Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

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Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

PROVA DE MATEMÁTICA EsPCEx 2020-2021 (MODELO D) DATA 27 DE SETEMBRO DE 2020

ENUNCIADOS

1) Para fabricar uma mesa redonda que comporte 8 pessoas em sua volta, um projetista concluiu que essa mesa, para ser confortável, deverá considerar, para cada um dos ocupantes, um arco de circunferência com 62,8 cm de comprimento. O tampo redondo da mesa será obtido a partir de uma placa quadrada de madeira compensada. Adotando

3,14,

  a menor medida do lado dessa placa quadrada que permite obter esse tampo de mesa é

a) 72 cm b) 80 cm c) 144 cm d) 160 cm e) 180 cm

2) Qual o valor de n, no binômio x3ⁿ para que o coeficiente do 5º termo nas potências decrescentes de x seja igual a 5670?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

3) Se o polinômio _{p x} __x³__ax²__{13x 12}_ tem x1 como uma de suas raízes, então é correto afirmar que

a) x1 é raiz de multiplicidade 2.

b) as outras raízes são complexas não reais.

c) as outras raízes são negativas.

d) a soma das raízes é igual a zero.

e) apenas uma raiz não é quadrado perfeito.

4) A função real definida por f x k²2k 3 x  k é crescente se, e somente se a) k0

b)   1 k 3 c) k 1 ou k3 d) k 1 ou k3 e) k 1 ou k3

5) Os pontos ^{A 3, 2} ^ ^e^C^^{1, 3} são vértices opostos de um quadrado ABCD. A equação da reta que contém a diagonal BD é

a) 5x4y 7 0.

b) 8x 10y 3  0.

c) 8x 10y 13  0.

d) 4x 5y 3  0.

e) 4x 5y 7  0.

(2)

6) Na figura a seguir, ABCD é um quadrado, E é o ponto médio de BC e F é o ponto médio de DE.

A razão entre as áreas do quadrado ABCD e do triângulo AEF, nessa ordem, é

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7) Dois dados cúbicos não viciados, um azul e outro vermelho, são lançados. Os dois dados são numerados de 1 a 6. Qual a probabilidade da soma dos números que saírem nos dois dados dar 7, sabendo-se que no dado azul saiu um número par?

a) 1

12 b) 1

2 c) 1

6 d) 1

3 e) 1

18

8) Oito alunos, entre eles Gomes e Oliveira, são dispostos na primeira fileira do auditório da EsPCEx, visando assistirem a uma palestra. Sabendo-se que a fileira tem 8 poltronas, de quantas formas distintas é possível distribuir 8 alunos, de maneira que Gomes e Oliveira não fiquem juntos?

a) 8! b) 7 7! c) 7! d) 2 7! e) 6 7!

9) A figura abaixo mostra um reservatório com 6 metros de altura. Inicialmente esse reservatório está vazio e ficará cheio ao fim de 7 horas. Sabe-se também que, após 1 hora do começo do seu preenchimento, a altura da água é igual a 2 metros. Percebeu-se que a altura, em metros, da água, “t” horas após começar o seu preenchimento, é dada por

  ₂ ² 

h t log at  bt c , com ^t ^{0, 7 ,} onde a, b e c são constantes reais. Após quantas horas a altura da água no reservatório estará com 4 metros?

a) 3 horas e 30 minutos b) 3 horas c) 2 horas e 30 minutos d) 2 horas e) 1 hora e 30 minutos

(3)

10) No ano de 2010, uma cidade tinha 100.000 habitantes. Nessa cidade, a população cresce a uma taxa de 20% ao ano. De posse dessas informações, a população dessa cidade em 2014 era de

a) 207.360 habitantes.

b) 100.160 habitantes.

c) 180.000 habitantes.

d) 172.800 habitantes.

e) 156.630 habitantes.

11) Sabendo-se que a equação 2x²ay²bxy 4x 8y c   0 representa uma circunferência de raio 3, a soma a b c é igual a

a) 10 b) 6 c) 2 d) 2 e) 6

12) Um poliedro possui 20 vértices. Sabendo-se que de cada vértice partem 3 arestas, o número de faces que o poliedro possui é igual a

a) 12 b) 22 c) 32 d) 42 e) 52

13) Os lados AB, AC e BC de um triângulo ABC medem, respectivamente, 4 cm, 4 cm e 6 cm. Então a medida, em cm, da mediana relativa ao lado AB é igual a

a) 14. b) 17. c) 18. d) 21. e) 22.

14) Dado o triângulo equilátero MNP de lado x e a reta r que passa pelo vértice M e é paralela ao lado NP, o volume do sólido gerado pela rotação desse triângulo em torno da reta r é igual a

a) x3

3

 b) x³ c) x3

2

 d) 3 x3

4

 e) 2 x ³

15) Se  é um arco do 4° quadrante tal que 4

cos ,

 5 então 2 sec 3 tg é igual a a) ².

2 b) 1

2. c) ^{5 2}.

2 d) 3

2. e) ¹⁹. 2

16) Sejam f x 4x²12x 5 e g x  x 2 funções reais. O menor inteiro para o qual

  

f g x 0 é

a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2

17) Sejam as matrizes

1 1 1

A 2 1 3 ,

1 1 1

  

 

  

  

 

x

B y

z

  

  

   e

0

C 12 .

4

 

 

  

  

 

Se ABC, então x y z é igual a

a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2

(4)

18) Na figura abaixo está representado o plano de Argand-Gauss com os afixos de 12 números complexos. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes iguais e que Z₀ 1. Sobre o número complexo dado por  ₂ ² ₅

3

Z Z

Z

 é correto afirmar que é um número

a) real e negativo.

b) real e positivo.

c) imaginário com parte real negativa e parte imaginária positiva.

d) imaginário com parte real positiva e parte imaginária negativa.

e) imaginário puro com parte imaginária negativa.

19) Uma reta tangente à curva de equação yx² é paralela à reta 6x  y 5 0. As coordenadas do ponto de tangência são

a)  3,9 . b)  6, 5 . c)  5, 6 . d)  5,9 . e)  9,3 .

20) Se a medida do raio da circunferência circunscrita a um octógono regular é R, então a medida do raio da circunferência inscrita a esse octógono é igual a

a) R

1 2.

2  b) R

1 3.

2  c) R

2 2 .

2  d) R

2 3.

2  e) R

2 3.

2 

(5)

RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES

1) d (Geometria plana – circunferência e quadrado) 2) d (Binômio de Newton e triângulo de Pascal) 3) d (Equação polinomial – relações de Girard) 4) e (Função afim)

5) b (Geometria analítica – retas) 6) d (Geometria plana – áreas) 7) c (Probabilidade condicional)

8) e (Análise combinatória – permutação) 9) b (Função logarítmica)

10) a (Progressão geométrica)

11) b (Geometria analítica – circunferência)

12) a (Geometria espacial – poliedros e relação de Euler)

13) e (Geometria plana – relações métricas no triângulo qualquer) 14) c (Geometria espacial – volume de sólido de revolução) 15) b (Trigonometria – relações fundamentais)

16) b (Função composta)

17) e (Sistemas lineares – escalonamento)

18) a (Números complexos – forma trigonométrica) 19) a (Geometria analítica – cônicas)

20) c (Trigonometria e geometria plana)

(6)

RESOLUÇÃO

1) Para fabricar uma mesa redonda que comporte 8 pessoas em sua volta, um projetista concluiu que essa mesa, para ser confortável, deverá considerar, para cada um dos ocupantes, um arco de circunferência com 62,8 cm de comprimento. O tampo redondo da mesa será obtido a partir de uma placa quadrada de madeira compensada. Adotando

3,14,

  a menor medida do lado dessa placa quadrada que permite obter esse tampo de mesa é

a) 72 cm b) 80 cm c) 144 cm d) 160 cm e) 180 cm RESPOSTA: d

O comprimento da circunferência é igual ao comprimento de 8 arcos de 62,8 cm. Assim, temos:

2  R 8 62,8 2 3,14 R  8 62,86, 28 R  8 62,8 R 80

A menor medida do lado do quadrado é obtida quando a circunferência está inscrita no quadrado. Dessa forma, o lado L do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência, ou seja, L2R 2 80 160 cm.

2) Qual o valor de n, no binômio _x_₃ⁿ para que o coeficiente do 5º termo nas potências decrescentes de x seja igual a 5670?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

RESPOSTA: d

O termo de ordem ^{p 1}^  no desenvolvimento do binômio x3ⁿ em potências decrescentes de x é T_{p 1}_ C^p_n 3^p x^{n 3}^ .

O coeficiente do 5° termo é obtido fazendo-se p 1 5   p 4. Assim, esse coeficiente será dado por

4 4 4

n n

C 3 5670C 70

Podemos encontrar n inspecionando a 5ª coluna no triângulo de Pascal.

(7)

p 0 1 2 3 4 5 6 7 8

n0 1 n1 1 1 n2 1 2 1 n3 1 3 3 1 n4 1 4 6 4 1 n5 1 5 10 10 5 1 n6 1 6 15 20 15 6 1 n7 1 7 21 35 35 21 7 1 n8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 Assim, observamos que C₈⁴70 n 8.

3) Se o polinômio _{p x} __x³__ax²__{13x 12}_ tem x1 como uma de suas raízes, então é correto afirmar que

a) x1 é raiz de multiplicidade 2.

b) as outras raízes são complexas não reais.

c) as outras raízes são negativas.

d) a soma das raízes é igual a zero.

e) apenas uma raiz não é quadrado perfeito.

RESPOSTA: d

Se x1 é raiz de P x , então   P 1      1³ a 1² 13 1 12  0 a 0.

Substituindo a0 na expressão de P x , obtemos   _{p x} __x³__{13x 12.}_ Pelas relações de Girard, a soma das raízes é ₁ 0

1 0,

    o que implica que a soma das raízes de P x é zero, o que está na alternativa d).  

Caso quiséssemos encontrar as raízes do polinômio, poderíamos aplicar o algoritmo de Ruffini-Horner, ou fatorá-lo tendo em mente que ele possui um fator x 1 ,  pois x1 é raiz.

A seguir, obteremos as raízes do polinômio realizando sua fatoração.

     

            

   

3 3 2

2

P x x 13x 12 x x 12x 12 x x 1 12 x 1

x x 1 x 1 12 x 1 x 1 x x 1 12 x 1 x x 12

x 1 x 4 x 3

          

            

   

Portanto, as raízes de P x são 4,   1 e 3, cuja soma é zero como já havíamos verificado anteriormente.

4) A função real definida por _{f x} __k²__{2k 3 x}_  __k é crescente se, e somente se a) k0 b)   1 k 3

c) k 1 ou k3 d) k 1 ou k3 e) k 1 ou k3

(8)

RESPOSTA: e

Uma função afim da forma f x ax b é crescente quando o seu coeficiente angular a é positivo.

Assim, a função _{f x} __k²__{2k 3 x}_  __k é crescente se, e somente se

  

k22k 3  0 k 3 k 1      0 k 1 k3.

5) Os pontos ^{A 3, 2}   e ^C^{1, 3} são vértices opostos de um quadrado ABCD. A equação da reta que contém a diagonal BD é

a) 5x4y 7 0. b) 8x 10y 3  0.

c) 8x 10y 13  0. d) 4x 5y 3  0.

e) 4x 5y 7  0.

RESPOSTA: b

A diagonal BD é perpendicular à diagonal AC e passa pelo seu ponto médio.

O ponto médio de AC é ₃    ₁ ₂ ₃ ₁

O , 1, .

2 2 2

       

   

   

O coeficiente angular da reta que passa por A e C é  

 

AC

3 2 5 5

m .

1 3 4 4

     

  

O coeficiente angular da reta que passa por B e D, que é perpendicular a AC, é dado por

BD

AC

1 1 4

m .

m 5 5

4

    

 

 

 

Dessa forma, a reta que contém a diagonal BD passa pelo ponto O 1,¹ 2

 

 

  e tem coeficiente angular _BD 4

m .

5 Assim, sua equação é dada por y 1

4 5

2 5y 4x 4 10y 5 8x 8 8x 10y 3 0

x 1 5 2

             



(9)

6) Na figura a seguir, ABCD é um quadrado, E é o ponto médio de BC e F é o ponto médio de DE.

A razão entre as áreas do quadrado ABCD e do triângulo AEF, nessa ordem, é

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

RESPOSTA: d

Inicialmente, observamos que _ADE S^ABCD

S .

 2

Os triângulos AEF e ADE possuem vértice comum e base sobre a mesma reta, então

ABCD

ABCD ABCD

AFE ADE

AFE

ADE AFE

S

S S

S FE 1 S S 2 4.

S DE  2  2  2  4  S 

7) Dois dados cúbicos não viciados, um azul e outro vermelho, são lançados. Os dois dados são numerados de 1 a 6. Qual a probabilidade da soma dos números que saírem nos dois dados dar 7, sabendo-se que no dado azul saiu um número par?

a) 1

12 b) 1

2 c) 1

6 d) 1

3 e) 1

18 RESPOSTA: c

Sejam os resultados representados por pares ordenados, onde o 1° elemento do par representa o resultado do dado azul e o 2° elemento do par, o resultado do dado vermelho.

Sabendo que o resultado do dado azul foi um número par, então o número de elementos do espaço amostral (reduzido) é #    3 6 18.

Os casos favoráveis, ou seja, os casos em que a soma dos resultados nos dois dados é 7 são ^A     2,5 ; 4,3 ; 6,1 , então# A 3.

Dessa forma, a probabilidade pedida é    

 

# A 3 1

P A .

# 18 6

  



(10)

Poderíamos fazer esse problema usando a ideia de probabilidade condicional

   

 

3

P soma 7 azul par 36 3 1

P soma 7 | azul par .

P azul par 18 18 6

36

    

8) Oito alunos, entre eles Gomes e Oliveira, são dispostos na primeira fileira do auditório da EsPCEx, visando assistirem a uma palestra. Sabendo-se que a fileira tem 8 poltronas, de quantas formas distintas é possível distribuir 8 alunos, de maneira que Gomes e Oliveira não fiquem juntos?

a) 8! b) 7 7! c) 7! d) 2 7! e) 6 7! RESPOSTA: e

O número de formas distintas de dispor os 8 alunos das 8 poltronas sem restrição é 8!.

O número de permutações nas quais Gomes e Oliveira estão juntos é 7! 2!, onde consideramos Gomes e Oliveira um grupo único na permutação e permutamos as suas posições dentro do grupo.

Dessa forma, o número de permutações desses 8 alunos, de maneira que Gomes e Oliveira não fiquem juntos, é igual ao total de permutações sem restrição menos a quantidade de permutações em que eles estão juntos, ou seja, 8! 7! 2! 8 7! 7! 2          7! 8 2  6 7!.

9) A figura abaixo mostra um reservatório com 6 metros de altura. Inicialmente esse reservatório está vazio e ficará cheio ao fim de 7 horas. Sabe-se também que, após 1 hora do começo do seu preenchimento, a altura da água é igual a 2 metros. Percebeu-se que a altura, em metros, da água, “t” horas após começar o seu preenchimento, é dada por

  ₂ ² 

h t log at  bt c , com t 0, 7 , onde a, b e c são constantes reais. Após quantas horas a altura da água no reservatório estará com 4 metros?

a) 3 horas e 30 minutos b) 3 horas

c) 2 horas e 30 minutos d) 2 horas

e) 1 hora e 30 minutos

(11)

RESPOSTA: b

O reservatório inicialmente está vazio, então h 0 0.

Após 1 hora do início, a altura da água é 2 metros, então h 1 2.

O reservatório ficará cheio após 7 horas, então h 7 6.

Dessa foram, temos:

  ₂ ²  ² ^{h t}^{ }

h t log at  bt c at   bt c 2

  ² ^{h 0}^{ } ⁰

h 0   0 a 0    b 0 c 2  c 2 1

  ² ^{h 1}^{ } ²

h 1       2 a 1 b 1 1 2    a b 1 2   a b 3 (*)

  ² ^{h 7}^{ } ⁶

h 7   6 a 7    b 7 1 2 49a7b 1 2 7a b 9 (**) Subtraindo (*) de (**), vem: 6a  6 a 1.

Substituindo a1 em (*), resulta: 1 b   3 b 2.

Assim, a expressão de h t é   _{h t} _log₂_t²_{2t 1}  _log₂_{t 1} ² 2 log t 1 .₂  A fim de descobrir após quantas horas a altura da água no reservatório estará com 4 metros, devemos obter t tal que h t 4. Assim,

  ₂ ₂ ²

h t 2 log t 1 4 log t 1 2 t 1 2 t 1 4

t 5 t 3

            

    

Observe que a solução t 5 não é válida, pois devemos ter t0.

Portanto, a altura da água no reservatório será 4 metros às 3 horas.

10) No ano de 2010, uma cidade tinha 100.000 habitantes. Nessa cidade, a população cresce a uma taxa de 20% ao ano. De posse dessas informações, a população dessa cidade em 2014 era de

a) 207.360 habitantes.

b) 100.160 habitantes.

c) 180.000 habitantes.

d) 172.800 habitantes.

e) 156.630 habitantes.

RESPOSTA: a

Se a população da cidade em 2010 era de 100 000 habitantes e ela cresce a uma taxa de 20% ao ano, então a população a partir desse ano é uma progressão geométrica de 1°

termo a₁100 000 e razão q 1 20% 1, 2.

Assim, a população da cidade no ano 2010 n 1 é dada por

n 1 n 1

n 1

a  a q ^ 100 000 1, 2 ^.

Para obter a população em 2014, devemos adotar 2010  n 1 2014 n 5. Assim, a população da cidade em 2014 era a₅100 000 1, 2 ^{5 1}^ 100 000 2, 0736 207 360.

11) Sabendo-se que a equação 2x²ay²bxy 4x 8y c   0 representa uma circunferência de raio 3, a soma a b c é igual a

a) 10 b) 6 c) 2 d) 2 e) 6

(12)

RESPOSTA: b

Para que a equação 2x²ay²bxy 4x 8y c   0 represente uma circunferência, os coeficientes de x e ² y² devem ser iguais, e o coeficiente do termo xy deve ser nulo.

Assim, devemos ter a2 e b0.

Vamos substituir os valores de a e b na equação original e colocá-la na forma reduzida.

2 2 2 2 c

2x 2y 4x 8y c 0 x 2x y 4y

          2

x² 2 x 1² y² 2 2y 2² ^c 1² 2² ^x 1^² y 2² ^{10 c}

2 2

                  Para que essa equação corresponda a uma circunferência de raio 3, devemos ter

10 c 2

3 10 c 18 c 8.

2

       

Portanto, a       b c 2 0  8 6.

12) Um poliedro possui 20 vértices. Sabendo-se que de cada vértice partem 3 arestas, o número de faces que o poliedro possui é igual a

a) 12 b) 22 c) 32 d) 42 e) 52

RESPOSTA: a

Nesse poliedro todos os vértices são do tipo 3. Assim, temos Vv₃ 20.

Sabemos que 3v₃4v₄5v₅ 2A3v₃ 2A 3 202A A 30.

Pela relação de Euter, temos V F   A 2 20 F 30 2  F 12.

13) Os lados AB, AC e BC de um triângulo ABC medem, respectivamente, 4 cm, 4 cm e 6 cm. Então a medida, em cm, da mediana relativa ao lado AB é igual a

a) 14. b) 17. c) 18. d) 21. e) 22.

RESPOSTA: e

Seja M o ponto médio do lado AB, então CM é a mediana relativa ao lado AB.

Vamos aplicar a relação de Stewart a fim de calcular a medida de CM.

2 2 2 2 2 2

2 2

AC CM BC 4 CM 6

1 1

AM AB AM MB MB AB 2 4 2 2 2 4

16 2 CM 36 8 2 CM 44 CM 22

      

     

         

(13)

14) Dado o triângulo equilátero MNP de lado x e a reta r que passa pelo vértice M e é paralela ao lado NP, o volume do sólido gerado pela rotação desse triângulo em torno da reta r é igual a

a) x3

3

 b) x³ c) x3

2

 d) 3 x3

4

 e) 2 x ³

RESPOSTA: c

O volume do sólido formado pela revolução do triângulo MNP é igual ao volume do cilindro menos o volume de dois cones.

O cilindro tem raio da base OP ^{x 3}

 2 e altura OO 'x, então seu volume é

2 3

cil.

x 3 3 x

V x .

2 4

  

    

 

Os cones têm raio da base OP O ' N ^{x 3}

  2 e altura x

OM O ' M ,

  2 então os cones têm volume

2 3

cone

1 x 3 x x

V .

3 2 2 8

  

    

 

Assim, o volume V do sólido de revolução é

3 3 3

cil. cone

3 x x x

V V 2 V 2 .

4 8 2

  

      

Esse problema pode ser feito mais rapidamente aplicando-se o teorema de Pappus-Guldin.

Observe que a área do triângulo equilátero MNP é

x2 3

S 4 e que a distância do centro de gravidade G de MNP ao eixo de rotação r é d GM ^{2 x 3} ^{x 3}.

3 2 3

    Assim, o

volume do sólido de revolução é

2 3

x 3 x 3 x

V 2 Sd 2 .

4 3 2

      

(14)

15) Se  é um arco do 4° quadrante tal que 4

cos ,

 5 então 2 sec 3 tg é igual a a) ².

2 b) 1

2. c) ^{5 2}.

2 d) 3

2. e) ¹⁹. 2 RESPOSTA: b

Pela relação fundamental da trigonometria, vem:

2

2 2 2 4 2 16 9 3

sen cos 1 sen 1 sen 1 sen

5 25 25 5

                  

 

Como Q_IV, então sen 0, o que implica 3

sen .

  5

Note que o valor de sen a menos do sinal poderia ter sido obtido observando-se a relação de  com um dos ângulos agudos do triângulo retângulo 3-4-5.

Agora podemos calcular as outras linhas trigonométricas de .

1 1 5

sec cos 4 4

5

   



3

sen 5 3

tg cos 4 4

5

 

    

 Portanto, o valor da expressão pedida é

5 3 10 9 1 1

2sec 3 tg 2 3 .

4 4 4 4 4 2

 

           

16) Sejam f x 4x²12x 5 e g x  x 2 funções reais. O menor inteiro para o qual

  

f g x 0 é

a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2

RESPOSTA: b

    ^{ }²  ^{ }  ^{ }   ^{ } 

f g x   0 4 g x  12 g x    5 0 2 g x   1 2 g x  5 0

1   5 1 5 1 5 3 1

g x x 2 2 x 2 x

2 2 2 2 2 2 2 2

                O menor número inteiro nesse intervalo é 1.

17) Sejam as matrizes

1 1 1

A 2 1 3 ,

1 1 1

  

 

  

  

 

x

B y

z

  

  

   e

0

C 12 .

4

 

 

  

  

 

Se ABC, então x y z é igual a

a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2

(15)

RESPOSTA: e

1 1 1 x 0 x y z 0 x y z 0

AB C 2 1 3 y 12 2x y 3z 12 2x y 3z 12

1 1 1 z 4 x y z 4 x y z 4

     

          

          

                               

Vamos escalonar o sistema para obter os valores de x, y e z.

L2 L2 L1 L3 L3 L1

x y z 0 x y z 0

2x y 3z 12 3x 2z 12

x y z 4 2x 4

 

     

 

         

 

       

 

2x 4 x 2

     

3  2 2z 12 2z 6 z 3

           

 2 y 3 0 y 1

      

Portanto, x      y z  2 1 3 2.

18) Na figura abaixo está representado o plano de Argand-Gauss com os afixos de 12 números complexos. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes iguais e que Z₀ 1. Sobre o número complexo dado por  2 ² 5

3

Z Z

Z

 é correto afirmar que é um número

a) real e negativo.

b) real e positivo.

c) imaginário com parte real negativa e parte imaginária positiva.

d) imaginário com parte real positiva e parte imaginária negativa.

e) imaginário puro com parte imaginária negativa.

RESPOSTA: a

A circunferência é dividida em 12 partes iguais, então o ângulo entre dois números complexos consecutivos é 2

12 6.

 

(16)

Como Z₀ 1, então a circunferência tem raio 1 e todos os números complexos têm módulo 1.

Assim, temos:

Z2 1 cis 2 1 cis

6 3

 

   

       

    Z3 1 cis 3 1 cis

6 2

 

   

        

5

Z 1 cis 5 1 cis 5

6 6

 

   

       

 

2 2

2 5

3

5 2 5

1 cis 1 cis 1 cis 1 cis

Z Z 3 6 3 6

Z 1 cis 1 cis

2 2

2 5

cis cis 1

3 6 2

   

           

       

        

 

     

   

   

  

 

        Portanto,  2 ² 5

3

Z Z

Z 1,

   que é um número real e negativo.

19) Uma reta tangente à curva de equação yx² é paralela à reta 6x  y 5 0. As coordenadas do ponto de tangência são

a)  ^{3,9 .} ^b) ^{6, 5 .} ^c) ^{5, 6 .} ^d) ^{5,9 .} ^e) ^{9,3 .}

RESPOSTA: a

Uma reta paralela à curva 6x  y 5 0 tem equação dada por 6x  y k 0, para k .

Para que essa reta seja tangente à curva yx ,² devemos fazer com que sua interseção seja um ponto único. Assim, temos:

6x    y k 0 y 6xk

2 2 2

yx 6x k x x 6x k 0

Para que a equação x²6x k 0 tenha solução única, seu discriminante deve ser nulo.

 ₆ ² _{4 1}  _k ₀ _{36 4k} ₀ _k ₉

             

As coordenadas do ponto de tangência são as coordenadas do ponto único de interseção das duas curvas.

   ²

2 2

x 6x   9 0 x 6x  9 0 x 3   0 x 3 y32 9

Portanto, as coordenadas do ponto de tangência são  3,9 . A seguir apresentamos outra forma de resolver esse problema.

O coeficiente angular da reta tangente à parábola yx² no ponto x , y0 0 é igual à sua derivada nesse ponto, ou seja, y '2x .₀