Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira
PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2019/2020 ENUNCIADOS
1) Seja f uma função real. Supondo que ( ) ( )
x b
f x f b
lim M,
x b
→
− =
− calcule
( ) ( )
p 0
f b p f b p
lim
→p
+ − −
e assinale a opção correta.
a) M b) − M c) 2M d) − 2M e) 0
2) Sejam p x , ( ) q x e ( ) r x polinômios reais. Considere que ( ) p x cumpre os seguintes ( ) requisitos:
I – O polinômio q x ( ) = 3x
3− 21x 18 + divide p x ; ( ) II – p 0 ( ) = 162;
III – 1 é raiz de p ' x ; ( ) IV – p ' 0 ( ) = − 477;
V – ( )
( ) ( ) p x q x . r x =
Sabendo que o gr q x ( ( ) ) gr r x ( ( ) ) e p ' x indica a primeira derivada de ( ) p x , ( ) assinale a opção que apresenta o polinômio r x . ( )
a) r x ( ) = − + 9x 9 b) r x ( ) = 7x
2− 16x 9 + c) r x ( ) = − 5x
2+ 16x 9 + d) r x ( ) = 3x
2+ 14x 9 + e) r x ( ) = − 16x + 9
3) Seja VABCD uma pirâmide regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros de lado 1 e P uma extensão do segmento VA, de modo que A VP e AP 1 .
= 2 Considerando um plano determinado por P e os pontos médios dos segmentos BC e AD, determine a área de intersecção entre a pirâmide e o plano e assinale a opção correta.
a) 16 11
7 b) 7 11
16 c) 7 11
64 d) 64 11
7 e) 32 11 7
4) Seja a matriz
1 1 1 M 1 0 0 ,
0 1 0
=
onde M
n= M M M, com n fatores, x a soma dos elementos da 1ª coluna de M
12e y a soma dos elementos da 3ª coluna de M . Nesse
12caso, o valor de x − y é:
a) 504 b) 927 c) 778 d) 1431 e) 1705
5) O Cruzeiro do Sul é uma das mais importantes constelações para os povos do
hemisfério sul. Ela é muito útil na navegação e está presente em nossa Bandeira Nacional,
no Brasão Nacional, assim como em símbolos de colégios, agremiações etc. Dentre as
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cinco principais estrelas há a Alpha Crucis ( ) , a mais brilhante, e a Epsilon Crucis ( ) , a menos brilhante dentre as principais que formam uma cruz, conforme figura abaixo.
Pode-se medir, de forma aproximada, a distância até uma estrela pela equação
d 10
M 5 5 log D ,
= − + 3,3 tal que M é o módulo de distância de uma estrela (uma medida
dde brilho na Astronomia) e D é a distância, em anos-luz. Considerando M
d= 5 para Alpha Crucis e M
d= 4, 2 para Epsilon Crucis, D a distância até Alpha Crucis e
aD a
edistância até Epsilon Crucis, ambas em anos-luz, pode-se afirmar, de forma aproximada, que:
Dados log
103 = 0, 48 e log
1023 1,36 =
a) D
e D
ab) D
a+ D
e= 557, 7 c) D
a= 300
d) D
e= 69 e) D
a= 100
6) Quantos são os anagramas de MARINHA, em que somente uma vogal apareça em sua posição de origem?
a) 1512 b) 1152 c) 1008 d) 720 e) 480
7) Um raio luminoso parte do ponto A = − ( 1, 6, 2 , ) reflete na superfície refletora do plano x = − 5, no ponto E, e atinge o ponto B 2, 2, 4 . Indique a soma das coordenadas do ponto ( )
E.
a) 25
11 b) 5
14 c) 3
11 d) 2 e) 15
2
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8) Dois amigos se encontram em dois portões de acesso, nos pontos A e B, de um ginásio com um muro circular de raio 12 metros, conforme figura ilustrativa abaixo.
Aquele que se encontra no portão A caminha, na área externa ao muro, x metros, numa trajetória retilínea, até avistar o ponto B. Sabendo que o comprimento do arco AB é de
3 metros, o menor valor de x, em metros, vale:
a) 12 2 12 + b) 12 6 2 − c) 12 2
d) 12 2 − 2 e) 12 2 + 2
9) Seja a função f definida por f x ( ) = 2e
−x − ( 1 2e
−x) , cujo gráfico está representado a seguir, e seja o número real ln a, tal que f ln a ( ) = 0.
Tomemos um valor real positivo h, tal que a área compreendida entre o gráfico da função e o eixo das abscissas no intervalo ln a h ;ln a ( − ) ( ) seja igual à área compreendida entre o gráfico da função e o eixo das abscissas no intervalo ln a ;ln a ( ) ( + h . ) Nesse sentido, pode-se afirmar que:
a) 0 h e
−1b) e
−1 h ln 2 ( ) c) ln 2 ( ) h 1
d) 1 h e e) h não existe
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10) Seja W o conjunto composto apenas por múltiplos de 2 ou P, em que P é um primo ímpar. Sabendo que 3
5 de W, que são múltiplos de P, são ímpares; 2
5 de W são ímpares;
e 77 elementos de W não são múltiplos de 2P, pode-se afirmar que a quantidade de elementos de W que são ímpares é um múltiplo de:
a) 4 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11
11) Seja a curva determinada pelo lugar geométrico dos centros das circunferências no
2
, que tangenciam a reta x = 2 e passam pelo ponto ( ) 6, 4 . Sendo assim, a reta tangente a essa curva pelo ponto ( ) 6,8 possui equação:
a) y 8 − = 0 b) x + − = y 6 0 c) x + − y 14 = 0 d) x − + = y 2 0 e) x − + = y 4 0
12) O volume de um cubo de aresta 2x excede em 27 unidades o volume de um paralelepípedo retângulo com 54 unidades de área da base e altura x. Sendo assim, o valor de x é
a) 8 cos 40 ( ) b) 3 cos 20 ( ) c) 8 cos 20 ( ) d) 9 cos 40 ( ) e) 2 cos 30 ( )
13) Seja z um número complexo da forma z = + a bi, no qual i é a unidade imaginária.
Seja k de modo que k é o menor limitante superior para
4 2
1 ,
z 3z 2
−
+ + quando z = 2. Sendo assim, assinale a opção que apresenta o intervalo ao qual k pertença.
a) 0,1 b) 3 1, 2
c) 1 2 ,1
d) 3 2 , 2
e) 2, 3
14) Um círculo, contido no plano x − 2y 4 + = 0, de centro ( 4, 4, 4 e raio ) 5, é projetado ortogonalmente no plano y = 0, formando uma figura plana de área, em unidades de área, igual a:
a) 2 5 b) 4 c) 5 d) 5 2 e) 10
15) Suponha que duas aeronaves da Marinha estejam fazendo um vovo de modo que suas trajetórias estejam contidas no plano x’y’, de um sistema cartesiano ortogonal x’y’z’, no instante de tempo t . Em um instante
0t , os pilotos precisam alcançar uma certa altura
1z ' e recebem as seguintes determinações:
1I – A aeronave A deve fazer seu vovo sobre a reta
x ' 1 t r : y ' 1 1 t
2 z ' 2t
= +
= +
=
com t .
II – A aeronave B deve fazer seu vovo sobre a reta m que é paralela a r, que está contida
no plano x ' 4y ' z ' − + = 0 e que dista 20 do ponto P 1, 0,1 . ( )
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Considerando que r, m e P estão no sistema x’y’z’, assinale a opção que representa uma possível trajetória da aeronave B a partir de t até alcançar a altura
1z ' .
1a) r : 1, 1,1 ( ) 1, , 2 1 2
− + com
b) r : ( 1, 0, 1 ) 1, , 2 1 2
− − + com
c) r : 1, 1,1 ( − ) + ( 2,1, 4 ) com
d) r : ( − 1, 0,1 ) + ( 2,1, 4 ) com
e) r : 1, 0, 1 ( − + ) ( 2,1, 2 ) com
16) Considere que para obter a posição de um navio, navegando em um canal, faz-se o uso de três retas. Essas retas são tomadas sob o olhar de três pontos notáveis e de três marcações angulares feitas por vigias no navio, sempre com o navio em movimento. As interseções dessas retas geram uma região triangular de área X e não acontecem em um único ponto. A região triangular é chamada de triângulo de incerteza e, quanto menor o valor de X, melhor é a precisão da marcação da posição do navio no canal. Suponha que, depois de feitas as marcações, as três retas obtidas tenham as equações
r : 2x
1+ − = y 6 0,
21 1 r : ,1 t ,1 ,
2 6
+
t , e r :
3x 6 6 , y 2 4
= +
= +
.
Sendo assim, assinale a opção que indica a área da região triangular X determinada por r ,
1r e
2r .
3a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
17) Três amigos marcam um encontro na frente do estádio Nilton Santos para assistir a uma partida de futebol. Eles combinaram que cada um deve chegar em um momento escolhido entre 15h00 e 16h00 e que nenhum deles esperará mais de 30 minutos pelos demais, dentro do horário estipulado. Qual é a probabilidade de que os três amigos se encontrem entre 15h00 e 16h00?
a) 7
16 b) 5
8 c) 1
2 d) 15
32 e) 31
64
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18) Sabendo que f é uma função definida por f x ( ) = x
xe que D é o domínio de f, é correto afirmar que:
a) f possui um máximo global em
2
x 1 e
= em D.
b) f possui um mínimo local em
2
x 1 e
= em D.
c) f possui um máximo local em x 1
= e em D.
d) f possui um mínimo local em x 1
= e em D.
e) f não possui máximo ou mínimo em D.
19) Considere um conjunto de números inteiros A = 1, 2,3, , n , com n elementos. Se retirarmos um número do conjunto A, a média aritmética dos elementos restantes é 16,4.
Sabendo que p é o número que foi retirado, determine p − n e assinale a opção correta.
a) 27 b) 28 c) 33 d) 35 e) 37
20) Uma loja de bombons está com o seguinte cartaz de promoção: “compre x bombons e ganhe x% de desconto”. A promoção é válida para compras de até 60 bombons, caso em que é concedido o desconto máximo de 60%. Maria, Flávio, Gisele, Felipe, Evandro e Diego compram 53, 40, 33, 47, 38 e 57 bombons, respectivamente. Nessas condições, assinale a opção que apresenta o nome das pessoas que poderiam ter comprado mais bombons e pago a mesma quantia inicial.
a) Diego e Maria b) Gisele e Evandro c) Maria e Gisele
d) Diego e Evandro e) Felipe e Flávio
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PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2019/2020 RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES 1) c (Derivada)
2) b (Polinômios e derivada)
3) c (Geometria espacial – seção de sólidos) 4) c (Matrizes – multiplicação)
5) b (*) (Logaritmo)
6) b (Análise combinatória)
7) a (Geometria analítica no espaço – reta e plano) 8) b (**) (Trigonometria no triângulo retângulo) 9) e (Cálculo – integral)
10) c (Conjuntos)
11) d (Geometria analítica – parábola e Cálculo –derivada) 12) b (Geometria espacial – volumes e Trigonometria) 13) a (Números complexos)
14) a (Geometria analítica no espaço – cônicas)
15) d (*) (Geometria analítica no espaço – reta e plano) 16) d (Geometria analítica no plano – reta)
17) c (Probabilidade geométrica e Cálculo – integral) 18) d (Cálculo – derivada – máximo e mínimo) 19) a (Médias e inequação do 2º grau)
20) e (Função quadrática)
(*) O enunciado dessa questão foi adaptado, pois a mesma foi anulada.
(**) O enunciado dessa questão foi adaptado, pois a mesma estava incorreta da maneira
como foi proposta.
