Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

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Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA PLANA DA AFA 1994 a 2019 ENUNCIADOS

1) (AFA 1994) Num triângulo ABC, os ângulos ˆB e ˆC medem, respectivamente, 45 e 60 , o lado AC mede 2 cm. Então, a medida do lado BC (em cm) é:

a) 1 ³

+ 3 b) ¹ 3

2+ c) 1+ 3 d) 2+ 2

2) (AFA 1995) Na figura, todos os círculos têm raio r. Qual a área da parte hachurada?

a) r²(2 3− ) b) r²(3 3− ) c) r²(4 3− ) d) r²(5 3− )

3) (AFA 1995) Num pentágono convexo, os ângulos internos estão em progressão aritmética. Qual o 3º termo, em graus dessa progressão?

a) 54 b) 108 c) 162 d) 216

4) (AFA 1995) Dados dois triângulos semelhantes, um deles com 4, 7 e 9 cm de lado, e o outro com 66 cm de perímetro, pode-se afirmar que o menor lado do triângulo maior mede, em cm.

a) 9,8 b) 11,6 c) 12,4 d) 13,2

5) (AFA 1995) Na figura abaixo, a razão ^x

 é:

(2)

6) (AFA 1995) No retângulo ABCD, BC e PC medem, respectivamente, 5 cm e 3 cm.

Qual a área, em cm , do triângulo ABP? ²

a) ³²

3 b) 16 c) 19 d) ⁶²

3

7) (AFA 1995) A razão entre as áreas de um quadrado de lado  e de um círculo de raio r, que possuem o mesmo perímetro, é:

a) 8

 b) 6

 c) 4

 d) 2



8) (AFA 1995) Considere uma circunferência inscrita num quadrado de lado a. A área da região hachurada é:

a) a²( )

64 4−  b) a²( )

32 4−  c) a²( )

16 4−  d) a²( ) 8 4− 

9) (AFA 1996) Seja ABC um triângulo retângulo com catetos AB e BC. Divide-se AB em 10 partes congruentes e, pelos pontos de divisão, traçam-se retas paralelas a BC, cortando o lado AC e determinando 9 segmentos paralelos a BC. Se BC=18, então a soma das medidas desses segmentos é:

a) 81 b) 64 c) 49 d) 100

(3)

10) (AFA 1996) A base maior de um trapézio mede 26 cm, a menor 14 cm e a altura 6 cm. As alturas dos triângulos formados pelos prolongamentos dos lados não paralelos, em cm, são:

a) 8 e 9 b) 7 e 13 c) 91 e 14 d) 15 e 18

11) (AFA 1996) Qual a área do triângulo retângulo isósceles que inscreve uma circunferência de raio r= 2 ?

a) (3+2 2) b) 2 3 2 2( + ) c) 3 2( + 2) d) 4 1( + 2)

12) (AFA 1996) Qual a diferença entre a área de um triângulo equilátero de lado a e a área da circunferência nele inscrita?

a) a²(2 3 )

12

−  b) a²(3 3 )

12

− 

b) a²(4 3 )

12

−  d) a²(5 3 )

12

− 

13) (AFA 1996) O valor do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 2h e 15min é:

a) 15 b) 30 c) 17 30' d) 22 30'

14) (AFA 1996) Na figura abaixo, OA=5, AB=3, AOBˆ =BOCˆ =CODˆ =  e ˆ

ˆ ˆ

ABO=BCO=CDO= 90 . Se x=cos², então a área do triângulo CDO é:

a) 3x² b) 4x ² c) 6x² d) 8x²

15) (AFA 1996) Os lados de um triângulo ABC medem AB=20 cm, BC=15 cm e AC=10 cm. Sobre o lado BC marca-se BD=3 cm e traçam-se paralelas DE ao lado AB (E sobre AC) e DF ao lado AC (F sobre AB). O perímetro do paralelogramo AEDF, em cm, é:

a) 24 b) 28 c) 32 d) 36

16) (AFA 1997) Sejam os triângulos ABC e CDE. O triângulo ABC está inscrito em uma circunferência  de raio 3,o lado CA mede 3 e AB é diâmetro de . Os vértices D e E do triângulo CDE são a interseção do prolongamento dos lados CA e CB

(4)

a) 9 b) 5 3 c) 6+ 3 d) 2 2( + 3)

17) (AFA 1997) Considerando-se a figura abaixo, NÃO se pode afirmar que

a) Se o triângulo ABC é isósceles, então os triângulos ABD, ACE e BCD são sempre, dois a dois, congruentes.

b) Os triângulos ABD e AEC são congruentes se os lados AB e BC forem congruentes e F o incentro do triângulo ABC.

c) Os triângulos ABD e AEC são congruentes se os lados AB e BC forem congruentes e F o ortocentro do triângulo ABC.

d) Os triângulos BEF e CDF são congruentes se os lados AB e BC forem congruentes e F o baricentro do triângulo ABC.

18) (AFA 1998) Inscreve-se um quadrilátero convexo ABCD em uma circunferência tal que ABCˆ =x . Então, ACB BDC,ˆ + ˆ em graus, é o

a) suplementar de x.

b) suplementar de 2x.

c) complementar de x.

d) complementar de 2x.

19) (AFA 1998) Dois vértices de um triângulo equilátero pertencem a dois lados de um quadrado cuja área é 1 m . Se o terceiro vértice do triângulo coincide com um dos ² vértices do quadrado, então, a área do triângulo, em m , é ²

a) 2 3 1− b) 2 3 1+ c) − +3 2 3 d) 3 2 3+

20) (AFA 1998) Seja ABCD um quadrado, ABE um triângulo equilátero e E um ponto interior ao quadrado. O ângulo AED^ˆ mede, em graus,

a) 55 b) 60 c) 75 d) 90

(5)

21) (AFA 1998) Seja o triângulo equilátero DEF, inscrito no triângulo isósceles ABC, com AB=AC e DE paralelo a BC (D sobre AB e E sobre AC). Tomando-se ADE^ˆ = ,

CEFˆ =  e DFB^ˆ =  pode-se afirmar que

a)  +  = 2 b)  +  = 2 c) 2 +  = 3 d)  +  = 2 3

22) (AFA 1998) Um círculo com área 100 cm ² possui uma corda de 16 cm. Qual a área, em cm , do maior círculo tangente a essa corda e a esse círculo em pontos ² distintos?

a) 36 b) 49 c) 64 d) 81

23) (AFA 1998) O pentágono ABCDE está inscrito em uma circunferência de centro O.

Se o ângulo AOB mede ˆ 40 , então a soma dos ângulos BCD e ˆ AED,^ˆ em graus, é

a) 144 b) 180 c) 200 d) 214

24) (AFA 1999) Na figura abaixo o perímetro do triângulo equilátero ABC é 72 cm, M é o ponto médio de AB e CE=16 cm. Então, a medida do segmento CN, em cm, é um sétimo de

a) 51 b) 50 c) 49 d) 48

25) (AFA 1999) Na figura abaixo, o lado do quadrado é 1 cm. Então, a área da região sombreada, em cm , é ²

 1  1  1  1

(6)

26) (AFA 1999) De 2h 45 min a 4h 35 min, o ponteiro das horas de um relógio percorre, em radianos,

a) ¹¹ 36

 b)

3

 c) ⁵

18

 d) ⁷

24



27) (AFA 1999) A área do quadrado menor, da figura abaixo, vale

a) 2 b) 2 c) 5 d) 8

28) (AFA 1999) Considere um triângulo equilátero, um quadrado e um hexágono regular, todos com o mesmo perímetro. Sejam A ,_T A_Q e A_H as áreas do triângulo, do quadrado e do hexágono, respectivamente. Então, pode-se afirmar que

a) A_TA_Q A ._H b) A_T =A_Q =A ._H c) A_TA_Q e A_Q A ._H d) A_TA_Q e A_Q =A ._H 29) (AFA 2000) O valor de x ,² na figura abaixo, é

a)

2 2 a

b − 4 b)

4 2

2

a a

b − 4 c)

2 4

2

b b

4 −a d)

4 2

2

b b

−4a

(7)

30) (AFA 2000) Seja P um ponto interior a um triângulo equilátero de lado k. Qual o valor de k, sabendo-se que a soma das distâncias de P a cada um dos lados do triângulo é 2?

a) ^{2 3}

3 b) 3 c) ^{4 3}

3 d) 2 3

31) (AFA 2000) Na figura, O e M são centros das semicircunferências. O perímetro do triângulo DBC, quando AO= = r 2 AM, é

a) r 3 2( 5)

2

+ b) r( 2 3 5)

2

+

c) r( 2 3 10)

2

+ d) r 3 2( 10)

2

+

32) (AFA 2001) Conforme a figura abaixo, s e t são, respectivamente, retas secante e tangente à circunferência de centro O. Se T é um ponto da circunferência comum às retas tangente e secante, então o ângulo , formado por t e s, é

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40

33) (AFA 2001) Sejam r e s retas paralelas. A medida do ângulo , na figura abaixo, é

(8)

a) 115 b) 125 c) 135 d) 145

34) (AFA 2001) Na figura, O é o centro da circunferência de raio r, AD=DE=EB=r e  é o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 9h 25 min . O valor do ângulo  =CBE^ˆ é

a) 120 b) 119, 45 c) 126, 25 d) 135,50

35) (AFA 2001) A figura abaixo representa um quadrado de 8 cm de lado. A área, em cm , da figura sombreada é 2

a) 23, 02 b) 24, 01 c) 25, 04 d) 26,10

36) (AFA 2002) No desenho abaixo, estão representados os terrenos I, II e III.

(9)

Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que o proprietário do terreno II construirá para fechar o lado que faz frente com a rua B?

a) 28 b) 29 c) 32 d) 35

37) (AFA 2002) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem à circunferência de centro O e raio r. Se  =140 e  =50 , então, a área do triângulo BOC é

a) ^{r 3}

2 b)

r2 2

3 c) ^{r 2}

9 d)

r2 3 4

38) (AFA 2002) Na figura abaixo, os triângulos ABC e CDE são equiláteros. Se a razão entre as áreas desses triângulos é ⁹

4 e o perímetro do menor é 12, então, a área do quadrilátero ABDE é

(10)

a) 2+ 3 b) 9 3 c) 11− 3 d) 19 3

39) (AFA 2003) As duas polias da figura giram simultaneamente em torno de seus respectivos centros O e O’, por estarem ligadas por uma correia inextensível.

Quantos graus deve girar a menor polia para que a maior dê uma volta completa?

a) 1080 b) 120 c) 720 d) 2160

40) (AFA 2003) ABC é um triângulo retângulo em A e CX é bissetriz do ângulo BCA, ˆ onde X é ponto do lado AB. A medida de CX é 4 cm e a de BC é 24 cm. Sendo assim, a medida do lado AC, em centímetros, é igual a

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

41) (AFA 2003) Na figura, o triângulo AEC é equilátero e ABCD é um quadrado de lado 2 cm. A distância BE, em cm, vale.

(11)

a) 2 3 b) 6 1− c) 3+ 2 d) 6− 2

42) (AFA 2003) Na figura, RST é um triângulo retângulo em S. Os arcos RnSpT, RmS e SqT são semicircunferências cujos diâmetros são, respectivamente, RT, SR e ST . A soma das áreas das figuras hachuradas está para a área do triângulo RST na razão

a) ¹

3 b) ¹

2 c) 1 d) ³

2

43) (AFA 2004) Um trapézio  tem bases de medidas 80 m e 60 m, e altura de medida 24 m. A 6 m da maior base, traça-se uma paralela situada entre as duas bases do trapézio , determinando, assim, dois outros trapézios  e . O módulo da diferença entre as áreas dos trapézios  e  é, em m , igual a ²

a) 700 b) 750 c) 820 d) 950

44) (AFA 2004) Seja PQ tangente à circunferência de centro O e raio r. Se CQ=r,

(12)

a) r+ 3 b) 2r+r 3 c) r 3 d) r+r 3

45) (AFA 2005) Considere o triângulo ABC, de lados AB 15,= AC 10,= BC 12= e seu baricentro G. Traçam-se GE e GF paralelos a AB e AC, respectivamente, conforme a figura abaixo. O perímetro do triângulo GEF é um número que, escrito na forma de fração irredutível, tem a soma do numerador com o denominador igual a

a) 43 b) 40 c) 38 d) 35

46) (AFA 2007) Um triângulo retângulo está circunscrito a um círculo de raio 15 m e inscrito em um círculo de raio 37,5 m. A área desse triângulo, em m ,² mede

a) 350 b) 750 c) 1050 d) 1350

47) (AFA 2008) Considere um triângulo MNP, equilátero, inscrito numa circunferência de centro O e raio r. Seja RS uma corda que intercepta os lados MN e MP do triângulo nos pontos T e V, pontos médios dos respectivos lados (R está no arco MN menor). Se RTVS1 cm, então o valor da área do quadrilátero NPVT, em cm , é ² dado por um número do intervalo (Dados 3=1, 73 e 5=2, 23)

a)  ^1,3 ^b) ^{5, 7} ^c) ^{7, 9} ^d) ^3,5

(13)

48) (AFA 2008) Um triângulo ABC é não isósceles. Sejam M, N e P, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC e AC desse triângulo, de forma que AN=3 cm e BP=6 cm. Se a área do triângulo ABC mede 3 15 cm , então o comprimento da outra ² mediana, CM, em cm, é igual a

a) 3 6 b) 6 15 c) 3 d) 2

49) (AFA 2009) Considere num mesmo plano os pontos da figura abaixo, de tal forma que:

(I) AWCWEWGWIWLWNWPW (II) BWDWFWHWJWMWOWQW (III) AWBBWCCWD PWQQWA (IV) PCAECGEIGLINNALPa

A área da região sombreada da figura, em função de a, é:

a) 12a²−8a² 2 b) 6a²+4a² 2 c) 12a²+8a² 2 d) 6a²−4a² 2

50) (AFA 2011) As circunferências ₁ e ₂ da figura abaixo interiores e a distância entre os centros C₁ e C₂ é igual a 11 cm

(14)

Se a área sombreada é igual à área não sombreada na figura, é correto afirmar que o raio de ₂, em cm, é um número do intervalo

a) _^ _^ 5 ,11

2 b) _^ _^ 10 ,23 5

11 c) _^ _^ 2 ,5 10

23 d) _^ _^ 5 ,13 2 5

51) (AFA 2011) Na figura abaixo têm-se quatro círculos, congruentes de centros O₁, O2, O₃ e O₄ e de raio igual a 10 cm. Os pontos M, N, P e Q são pontos de tangência entre os círculos e A, B, C, D, E, F, G e H são pontos de tangência entre os círculos e a correia que os contorna.

Sabendo-se que essa correia é inextensível, seu perímetro, em cm, é igual a a) ₂(_{ +}₄₀) _b)₅(_+₁₆) _c)₂₀(_{ +}₄) _d)₅(_{ +}₈)

52) (AFA 2012) Conforme a figura abaixo, A é o ponto de tangência das circunferências de centros C₁, C e ₂ C .₃ Sabe-se que os raios dessas circunferências formam uma progressão geométrica crescente.

(15)

Se os raios das circunferências de centros C₁ e C₂ medem, respectivamente, 2r e 3r , então a área da região sombreada vale, em unidades de área,

a) ⁵⁵ r²

8  b) ²⁹ r²

4  c) ⁶¹ r²

8  d) 8 r ²

53) (AFA 2013) Um triângulo é tal que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética e as medidas de seus lados constituem uma progressão geométrica. Dessa maneira, esse triângulo NÃO é:

a) acutângulo. b) equilátero. c) obtusângulo. d) isósceles.

54) (AFA 2014) Na figura abaixo, os três círculos têm centro sobre a reta AB e os dois de maior raio têm centro sobre a circunferência de menor raio.

(16)

a) ¹⁷ ^{6 3}r² 9

 − b) ¹¹ ^{9 3}r² 12

 + c) ¹⁵ ^{4 3}r² 9

 − d) ¹³ ^{6 3}r² 12

 +

55) (AFA 2015) Seja o quadrado ABCD e o ponto E pertencente ao segmento AB. Sabendo-se que a área do triângulo ADE, a área do trapézio BCDE e a área do quadrado ABCD formam juntas, nessa ordem, uma Progressão Aritmética (P.A.) e a soma das áreas desses polígonos é igual a 800 cm², tem-se que a medida do segmento

EB

a) é fração própria.

b) é decimal exato.

c) é decimal não exato e periódico.

d) pertence ao conjunto A= ^*₊− ₊.

56) (AFA 2017) Considere, no triângulo ABC abaixo, os pontos PAB, QBC, RAC e os segmentos PQ e QR paralelos, respectivamente, a AC e AB. Sabendo que BQ=3 cm, QC=1 cm e que a área do triângulo ABC é 8 cm ,² então a área do paralelogramo hachurado, em cm ,² é igual a

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

57) (AFA 2018) A figura a seguir é um pentágono regular de lado 2 cm.

Os triângulos DBC e BCP são semelhantes.

(17)

A medida de AC, uma das diagonais do pentágono regular, em cm, é igual a a) 1+ 5 b) − +1 5 c) 2 ⁵

+ 2 d) 2 5 1−

(18)

RESPOSTAS 1) c (Relações métricas nos triângulos)

2) a (Áreas de regiões circulares)

3) b (Polígonos angular e progressão aritmética) 4) d (Semelhança de triângulos)

5) d (Triângulos retângulos)

6) a (Relações métricas nos triângulos retângulos) 7) c (Áreas)

8) b (Áreas de regiões circulares) 9) a (Semelhança de triângulos) 10) b (Semelhança de triângulos) 11) b (Triângulos retângulos e áreas) 12) b (Áreas)

13) d (Ângulos no relógio)

14) c (Triângulos retângulos e áreas) 15) d (Semelhança de triângulos) 16) d (Semelhança de triângulos)

17) a (Congruência e pontos notáveis do triângulo) 18) a (Quadriláteros inscritíveis)

19) c (Áreas)

20) c (Ângulos nos triângulos e quadriláteros) 21) a (Ângulos no triângulo)

22) c (Áreas de regiões circulares) 23) c (Ângulos na circunferência) 24) d (Teorema de Menelaus) 25) a (Áreas de regiões circulares) 26) a (Ângulos no relógio)

27) b (Áreas) 28) a (Áreas)

29) d (Semelhança de triângulos) 30) c (Áreas)

31) d (Triângulos retângulos) 32) a (Ângulos na circunferência) 33) c (Ângulos entre paralelas)

34) c (Ângulos no relógio e ângulos na circunferência) 35) c (Áreas)

36) c (Teorema de Thales)

37) d (Ângulos na circunferência e áreas) 38) d (Áreas)

39) a (Comprimentos na circunferência) 40) a (Trigonometria no triângulo retângulo) 41) d (Relações métricas nos polígonos regulares) 42) c (Áreas de regiões circulares)

43) b (Áreas e semelhança de triângulos)

44) d (Ângulos na circunferência e trigonometria no triângulo retângulo) 45) b (Semelhança de triângulos)

46) d (Áreas) 47) d (Áreas)

(19)

48) a (Pontos notáveis e relações métricas nos triângulos) 49) d (Áreas)

50) c (Áreas)

51) c (Comprimento da circunferência) 52) c (Áreas)

53) c (Relações métricas nos triângulos) 54) d (Áreas)

55) c (Áreas) 56) b (Áreas)

57) a (Relações métricas nos polígonos regulares)

(20)

RESOLUÇÕES

1) (AFA 1994) Num triângulo ABC, os ângulos ˆB e ˆC medem, respectivamente, 45 e 60 , o lado AC mede 2 cm. Então, a medida do lado BC (em cm) é:

a) 1 ³

+ 3 b) ¹ 3

2+ c) 1+ 3 d) 2+ 2 RESOLUÇÃO: c

Vamos inicialmente calcular o seno de 75 .

( )

sen 75 sen 45 30 sen 45 cos 30 sen 30 cos 45

2 3 1 2 6 2

2 2 2 2 4

 =  +  =   +   =

=  + + = +

Vamos agora aplicar a lei dos senos no triângulo ABC.

AC BC 2 BC 2 6 2

BC 3 1

ˆ ˆ sen 45 sen 75 4

sen B sen A 2

2

=  =  =  + = +

 

2) (AFA 1995) Na figura, todos os círculos têm raio r. Qual a área da parte hachurada?

(21)

a) r²(2 3− ) b) r²(3 3− ) c) r²(4 3− ) d) r²(5 3− ) RESOLUÇÃO: a

Como os quatro círculos possuem o mesmo raio, os triângulos ABC e BCD, formandos pelos seus centros, são equiláteros de lado 2r.

Portanto, a área hachurada é igual à área dos dois triângulos equiláteros menos a área de seis setores circulares de 60 e raio r. Assim, temos:

( )² ² ( ) ²

ABC BCD setor 60

2r 3 r

S S S 6 S 2 6 2 3 r

4 6

 

= + −  =  −  = − 

3) (AFA 1995) Num pentágono convexo, os ângulos internos estão em progressão aritmética. Qual o 3º termo, em graus dessa progressão?

a) 54 b) 108 c) 162 d) 216

RESOLUÇÃO: b

Os ângulos internos do pentágono forma uma PA de 5 termos, então podem ser representados na forma PA : a−2r, a−r, a, a+r, a+2r.

(22)

A soma dos ângulos internos do pentágono convexo é S₅=180 −(5 2)=540 , então esse é o valor da soma dos termos da PA. Assim, temos:

(_{a 2r}₋ ) (+ − + + + + +_{a r}) _a (_{a r}) (_{a 2r})=₅₄₀ _5a=₅₄₀  =_{a 108} Portanto, o 3º termo da PA é a 108 .= 

4) (AFA 1995) Dados dois triângulos semelhantes, um deles com 4, 7 e 9 cm de lado, e o outro com 66 cm de perímetro, pode-se afirmar que o menor lado do triângulo maior mede, em cm.

a) 9,8 b) 11,6 c) 12,4 d) 13,2

RESOLUÇÃO: d

Sejam a, b, c os lados do triângulo de perímetro 66 cm. Como os triângulos são semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais. Assim, sem perda de generalidade, temos:

a b c a b c 66 66

a 4 13, 2

4 7 9 4 7 9 20 20

= = = + + =  =  = + +

Portanto, o menor lado do triângulo maior é a=13, 2 (pois ele é proporcional ao menor lado do triângulo menor).

5) (AFA 1995) Na figura abaixo, a razão ^x

 é:

a) 5 b) 6 c) 2 2 d) 10

RESOLUÇÃO: d

(23)

Aplicando o teorema de Pitágoras em (I), temos:

( )²

2 2 2

y =  +  = 2 5

Aplicando o teorema de Pitágoras em (II), temos:

2 2 2 2 2 2

z =y +  =  +  = 5 6

Aplicando o teorema de Pitágoras em (III), temos:

( )²

2 2 2 2 2 x

x =z +  =  +  =   =2 6 4 10 x 10  = 10



6) (AFA 1995) No retângulo ABCD, BC e PC medem, respectivamente, 5 cm e 3 cm.

Qual a área, em cm , do triângulo ABP? ²

a) ³²

3 b) 16 c) 19 d) ⁶²

3 RESOLUÇÃO: a

(24)

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo BCP, temos:

2 2 2 2 2 2

BP +PC =BC BP +3 =5 BP=4.

Sabemos que, em um triângulo retângulo, o quadrado da altura é igual à projeção dos catetos. Assim, no triângulo retângulo ABC, temos:

2 2 16

BP PC AP 4 3 AP AP

=   =   = 3

A área do triângulo retângulo ABP é igual à metade do produto dos catetos, então

2 ABP

AP BP 1 16 32

S 4 cm .

2 2 3 3

=  =   =

7) (AFA 1995) A razão entre as áreas de um quadrado de lado  e de um círculo de raio r, que possuem o mesmo perímetro, é:

a) 8

 b) 6

 c) 4

 d) 2



RESOLUÇÃO: c

O perímetro do quadrado de lado  é 2p_Q= 4 , e o perímetro do círculo de raio r é 2pC= 2 r. Assim, temos: 4 2 r .

r 2

 =   = 

A razão entre as áreas de um quadrado de lado  e de um círculo de raio r é

2 2

Q 2 C 2

S 1 1

S r r 2 4.

     

= =     =     =

8) (AFA 1995) Considere uma circunferência inscrita num quadrado de lado a. A área da região hachurada é:

(25)

a) a²( )

64 4−  b) a²( )

32 4−  c) a²( )

16 4−  d) a²( ) 8 4−  RESOLUÇÃO: b

A área hachurada é ¹

8 da diferença entre a área do quadrado e do círculo.

A circunferência inscrita no quadrado de lado a tem diâmetro a, e consequentemente raio r ^a.

=2

Assim, a área da região hachurada é

( ^quadrado ^círculo) ² ² ² ² ⁽ ⁾

1 1 a a a

S S S a 1 4

8 8 2 8 4 32

     

 

=  − =  −    =  − = − 

9) (AFA 1996) Seja ABC um triângulo retângulo com catetos AB e BC. Divide-se AB em 10 partes congruentes e, pelos pontos de divisão, traçam-se retas paralelas a BC, cortando o lado AC e determinando 9 segmentos paralelos a BC. Se BC=18, então a soma das medidas desses segmentos é:

a) 81 b) 64 c) 49 d) 100

RESOLUÇÃO: a

(26)

É dado que:

1 1 2 2 3 8 9 9

AB =B B =B B = =B B =B B

1 1 2 2 3 3 9 9

B C B C B C B C BC

Assim, temos AB C ~ AB C ~_{1 1} _{2 2} ~ AB C ~ ABC._{9 9}

3 3 9 9

1 1 2 2

1 2 3 9

B C B C

B C B C BC

AB AB AB AB AB

 = = = = =

3 3 9 9

1 1 2 2 B C B C

B C B C 18

1 2 3 9 10

 = = = = =

1 1 2 2 9 9

B C B C B C 18

1 2 9 10

+ + +

 =

+ + +

( )

1 1 2 2 9 9

1 9 9 18

B C B C B C 81

2 10

 + + + = +   =

10) (AFA 1996) A base maior de um trapézio mede 26 cm, a menor 14 cm e a altura 6 cm. As alturas dos triângulos formados pelos prolongamentos dos lados não paralelos, em cm, são:

a) 8 e 9 b) 7 e 13 c) 91 e 14 d) 15 e 18 RESOLUÇÃO: b

(27)

Como o quadrilátero ABCD é um trapézio, suas bases AB e CD são paralelas. Isso implica que os triângulos ABE e DCE são semelhantes. Assim, temos:

( )

EH ' CD x 14 x 14 x 14

x 7

EH = AB x 6= 26 x 6 x =26 14 =6 12 =

+ + − −

Logo, as alturas dos triângulos formados pelos prolongamentos dos lados não paralelos são EH '= =x 7 cm e EH= + = + =x 6 7 6 13 cm.

Note que a diferença entre as duas alturas deve ser 6 cm, então a única opção possível é a b).

11) (AFA 1996) Qual a área do triângulo retângulo isósceles que inscreve uma circunferência de raio r= 2 ?

a) (3+2 2) b) 2 3 2 2( + ) c) 3 2( + 2) d) 4 1( + 2) RESOLUÇÃO: b

Sabemos que, em um triângulo retângulo, o raio do círculo inscrito é igual ao semiperímetro menos a hipotenusa, conforme indicado na figura.

O triângulo retângulo isósceles de hipotenusa BC=a tem catetos AB AC ^{a 2}.

= = 2 O raio do círculo inscrito é dado por

( )

1 a 2 a 2 a

r p a a a 2 1 2

2 2 2 2

 

= − =  + + − = − =

( )

a 2 2 1

2 2 a 2 2 2

2 2 1 2 1

 =  + = +  = +

− +

A área do triângulo retângulo isósceles é a metade do produto dos catetos, então

( ) ² ( )

2 ABC

AB AC 1 a 2 a 2 a 2 2 2

S 6 4 2 2 3 2 2

2 2 2 2 4 4

 

  + 

= =   = = = + = +

(28)

12) (AFA 1996) Qual a diferença entre a área de um triângulo equilátero de lado a e a área da circunferência nele inscrita?

a) a²(2 3 )

12

−  b) a²(3 3 )

12

− 

b) a²(4 3 )

12

−  d) a²(5 3 )

12

− 

RESOLUÇÃO: b

O raio do círculo inscrito em um triângulo equilátero é um terço da sua altura.

Assim, em um triângulo equilátero de lado a, a altura mede h ^{a 3}

= 2 e o raio do círculo inscrito é r ^h ^{1 a 3} ^{a 3}.

3 3 2 6

= =  =

A diferença entre a área de um triângulo equilátero de lado a e a área da circunferência nele inscrita é

( )

2 2 2 2 2 2

2 triâng. circ.

a 3 a 3 a 3 a 3 a a

S S r 3 3

4 4 6 4 12 12

  

− = −  = −   = − = − 

 

13) (AFA 1996) O valor do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 2h e 15min é:

a) 15 b) 30 c) 17 30' d) 22 30' RESOLUÇÃO: d

Sabemos que o menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio à H horas de M minutos é 60 H 11 M

2 .

 − 

 =

Assim, às 2h e 15min, temos H=2 e M=15, então o ângulo é dado por

60 2 11 15 120 165 45 45

22,5 22 30'

2 2 2 2

 −  − −

 = = = = =  = 

Bizu: Ângulo entre os ponteiros de um relógio

Vamos analisar o problema de identificar o ângulo  entre os ponteiros das horas e dos minutos de um relógio às H horas e M minutos.

(29)

Figura 1 Figura 2

O ângulo entre as marcações de horas é 360

12 =30 e o ângulo entre as marcações de minutos é 360

60 =6 .

A velocidade angular do ponteiro das horas é 30

0,5 min

60 min = e a velocidade angular do ponteiro dos minutos é 360

6 min

60 min= .

Às H horas em ponto, o ângulo entre os ponteiros do relógio é AOB^ˆ =30 H .

Entre H horas em ponto e H horas e M minutos, passaram-se M minutos. Nesse período, o ponteiro das horas deslocou-se BODˆ =0,5 min M min =0,5 M e o ponteiro dos minutos deslocou-se AOCˆ =6 min M min = 6 M. Assim, há duas possibilidades para o ângulo entre os ponteiros das horas e dos minutos:

1°) Se o ponteiro dos minutos não ultrapassou o ponteiro das horas (Figura 1), temos:

ˆ ˆ ˆ ˆ

COD AOB BOD AOC 30 H 0,5 M 6 M 30 H 5,5 M

 = = + − =  +  −  =  −  .

2°) Se o ponteiro dos minutos ultrapassou o ponteiro das horas (Figura 2), temos:

ˆ ˆ ˆ ˆ

COD AOC AOB BOD 6 M 30 H 0,5 M 5,5 M 30 H

 = = − − =  −  −  =  −  .

A expressão para o ângulo entre os ponteiros das horas e dos minutos de um relógio às H horas e M minutos pode ser representada de maneira única como

60 H 11 M 2

 − 

 = .

14) (AFA 1996) Na figura abaixo, OA=5, AB=3, AOBˆ =BOCˆ =CODˆ =  e ˆ

ˆ ˆ

ABO=BCO=CDO= 90 . Se x=cos², então a área do triângulo CDO é: