Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

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Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

PROVA DE MATEMÁTICA – EPCAR 2017/2018 (VERSÃO A) ENUNCIADOS

1) Sejam A e B os valores das expressões numéricas a seguir:

6 2 5 6 2 5 A

7 4 3 7 4 3

  

       

     

2 3

1

2 1

0, 00001 0, 01 B

1 4 1 1 10 25



 



Cada um desses valores pode ser colocado em uma das caixas a seguir, conforme a especificação de cada uma, a saber:

Dessa forma, podemos afirmar que uma combinação correta para os valores A e B e as caixas (I), (II) e (III) é, respectivamente,

a) A (II) e B (I) b) A (I) e B (III) c) A (III) e B (II) d) A (I) e B (II)

2) Uma empresa de artigos de perfumaria oferece a seguinte modalidade na negociação de seus produtos:

“Qualquer pessoa que se cadastre como vendedor tem autonomia para estabelecer o preço de venda e recebe uma comissão sobre o lucro que conseguir.”

No mês de fevereiro, um vendedor recebeu uma caixa com vários frascos iguais de um perfume que era lançamento para o Dia das Mães, e teve duas semanas de prazo para efetuar as vendas e esgotar o estoque que estava sob sua responsabilidade.

Ao final da 1ª semana, verificou que restava apenas 1

4 do estoque que recebera, sendo que, assim, ele já havia apurado 39

40 do valor que a empresa investira na fabricação destes perfumes.

Na semana seguinte ele vendeu o restante dos frascos conservando o mesmo preço de venda.

Sabe-se que o vendedor recebe uma comissão de 45% sobre o lucro que obtiver.

Neste caso, cada R$ 100,00 que esse vendedor receber com suas vendas lhe dará direito a uma comissão cujo valor, em reais, está entre

a) 8 e 10 b) 10 e 12 c) 12 e 14 d) 14 e 16

3) Uma prestadora de serviços combina um prazo de 9 dias, utilizando 12 máquinas, para executar certo trabalho.

Ao final do quarto dia, 4 máquinas estragam, não sendo substituídas e não havendo interrupção do trabalho. As máquinas levam 3 dias para serem consertadas, retornando

(2)

Para que seja cumprido o prazo combinado no início, a prestadora coloca, além das 12 máquinas, mais x máquinas iguais às primeiras.

É correto afirmar que x é igual a

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

4) Considere a equação (I) na incógnita x e a equação (II) na incógnita y, a seguir:

  2 2

x 5m 2nx

I ,

m nm n  m n

   com m² n²

 II 2y2 xy 8 0

O valor de x da equação (I) é substituído na equação (II). Se a equação (II), após esta substituição, possui conjunto solução distinto do conjunto vazio, então o conjunto mais amplo dos valores de m que atendem esta condição é

a)



^m^ ^{| m}^{ }⁸₅ ^{ou m}^⁸₅



^b)



^m^ ^|^{ }⁸₅ ^m^⁸₅



c)



^m^ ^{| m}^⁸₅



^d)



^m^ ^{| m}^{ }⁸₅



5) Ao fatorar e efetuar as simplificações na fração

2 2 2 2 2 2

2 2 3 2 2

ab b c bc ac a c a b

, a c 2abc b c a 2a b ab

     

    

considerando sua devida existência, obtém-se a) b c

c a



 b) b c

a b



 c) 2a c c a



 d) b c a

a b

 



6) Até a primeira quinzena do mês de março de 2017, o combustível comercializado nos postos de nosso país era uma mistura de 1 parte de etanol para 3 partes de gasolina.

Considere esse combustível e um outro que apresenta a mistura de 4 partes de etanol para 9 partes de gasolina. Juntando-se volumes iguais dos dois combustíveis, a nova relação de etanol para gasolina, nesta ordem, será

a) 5

9 b) 5

12 c) 29

75 d) 31

75

7) O gráfico a seguir é de uma função polinomial do 1º grau e descreve a velocidade v de um móvel em função do tempo t:

(3)

Assim, no instante t  10 horas o móvel está a uma velocidade de 55 km/h, por exemplo.

Sabe-se que é possível determinar a distância que o móvel percorre calculando a área limitada entre o eixo horizontal t e a semirreta que representa a velocidade em função do tempo. Desta forma, a área hachurada no gráfico fornece a distância, em km, percorrida pelo móvel do instante 6 a 10 horas.

É correto afirmar que a distância percorrida pelo móvel, em km, do instante 3 a 9 horas é de

a) 318 b) 306 c) 256 d) 212

8) Carlos, Paulo e José resolveram fazer um lanche na praça de alimentação de um shopping center.

Ao observarem o cardápio disponível, perceberam que teriam que pedir o que era denominado de “Combo”, ou seja, um combinado de vários itens por um preço já especificado.

Assim, os Combos solicitados foram:

*Combo 1 = R$15,00: 2 hambúrgueres,1 suco e 1 sobremesa

*Combo 2 = R$ 24,00: 4 hambúrgueres e 3 sucos

*Combo 3 = R$35,00: 5 sucos e 3 sobremesas

O valor individual dos hambúrgueres é o mesmo, bem como o valor individual dos sucos e o valor individual das sobremesas, não importando qual Combo foi escolhido.

O quadro a seguir mostra a quantidade de cada um dos itens dos Combos que Carlos, Paulo e José consumiram:

Se Carlos, Paulo e José se organizaram para descobrir o valor individual de cada item e pagaram individualmente apenas pelo que cada um consumiu, então é correto afirmar que

a) Carlos pagou R$ 9,00 a mais que Paulo.

b) a diferença entre o que Carlos e José pagaram foi de R$ 3,00.

c) Paulo e José pagaram o mesmo valor.

d) Carlos pagou mais que José, que pagou mais que Paulo.

9) Uma revendedora de automóveis usados apresenta um modelo e o anuncia por x reais. Para atrair clientes, a revendedora oferece duas formas de pagamento:

Um cliente comprou um automóvel e optou pelo pagamento no cartão de crédito em 10 parcelas iguais de R$ 3 240,00.

Considerando as informações anteriores, é correto afirmar que

(4)

a) o valor x anunciado pela revendedora é menor que R$ 25 000,00.

b) se esse cliente tivesse optado pelo pagamento à vista, então ele gastaria mais de R$ 24 500,00 com essa compra.

c) a opção que esse comprador fez usando o cartão de crédito representou um acréscimo de 30% sobre o valor que seria pago à vista.

d) se o cliente tivesse pago à vista, ao invés de utilizar o cartão de crédito, então teria economizado mais de R$ 8 000,00.

10) De acordo com o senso comum, parece que a juventude tem gosto por aventuras radicais. Os alunos do CPCAR não fogem dessa condição.

Durante as últimas férias, um grupo desses alunos se reuniu para ir a São Paulo com o objetivo de saltar de “Bungee Jumping” da Ponte Octávio Frias de Oliveira, geralmente chamada de “Ponte Estaiada”.

Em uma publicação na rede social de um desses saltos, eles, querendo impressionar, colocaram algumas medidas fictícias da aproximação do saltador em relação ao solo.

Considere que a trajetória que o saltador descreve possa ser modelada por uma função polinomial do 2° grau f x^{ }ax² bxc, cujo eixo das abscissas coincida com a reta da Av. Nações Unidas e o eixo das ordenadas contenha o “ponto mais próximo da Avenida”, indicados na figura.

Considere, também, as medidas informadas.

O coeficiente de x da função com as características sugeridas é igual a ² a) 22

1521 b) 2

117 c) 13

1521 d) 13

117

11) Numa doceria comprei dois tipos de doce. Do primeiro tipo, 6 unidades de determinado valor unitário. Do segundo tipo, cujo valor unitário é 3 reais mais caro que o primeiro tipo, comprei uma quantidade que equivale ao dobro do valor unitário do primeiro tipo. Entreguei seis notas de 50 reais para pagar tal compra e recebi 30 reais de troco.

Dos dois tipos de doce que comprei, gastei com o mais caro, em reais, um total de

a) 216 b) 198 c) 162 d) 146

(5)

12) Considere a figura e os dados a seguir:

DADOS:

• O é o circuncentro do triângulo ABC

• _{med ACD} ^ˆ _{ }₅₀

• BECˆ e BDCˆ são retos

• FG é o diâmetro da circunferência de centro O.

A medida do ângulo AFG,^ˆ em graus, é igual a

a) 40 b) 50 c) 60 d) 70

13) Com a intenção de padronizar as barracas dos vendedores ambulantes, a prefeitura da cidade de Eulerópolis solicitou a uma empresa especializada no ramo que fizesse um orçamento do material a ser empregado e do custo para finalização das barracas.

Segue um esboço do que foi apresentado pela empresa:

O ponto O é a projeção ortogonal do ponto V sobre a base hexagonal regular da barraca.

Considere: 72, 6 e 2 1, 4.

No modelo apresentado, a parte hachurada indica onde existe tecido, ou seja, no telhado

(6)

Além disso, em cada aresta está uma barra de alumínio ao custo de R$ 4,00 o metro linear.

Se a empresa cobra uma taxa de mão de obra equivalente a 30% do custo de todo o material gasto, então é correto afirmar que o custo total de uma barraca padrão, em reais, é um número compreendido entre

a) 390 e 400 b) 401 e 410 c) 411 e 420 d) 421 e 430

14) Na figura a seguir, os eixos x e y formam o sistema cartesiano ortogonal e a circunferência tem centro em O e raio igual a 1 cm. A reta r é tangente à circunferência em T, intercepta o eixo y em B, e C é a projeção ortogonal de T sobre o eixo x.

O produto OB CT, em cm , é igual a ²

a) 2,5 b) 2 c) 1,5 d) 1

15) As ideias de rotação e de simetria de seres/objetos não são um privilégio da Matemática, muito embora a noção de beleza, estreitamente ligada à Arte e à Natureza, também não esteja isenta de uma noção matemática.

O “Homem Vitruviano” guarda em si essas noções.

(7)

Para a Matemática, as ideias de rotação e de simetria de polígonos podem auxiliar nos cálculos de distâncias.

Considere o triângulo equilátero ABC representado no plano cartesiano a seguir.

O triângulo A’B’C’ será o triângulo ABC rotacionado nesse mesmo plano de um ângulo de 45 em torno da intersecção de AB com o eixo das abscissas, no sentido horário.

As coordenadas cartesianas do vértice C’ do triângulo A’B’C’ serão a) 0, 2 6  b) 0, 2 6 c) 1, 4 6  d) 1,3 2

16) Uma consulta pública realizada pelo Instituto que organiza a aplicação do Exame Nacional do Ensino Médio, em fevereiro de 2017, visou conhecer a preferência sobre os possíveis modelos de aplicação do Exame:

* Modelo A: Testes em apenas 1 dia

* Modelo B: Testes no sábado e no domingo

* Modelo C: Testes em dois domingos consecutivos

Suponha que tenham sido consultadas um total de x pessoas entre moradores da capital e do interior. Desse total, 40 pessoas do interior e 60 da capital não manifestaram preferência pelos Modelos A, B ou C.

O gráfico a seguir mostra os resultados dos que manifestaram sua preferência:

Baseado nestas informações, é correto afirmar que

a) 20% das pessoas consultadas, exatamente, preferem a aplicação do Exame em um único dia.

b) o número total das pessoas consultadas no interior e na capital é o mesmo.

(8)

c) 5

7 das pessoas que manifestaram preferência pelos Modelos optaram pela realização do Exame em dois dias.

d) exatamente 12% das pessoas consultadas não manifestaram opinião.

(9)

PROVA DE MATEMÁTICA – EPCAR 2017/2018 (VERSÃO A) RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES 1) d (Racionalização, potenciação e conjuntos numéricos)

2) b (Operações com mercadorias) 3) d (Regra de três)

4) a (Equação do 1º grau e equação do 2º grau) 5) b (Fatoração)

6) c (Mistura)

7) a (Função do 1° grau) 8) c (Sistemas lineares)

9) d (Operações com mercadorias) 10) b (Função quadrática)

11) a (Problemas do 2° grau) 12) a (Ângulos na circunferência) 13) b (Áreas)

14) d (Trigonometria no triângulo retângulo)

15) d (Relações métricas no triângulo retângulo e plano cartesiano) 16) c (Análise de gráficos)

(10)

PROVA DE MATEMÁTICA – EPCAR 2017/2018 (VERSÃO A) (ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES)

1) Sejam A e B os valores das expressões numéricas a seguir:

6 2 5 6 2 5 A

7 4 3 7 4 3

  

       

     

2 3

1

2 1

0, 00001 0, 01 B

1 4 1 1 10 25



 



Cada um desses valores pode ser colocado em uma das caixas a seguir, conforme a especificação de cada uma, a saber:

Dessa forma, podemos afirmar que uma combinação correta para os valores A e B e as caixas (I), (II) e (III) é, respectivamente,

a) A (II) e B (I) b) A (I) e B (III) c) A (III) e B (II) d) A (I) e B (II) RESOLUÇÃO: d

   

 

   

       

2 2

6 2 5 6 2 5 6 2 5 6 2 5

A

7 4 3 7 4 3 7 2 2 3 7 2 2 3

6 2 5

2 3 2 2 3 2 3 2 2 3

36 4 5 16 4

4 1

2 3 2 3

     

  

         

  

        

      

  

   

     

   

 

2 3

2 3 5 2 10 6

1 1 2 2

2 1

2

0, 00001 0, 01 10 10 25 10 10

B 1 4 10 4 10

1 25 4

1 10 25

25 25 1 1

4 10 4 100 16

    

  



  

    



     

Assim, o número A1 pode ser colocado nas caixas (I) ou (II), e o número 1 B16 pode ser colocado na caixa (II). Portanto, a opção correta é (d).

(11)

2) Uma empresa de artigos de perfumaria oferece a seguinte modalidade na negociação de seus produtos:

“Qualquer pessoa que se cadastre como vendedor tem autonomia para estabelecer o preço de venda e recebe uma comissão sobre o lucro que conseguir.”

No mês de fevereiro, um vendedor recebeu uma caixa com vários frascos iguais de um perfume que era lançamento para o Dia das Mães, e teve duas semanas de prazo para efetuar as vendas e esgotar o estoque que estava sob sua responsabilidade.

Ao final da 1ª semana, verificou que restava apenas 1

4 do estoque que recebera, sendo que, assim, ele já havia apurado 39

40 do valor que a empresa investira na fabricação destes perfumes.

Na semana seguinte ele vendeu o restante dos frascos conservando o mesmo preço de venda.

Sabe-se que o vendedor recebe uma comissão de 45% sobre o lucro que obtiver.

Neste caso, cada R$ 100,00 que esse vendedor receber com suas vendas lhe dará direito a uma comissão cujo valor, em reais, está entre

a) 8 e 10 b) 10 e 12 c) 12 e 14 d) 14 e 16

RESOLUÇÃO: b

Como o preço de venda é o mesmo na primeira e segunda semanas, e chamando de V a receita total de vendas nas duas semanas, então na primeira semana a receita foi 3

4V e na segunda semana foi 1

4V.

Seja C o custo total da caixa de perfumes, então a receita de vendas na primeira semana, 3V,

4 foi igual a 39

40C. Assim, temos:

3 39 10

V C C V

4  40  13

O lucro L nas duas semanas é dado por 10 3

L V C V V V.

13 13

    

A comissão do vendedor é 45% do lucro, então temos:

45 3 135

comissão 45% L V V.

100 13 1300

    

Portanto, a uma venda V, corresponde uma comissão de 135

1300V. Assim, a cada R$ 100,00 de vendas, a comissão será de

135 135

comissão 100 10, 4 reais

1300 13

   

que está entre 10 e 12 (b).

(12)

3) Uma prestadora de serviços combina um prazo de 9 dias, utilizando 12 máquinas, para executar certo trabalho.

Ao final do quarto dia, 4 máquinas estragam, não sendo substituídas e não havendo interrupção do trabalho. As máquinas levam 3 dias para serem consertadas, retornando ao trabalho no dia seguinte.

Para que seja cumprido o prazo combinado no início, a prestadora coloca, além das 12 máquinas, mais x máquinas iguais às primeiras.

É correto afirmar que x é igual a

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

RESOLUÇÃO: d

O atraso no prazo combinado corresponde ao trabalho de 4 máquinas que ficaram paradas durante 3 dias. Esse trabalho deverá ser feito pelas x máquinas adicionais nos últimos dois dias. Assim, podemos montar uma regra de três como segue:

nº de máquinas nº de dias

4 3

x 2

Como essas duas grandezas são inversamente proporcionais, temos:

x 3

x 6.

4   2

4) Considere a equação (I) na incógnita x e a equação (II) na incógnita y, a seguir:

  2 2

x 5m 2nx

I ,

m nm n  m n

   com m² n²

 II 2y2 xy 8 0

O valor de x da equação (I) é substituído na equação (II). Se a equação (II), após esta substituição, possui conjunto solução distinto do conjunto vazio, então o conjunto mais amplo dos valores de m que atendem esta condição é

a)



^m^ ^{| m}^{ }⁸₅ ^{ou m}^⁸₅



^b)



^m^ ^|^{ }⁸₅ ^m^⁸₅



c)



^m^ ^{| m}^⁸₅



^d)



^m^ ^{| m}^{ }⁸₅



RESOLUÇÃO: a

Vamos resolver a equação (I).

Observemos, inicialmente, que m²  n²  m n, garante que todos os denominadores são não nulos.

O mmc dos denominadores é ^mn^mn .^ Reduzindo as frações ao mesmo denominador, vem:

   

2 2

x 5m 2nx

x m n 5m m n 2nx 1

m nm n  m n      

  

(13)

2 2

xm xn 5m 5mn 2nx xm nx 5m 5mn

        

   

x m n 5m m n x 5m

       

Substituindo x 5m na equação (II), temos: 2y² 5my 8 0.

Para que essa equação tenha conjunto solução não vazio nos reais, seu discriminante deve ser não-negativo. Assim, temos:

 ² ² 8 8

5m 4 2 8 25m 64 0 m ou m

5 5

           

que aparece na alternativa (a).

5) Ao fatorar e efetuar as simplificações na fração

2 2 2 2 2 2

2 2 3 2 2

ab b c bc ac a c a b

, a c 2abc b c a 2a b ab

     

    

considerando sua devida existência, obtém-se a) b c

c a



 b) b c

a b



 c) 2a c c a



 d) b c a

a b

 

 RESOLUÇÃO: b

     

   

      

   

  

     

  

   

  

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 3 2 2 2 2 2 2

2 2

ab b c bc ac a c a b b c a ac c a b c a

a c 2abc b c a 2a b ab c a 2ab b a a 2ab b

b c a ac c a b c a c a c a b ac bc ab

a b c a c a a b

c a b a b c a b c a a b b c b c

a b

c a a b c a a b

            

         

         

  

   

       

  

    

6) Até a primeira quinzena do mês de março de 2017, o combustível comercializado nos postos de nosso país era uma mistura de 1 parte de etanol para 3 partes de gasolina.

Considere esse combustível e um outro que apresenta a mistura de 4 partes de etanol para 9 partes de gasolina. Juntando-se volumes iguais dos dois combustíveis, a nova relação de etanol para gasolina, nesta ordem, será

a) 5

9 b) 5

12 c) 29

75 d) 31

75 RESOLUÇÃO: c

Um volume V do combustível que é uma mistura de 1 parte de etanol para 3 partes de gasolina tem V

4 de etanol e 3V

4 de gasolina.

Um volume V do combustível que é um mistura de 4 partes de etanol para 9 partes de gasolina tem 4V

13 de etanol e 9V

13 de gasolina.

Misturando-se esses dois combustíveis, temos V 4V 29V

4  13  52 de etanol e

3V 9V 75V

4  13  52 de gasolina.

(14)

Portanto, a nova relação de etanol para gasolina é 29V

52 29. 75V 75

52



7) O gráfico a seguir é de uma função polinomial do 1º grau e descreve a velocidade v de um móvel em função do tempo t:

Assim, no instante t  10 horas o móvel está a uma velocidade de 55 km/h, por exemplo.

Sabe-se que é possível determinar a distância que o móvel percorre calculando a área limitada entre o eixo horizontal t e a semirreta que representa a velocidade em função do tempo. Desta forma, a área hachurada no gráfico fornece a distância, em km, percorrida pelo móvel do instante 6 a 10 horas.

É correto afirmar que a distância percorrida pelo móvel, em km, do instante 3 a 9 horas é de

a) 318 b) 306 c) 256 d) 212

RESOLUÇÃO: a

Vamos identificar a equação da reta que relaciona v e t.

O coeficiente angular da reta é 55 50 5 1

10 0 10 2

  

 e o coeficiente linear é 50.

Assim, temos ^{ } 1

v t t 50.

  2

Vamos calcular a velocidade nos instantes 3h e 9h.

  1

v 3 3 50 51,5

  2 

  1

v 9 9 50 54,5

  2 

(15)

A distância percorrida pelo móvel entre os instantes 3h e 9h é a área do trapézio ABCD, então

AD BC CD v 3  v 9  9 3 51,5 54,5 6

d 318 km.

2 2 2

      

   

8) Carlos, Paulo e José resolveram fazer um lanche na praça de alimentação de um shopping center.

Ao observarem o cardápio disponível, perceberam que teriam que pedir o que era denominado de “Combo”, ou seja, um combinado de vários itens por um preço já especificado.

Assim, os Combos solicitados foram:

*Combo 1 = R$15,00: 2 hambúrgueres,1 suco e 1 sobremesa

*Combo 2 = R$ 24,00: 4 hambúrgueres e 3 sucos

*Combo 3 = R$35,00: 5 sucos e 3 sobremesas

O valor individual dos hambúrgueres é o mesmo, bem como o valor individual dos sucos e o valor individual das sobremesas, não importando qual Combo foi escolhido.

O quadro a seguir mostra a quantidade de cada um dos itens dos Combos que Carlos, Paulo e José consumiram:

Se Carlos, Paulo e José se organizaram para descobrir o valor individual de cada item e pagaram individualmente apenas pelo que cada um consumiu, então é correto afirmar que

a) Carlos pagou R$ 9,00 a mais que Paulo.

b) a diferença entre o que Carlos e José pagaram foi de R$ 3,00.

c) Paulo e José pagaram o mesmo valor.

d) Carlos pagou mais que José, que pagou mais que Paulo.

(16)

RESOLUÇÃO: c

Sejam x, y e z os preços do hambúrguer, do suco e da sobremesa, respectivamente, então podemos montar o seguinte sistema linear.

2x y z 15

4x 3y 24 5y 3z 35

  

  

  



Calculando o dobro da primeira equação menos a segunda, temos:

   

2 2x y z 4x 3y 2 15 24 y 2z 6 y 2z 6

               

Substituindo a expressão obtida na terceira equação, vem:

 

5y3z 35 5 2z6 3z 3513z 65 z 5

O valor obtido para z pode ser substituído na expressão obtida para y.

y 2z    6 2 5 6 4

Substituindo os valores de y e z na primeira equação, obtém-se x.

2x  y z 152x  4 5 15 x 3

O valor pago por Carlos é 2x4y2z      2 3 4 4 2 5 32 reais.

O valor pago por Paulo é 3x3y    3 3 3 4 21 reais.

O valor pago por José é x2y2z     3 2 4 2 5 21 reais.

Portanto, Paulo e José pagaram o mesmo valor (c).

9) Uma revendedora de automóveis usados apresenta um modelo e o anuncia por x reais. Para atrair clientes, a revendedora oferece duas formas de pagamento:

Um cliente comprou um automóvel e optou pelo pagamento no cartão de crédito em 10 parcelas iguais de R$ 3 240,00.

Considerando as informações anteriores, é correto afirmar que a) o valor x anunciado pela revendedora é menor que R$ 25 000,00.

b) se esse cliente tivesse optado pelo pagamento à vista, então ele gastaria mais de R$ 24 500,00 com essa compra.

c) a opção que esse comprador fez usando o cartão de crédito representou um acréscimo de 30% sobre o valor que seria pago à vista.

d) se o cliente tivesse pago à vista, ao invés de utilizar o cartão de crédito, então teria economizado mais de R$ 8 000,00.

RESOLUÇÃO: d

O valor total das parcelas foi 10 3240 32400 reais. Esse valor representa o preço original x acrescido de 20%, ou seja, x20% x 1, 2x 32400 x 27000 reais.

O valor para pagamento à vista tem um desconto de 10% sobre o preço original, então esse valor é x10% x 0,9 x 0,9 27000 24300 reais.

(17)

O acréscimo entre o valor para pagamento à vista e o valor para pagamento em cartão de crédito é 32400 24300

33, 3%.

24300

 

Vamos analisar as alternativas.

a) INCORRETO, pois x2700025000.

b) INCORRETO, pois o valor para pagamento à vista é 24300 24500.

c) INCORRETO, pois o acréscimo foi de 33, 3%.

d) CORRETO, pois o valor economizado seria 324002430081008000.

10) De acordo com o senso comum, parece que a juventude tem gosto por aventuras radicais. Os alunos do CPCAR não fogem dessa condição.

Durante as últimas férias, um grupo desses alunos se reuniu para ir a São Paulo com o objetivo de saltar de “Bungee Jumping” da Ponte Octávio Frias de Oliveira, geralmente chamada de “Ponte Estaiada”.

Em uma publicação na rede social de um desses saltos, eles, querendo impressionar, colocaram algumas medidas fictícias da aproximação do saltador em relação ao solo.

Considere que a trajetória que o saltador descreve possa ser modelada por uma função polinomial do 2° grau f x^{ }ax² bxc, cujo eixo das abscissas coincida com a reta da Av. Nações Unidas e o eixo das ordenadas contenha o “ponto mais próximo da Avenida”, indicados na figura.

Considere, também, as medidas informadas.

O coeficiente de x da função com as características sugeridas é igual a ² a) 22

1521 b) 2

117 c) 13

1521 d) 13

117 RESOLUÇÃO: b

(18)

A função quadrática f x^{ }ax²bxc tem vértice de coordenadas 0, 4 (ponto  mais próximo da avenida) e passa pelo ponto 39,30 . Assim, temos:

V

x b 0 b 0

 2a    f 0  c 4

  ²

f x ax 4

  

   ² 26 2

f 39 a 39 4 30 1521 a 26 a

1521 117

           

11) Numa doceria comprei dois tipos de doce. Do primeiro tipo, 6 unidades de determinado valor unitário. Do segundo tipo, cujo valor unitário é 3 reais mais caro que o primeiro tipo, comprei uma quantidade que equivale ao dobro do valor unitário do primeiro tipo. Entreguei seis notas de 50 reais para pagar tal compra e recebi 30 reais de troco.

Dos dois tipos de doce que comprei, gastei com o mais caro, em reais, um total de

a) 216 b) 198 c) 162 d) 146

RESOLUÇÃO: a

Seja x o valor unitário do primeiro tipo de doce. Como foram compradas 6 unidades desse doce, então o valor gasto foi 6x.

O valor unitário do segundo tipo de doce é x3 e foram compradas 2x unidades, então o valor gasto foi ^x3^2x 2x²6x.

O valor total gasto com ambos os doces foi

 ²  ²

6x 2x 6x  6 5030x 6x 135    0 x 15 ou x 9.

Mas x é o valor unitário do primeiro tipo de doce, então deve ser um valor positivo, o que implica x 9.

Logo, o valor gasto com o doce mais caro (segundo tipo) foi

x32x93  2 9 216 reais.

(19)

12) Considere a figura e os dados a seguir:

DADOS:

• O é o circuncentro do triângulo ABC

• _{med ACD} ^ˆ _{ }₅₀

• BECˆ e BDCˆ são retos

• FG é o diâmetro da circunferência de centro O.

A medida do ângulo AFG,^ˆ em graus, é igual a

a) 40 b) 50 c) 60 d) 70

RESOLUÇÃO: a

A figura a seguir reproduz a do enunciado com o acréscimo das informações dadas.

Observe que, como FG é um diâmetro da circunferência, o ângulo FAG é reto. ˆ No triângulo retângulo ACD, temos: CADˆ   90 ACDˆ     90 50 40 . No triângulo retângulo ABE, temos: ABEˆ   90 BAEˆ      90 40 50 .

Os ângulos ABF^ˆ e AGF são ângulos inscritos que subentendem o mesmo arco AF, ˆ então AGFˆ  ABFˆ  50 .

No triângulo retângulo AFG, temos: AFGˆ   90 AGFˆ     90 50 40 .

(20)

13) Com a intenção de padronizar as barracas dos vendedores ambulantes, a prefeitura da cidade de Eulerópolis solicitou a uma empresa especializada no ramo que fizesse um orçamento do material a ser empregado e do custo para finalização das barracas.

Segue um esboço do que foi apresentado pela empresa:

O ponto O é a projeção ortogonal do ponto V sobre a base hexagonal regular da barraca.

Considere: 72, 6 e 2 1, 4.

No modelo apresentado, a parte hachurada indica onde existe tecido, ou seja, no telhado e na parte de baixo da lateral, ao custo de R$ 2,00 o metro quadrado.

Além disso, em cada aresta está uma barra de alumínio ao custo de R$ 4,00 o metro linear.

Se a empresa cobra uma taxa de mão de obra equivalente a 30% do custo de todo o material gasto, então é correto afirmar que o custo total de uma barraca padrão, em reais, é um número compreendido entre

a) 390 e 400 b) 401 e 410 c) 411 e 420 d) 421 e 430 RESOLUÇÃO: b

Vamos identificar, inicialmente, as medidas das arestas e as áreas no telhado.

(21)

O hexágono regular ABCDEF é a base do telhado e o ponto H o seu centro. Assim, VH2 é a altura da pirâmide.

O segmento HC é o raio do círculo circunscrito ao hexágono da base e, portanto, tem medida igual ao lado do hexágono, ou seja, HC 2.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo VHC, temos:

2 2 2 2 2

VC VH HC 2 2  8 VC2 2.

O ponto M é o ponto médio da aresta BC, então CM1. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo VMC, temos:

 ²

2 2 2 2 2 2

VM CM VC VM 1  2 2 VM  7 VM 7.

A área lateral da pirâmide é a área do telhado (onde há tecido) e é igual à área dos seis triângulos isósceles congruentes, então ₁ BC VM

S 6 3 2 7 6 7.

2

      

A parte de baixo da lateral é formada por seis retângulos congruentes de base 2 e altura 1, então sua área é S₂    6 2 1 12.

Assim, a área total coberta pelo tecido é

1 2 2

SS S 6 712 6 2, 6 12 27, 6 m .

O custo do tecido é R$ 2,00 o metro quadrado, então o valor gasto com o tecido foi 2 27, 6 55, 20 reais.

As barras de alumínio correspondem a três hexágonos regulares de lado 2 (horizontais), seis segmentos verticais de medida 2 e seis segmentos oblíquos (arestas laterais da pirâmide) de medida 2 2. Assim, o comprimento total das barras de alumínio é

3 6 2     6 2 6 2 2 48 12 2 48 12 1, 4  64,8 m.

O custo da barra de alumínio é R$ 4,00 o metro linear, então o valor gasto com as barras de alumínio foi 4 64,8 259, 20 reais.

O custo total do material foi 55, 20259, 20314, 40 reais, acrescido da taxa de 30%

relativa à mão-de-obra, o custo total da barraca é 314, 4030% 314, 40 1,3 314, 40 408, 72 reais, que é um número compreendido entre 401 e 410.

(22)

14) Na figura a seguir, os eixos x e y formam o sistema cartesiano ortogonal e a circunferência tem centro em O e raio igual a 1 cm. A reta r é tangente à circunferência em T, intercepta o eixo y em B, e C é a projeção ortogonal de T sobre o eixo x.

O produto OB CT, em cm , é igual a ²

a) 2,5 b) 2 c) 1,5 d) 1

RESOLUÇÃO: d

Seja CÔT , então OBTˆ  .

No triângulo retângulo OBT, temos: OT 1 1

sen sen OB .

OB OB sen

      

 No triângulo retângulo OCT, temos: CT CT

sen CT sen .

OT 1

     

Logo, 1

OB CT sen 1.

  sen   



(23)

15) As ideias de rotação e de simetria de seres/objetos não são um privilégio da Matemática, muito embora a noção de beleza, estreitamente ligada à Arte e à Natureza, também não esteja isenta de uma noção matemática.

O “Homem Vitruviano” guarda em si essas noções.

Para a Matemática, as ideias de rotação e de simetria de polígonos podem auxiliar nos cálculos de distâncias.

Considere o triângulo equilátero ABC representado no plano cartesiano a seguir.

O triângulo A’B’C’ será o triângulo ABC rotacionado nesse mesmo plano de um ângulo de 45 em torno da intersecção de AB com o eixo das abscissas, no sentido horário.

As coordenadas cartesianas do vértice C’ do triângulo A’B’C’ serão a) 0, 2 6  b) 0, 2 6 c) 1, 4 6  d) 1,3 2

RESOLUÇÃO: d (A alternativa b foi alterada, pois a questão foi anulada da forma como foi originalmente proposta)

(24)

A interseção de AB com o eixo das abscissas é o ponto D 1, 0 .  

No triângulo retângulo CDE, temos CEDE3, então CDEˆ 45 e CD3 2.

Como CDC'^ˆ 45 , então EDC'ˆ  EDCˆ CDC'ˆ 45    45 90 .

Portanto, x_C' 1 e y_C' DC'DC3 2, ou seja, as coordenadas do vértice C’ são

1,3 2 .

16) Uma consulta pública realizada pelo Instituto que organiza a aplicação do Exame Nacional do Ensino Médio, em fevereiro de 2017, visou conhecer a preferência sobre os possíveis modelos de aplicação do Exame:

* Modelo A: Testes em apenas 1 dia

* Modelo B: Testes no sábado e no domingo

* Modelo C: Testes em dois domingos consecutivos

Suponha que tenham sido consultadas um total de x pessoas entre moradores da capital e do interior. Desse total, 40 pessoas do interior e 60 da capital não manifestaram preferência pelos Modelos A, B ou C.

O gráfico a seguir mostra os resultados dos que manifestaram sua preferência:

(25)

Baseado nestas informações, é correto afirmar que

a) 20% das pessoas consultadas, exatamente, preferem a aplicação do Exame em um único dia.

b) o número total das pessoas consultadas no interior e na capital é o mesmo.

c) 5

7 das pessoas que manifestaram preferência pelos Modelos optaram pela realização do Exame em dois dias.

d) exatamente 12% das pessoas consultadas não manifestaram opinião.

RESOLUÇÃO: c

Vamos colocar a informação do enunciado sobre as pessoas que não manifestaram sua preferência e os dados do gráfico em uma tabela.

MODELO A MODELO B MODELO C NÃO

INFORMARAM TOTAL

INTERIOR 50 100 200 40 390

CAPITAL 150 150 50 60 410

TOTAL 200 250 250 100 800

Vamos agora analisar as alternativas.

a) INCORRETA

O total de pessoas consultadas foi 200250250 100 800.

As pessoas que preferem a aplicação do exame em um único dia são aquelas que optaram pelo modelo A, ou seja, 200

800  25% das pessoas consultadas.

b) INCORRETA

Foram consultadas 390 pessoas do interior e 410 pessoas da capital.

c) CORRETA

As pessoas que manifestaram preferência por algum dos modelos foram 200250250700. As pessoas que optaram pela realização do exame em dois dias foram aquelas que escolheram os modelos B ou C, ou seja, 250250500 pessoas, o que representa 500 5

700 7 do total de pessoas que manifestaram preferência.

d) INCORRETA

O percentual de pessoas que não manifestaram opinião foi 100 1

12,5%.

800  8