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PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2019/2020 ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES
1) Seja f uma função real. Supondo que ( ) ( )
x b
f x f b
lim M,
x b
→
− =
− calcule
( ) ( )
p 0
f b p f b p
lim
→p
+ − −
e assinale a opção correta.
a) M b) − M c) 2M d) − 2M e) 0
RESOLUÇÃO: c
( ) ( ) ( )
x b
f x f b
lim M f ' b
x b
→
− = =
( − ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
p 0 p 0
f b p f b p f b p f b p
lim 2 lim 2 f ' b 2 M
p b p b p
→ →
+ − − + − −
= = =
+ − −
2) Sejam p x , ( ) q x e ( ) r x polinômios reais. Considere que ( ) p x cumpre os seguintes ( ) requisitos:
I – O polinômio q x ( ) = 3x
3− 21x 18 + divide p x ; ( ) II – p 0 ( ) = 162;
III – 1 é raiz de p ' x ; ( ) IV – p ' 0 ( ) = − 477;
V – ( )
( ) ( ) p x q x . r x =
Sabendo que o gr q x ( ( ) ) gr r x ( ( ) ) e p ' x indica a primeira derivada de ( ) p x , ( ) assinale a opção que apresenta o polinômio r x . ( )
a) r x ( ) = − + 9x 9 b) r x ( ) = 7x
2− 16x 9 + c) r x ( ) = − 5x
2+ 16x 9 + d) r x ( ) = 3x
2+ 14x 9 + e) r x ( ) = − 16x + 9
RESOLUÇÃO: b
( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )
23 = gr q x gr r x gr r x 2 r x = ax + bx + c
( ) ( ) ( ) (
3) (
2)
p x = q x r x = 3x − 21x 18 + ax + bx + c p 0 ( ) = 18c 162 = = c 9
( ) (
2) (
2) (
3) ( )
p ' x = 9x − 21 ax + bx + + 9 3x − 21x 18 + 2ax + b ( ) ( )
p ' 0 = − 21 9 18 b + = − 477 18b = − 477 21 9 + 2b = − + 53 21 = − = − 32 b 16
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( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( )
( )
2 2 3
p ' 1 9 1 21 a 1 16 1 9 3 1 21 1 18 2a 1 16
12 a 7 0 a 7
= − + − + + − + − =
= − − = = Portanto, r x ( ) = 7x
2− 16x 9. +
3) Seja VABCD uma pirâmide regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros de lado 1 e P uma extensão do segmento VA, de modo que A VP e AP 1 .
= 2 Considerando um plano determinado por P e os pontos médios dos segmentos BC e AD, determine a área de intersecção entre a pirâmide e o plano e assinale a opção correta.
a) 16 11
7 b) 7 11
16 c) 7 11
64 d) 64 11
7 e) 32 11 7 RESOLUÇÃO: c
O quadrilátero MEFN é a seção do plano PMN e da pirâmide VABCD.
A reta VP está contida no plano VAD, então o ponto P pertence ao plano VAD. Assim, a interseção do plano VAD com plano PMN é a reta suporte de PN (pois P e N estão em ambos os planos), que contém o ponto F em seu prolongamento.
A reta suporte do segmento FE é a intersecção do plano PMN com o plano VCD. A reta suporte de FE é paralela á reta suporte de CD, pois caso contrário haveria um ponto X que seria a interseção dessas duas retas. O ponto X pertenceria aos planos PMN e ABCD, o que implicaria que esses planos teriam 3 pontos em comum M, N e X, ou seja, seriam coincidentes, o que é absurdo.
Se FE CD e MN CD, então FE MN. Portanto, o quadrilátero MEFN é um trapézio.
Vamos aplicar o teorema de Menelaus ao triângulo ADV com secante PNF:
1 1
AP DN VF 1 2 2 VF 1 VF 3 DF
1 3
AN DF VP DF
2 2
= = =
1 3
VD VF DF 1 3 DF DF 1 DF VF
4 4
= + = + = = =
Como FE DC, o triângulo VEF é equilátero, o que implica EF VF VE 3 .
= = = 4
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Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo DFN, temos:
3
FE VF FE 4 FE 3 .
DC = VD 1 = 1 = 4
2 2
2
1 1 1 1 1 1 1 1 3 3
FN 2 cos 60 FN .
2 4 2 4 4 16 4 2 16 4
= + − = + − = =
Como DFN CEM, então EM FN 3 .
= = 4
Vamos agora calcular a área do trapézio isósceles MEFN.
Seja EE’ a altura do trapézio, então, como o trapézio é isóscels, temos
1 3 4 1
E ' M .
2 8
= − = Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo EE’M, temos:
2 2
2 2 2 2
1 3
23 1 11 11
EE ' E ' M EM EE ' EE ' EE ' .
8 4 16 64 64 8
+ = + = = − = = Portanto, a área da seção da pirâmide pelo plano PMN, que é a área do trapézio NMEF,
é dada por ( )
NMEF
3 11
MN EF EE ' 1 4 8 7 11 7 11
S 2 2 4 16 64
+
+
= = = = unidades de área.
4) Seja a matriz
1 1 1 M 1 0 0 ,
0 1 0
=
onde M
n= M M M, com n fatores, x a soma dos elementos da 1ª coluna de M
12e y a soma dos elementos da 3ª coluna de M . Nesse
12caso, o valor de x − y é:
a) 504 b) 927 c) 778 d) 1431 e) 1705
RESOLUÇÃO: c
2
1 1 1 1 1 1 2 2 1
M 1 0 0 1 0 0 1 1 1
0 1 0 0 1 0 1 0 0
= =
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3 2
2 2 1 1 1 1 4 3 2
M M M 1 1 1 1 0 0 2 2 1
1 0 0 0 1 0 1 1 1
= = =
6 3 3
4 3 2 4 3 2 24 20 13
M M M 2 2 1 2 2 1 13 11 7
1 1 1 1 1 1 7 6 4
= = =
12 6 6
24 20 13 24 20 13 927 778 504
M M M 13 11 7 13 11 7 504 423 274
7 6 4 7 6 4 274 230 149
= = =
x = 927 504 274 + + y = 504 274 149 + + − = x y 927 149 − = 778
5) O Cruzeiro do Sul é uma das mais importantes constelações para os povos do hemisfério sul. Ela é muito útil na navegação e está presente em nossa Bandeira Nacional, no Brasão Nacional, assim como em símbolos de colégios, agremiações etc. Dentre as cinco principais estrelas há a Alpha Crucis ( ) , a mais brilhante, e a Epsilon Crucis ( ) , a menos brilhante dentre as principais que formam uma cruz, conforme figura abaixo.
