfeitos.

Vamos agora calcular g 2018 .( )

( ) ( ) ( ) ( ) ²

f 2018 =f 2 1009 =f 1009 =f 2 504 1 + =504

( ) ( ) ²

f 2019 =f 2 1009 1 + =1009

( ) ( ) ( ) ² ² ( ³ ² )² ² ⁶ ⁴ ² ²

g 2018 =f 2018 f 2019 =504 1009 = 2 3 7  1009 =2   3 7 1009 Logo, a quantidade de divisores positivos de g 2018( ) é

(6 1+  +  +  + =) (4 1) (2 1) (2 1) 3154.

Logo, a afirmativa correta é a da letra e).

8) Em um jogo de RPG “Role-Playing Game” em que os jogadores lançam um par de dados para determinar a vitória ou a derrota quando se confrontam em duelos, os dados são icosaedros regulares com faces numeradas de 1 a 20. Vence quem soma mais pontos na rolagem dos dados e, em caso de empate, os dois perdem. Em um confronto, seu adversário somou 35 pontos na rolagem de dados. É sua vez de rolar os dados. Qual sua chance de vencer este duelo?

a) ¹

2 b) ³

76 c) ⁹

400 d) ¹

80 e) ³ 80 RESOLUÇÃO: e

O número de resultados possíveis na rolagem de dois D-20 é #^{( )} =20 20 =400.

Para que eu vença a soma dos dados que eu rolar deve ser 36, 37, 38, 39 ou 40. Os possíveis resultados em que eu venço são

Soma 36: (20,16 ; 19,17 ; 18,18 ; 17,19 ; 16, 20) ( ) ( ) ( ) ( ) Soma 37: (20,17 ; 19,18 ; 18,19 ; 17, 20) ( ) ( ) ( )

Soma 38: (20,18 ; 19,19 ; 18, 20) ( ) ( )

Soma 39: (20,19 ; 19, 20) ( )

Soma 40: (20, 20)

Assim, o número de casos favoráveis é # A^{( )}=15 e a probabilidade pedida é ( ) ( )

( )

# A 15 3

P A .

# 400 80

= = =



(10)

9) Um hexágono regular está inscrito em um círculo de raio R. São sorteados 3 vértices distintos do hexágono, a saber: A, B e C. Seja r o raio do círculo inscrito ao triângulo ABC. Qual a probabilidade de que r ^R?

= 2

a) 0 b) ¹

10 c) ³

5 d) ¹

20 e) ¹ 6 RESOLUÇÃO: b

O número de maneiras de sortear 3 vértices distintos do hexágono é ( ) ⁶ ^{6 5 4}

# 20.

3 3!

   

 = = =

 

Para que o raio do círculo inscrito ao triângulo ABC seja r ^R,

= 2 o triângulo ABC deve ser o triângulo equilátero inscrito no círculo de raio R.

Como há apenas duas maneiras distintas de obter triângulos equiláteros a partir de 3 vértices do hexágono, então o número de casos favoráveis é # A^{( )}=2.

Portanto, a probabilidade pedida é ( ) ( ) ( )

# A 2 1

P A .

# 20 10

= = =



10) O número de soluções reais da equação abaixo é:

( )²⁰¹⁸ (x )² cos x = −2 2 ^

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

RESOLUÇÃO: d

Inicialmente, observemos que f x( )=(cos x)²⁰¹⁸ e ^{( )} ⁽ ⁾

x 2

g x = −2 2 ^ são funções pares, então se r0 é raiz, então − r 0 também será.

Note que f 0( )=g 0( )=1 é uma raiz. Vamos então procurar as outras raízes entre os números positivos.

(11)

A imagem de f x( )=(cos x)²⁰¹⁸ é o intervalo  0,1 . Se x , então ( ) (x )²

g x = −2 2 ^ 0. Logo, as possíveis raízes positivas da equação estão no intervalo

 ^0,^ ^.

A função f x( )=(cos x)²⁰¹⁸ é decrescente em 0, 2

 

 

  e crescente em , . 2

 

 

  A função ( ) (x )²

g x = −2 2 ^ é decrescente em  ^0,^ ^. Além disso, sabemos que _{f 0}( )_{=  =}_f( ) _1,

f 0,

2

  =

   g 0( )=1, g 2 2^{1 4} 0 2

  = − 

   e g( ) =0.

Assim, há exatamente uma interseção entre os gráficos de f e g em , , 2

 

 

  ou seja, há exatamente uma raiz da equação nesse intervalo. Como as duas funções são pares há também exatamente uma raiz no intervalo. , .

2

− −

 

 

Portanto, até o momento, encontramos 3 raízes, o 0 e as duas citadas no parágrafo anterior.

Resta analisar se há raízes no intervalo 0, . 2

 

 

  A seguir aparece um esboço do gráfico das duas funções.

Uma análise preliminar do gráfico indica que não há raiz no intervalo 0, 2

 

 

  (esse fato será demonstrado mais para frente).

Dessa forma, o total de raízes da equação é 3, uma em , , 2

− −

 

  0 e uma em , . 2

 

 

 

Demonstração de que não há raiz em 0, : 2

 

 

 

A função y=sen x tem concavidade para baixo em 0, , 2

 

 

  então sen x ^2x

 nesse intervalo.

(12)

No intervalo 0, , 2

 

 

  temos:

( )²⁰¹⁸ ² ² ² ²

2

2x 4x

0cos x 1 cos x cos x= −1 sen x −1    = −1  Adotando

x 2

t=     , então x 0, 2

 

   implica t 0,¹ . 4

 

   Vamos provar que

t t

2 2−  − 1 4t 2  +1 4t, o que implica _{f x}( )__{g x}( ) nesse intervalo.

Seja h t( )=2^t− −4t 1, então ^{( )}

1

t 4

h ' x =ln 2 2 − 4 ln 2 2 − 4 0, o que implica que h t é decrescente para ( ) t 0,¹ .

4

 

   Assim, nesse intervalo temos _{h t}( )__{h 0}( )₌_0, o que demonstra a desigualdade acima. Logo, não há raiz em 0, .

2

 

 

 

11) Seja um triângulo ABC com lados a, b e c opostos aos ângulos ˆA, ˆB e ˆC, respectivamente. Os lados a, b e c formam uma progressão aritmética, nesta ordem.

Determine a relação correta entre as funções trigonométricas dos ângulos dos vértices desse triângulo.

a) _{2sen A C}(^ˆ ₊^ˆ)₌_{sen A}( )^ˆ ₊_{sen C}( )^ˆ

b) _{2cos A C}(^ˆ ₊^ˆ)₌_{cos A}( )^ˆ ₊_{cos C}( )^ˆ

c) _{2sen A C}(^ˆ ₋^ˆ)₌_{sen A}( )^ˆ ₋_{sen C}( )^ˆ

d) _{2cos A C}(^ˆ ₋^ˆ)₌_{cos A}( )^ˆ ₋_{cos C}( )^ˆ

e) 2cos A C(^ˆ +^ˆ)=sen A( )^ˆ +sen C( )^ˆ

RESOLUÇÃO: a PA : a, b, c2b= +a c

Pela lei dos senos aplicada ao triângulo ABC, temos a b c ˆ sen Bˆ ˆ 2R.

sen A = =sen C =

(13)

Assim, temos:

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

2b= +  a c 2 2R sen B=2R sen A 2R sen C+ 2sen B sen A sen C= +

Sabemos ainda que A^ˆ + + =B C^ˆ ^ˆ 180 sen B^ˆ =sen 180(  −(A^ˆ +C^ˆ))=sen A(^ˆ +C .^ˆ)

Portanto, 2sen A C(^ˆ +^ˆ)=sen A( )^ˆ +sen C .( )^ˆ

12) Uma hipérbole equilátera de eixo igual a 4, com centro na origem, eixos paralelos aos eixos coordenados e focos no eixo das abscissas sofre uma rotação de 45 no sentido anti-horário em torno da origem. A equação dessa hipérbole após a rotação é:

a) xy=2 b) x²+xy y− ²=4 c) x²−y² =2 d) xy= −2 e) x²−y² = −2

RESOLUÇÃO: a

A equação da hipérbole equilátera de eixo igual a 4, centro na origem e focos no eixo das abscissas é dada por:

2 2

x y

a b 2 1 x y 4

2 2

= =  − =  − =

A matriz de rotação de  no sentido anti-horário é R ^cos ^sen . sen cos



 − 

 

=     Sejam ^{x '}

y '

  

  as coordenadas, após a rotação de  = 45 de ^x , y

  

  então

( )

45 45

x ' x x x '

R R .

y ' ^ y y ^{− } y '

       

=   = 

       

       

( 45)

2 2 2 2 2 2

x x ' y '

x x '

2 2 2 2 2 2

R 2 2 y 2 2 y ' 2 2

y x ' y '

2 2 2 2 2 2

− 

    

= +

        

   

=−   =−     = − +

Retornando à equação da hipérbole equilátera original, temos:

( )( ) ( ) ⁽ ⁾

2 2

x −y = 4 x+y x−y = 4 2y '  2x ' = 4 x ' y '=2

Essa rotação também pode ser feita por número complexos, observando que

( ) ⁽ ⁾ ( ) ² ² ²( ) ²( )

x yi x ' y 'i cis 45 x ' y 'i i x ' y ' x ' y ' i

2 2 2 2

 

+ = + −  = +  − = + + − +

 

( ) ( )

2 2

x x ' y ' y x ' y '

2 2

 = +  = − +

O final é idêntico ao da primeira solução.