Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

(1)

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

PROVA DE MATEMÁTICA EFOMM 2019-2020 (BRANCA) (ENUNCIADOS)

1) Sejam os números reais a e b tais que

3 x 0

ax b 2 7

lim .

x 12



   O valor do produto a b é

a) 52 b) 56 c) 63 d) 70 e) 84

2) Seja f :  uma função tal que f m n   n f m  m f n  para todos os naturais m e n. Se _{f 20} __3, _{f 14} __{1, 25} e _{f 35} __4, então, o valor de _{f 8 é} 

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3) A inequação x 2x 8  x 8 é satisfeita por um número de valores inteiros de x igual a

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

4) Assinale a alternativa que apresenta o termo independente de x na expansão binomial

8 2

6

x 1 .

x

  

 

 

a) 1 b) 8 c) 28 d) 56 e) 70

5) Quantos são os anagramas da palavra MERCANTE que possuem a letra M na 1ª posição (no caso, a posição de origem), ou a letra E na 2ª posição, ou a letra R na 3ª posição?

a) 60 b) 120 c) 8400 d) 12600 e) 15120

6) Seja a esfera de raio R inscrita na pirâmide quadrangular regular de aresta da base 2 cm e aresta lateral 38 cm. Sabendo-se que a esfera tangencia todas as faces da pirâmide, o valor de R, em cm, é

a) ^{37 1} 6

 b) ^{39 1} 38

 c) ^{6 38 12} 17

 d) ^{37 1} 6

 e) ^{6 38 12} 17



7) Sejam as funções reais f e g definidas por f x x⁴10x³32x²38x 15 e

  ³ ²

g x   x 8x 18x 16. O menor valor de _{f x} __{g x}  no intervalo

 

^{1;3 é}

a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 7

(2)

8) Uma parte do gráfico da função f está representado na figura abaixo. Assinale a alternativa que pode representar f x .^{ }

a) _{f x} __{sen x} _{  } ₁ b) f x  2sen x 1

2

 

    c) f x  sen 2x 2

6

 

    d) f x^{ }2sen 2x^{ }1 e) f x  2sen 2x 1

6

 

   

9) Sejam a circunferência C , com centro A e raio 1, e a circunferência ₁ C , que passa ₂ por A, com centro B e raio 2. Sabendo-se que D é o ponto médio do segmento AB, E é um dos pontos de interseção entre C e ₁ C , e F é a interseção da reta ED com a ₂ circunferência C , o valor da área do triângulo AEF, em unidades de área, é ₂

a) 2 ¹⁵

 8 b) 1 ¹⁵

 4 c) ^{3 15}

8 d) ¹⁵

4 e) ^{5 15}

8

10) Seja a função ^{f : t;}



^{ }



^, definida por f x x³3x²1. O menor valor de t, para que a função seja injetiva, é

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

11) Sejam o plano : 6x 4y 4z 9   0, os pontos A 



1;3; 2



e ^B^



^{m; n; p .}



Sabendo-se que o ponto B é simétrico ao ponto A, em relação ao plano , o valor da soma m n p é

a) 2 b) 0 c) 1

4 d) 7

4 e) 3

(3)

12) Considere a inequação x⁷x⁴  x 1 x²4x 3



x²7x 54



0. Seja I o conjunto dos números inteiros que satisfazem a desigualdade e n a quantidade de elementos de I. Com relação a n, podemos afirmar que

a) n é um número primo.

b) n é divisível por 7.

c) n não divide 53904.

d) n é um quadrado perfeito.

e) n é divisível por 6.

13) Seja o somatório abaixo, onde i é a unidade imaginária.

2020 j j 0

S i

 

Sobre o valor de S, é correto afirmar que

a) S 1 i  b) S 1 i  c) S 1 d) Si e) Si³

14) Seja ABC um triângulo inscrito em uma circunferência de centro O. Sejam O’ e E o incentro do triângulo ABC e o ponto médio do arco BC que não contém o ponto A, respectivamente. Assinale a opção que apresenta a relação entre os segmentos EB, EO’

e EC.

a) EBEO 'EC b) EBEO'EC c) EBEO 'EC d) EBEO 'EC e) EBEO'EC

15) Considere um recipiente cúbico W de aresta 2. Suponha que possamos colocar 8 esferas de raio R e uma de raio 2R dentro de W dispostas do seguinte modo: a esfera de raio 2R tem seu centro coincidindo com o centro de W e cada uma das demais esferas são tangentes a três faces e à esfera maior. Assinale a opção que apresenta o intervalo ao qual R pertença.

Dados: 21, 4, 31, 7 e 52, 2.

a) 1 1

6 R 4 b) 1 2

3 R 5 c) 3 1

7  R 2 d) 2 4

3 R 5 e) 4 9 5 R 10

16) Considere a soma    

1 1 1 1

S ,

45 5 9 13 9 13 17 4n 1 4n 5 4n 9

     

      

ou seja, a soma continua para n crescendo indefinidamente. Assinale a opção que apresenta o valor de S.

a) 1

S2 b) S 1 c) 1

S 20 d) 1

S 40 e) 1

S50

17) Sejam u, v e w vetores do ³. Sabe-se que u  v w 0, 1

v ,

 2 3

u  2 e w 2. Assinale a opção que apresenta o valor de u v v w    u w.

a) 3

7 b) ¹³

 4 c) ⁷

16 d) 5

8 e) 4

7

(4)

18) Seja f uma função real definida por  

x ; se x2 2

f x ax b; se 2 x 2, 2x 6; se 2 x

  

    

  



com a, b . Sabendo que os limites  

xlim f x2

 e  

xlim f x2

 existem, assinale a opção que apresenta a b .

a) 1

6 b) 1

5 c) 1

4 d) 1

3 e) 1

2

19) A trombeta de Gabriel é um sólido Matemático formado pela rotação da curva y 1

x em torno do eixo x.

O volume desse sólido no intervalo 1 x 10  é

a) _V__{ln 10}  _b)_V ⁹

10

  c) 9

V 5

  d) _V_{ }_{ln 10}  e) V 8

20) Seja a matriz

1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

A 1 4 9 16 25 .

1 8 27 64 125

1 16 81 256 625

 

 

 

 

 

Qual é o valor do determinante da

matriz A?

a) 96 b) 98 c) 100 d) 144 e) 288

(5)

PROVA DE MATEMÁTICA EFOMM 2019-2020 (BRANCA) RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES

1) b (Limites) 2) a (Função)

3) e (Inequação modular)

4) c (Binômio de Newton – termo independente)

5) c* (Análise combinatória – princípio da inclusão-exclusão e permutações com elementos repetidos)

6) d (Geometria espacial – esfera inscrita na pirâmide regular) 7) a (Cálculo – derivada – estudo de funções)

8) e (Função trigonométrica – gráfico) 9) c (Geometria plana – áreas)

10) d (Cálculo – derivada – estudo de funções) 11) e (Geometria analítica no espaço – reta e plano) 12) d (Inequação modular e derivada)

13) c (Números complexos – potências de i)

14) a (Geometria plana – pontos notáveis no triângulo e ângulos no círculo) 15) b (Geometria espacial – inscrição e circunscrição de sólidos)

16) d* (Polinômios – decomposição em frações parciais) 17) b (Vetores no espaço)

18) e (Cálculo – limites laterais)

19) b (Cálculo – aplicações da integral)

20) e (Determinantes – matriz de Vandermonde)

* O enunciado dessa questão foi adaptado, pois ela estava incorreta da maneira como foi originalmente proposta.

(6)

PROVA DE MATEMÁTICA EFOMM 2019-2020 (BRANCA)

(RESOLUÇÃO)

1) Sejam os números reais a e b tais que

3 x 0

ax b 2 7

lim .

x 12



   O valor do produto a b é

a) 52 b) 56 c) 63 d) 70 e) 84

RESOLUÇÃO: b

Se o numerador tende a um valor finito não nulo, o limite é infinito.

Para que o limite seja finito, o numerador deve tender a zero para que tenhamos uma indeterminação.

3 3

x 0

lim ax b 2 b 2 0 b 8

        O limite original fica

3 x 0

ax 8 2 lim x

  e é uma indeterminação do tipo 0

0. Vamos aplicar o teorema de L’Hôpital.

 

3 2 3

2 3 2

x 0 x 0 x 0 3

1 ax 8 a

ax 8 2 3 a 1 a 1 a 7

lim lim lim

x 1 3 ax 8 3 8 12 12



  

 

        

 a 7

 

Portanto, a b   7 8 56.

2) Seja f :  uma função tal que f m n   n f m  m f n  para todos os naturais m e n. Se f 20 3, f 14 1, 25 e f 35 4, então, o valor de _{f 8 é} 

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

RESOLUÇÃO: a

          f 4 f 2 2  2 f 2  2 f 2  4 f 2

       

         

f 20 3 f 4 5 5 f 4 4 f 5 3

5 4 f 2 4 f 5 3 20 f 2 4 f 5 3 i

       

          

         

f 14 f 2 7  7 f 2  2 f 7 1, 25 ii

         

f 35 f 5 7  7 f 5  5 f 7 4 iii

Multiplicando (ii) por  _₅ e (iii) por 2 e somando, temos:

      1, 75 35 f 2^{ }  

35 f 2 14 f 5 6, 25 8 f 5 iv

14

 

        

Substituindo (iv) em (i), vem:

   

1, 75 35 f 2

20 f 2 4 3 20 f 2 0,5 10 f 2 3

14

2,5 1 30 f 2 2,5 f 2

30 12

 

         

     

(7)

Vamos calcular f 8 , usando que   f 4  4 f 2  e   1

f 2 .

12

              1

f 8 f 2 4 4 f 2 2 f 4 4 f 2 2 4 f 2 12 f 2 12 1

              12

3) A inequação x 2x 8  x 8 é satisfeita por um número de valores inteiros de x igual a

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

RESOLUÇÃO: e x, se x 0 x x, se x 0

 

 

2x 8, se x 4 2x 8 2x 8, se x 4

 

    

x 8, se x 8

x 8 x 8, se x 8

  

     

Vamos analisar a desigualdade nos 4 intervalos determinados.

      ₁

x 8 : x  2x 8             x 8 x 2x 8 x 8 x 8 S  

      ₂

8 x 0 : x 2x 8 x 8 x 2x 8 x 8 x 0 S

                  

      3

 

0 x 4 : x  2x 8   x 8 x  2x 8  x 8   x 0 S  0, 4

      ₄

 

x4 : x  2x 8   x 8 x  2x 8  x 8   x 8 S  4,8

  ^{   }

1 2 3 4

SS S S S     0, 4  4,8  0,8

Os valores inteiros que pertencem ao conjunto solução são



^{0,1, 2, 3,} ,8 , ou seja, 9



valores.

4) Assinale a alternativa que apresenta o termo independente de x na expansão binomial

8 2

6

x 1 .

x

  

 

 

a) 1 b) 8 c) 28 d) 56 e) 70

RESOLUÇÃO: c

O termo de ordem p 1 do desenvolvimento de

8 2

6

x 1 x

  

 

  é

p

 

8 p

p 2 p 16 8p

p 1 8 6 8

T C 1 x C x .

x

 

      

O termo independente de x ocorre quando 16 8p   0 p 2, e é igual a

2 1 28

T C 8 7 28.

   2! 

(8)

5) Quantos são os anagramas da palavra MERCANTE que possuem a letra M na 1ª posição (no caso, a posição de origem), ou a letra E na 2ª posição, ou a letra R na 3ª posição?

a) 60 b) 120 c) 8400 d) 12600 e) 15120

RESOLUÇÃO: c

Sejam A o conjunto dos anagramas que possuem a letra M na 1ª posição, B o conjunto dos anagramas que possuem a letra E na 2ª posição e C o conjunto dos anagramas que possuem a letra R na 3ª posição. Seja também  o conjunto de todos os anagramas da palavra MERCANTE.

O problema pede a quantidade de elementos do conjunto A B C.

Pelo princípio da inclusão-exclusão, sabemos que

# A  B C # A # B # C # A    B # A C # B C # A B C  * Vamos calcular agora a quantidade de cada um dos conjuntos.

Anagramas que possuem M na 1ª posição: 2,1,1,1,1,1 7

# A P 7!

  2

Anagramas que possuem E na 2ª posição: # B7!

Note que, colocando-se um dos Es na 2ª posição restam 7 letras distintas para ser permutadas.

Anagramas que possuem R na 3ª posição: 2,1,1,1,1,1 7

#C P 7!

  2

Anagramas que possuem M na 1ª posição e E na 2ª posição: # A B 6!

Note que, colocando-se M na 1ª posição e um dos Es na 2ª posição restam 6 letras distintas para ser permutadas.

Anagramas que possuem M na 1ª posição e R na 3ª posição: ₆^2,1,1,1,1 6!

# A C P

   2

Anagramas que possuem E na 2ª posição e R na 3ª posição: # B C 6!

Análogo ao caso de # AB.

Anagramas que possuem M na 1ª posição, E na 2ª posição e R na 3ª posição:

# A  B C 5!

Note que, colocando-se M na 1ª posição, um dos Es na 2ª posição e R na 3ª posição restam 5 letras distintas para ser permutadas.

Substituindo os valores obtidos em (*), temos:

7! 7! 6! 5

# A B C 7! 6! 6! 5! 5! 2 7 6 6 1 120 70 8400

2 2 2 2

 

                   

(9)

6) Seja a esfera de raio R inscrita na pirâmide quadrangular regular de aresta da base 2 cm e aresta lateral 38 cm. Sabendo-se que a esfera tangencia todas as faces da pirâmide, o valor de R, em cm, é

a) ^{37 1} 6

 b) ^{39 1} 38

 c) ^{6 38 12} 17

 d) ^{37 1} 6

 e) ^{6 38 12} 17



RESOLUÇÃO: d

A figura acima representa a pirâmide quadrangular com uma esfera inscrita descrita no enunciado.

No triângulo retângulo VBM, BM1 é metade da aresta da base e VB 38 é a aresta lateral.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo VBM, temos:

 

²

2 2 2 2 2 2

VM BM VB VM  1 38 VM 38 1 37  VM 37.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo VOM, temos:

 

²

2 2 2 2 2 2

VO OM VM VO  1 37 VO 37 1 36  VO6.

Os segmentos IJIOR são raios da esfera inscrita na pirâmide.

Os triângulos VJI e VOM são semelhantes, então

 

IJ VI R 6 R R 6 R 6

OM VM 1 37 1 37 1 37

6 37 1 6 37 1 37 1

R 1 37 37 1 37 1 6

  

    

 

  

    

  

(10)

7) Sejam as funções reais f e g definidas por f x x⁴10x³32x²38x 15 e

  ³ ²

g x   x 8x 18x 16. O menor valor de _{f x} __{g x}  no intervalo

 

^{1;3 é}

a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 7

RESOLUÇÃO: a

Como f x x⁴10x³32x²38x 15 e _{g x} _{  }_x³ _8x²__{18x 16,}_ então

      ⁴ ³ ²

h x f x g x x 9x 24x 20x 1.

  ³ ²

h ' x 4x 27x 48x20 Por inspeção, x2 é raiz de h ' x .  

Aplicando o algoritmo de Ruffini-Horner, temos:

2 4 27 48 20

4 19 10 0

   



²



h ' x x 2 4x 19x 10

    

O trinômio do 2° grau 4x²19x 10 tem raízes x ¹⁹ ²⁰¹. 8

 

Assim, h ' x 0, se ¹⁹ ²⁰¹ x 2 8

   ou x ¹⁹ ²⁰¹,

8

  e h ' x 0, se 19 201

x 8

  ou 2 x ¹⁹ ²⁰¹. 8

  

Sabendo que ¹⁹ ²⁰¹ 1 2 3 ¹⁹ ²⁰¹,

8 8

      então h ' x^{ }0 se ^x^

 

^{1, 2} ^e

h ' x 0 se ^x^

 

^{2, 3 .}

Dessa forma, h x é crescente em  

 

^{1, 2 ,} decrescente em

 

^{2, 3} ^e

  ⁴ ³ ²

h 2 2  9 2 24 2 20 2 1   1 é um máximo local.

O menor valor de h x será   min h 1 , h 2 , h 3



     



. h 1    1 9 24 20 1    5 5

h 2    1 1

  ⁴ ³ ²

h 3  3   9 3 24 3 20 3 1    7 7 Portanto, o menor valor de h x é 1.  

A seguir encontra-se um esboço do gráfico da função.

(11)

8) Uma parte do gráfico da função f está representado na figura abaixo. Assinale a alternativa que pode representar f x .  

a) _{f x} __{sen x} _{  } ₁ b) f x  2sen x 1

2

 

   

 

c) f x  sen 2x 2 6

 

   

 

d) f x 2sen 2x 1 e) f x  2sen 2x 1

6

 

   

(12)

RESOLUÇÃO: e

A função tem imagem



^{1,3 ,}



amplitude 2 e está deslocada 1 unidade para cima. Assim a função seno está multiplicada por 2 e depois foi adicionada 1 unidade.

A leitura do gráfico indica um período aproximado de 3, o que indica que a função trigonométrica deve ter período . Assim, no argumento da função seno deve aparecer 2x.

A função está deslocada para a direita de um valor aproximado de 0,3. Isso é compatível com a expressão f x  2sen 2x 1 2sen 2 x 1,

6 12

   

   

         que corresponde a um deslocamento para a direita de 0, 26.

12

 

9) Sejam a circunferência C , com centro A e raio 1, e a circunferência ₁ C , que passa ₂ por A, com centro B e raio 2. Sabendo-se que D é o ponto médio do segmento AB, E é um dos pontos de interseção entre C e ₁ C , e F é a interseção da reta ED com a ₂ circunferência C , o valor da área do triângulo AEF, em unidades de área, é ₂

a) 2 ¹⁵

 8 b) 1 ¹⁵

 4 c) ^{3 15}

8 d) ¹⁵

4 e) ^{5 15}

8

RESOLUÇÃO: c

A figura anterior representa a situação descrita no enunciado.

Inicialmente, vamos calcular EE’.

(13)

Sejam AE 'x e EE 'h. Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos AEE’ e BEE’, temos:

 

2 2 2 2 2 2

AE ' EE ' AE x h 1 *

 ²  

2 2 2 2 2 2 2 2 2

BE ' EE ' BE  2 x h 2  4 4xx h  4 x h 4x **

    1

* ** 4x 1 x

     4

  1 ² ² ² 1 15 15

* h 1 h 1 h

4 16 16 4

           

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo DEE’, vem:

1 3

DE ' AD AE ' 1

4 4

    

2 2

2 2 2 15 3 15 9 24 6 6

DE EE ' DE ' DE

4 4 16 16 16 4 2

   

            

Usando a potência do ponto D em relação à circunferência de centro B, temos:

6 6

DE DF DA DC DF 1 3 DF 6

2 6

         

Os triângulos retângulos DEE’ e DFF’ são semelhantes, então 15

EE ' FF ' 4 FF ' FF ' 15

ED FD 6 6 2

2

    

A área do triângulo AEF é igual à soma das áreas dos triângulos AED e AFD, então

AEF AED AFD

15 15

1 1

AD EE ' AD FF' 4 2 15 15 3 15

S S S .

2 2 2 2 8 4 8

 

        

10) Seja a função ^{f : t;}



^{ }



^, definida por f x x³3x²1. O menor valor de t, para que a função seja injetiva, é

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

RESOLUÇÃO: d

Vamos esboçar o gráfico de f x x³3x²1. Para isso vamos estudar o sinal da derivada da função f.

  ³ ²   ²  

f x x 3x  1 f ' x 3x 6x3x x2

Assim, f ' x 0, se x0 ou x2, e f ' x 0, se 0 x 2.

Dessa forma, x0 é um ponto de máximo local de f, e x2 é um ponto de mínimo local de f.

(14)

Para que a função seja injetora, a derivada deve ter sempre o mesmo sinal, então o menor valor de t é 2.

11) Sejam o plano : 6x 4y 4z 9   0, os pontos A 



1;3; 2



e ^B^



^{m; n; p .}



Sabendo-se que o ponto B é simétrico ao ponto A, em relação ao plano , o valor da soma m n p  é

a) 2 b) 0 c) 1

4 d) 7

4 e) 3

RESOLUÇÃO: e

Se o ponto B é simétrico ao ponto A, então o vetor AB é perpendicular ao plano  e o ponto médio do segmento AB pertence a .

O vetor normal ao plano : 6x 4y 4z 9   0 é n



6, 4, 4 . 



Se o vetor AB é perpendicular ao plano , então AB n.

 

AB m 1; n 3; p 2  

m 6t 1 m 1 n 3 p 2

AB n t n 4t 3, t

6 4 4

p 4t 2

 

   

              Seja M o ponto médio de AB, então

     

 

m 1 n 3 p 2 6t 1 1 4t 3 3 4t 2 2

M ; ; ; ;

2 2 2 2 2 2

3t 1; 2t 3; 2t 2

            

 

   

   

     

O ponto M pertence ao plano , então

     

: 6x 4y 4z 9 0 6 3t 1 4 2t 3 4 2t 2 9 0

34t 17 t 1 2

              

   

(15)

Vamos calcular m n p  usando 1

t .

2

      1

m n p 6t 1 4t 3 4t 2 2t 4 2 4 3

                 2

12) Considere a inequação _x⁷__x⁴_{  }_{x 1 x}²__4x_{ }₃



_x²__{7x 54}_



__0. Seja I o conjunto dos números inteiros que satisfazem a desigualdade e n a quantidade de elementos de I. Com relação a n, podemos afirmar que

a) n é um número primo.

b) n é divisível por 7.

c) n não divide 53904.

d) n é um quadrado perfeito.

e) n é divisível por 6.

RESOLUÇÃO: d

Vamos, inicialmente, analisar a função f x x⁷x⁴ x 1.

A derivada de f é f ' x 7x⁶4x³1. A equação do 2º grau resolvente de

6 3

7x 4x  1 0 tem discriminante  0, então f ' x 0, para todo x real, ou seja, f é uma função monótona crescente.

 

7 4 4 3 4 2

6 5 4

x x x 1 0 x x 1 x 1 0 x x 1 x x 1 1 x 1 0

x 1 x x x 1 0

                

     

Como f é monótona crescente, então x1 é a única raiz real de f.

Agora, vamos resolver a inequação propriamente dita.

Sabemos que x 0,  x . Assim,

 

7 4 2 2

x x   x 1 x 4x 3 x 7x 54 0

7 4 2 2

x x x 1 0 x 4x 3 0 x 7x 54 0

            

 

⁷ ²⁶⁵ ⁷ ²⁶⁵

x 1 x 1 x 3 x

2 2

 

        

Note que ⁷ ²⁶⁵ 4, 65 2

   e ⁷ ²⁶⁵ 11, 65.

2

 

Para x , temos:



^x^{ }¹ ^x^³



^{   }⁴ ^{x 11}^{   }⁴ ^{x 11}

 

^{ }

I 4, 3, 2, ,10,11 n # I 16

       

Portanto, n16 que é um quadrado perfeito.

13) Seja o somatório abaixo, onde i é a unidade imaginária.

2020 j j 0

S i

 

Sobre o valor de S, é correto afirmar que

a) S 1 i  b) S 1 i  c) S 1 d) Si e) Si³

(16)

RESOLUÇÃO: c

Sabemos que i⁰         i¹ i² i³ 1 i    1 i 0 e que i⁴ 1, o que implica

4k 4k 1 4k 2 4k 3

i i ^ i ^ i ^ 0,  k .

2020 j 0 1 2 3 2016 2017 2018 2019 2020 4 505

j 0 0 `0

S i i i i i i i i i i i ^ 1

             

14) Seja ABC um triângulo inscrito em uma circunferência de centro O. Sejam O’ e E o incentro do triângulo ABC e o ponto médio do arco BC que não contém o ponto A, respectivamente. Assinale a opção que apresenta a relação entre os segmentos EB, EO’

e EC.

a) EBEO 'EC b) EBEO'EC c) EBEO 'EC d) EBEO 'EC e) EBEO'EC RESOLUÇÃO: a

Sejam BACˆ  2 e ABCˆ  2 .

Sabendo que o incentro O’ é o ponto de encontro das bissetrizes internas do triângulo, então BAO'ˆ CAO'ˆ   e ABO'ˆ CBO'ˆ  .

Na figura, podemos observar que CBEˆ EC CAEˆ .

 2   

O ângulo BO'E ˆ é ângulo externo do triângulo AO’B, então

ˆ ˆ ˆ

BO' EBAO' ABO'   .

No triângulo BEO’, temos O'BEˆ BO'Eˆ   , então o triângulo BEO’ é isósceles e EBEO '.

Como E é ponto médio do arco BC, então EB e EC são cordas determinadas por arcos de mesma medida, o que implica EBEC.

(17)

Outra forma de identificar isso é observar que EBCˆ ECBˆ  , então o triângulo BEC é isósceles e, consequentemente, EBEC.

Portanto, EBEO'EC.

15) Considere um recipiente cúbico W de aresta 2. Suponha que possamos colocar 8 esferas de raio R e uma de raio 2R dentro de W dispostas do seguinte modo: a esfera de raio 2R tem seu centro coincidindo com o centro de W e cada uma das demais esferas são tangentes a três faces e à esfera maior. Assinale a opção que apresenta o intervalo ao qual R pertença.

Dados: 21, 4, 31, 7 e 52, 2.

a) 1 1

6 R 4 b) 1 2

3 R 5 c) 3 1

7  R 2 d) 2 4

3 R 5 e) 4 9 5 R 10 RESOLUÇÃO: b

A esfera de centro O e raio R tangencia as faces ABCD, ABFE e ADHE, então ₁ AO1R 3 é a diagonal de um cubo de aresta R.

De forma análoga concluímos que GO₂ R 3.

Os centros das três esferas estão sobre a diagonal do cubo AG, então

(18)

1 2

AG AO R 2R 2R R O G 2 3 R 3 6R R 3

2 3 1

R 6 2 3 3 1

         

  

 

É dado que 3 1, 7 , então

1 1 1 1 2

R 0,37 0,333 R 0, 4

1, 7 1 2, 7 3 5

 3 1       

 

16) Considere a soma    

1 1 1 1

S ,

45 5 9 13 9 13 17 4n 1 4n 5 4n 9

     

      

ou seja, a soma continua para n crescendo indefinidamente. Assinale a opção que apresenta o valor de S.

a) 1

S2 b) S 1 c) 1

S 20 d) 1

S 40 e) 1

S50 RESOLUÇÃO: d

Inicialmente, vamos escrever   1  

4n 1 4n 5 4n 9   como uma soma de frações parciais.

   

        

  ²    

1 A B C

4n 1 4n 5 4n 9 4n 1 4n 5 4n 9

1 A 4n 5 4n 9 B 4n 1 4n 9 C 4n 1 4n 5

1 16 A B C n 8 7A 5B 3C n 45A 9B 5C

  

     

         

L2 L2 3 L1

L3 L3 5 L1 L3 L3 2 L2

A B C 0 A B C 0 A B C 0

7A 5B 3C 0 4A 2B 0 4A 2B 0

45A 9B 5C 1 40A 4B 1 32A 1

  

     

        

  

  

           

        

  

1 1 1 1 1

A B 2A C A B

32 16 32 16 32

              

   

1 1 1

1 32 16 32 1 1 2 1

4n 1 4n 5 4n 9 4n 1 4n 5 4n 9 32 4n 1 4n 5 4n 9

 

   

 

                 

Agora, vamos substituir esse resultado no somatório.

   

       

n

k 0 n k 0

n

n k 0 n k 0

1 1 1 1

S 45 5 9 13 9 13 17 4n 1 4n 5 4n 9

1 1 1 1

1 5 9 5 9 13 9 13 17 4n 1 4n 5 4n 9

1 1

4k 1 4k 5 4k 9 lim 4k 1 4k 5 4k 9

1 1 2 1 1 1 2 1

lim lim

32 4n 1 4n 5 4n 9 32 4n 1 4n 5 4n 9



  

   

     

      

     

        

   

     

   

               

n

(19)

n

1 1 2 1

32 lim 1 5 9

   1 2

5 9

  1

 13 1

 9 2

13 1

 17 1

4n 3

 



 

2

 4n 1



1 1

4n 5 4n 1

 

n

2 1

4n 5 4n 9

1 1 2 1 1 2 1

32 lim 1 5 5 4n 5 4n 5 4n 9

1 5 2 1 1

32 5 40



    

 

          

   

  

 

17) Sejam u, v e w vetores do ³. Sabe-se que u  v w 0, 1

v ,

 2 3

u  2 e w 2. Assinale a opção que apresenta o valor de u v v w    u w.

a) 3

7 b) ¹³

 4 c) ⁷

16 d) 5

8 e) 4

7 RESOLUÇÃO: b

Inicialmente, observemos que x x  x² e que x y  y x, onde x e y são vetores quaisquer.

   

 

2 2 2

2 2

2

u v w u v w 0 0 0

u u u v u w v u v v v w w u w v w w 0

u v w 2 u v v w u w 0

3 1

2 2 u v v w u w 0

2 2

9 1 13

2 u v v w u w 4

4 4 2

u v v

       

                  

         

   

             

           

   13

w u w

     4

18) Seja f uma função real definida por  

x ; se x2 2

f x ax b; se 2 x 2, 2x 6; se 2 x

  

    

  



com a, b . Sabendo que os limites  

x 2

lim f x

 e  

x 2

lim f x

 existem, assinale a opção que apresenta a b .

a) 1

6 b) 1

5 c) 1

4 d) 1

3 e) 1

2

(20)

RESOLUÇÃO: e

 

x ; se x2 2

f x ax b; se 2 x 2

2x 6; se 2 x

  

    

  



Se  

x 2

lim f x

 existe, então  

x 2

lim f x

  e  

x 2

lim f x

  existem e

   

x 2 x 2

lim f x lim f x .

 

  

  ²  ²

x 2 x 2

lim f x lim x 2 4

 

     

   

x 2 x 2

lim f x lim ax b 2a b

 

      

     

x 2 x 2

lim f x lim f x 4 2a b *

 

      

Se  

x 2

lim f x

 existe, então  

x 2

lim f x

  e  

x 2

lim f x

  existem e

   

x 2 x 2

lim f x lim f x .

 

  

   

x 2 x 2

lim f x lim ax b 2a b

 

     

   

x 2 x 2

lim f x lim 2x 6 2 2 6 2

 

        

     

x 2 x 2

lim f x lim f x 2a b 2 **

 

      

   _* _** ^2a ^b ⁴ _b ₁ _a ³ _a _b ³ ₁ ¹ ¹

2a b 2 2 2 2 2

  

  

                 

(21)

19) A trombeta de Gabriel é um sólido Matemático formado pela rotação da curva y 1

x em torno do eixo x.

O volume desse sólido no intervalo 1 x 10  é a) _V__{ln 10} 

b) 9

V 10

 

c) 9

V 5

 

d) _V_{ }_{ln 10}  e) V 8

RESOLUÇÃO: b

Para cada x, a seção do sólido é uma circunferência de raio y, então p elemento de volume é um cilindro de raio y e altura dx, ou seja, dV  y² dx.

Como 1

y ,

 x então ²

dV y dx 2dx.

x

    

Portanto, o volume do sólido no intervalo 1 x 10  é

10 10

10 10 1

2

2 1 1

1 1

x 1 1 1 9

V dx x dx

1 x 10 1 10

x

   

       

                 

(22)

20) Seja a matriz

1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

A 1 4 9 16 25 .

1 8 27 64 125

1 16 81 256 625

 

 

 

 

 

Qual é o valor do determinante da

matriz A?

a) 96 b) 98 c) 100 d) 144 e) 288

RESOLUÇÃO: e

A matriz A é uma matriz de Vandermonde.

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

A 1 4 9 16 25

1 8 27 64 125 1 2 3 4 5

1 16 81 256 625 1 2 3 4 5

 

   

   

 

      

O determinante da matriz A é dado por

          

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

det A

1 2 3 4 5

2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 5 1 5 2 5 3 5 4 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 288



          

          

FIM

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

 

















PROVA DE MATEMÁTICA EFOMM 2019-2020 (BRANCA)

 

 

     





 

 

 

 

 





 

 

 

 

























 

 





 

 

 

 

 





 

  ^{   }