Pode-se medir, de forma aproximada, a distância até uma estrela pela equação
d 10
M 5 5 log D ,
= − + 3,3 tal que M é o módulo de distância de uma estrela (uma medida
dde brilho na Astronomia) e D é a distância, em anos-luz. Considerando M
d= 5 para Alpha Crucis e M
d= 4, 2 para Epsilon Crucis, D a distância até Alpha Crucis e
aD a
edistância até Epsilon Crucis, ambas em anos-luz, pode-se afirmar, de forma aproximada, que:
Dados log
103 = 0, 48 e log
1023 1,36 =
a) D
e D
ab) D
a+ D
e= 557, 7 c) D
a= 300
d) D
e= 69 e) D
a= 100
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RESOLUÇÃO: b Alpha Crucis:
a a a 2
d 10 10 a
D D D
M 5 5 log 5 log 2 10 D 330
3,3 3,3 3,3
= − + = = = =
Epsilon Crucis:
e e e 1,84
d 10 10
D D 9, 2 D
M 5 5 log 4, 2 log 1,84 10
3,3 3,3 5 3,3
= − + = = = =
1,84
D
e3, 3 10
=
Notemos agora que:
10 10 10 10 1,84
log 3 log + 23 = 0, 48 1, 36 1,84 + = log 3 23 = log 69 1,84 = 10 = 69 Assim, temos: D
e= 3, 3 10
1,84= 3, 3 69 = 227, 7 D
a+ D
e= 330 + 227, 7 = 557, 7.
6) Quantos são os anagramas de MARINHA, em que somente uma vogal apareça em sua posição de origem?
a) 1512 b) 1152 c) 1008 d) 720 e) 480
RESOLUÇÃO: b
Vamos numerar as 7 posições das letras da esquerda para a direita e analisar os casos possíveis.
1º caso – A na posição 2 e I na posição 7:
Posição 4: 5 possibilidades 4 posições restantes: 4!
Total do 1º caso: 5 4! 120 =
2º caso – A na posição 2 e I não está na posição 7:
Posição 7: 4 (não pode ser A e nem I) Posição 4: 4 possibilidades (não pode ser I) 4 posições restantes: 4!
Total do 2º caso: 4 4 4! 384 =
3º caso – A na posição 7 e I na posição 2:
Total do 3º caso: 120 (análogo ao 1º caso)
4º caso – A na posição 7 e I não está na posição 2:
Total do 4º caso: 384 (análogo ao 2º caso) 5º caso: I na posição 4
Posição 2: 4 possibilidades (não podem ser usados os dois A’s) Posição 7: 3 possibilidades (não podem ser usados os dois A’s) 4 posições restantes: P
42,1,14! 12
2!1!1!
= = (permutação com elementos repetidos com dois A’s e as duas consoantes restantes)
Total do 5º caso: 4 3 12 144 =
Portanto, a quantidade de anagramas de MARINHA, em que somente uma vogal apareça
em sua posição de origem, é igual à soma do número de possibilidades de cada um dos 5
casos, ou seja, 120 384 120 384 144 1152. + + + + =
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7) Um raio luminoso parte do ponto A = − ( 1, 6, 2 , ) reflete na superfície refletora do plano x = − 5, no ponto E, e atinge o ponto B 2, 2, 4 . Indique a soma das coordenadas do ponto ( )
E.
a) 25
11 b) 5
14 c) 3
11 d) 2 e) 15
2 RESOLUÇÃO: a
Inicialmente, vamos refletir o ponto A em relação ao plano : x = − 5.
O ponto P, projeção de A sobre o plano , é P = − ( 5, 6, 2 . )
O ponto A ' = ( x
A', 6, 2 , ) reflexão de A em relação ao plano , deve ser tal que P seja o ponto médio de AA’. Assim, devemos ter:
( ) ( )
A' A'
x 1
5 x 9 A ' 9, 6, 2 .
2
+ − = − = − = −
Vamos agora obter a reta r suporte do segmento A’B. O ponto E será a interseção dessa reta com o plano x = − 5.
O vetor diretor da reta r é d
r= ( 2 − − ( ) 9 , 2 6, 4 2 − − ) = ( 11, 4, 2 . − ) A equação da reta r é
( x, y, z ) ( = + 2 11t, 2 4t, 4 2t , − + ) t .
Portanto, o ponto E, interseção da reta r com o plano x = − 5, é determinado por 2 11t 5 t 7 .
+ = − = − 11
Assim, a soma das coordenadas do ponto E é
( 2 11t ) ( 2 4t ) ( 4 2t ) 8 9t 8 9 7 8 63 25 .
11 11 11
+ + − + + = + = + − = − =
Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira
8) Dois amigos se encontram em dois portões de acesso, nos pontos A e B, de um ginásio com um muro circular de raio 12 metros, conforme figura ilustrativa abaixo.
Aquele que se encontra no portão A caminha, na área externa ao muro, x metros, numa trajetória retilínea, até avistar o ponto B. Sabendo que o comprimento do arco AB é de
3 metros, o menor valor de x, em metros, vale:
a) 12 2 12 + b) 12 6 2 − c) 12 2
d) 12 2 − 2 e) 12 2 + 2
RESOLUÇÃO: b
Se a circunferência tem raio 12 m e o arco AB, comprimento 3 m, então o ângulo central ˆ 3
AOB rad.
12 4
= =
O menor valor de x ocorre quando a pessoa que está em A caminha na direção perpendicular à tangente à circunferência no ponto B, e vai avistar B em P.
Seja AA ' ⊥ OB, então OA'A é um triângulo retângulo isósceles e o #AA’BP é um retângulo.
Assim, temos: x AP A ' B OB OA ' 12 12 2 12 6 2.
= = = − = − 2 = −
Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira
9) Seja a função f definida por f x ( ) = 2e
−x − ( 1 2e
−x) , cujo gráfico está representado a seguir, e seja o número real
ln a,tal que
f ln a( )=0.Tomemos um valor real positivo h, tal que a área compreendida entre o gráfico da função e o eixo das abscissas no intervalo ln a h ;ln a ( − ) ( ) seja igual à área compreendida entre o gráfico da função e o eixo das abscissas no intervalo ln a ;ln a h . ( ) ( + ) Nesse sentido, pode-se afirmar que:
a) 0 h e
−1b) e
−1 h ln 2 ( ) c) ln 2 ( ) h 1 d) 1 h e e) h não existe
RESOLUÇÃO: e
( ) ( )
ln a(
ln a)
ln a 1 ln a 11 1
f ln a 0 f ln a 2e 1 2e 0 1 2e 0 2e 1
2 a 1 a 1 a 2
2
− −
− −
− −
= = − = − = =
= = =
Vamos, inicialmente, calcular a integral indefinida de f.
( )
x(
x) (
x 2x) (
x)
2xx 2x
f x dx 2e 1 2e dx 2e 4e dx 2 e 4 e
2 2e 2e
− − − − − −
− −
= − = − = − − =
−
= − +
Note que para
xln 2,a função assume valores negativos. Assim, a área compreendida entre o gráfico de f e o eixo das abscissas no intervalo ln 2 h ;ln 2 ( − ) ( ) é
( )
( )
( )
(( ) )( ) ( )
( ) (
( ) ( ))
( ) ( )
( ) (
( ) ( ))
( ) ( ( ) ( ) )
( ) ( )
( )
1 2
1 2
ln 2 x 2x ln 2
ln 2 h 1
ln 2 h
ln 2 2ln 2 ln 2 h 2ln 2 h
ln 2 ln 2 ln 2 h ln 2 h
1 2
1 2
1 2
1 2
S f x dx 2e 2e
2e 2e 2e 2e
2e 2e 2e 2e
2 2 2 2 2 2 h 2 2 h
2 2 2 2 h 2 h
− −
− −
− −
− −
− − − − − −
− −
− −
− −
− −
− −
= − = − − + =
= − − + − − + =
= − − + − − + =
= − − + − − − + − =
= − − − + −
Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira
Para
xln 2,a função assume valores positivos. Assim, a área compreendida entre o gráfico de f e o eixo das abscissas no intervalo ln 2 ;ln 2 h ( ) ( + ) é
( )
( ) ( )
( )( )( ) ( )
( ) (
( ) ( ))
( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 2 1 2
ln 2 h x 2x ln 2 h
2 ln 2 ln 2
ln 2 h 2ln 2 h ln 2 2ln 2
ln 2 h ln 2 h ln 2 ln 2
1 2 1 2
1 2 1 2
S f x dx 2e 2e
2e 2e 2e 2e
2e 2e 2e 2e
2 2 h 2 2 h 2 2 2 2
2 2 h 2 h 2 2
− − − −
+ − − +
− + − + − −
+ +
− − − −
− − − −
= = − − + =
= − + − − + =
= − + − − + =
= − + + + − − + =
= − + + + + −
É dado que S 1 = S , 2 então
( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
2 2 2 2
2 2 2 2
3 2 2 3 2 2
3
S S 2 2 2 2 h 2 h 2 2 h 2 h 2 2
1 1 1 1 2 h 1 2 h 1
2 h 2 h 2 h 2 h 2 h 2 h
h 1 2 h h 1 2 h h 1 h 4h 4 h 1 h 4h 4
h 4h 4h h 4h 4 h 4h 4h h 4h 4
2h 0 h 0
− − − −
− − − −
= − − − + − = − + + + + −
− − + − + +
− + = − + =
− − + + − +
− + = − − − − + + = − − − +
+ + − − − = − + − − + −
= =
Como
h0,então h não existe.
10) Seja W o conjunto composto apenas por múltiplos de 2 ou P, em que P é um primo ímpar. Sabendo que 3
5 de W, que são múltiplos de P, são ímpares; 2
5 de W são ímpares;
e 77 elementos de W não são múltiplos de 2P, pode-se afirmar que a quantidade de elementos de W que são ímpares é um múltiplo de:
a) 4 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11
RESOLUÇÃO: c
Vamos considerar, dentre os elementos do conjunto W, que haja x que são múltiplos de 2 e não são múltiplos de P, y que são múltiplos de P e não são múltiplos de 2, e z que são múltiplos de 2 e P.
Assim, o número de elementos de W é # W ( ) = + + x y z.
3
5 de W, que são múltiplos de P, são ímpares implica 3 ( y z ) y 3z 2y.
5 + = = (i)
2
5 de W são ímpares implica 2 ( x y z ) y 2x 2z 3y.
5 + + = + = (ii)
77 elementos de W não são múltiplos de 2P implica x + = y 77. (iii) (ii)
( )i
2x + 2z = 3y 6x 6z + = 9y 6x + 2 2y = 9y 6x = 5y (iv)
( )iv
+ = + = + = = = =
Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira
Logo, a quantidade de elementos de W que são ímpares é y = 42, que é um múltiplo de 7.
11) Seja a curva determinada pelo lugar geométrico dos centros das circunferências no
2
, que tangenciam a reta x = 2 e passam pelo ponto ( 6, 4 . ) Sendo assim, a reta tangente a essa curva pelo ponto ( ) 6,8 possui equação:
a) y 8 − = 0 b) x + − = y 6 0 c) x + − y 14 = 0 d) x − + = y 2 0 e) x − + = y 4 0
RESOLUÇÃO: d
O lugar geométrico dos centros das circunferências que tangenciam a reta x = 2 e passam pelo ponto ( 6, 4 ) é igual ao lugar geométrico dos pontos que equidistam da reta x = 2 e do ponto ( 6, 4 , ) ou seja, uma parábola de diretriz x = 2 e foco ( 6, 4 . )
O parâmetro da parábola é p = − = 6 2 4 e o vértice é V = ( 4, 4 . ) A equação da parábola é dada por ( y 4 − )
2= − 2 4 x 4 ( ) ( y 4 − )
2= 8x 32. −
Outra forma de obter a equação da parábola é usar a definição do lugar geométrico.
( )
2( )
2 2 2 22
x 2 x 6 y 4 x 4x 4 x 12x 36 y 8y 16
8x y 8y 48 0
− = − + − − + = − + + − +
− + − + =
Vamos agora usar derivação implicita para obter o coeficiente angular da reta tangente à parábola no ponto ( ) 6,8 .
( y 4 )
28x 32 2 y 4 y ' ( ) 8 y ' 4
− = − − = = y 4
−
y 8 y ' 4 1
= = 8 4 =
−
A reta tangente deve ter coeficiente angular 1 e passa pelo ponto ( ) 6,8 . Assim, sua
equação é
Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira
y 8 1 y x 2 x y 2 0
x 6
− = = + − + =
−
12) O volume de um cubo de aresta 2x excede em 27 unidades o volume de um paralelepípedo retângulo com 54 unidades de área da base e altura x. Sendo assim, o valor de x é
a) 8 cos 40 ( ) b) 3 cos 20 ( ) c) 8 cos 20 ( ) d) 9 cos 40 ( ) e) 2 cos 30 ( )
RESOLUÇÃO: b
O volume de um cubo de aresta 2x é V
c= ( ) 2x
3= 8x .
3O volume de um paralelepípedo retângulo com 54 unidades de área da base e altura x é V
p= 54 x.
Assim, temos:
3 3 c p 3
x x x 1
V V 27 8x 54x 27 8 2x 1 4 3
27 3 3 2
− = − = − = − = (*) Sabemos que 4 cos
3 − 3cos = cos 3 e cos 60 1 .
= 2 Assim,
( ) ( )
3
1
4 cos 20 3cos 20 cos 60 .
− = = 2 Portanto, x cos 20 ( ) x 3 cos 20 ( )
3 = = satisfaz a equação (*).
13) Seja z um número complexo da forma z = + a bi, no qual i é a unidade imaginária.
Seja k de modo que k é o menor limitante superior para
4 2
1 ,
z 3z 2
−
+ + quando z = 2. Sendo assim, assinale a opção que apresenta o intervalo ao qual k pertença.
a) 0,1 b) 1, 3 2
c) 1 ,1 2
d) 3 , 2 2
e) 2, 3 RESOLUÇÃO: a
( )( )
4 2 2 2 2 2
1 1 1 1
z 3z 2 z 1 z 2 z 1 z 2
− = =
+ + + + + +
Temos que calcular o valor mínimo do produto z
2+ 1 z
2+ 2 para z = 2.
2 2 2 2
z = + a bi z = 2 a + b = 2 a + b = 4
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2
z 1 a b 2abi 1 a b 1 2abi a b 1 4a b
a b 1 2a b 2a 2b 4a b a 2a b b 1 2 a b
+ = − + + = − + + = − + + =
= + + − + − + = + + + + − =
Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
z 2 a b 2abi 2 a b 2 2abi a b 2 4a b
a b 4 2a b 4a 4b 4a b a 2a b b 4 4 a b
a b 4 4 a b 4 4 4 a b 20 4 a b
+ = − + + = − + + = − + + =
= + + − + − + = + + + + − =
= + + + − = + + − = + −
Note que tanto z
2+ 1 quanto z
2+ 2 dependem do valor de ( a
2− b
2) . Podemos minimizá-los simultaneamente adotanto a = 0 e b = 2. Assim, temos:
2
( )
2 2
min min
z + 1 = 17 2 + − = 4 9 z + 1 = 3
2
( )
2 2
min min
z + 2 = 20 4 + − = 4 4 z + 2 = 2
2 2
2 2
1 1 1
z 1 z 2 3 2 6 k 0,1
6 6
z 1 z 2
+ + = =
+ +
14) Um círculo, contido no plano x − 2y + = 4 0, de centro ( 4, 4, 4 ) e raio 5, é projetado ortogonalmente no plano y = 0, formando uma figura plana de área, em unidades de área, igual a:
a) 2 5 b) 4 c) 5 d) 5 2 e) 10
RESOLUÇÃO: a
O vetor normal ao plano x − 2y + = 4 0 é n
1= ( 1, 2, 0 . − ) O vetor normal ao plano y = 0 é n
2= ( 0,1, 0 . )
O ângulo entre os planos é dados por
( ) ( )
( )
1 2
( )
2 2 2 2 2 2
1 2
n n 1, 2, 0 0,1, 0 1 0 2 1 0 0 2
cos .
n n 1 2 0 0 1 0 5 1 5
− + − + −
= = = =
+ − + + +
Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira
O ângulo tal que cos 2 5
= − é obtuso. Assim, o ângulo agudo entre os planos é dado
por cos ' cos 180 ( ) cos 2 .
= − = − = 5
A projeção da circunferência de raio 5 do plano x − 2y + = 4 0 sobre o plano y = 0 é uma elipse de semieixo maior a = 5 e semieixo menor b 5 cos ' 5 2 2.
= = 5 = Portanto, a área da projeção é a área da elipse que é S = = a b 5 2 = 2 5 unidades de área.
15) Suponha que duas aeronaves da Marinha estejam fazendo um voo de modo que suas trajetórias estejam contidas no plano x’y’, de um sistema cartesiano ortogonal x’y’z’, no instante de tempo t .
0Em um instante t ,
1os pilotos precisam alcançar uma certa altura
z '
1e recebem as seguintes determinações:
I – A aeronave A deve fazer seu voo sobre a reta
x ' 1 t r : y ' 1 1 t
2 z ' t
= +
= +
=
com t .
II – A aeronave B deve fazer seu voo sobre a reta m que é paralela a r, que está contida no plano x ' 4y ' z ' − + = 0 e que dista 20
3 do ponto P 1, 0,1 . ( )
Considerando que r, m e P estão no sistema x’y’z’, assinale a opção que representa uma possível trajetória da aeronave B a partir de t
1até alcançar a altura z ' .
1a) m : 1, 1,1 ( ) 1, , 2 1 2
− + com
b) m : ( 1, 0, 1 ) 1, , 2 1 2
− − + com
c) m : 1, 1,1 ( − ) + ( 2,1, 4 ) com
d) m : ( − 1, 0,1 ) + ( 2,1, 2 ) com
e) m : 1, 0, 1 ( − + ) ( 2,1, 2 ) com
RESOLUÇÃO: d
A reta r tem vetor diretor d
r1, ,1 . 1 2
=
A reta m paralela a r deve ter vetor diretor d
md
r1, ,1 . 1 2
= =
O plano x − 4y + = z 0 tem vetor normal n = ( 1, 4,1 . − )
Para que m r esteja contida no plano : x − 4y + = z 0, é necessário que
Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira
( )
m m
n d n d 0 1, 4,1 1, ,1 1 1 2 1 0.
2
⊥ = − = − + =
Seja P’ a projeção do ponto P 1, 0,1 ( ) sobre a reta m, então P’ está sobre o plano : x 4y z 0,
− + = o que implica que P’ pode ser escrito na forma P ' = ( a, b, a − + 4b . )
O vetor PP ' = − ( a 1, b, a − + 4b 1 − ) deve ser perpendicular ao vetor diretor da reta m.
Assim, devemos ter:
( )
m
1 b 4
PP ' d a 1, b, a 4b 1 1, ,1 0 a 1 a 4b 1 0 b
2 2 9
= − − + − = − + − + − = =
O módulo do vetor PP ' a 1, , a 4 4 4 1 a 1, , a 4 7
9 9 9 9
= − − + − = − − + deve ser igual a 20 .
3
( )
2 2 2
2 2
4 7
232 146 20 20
PP ' a 1 a 2a a
9 9 9 81 3 9
= − + + − + = − + = =
2
32 34
216 17 1 17 1 17
2a a 0 a a 0 a a 0 a a
9 81 9 81 9 9 9 9
− − = − − = + − = = − =
O vetor ( 2,1, 2 ) 2 1, ,1 1 2 d .
m2
= =
Assim, há duas possibilidades para a equação da reta m:
( ) ( )
1 4 1 4 17 1 4 17
a b P ' a, b, a 4b , , m : , , t 2,1, 2
9 9 9 9 9 9 9 9
= − = = − + = − − +
( ) ( )
17 4 17 4 1 17 4 1
a b P ' a, b, a 4b , , m : , , t 2,1, 2
9 9 9 9 9 9 9 9
= = = − + = − − + Analisando as opções, observamos que ( − 1, 0,1 ) m, pois
( ) ( ) ( )
1 4 17 8 4 8 4
, , t 2,1, 2 1, 0,1 t 2,1, 2 , , t .
9 9 9 9 9 9 9
− + = − = − − − = −
Portanto, uma possível trajetória de B é m : ( − 1, 0,1 ) + t ( 2,1, 2 , t ) .
16) Considere que para obter a posição de um navio, navegando em um canal, faz-se o uso de três retas. Essas retas são tomadas sob o olhar de três pontos notáveis e de três marcações angulares feitas por vigias no navio, sempre com o navio em movimento. As interseções dessas retas geram uma região triangular de área X e não acontecem em um único ponto. A região triangular é chamada de triângulo de incerteza e, quanto menor o valor de X, melhor é a precisão da marcação da posição do navio no canal. Suponha que, depois de feitas as marcações, as três retas obtidas tenham as equações
r : 2x
1+ − = y 6 0,
21 1 r : ,1 t ,1 ,
2 6
+
t , e r :
3x 6 6 , y 2 4
= +
= +
.
Sendo assim, assinale a opção que indica a área da região triangular X determinada por r ,
1r
2e r .
3a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira
RESOLUÇÃO: d
Vamos colocar todas as retas na equação reduzida.
r : 2x
1+ − = = − y 6 0 y 2x + 6
( )
2
1 1 1 t 1
r : ,1 t ,1 x t 6 x 6x 3 y 1 t y 1 6x 3
2 6 2 6 2
y 6x 2
+ = + = − = − = + = + −
= −
3
x 6 x 6 6
r : 6
x 6 2
y 2 4 y 2 4 y x 2
6 3
= + = −
−
= + = + = −
Assim, temos: r : y
1= − 2x + 6; r : y
2= 6x − 2;
32 r : y x 2.
= 3 − Vamos encontrar os pontos de interseção das retas.
1 2
( )
r r : 2x 6 − + = 6x 2 − = = = x 1 y 4 A 1, 4
1 3
( )
2 8
r r : 2x 6 x 2 x 8 x 3 y 0 B 3, 0
3 3
− + = − = = = =
( )
2 3
r r : 6x 2 2 x 2 x 0 y 2 C 0, 2
− = 3 − = = − = −
A área da região triangular X é dada por
ABC1 1 1
1 1
S 1 3 0 6 12 2 8
2 2
4 0 2
= = − − + =
− unidades de área.
17) Três amigos marcam um encontro na frente do estádio Nilton Santos para assistir a uma partida de futebol. Eles combinaram que cada um deve chegar em um momento escolhido entre 15h00 e 16h00 e que nenhum deles esperará mais de 30 minutos pelos demais, dentro do horário estipulado. Qual é a probabilidade de que os três amigos se encontrem entre 15h00 e 16h00?
a) 7
16 b) 5
8 c) 1
2 d) 15
32 e) 31
64
Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira
RESOLUÇÃO: c
Vamos analisar esse problema considerando um segmento de comprimento 1 que representa o intervalo de 1 hora emtre 15h e 16h, e três segmentos de comprimento 1
2 que representa o tempo que cada um dos amigos fica esperando (assumindo que todos eles esperem 30 minutos).
Supondo que as extremidades à esquerda dos três segmentos de medida 1
2 sejam colocadas dentro do segmento unitário.
A situação em que os três amigos se encontram corresponde a haver interseção não vazia dos três segmentos.
Veja um exemplo no diagrama a seguir:
Vamos analisar esse problema com base nos pontos P ,
1P
2e P ,
3que são as extremidades à esquerda dos três segmentos de comprimento 1 .
2
Supondo que P
1foi colocado em alguma posição no segmento unitário, para que a interseção entre os três seja não vazia, o ponto P ,
3que corresponde à chegada do terceiro amigo, deve satisfazer P P
1 31 .
2
Assim, podemos dizer que, para cada posição de P ,
1a distância entre P
1e P
3pode ser representada por P P
1 31 x,
= − 2 para 0 x 1 .
2
O ponto P ,
2correspondente a chegada do 2º amigo, pode estar em qualquer lugar entre P
1e P ,
3ou seja, em qualquer lugar de um intervalo de tamanho 1 x .
2
−
Se P P
1 31 x,
= − 2 o ponto P ,
1para cada valor de x, pode ser alocado em um segmento de tamanho 1 1 x 1 x.
2 2
− − = + Para entender melhor isso, basta pensar no ponto P ,
3que poderá variar desde a posição 1 até a posição 1 x
2
−
(quando P
1está na posição 0).
Como estamos em um intervalo unitário, o comprimento do segmento onde cada ponto
pode ser alocado corresponde à sua probabilidade.
Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira
Logo, para cada x, a probabilidade do ponto P
1é 1 x , 2
+
o ponto P
3tem posição definida e a probabilidade do ponto P
2é 1 x .
2
−
A probabilidade de haver interseção dos três segmentos, nessa ordem, deve ser calculada para cada valor de x, então será dada por
3 3 1 2
1 2 1 2
2
0 0 0
1 1
1 1 1 x x 2 2 1 1 1
P x x dx x dx
2 2 4 4 3 4 3 8 24 12
= + − = − = − = − = − =
Essa probabilidade foi calculada para uma determinada ordem de chegada dos amigos, em particular, para uma determinada escolha do 1º amigo a chegar e do último amigo a chegar. Mas, há 3 2 = 6 possibilidades de escolha do primeiro e do último a chegar, então a probabilidade deve ser multiplicada por 6.
Portanto, a probabilidade pedida é P ' 6 P 6 1 1 . 12 2
= = =
Duas soluções gráficas muito interessantes para essa questão podem ser vistas nos canais do YouTube Matematicamente XYZ (https://youtu.be/F5_Sv7od5R0), do professor Luciano Castro, e Matemática para Vencer (https://youtu.be/IMZuzrSfG2o), do professor Laércio Vasconcelos.
18) Sabendo que f é uma função definida por f x ( ) = x
xe que D é o domínio de f, é correto afirmar que:
a) f possui um máximo global em
2
x 1 e
= em D.
b) f possui um mínimo local em
2
x 1 e
= em D.
c) f possui um máximo local em x 1
= e em D.
d) f possui um mínimo local em x 1
= e em D.
e) f não possui máximo ou mínimo em D.
RESOLUÇÃO: d
O domínio de f é D =
*+.
Vamos, inicialmente, calcular a primeira derivada de y = f x ( ) = x .
xx x
y = x ln y = ln x ln y = x ln x Aplicando derivação implicita, temos:
( )
x( )
y ' 1
1 ln x x y ' y ln x 1 x ln x 1 y = + x = + = + Vamos estudar o sinal da 1ª derivada de f.
( )
−Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira
x e
−1 y ' 0 f é decrescente x = e
−1 y ' = 0
x e
−1 y ' 0 f é crescente
Dessa forma, a função f possui um mínimo local em x 1 .
= e
19) Considere um conjunto de números inteiros A = 1, 2, 3, , n , com n elementos. Se retirarmos um número do conjunto A, a média aritmética dos elementos restantes é 16,4.
Sabendo que p é o número que foi retirado, determine p − n e assinale a opção correta.
a) 27 b) 28 c) 33 d) 35 e) 37
RESOLUÇÃO: a
A soma dos elementos do conjunto A, após a retirada do número p, é ( 1 n n )
S p
2
= + − e
a média aritmética dos seus elementos é
( 1 n n ) 2 p
MA 16, 4.
n 1
+ −
= =
− Assim, temos:
( )
2 2
1 n n 2 p
MA 16, 4 n n 2p 32,8n 32,8 n 31,8n 32,8 2p
n 1
+ −
= = + − = − − + =
−
Note que p A, então 1 p n. Isso implica que
2 2 2
2 1 n − 31,8n 32,8 + 2 n n − 31,8n 30,8 + 0 n − 33,8n 32,8 + 0
( ) ( )
n
2− 31,8n 30,8 + 0 n 1 n 30,8 − − 0 n 1 n 30,8 n 1 n 31
( ) ( )
n
2− 33,8n 32,8 + 0 n 1 n 32,8 − − 0 1 n 32,8 1 n 32 Fazendo a interseção dos intervalos, então n 1, 31, 32 .
A solução n = 1 não faz sentido, pois ao retirar o elemento p = 1, a média aritmética dos elementos restantes seria 0.
Para n = 31, temos 32 31
2 p 16, 4 496 p 492 p 4.
30
−
= − = =
Para n = 32, temos 33 32
2 p 16, 4 528 p 508, 4 p 19, 6 . 31
−
= − = =
Portanto, a única solução válida é n = 31 e p = 4, o que implica
p n − = − 4 31 = − 27 = 27.
Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira
