Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

(1)

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2017/2018 ENUNCIADOS

1) Se a 3 2 e b 3 2 , seja k o determinante da matriz

1 a 1 1 1

1 1 a 1 1

1 1 1 b 1 ,

1 1 1 1 b

  

  

 

  

  

 

sendo assim, é correto afirmar que o coeficiente de x^{k 1}^ no

desenvolvimento de

3 3

2 2

1 1

2x x

x 2x

     

   

  é

a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

2) Seja ^{P x, y}  um ponto da elipse

2 2

x y

a b 1, de focos F e ₁ F e excentricidade e. ₂ Sabendo que ab, calcule o produto escalar PF PF₁ ₂ e assinale a opção correta.

a) ex²a 1 2e  ² b) _{e x a}² _ ²_{1 e}_  c) _{e x}^{2 2}__a²_{1 2e}_  d) e x a 1 e²    ² e) e x^{2 2}a²1 2e ²

3) Seja _{f x} _{ }_{x ln x, x}__0. Sabendo que f admite função inversa g, calcule _{g" 1}  e assinale a opção correta.

a) ¹

2 b) ¹

4 c) ¹

6 d) ¹

8 e) ¹

10

4) Seja P x^{ }x⁶bx⁵cx⁴dx³ex² fx g um polinômio de coeficientes inteiros e que P 2³30. O polinômio R x^{ } é o resto da divisão de P x^{ } por

x33x 1. Determine a soma dos coeficientes de R x^{ } e assinale a opção correta.

a) 51 b) 52 c) 53 d) 54 e) 55

5) A imagem de f :  , dada por f x^{ }2cos²^{ }x sen 2x^{ }1, é  a, b . Seja  o plano que passa pelo pontoA 9, 1, 0   e é paralelo aos vetoresu0,1, 0 e v1,1,1 .

Calcule a menor distância do ponto b P , a,1

a

 

 

  ao plano  e assinale a opção correta.

a) 7 2 b) 5 2 c) ^{9 3}

4 d) ^{11 2}

2 e) 4 3

6) Uma pirâmide triangular tem como base um triângulo de lados 13 cm, 14 cm e 15 cm; as outras arestas medem l. Sabendo que o volume da pirâmide é de 105 22 cm , o valor de l, em cm, é igual a: 3

a) 155

8 b) 335

11 c) 275

9 d) 205

8 e) 95

8

(2)

7) Nas proposições abaixo, coloque V (Verdadeiro) ou F (Falso) e assinale a opção que apresenta a sequência correta.

  Existe pelo menos um a e a  0, para que as curvas yax² e x² 2y² 1 não se interceptem ortogonalmente.

  A negação da proposição ^ ^x ^A^{  }^{p x}   ^ ^x ^A^^{~ q x}^{ } é

 ^x ^{A p x}     ^ ^x ^{A q x .}^{  } 

  Se _{ }

2 0

1 dx M,

1 sen x

   então M² 2.

  Seja z um número complexo e i a unidade imaginária. Se z z e ,ⁱ^ então

iz z sen 

e e ^ .

a) (F) (V) (F) (F) b) (F) (F) (V) (V) c) (V) (F) (F) (V) d) (V) (V) (V) (F) e) (F) (V) (V) (F)

8) Sejam A, B, C, D e X pontos do ³. Considere o tetraedro ABCD e a função real f, dada por ^{ }

x3 1

f x .

x 4

 

 Sabendo que o número real m é o valor para que

AB AD

X A m AC

3 2

 

 

      pertença ao plano BCD, calcule f '^m^ e assinale a opção correta.

a) 1

2 b) 1

3 c) 1

4 d) 1

5 e) 1

6

9) Se ^ ^

3 2 3

x 0

x 3 9

A lim ,

 x

 

 ²

x 0

x 2 x 2

B lim

 x

  

 e

 

9 x 1 3

C lim x 1 sen 1 ,

x 1



 

      então o valor de A^3BC é a) 4

8

3 b)

3 4

2 1

3 3

 c)

4 8

6

3 d)

4 8

6 1

3  e)

4

8 1 3 3 10) Analise as afirmativas abaixo.

I – Seja f derivável no intervalo I, f é estritamente crescente em I se, e somente se, f ' x 0 em I.

II – Se f : AB é periódica de período T, então qualquer número da forma kT, com k inteiro positivo, também é um período de f.

III – Toda função contínua é derivável.

IV – Se uma função f : AB é estritamente crescente ou decrescente em um conjunto X A, então ela é sobrejetiva em tal conjunto.

V – Sejam f e g duas funções continuamente deriváveis que satisfazem as relações

   

f ' x g x e f '' x^{ } f x .^{ } Se h x^{ }f²^{ }x g²^{ }x , se h 0^{ }5, então

 

h 10 5.

(3)

Assinale a opção correta.

a) Apenas as afirmativas I, II e IV são verdadeiras.

b) Apenas as afirmativas II, III, IV e V são verdadeiras.

c) Apenas as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.

d) Apenas as afirmativas III e V são verdadeiras.

e) Apenas as afirmativas II e V são verdadeiras.

11) Chama-se conjunto-verdade de uma sentença aberta p x em um conjunto A o   conjunto de todos os elementos de aA, tais que _{p a}  é uma proposição verdadeira (V). Sejam p x ,   q x e   r x sentenças abertas em um mesmo conjunto A. Encontre   o conjunto-verdade da sentença aberta composta ^{p x}^{ }^{q x}^{ } ^{r x ,}^{ } em função de V ,_p V_q e V ,_r e assinale a opção correta.

a) C VA pVqC VA r b) VrC VA qC VA p c) ^{C V}^{A q}^^V^p^^{C V}^{A r} ^d)^{C V}^{A r}^^V^q^^{C V}^{A p}

e) ^V^p^^{C V}^{A q}^^{C V}^{A r}

12) Sejam g e f funções reais, determine a área da região limitada pelo eixo y, por g x    x 3 4 e pela assíntota de f x^{ } ³x³x² e assinale a opção correta.

a) 13

4 b) 40

9 c) 7 d) 81

16 e) 9

13) A é um conjunto com n elementos e B é seu subconjunto com p elementos, com np e n, p . Determine o número de conjuntos X tais que B X A e assinale a opção correta.

a) 2^{n p}^ b) 2^{n p 1}^{ } c) 2^{n p}^ d) 2^{n p 1}^{ } e) 2^{n p 1}^{ }

14) Uma partícula se desloca da direita para a esquerda ao longo de uma parábola y x , de modo que sua coordenada x (medida em metros) diminua a uma velocidade de 8 m / s. É correto afirmar que a taxa de variação do ângulo de inclinação

, em rad s , da reta que liga a partícula à origem, quando x 4, vale a) ³

2 b) ²

5 c) ³

4 d) ¹

5 e) ⁴ 3

15) Seja z um número complexo e i a unidade imaginária. Determine z de forma que o triângulo de vértices i, z e iz seja equilátero e assinale a opção correta.

a)  3 2 e ^{5 i}4

z 2

 

  ou  3 2 e 4ⁱ

z 2



  

b)  5 3 e 5ⁱ

z 2



  ou  5 3 e 6ⁱ

z 2



  

(4)

c)  6 2 e ^{3 i}4

z 2

 

  ou  6 3 e 4ⁱ

z 2



 

d)  6 2 e 4ⁱ

z 2



  ou  6 2 e ^{5 i}4

z 2



 

e)  3 2 e ^{11 i}6

z 2



  ou  3 2 e 6ⁱ

z 2



  

16) Um exame de laboratório tem eficiência de 90% para detectar uma doença quando essa doença existe de fato. Entretanto, o teste aponta um resultado “falso positivo” (o resultado indica doença, mas ela não existe) para 1% das pessoas sadias testadas. Se 1,5% da população tem a doença, qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que seu exame foi positivo?

a) ⁹⁵

294 b) ¹⁶⁰

433 c) ²⁷⁰

467 d) ⁷⁵

204 e) ⁷³ 255 17) Sejam f e g funções reais dadas por ^{ } _{ }1 _{ }

f x 1 cos x sen x

  e

   

  1 tg x

g x .

1 tg x

 

 Calcule o valor da integral _a^bf x dx,^{ } em que P

a ,

 4 P

b ,

 2 e P é o período da função g e marque a opção correta.

a) ln ⁴ ^{2 2} 3



 

 

  b) ln ² ²

2



 

 

  c) _ln ₅_ ₃ d) ln ² ³

4



 

 

  e) ln 2 3  2

18) A figura abaixo mostra o esboço do gráfico que representa a função real f

 

x a, b .

 

Assinale a opção que melhor representa o esboço do gráfico de f ', ^{ }^x ^{a, b .}

(5)

(A) (B)

(C) (D)

(E)

(6)

19) Determine o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os pontos x, y , tais que  0 x 2, y x1 e 0 y x .² A seguir, assinale a opção correta.

a) 28 15

 b) 88 15

 c) 108 15

 d) 118 15

 e) 188 15



20) Calcule o número de soluções inteiras não negativas de

1 2 3 4 5 6

x x x x x x 20, nas quais pelo menos 3 incógnitas são nulas, e assinale a opção correta.

a) 3332 b) 3420 c) 3543 d) 3678 e) 3711

(7)

PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2017/2018 RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES 1) d (Determinante)

2) e (Geometria analítica – elipse e produto escalar) 3) d (Cálculo – derivada)

4) e (Polinômios)

5) d (Trigonometria e geometria analítica no espaço) 6) a (Geometria espacial – pirâmide)

7) a (Cálculo – derivada e integral, lógica e números complexos – fórmula de Euler) 8) c (Vetores e cálculo – derivada)

9) a (Cálculo – limite)

10) e (Cálculo – derivada e integral) 11) a (Lógica)

12) b (Cálculo – derivada e integral) 13) a (Análise combinatória e conjuntos) 14) b (Cálculo - taxa de variação)

15) d (Números complexos) 16) c (Probabilidade)

17) b (Cálculo – integral e trigonometria) 18) e (Cálculo – derivada)

19) b (Cálculo – integral – volumes de revolução) 20) e (Análise combinatória)

(8)

PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2017/2018 ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES

1) Se a 3 2 e b 3 2 , seja k o determinante da matriz

1 a 1 1 1

1 1 a 1 1

1 1 1 b 1 ,

1 1 1 1 b

  

  

 

  

  

 

sendo assim, é correto afirmar que o coeficiente de x^{k 1}^ no

desenvolvimento de

3 3

2 2

1 1

2x x

x 2x

     

   

  é

a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

RESOLUÇÃO: d

Inicialmente, vamos inverter a posição da primeira coluna com a segunda, o que faz o determinante ficar multiplicado por 1. Na segunda etapa, aplicamos a Regra de Chió para reduzir a ordem do determinante a 3. Por fim, o determinante de ordem 3 foi calculado pela Regra de Sarrus.

 

2

2 2 2 2 2 2

1 a 1 1 1 1 1 a 1 1

a a a

1 1 a 1 1 1 a 1 1 1

k a b 0

1 1 1 b 1 1 1 1 b 1

a 0 b

1 1 1 1 b 1 1 1 1 b

a b a b a b a b

 

 

      

 

 

     

  

ka b2 2  3 2 3 2   9 2 7

Assim, devemos calcular o coeficiente de x^{k 1}^ x⁶ no desenvolvimento de

3 3

2 2

1 1

2x x .

x 2x

     

   

 

3 3 3

2 3

1 1 2

2x x 2x 2

x 2x x

         

     

   

Utilizando a ideia do Polinômio de Leibniz, cada termo desse desenvolvimento é da forma, onde a e b são naturais e a b 3:

   ^a ^b ^ ^ ^ ^

a,b, 3 a b 3 3 a b a,b, 3 a b 3 2b 3a 3b

3 3 3

T P 2x 1 2 P 2 x

2x

         

       

 

Fazendo _{3 a} __b_{   }₆ _a _b _2, temos a2 e b0. Assim, o coeficiente de x⁶ é

2,0,1 3 2 0 3

P 2 3! 8 24.

2!0!1!

    

Alternativamente, podemos elevar a expressão ao cubo diretamente:

(9)

3 3

9 3 6 3

3 9 6 3

9 6 3

2 1

2x 2 8 x 1

x x

3 1 3 3

8 x 3x 3x 6 3x 1

x x x x

1 3 6

8 x 3x 6x 7

x x x

         

   

   

 

           

 

        

 

Logo, o coeficiente de x⁶ é 8 3 24.

2) Seja P x, y  um ponto da elipse

2 2

x y

1,

a b  de focos F e ₁ F e excentricidade e. ₂ Sabendo que ab, calcule o produto escalar PF PF₁ ₂ e assinale a opção correta.

a) _ex²__{a 1 2e} _ ² b) e x a²  ²1 e  c) e x^{2 2}a²1 2e  d) _{e x a 1 e}² _  _ ² e) _{e x}^{2 2}__a²_{1 2e}_ ²

RESOLUÇÃO: e

Como ab, os focos da elipse são F₁ c, 0 e F₂c, 0 .

Vamos agora encontrar os vetores PF e ₁ PF : ₂

 

PF1  c x, y

 

PF2   c x, y

Estamos prontos para calcular o produto escalar.

     ² ² ²

1 2

PF PF        c x, y c x, y x c y

Na elipse, sabemos que a²b²c² e a excentricidade é dada por e ^c.

 a A equação da elipse é

2 2 2

2 2

2 2 2

x y x

1 y b 1

a b a

 

      

 . Substituindo y² na expressão do produto escalar, temos:

 

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

x b

PF PF x c y x c b 1 1 x b c

a a

a b c c

x a c c x a 1 2

a a a

e x a 1 2e

   

               

   

      

          

     

  

3) Seja _{f x} _{ }_{x ln x, x}__0. Sabendo que f admite função inversa g, calcule _{g" 1}  e assinale a opção correta.

a) ¹

2 b) ¹

4 c) ¹

6 d) ¹

8 e) ¹

10 RESOLUÇÃO: d

(10)

Seja _y__{f x} _{ }_x _{ln x,} então vamos inverter x e y para obter a expressão da função inversa. Assim, temos: x y ln y, onde yg x . 

Derivando a x y ln y implicitamente, temos: y ' y

1 y ' y '

y y 1

   

 Vamos obter agora a expressão da segunda derivada de yg x  1 y ' y ' y yy ' y '

  y   

Vamos derivar a última igualdade implicitamente.

 ²

y ' y ' y ' y ' y ' yy" y" y"

y 1

     



Para calcular _{g" 1} , precisamos saber g ' 1 e   g 1 .  

   

f 1  1 ln1 1 g 1 1

   

 

y g 1 1 1

y ' g ' 1

y 1 g 1 1 1 1 2

    

  

  _{ } ^{ }  ^{ }

 

2

2 2 1 1

g ' 1 g ' 1

y ' y ' 2 2 1

y" g" 1

y 1 g 1 1 1 1 8

   



  

    

  

4) Seja _{P x} __x⁶__bx⁵__cx⁴__dx³__ex²_{ }_fx _g um polinômio de coeficientes inteiros e P 2³30. O polinômio R x^{ } é o resto da divisão de P x^{ } por x³3x 1. Determine a soma dos coeficientes de R x^{ } e assinale a opção correta.

a) 51 b) 52 c) 53 d) 54 e) 55 RESOLUÇÃO: e

 ³  ³

3 3 3

x 2 3 x 2 3 x 2  3 

 

3 2 3 2

x 3 2x 6x 2 2 3 x 6x 3 2 3x 2

         

_x³ _{6x 3}² ^ _{2 3x} ² ₂^²

     

 

6 2 4 3 4 2

x 36x 9 12x 6x 36x 2 9x 12x 4

        

6 4 3 2

x 6x 6x 12x 36x 1 0

      

  ⁶ ⁴ ³ ²

P x x 6x 6x 12x 36x 1,

       onde P 2³30

Vamos efetuar a divisão de _{P x} __x⁶__6x⁴__6x³__12x²__{36x 1}_ por x³3x 1.

(11)

6 5 4 3 2 3

6 4 3 3

4 3 2

4 2

3 2

x 0x 6x 6x 12x 36x 1 x 3x 1

x 3x x x 3x 5

/ / 3x 5x 12x 36x 1

3x 9x 3x

/ 5x 3x 39x 1

5x 15x 5

/ 3x 54x 4

       

    

    

 

   

 

Logo, o resto da divisão é R x 3x²54x 4, cuja soma dos coeficientes é

   

3 54    4 55.

5) A imagem de f :  , dada por f x^{ }2cos²^{ }x sen 2x^{ }1, é  a, b . Seja  o plano que passa pelo pontoA 9, 1, 0   e é paralelo aos vetoresu0,1, 0 e v1,1,1 .

Calcule a menor distância do ponto b P , a,1

a

 

 

  ao plano  e assinale a opção correta.

a) 7 2 b) 5 2 c) ^{9 3}

4 d) ^{11 2}

2 e) 4 3 RESOLUÇÃO: d

Vamos, inicialmente, encontrar a imagem de f x^{ }2cos²^{ }x sen 2x^{ }1.

  ²    ² ²

f x 2 cos x sen 2x 1 sen 2x cos 2x 2 sen 2x cos 2x

2 2

2 sen 2x cos sen cos 2x 2 sen 2x

4 4 4

 

        

  

   

      

A imagem da função seno é 1,1 , então Im_f   2, 2 , o que implica a   2 e b 2.

As coordenadas do ponto P são P 1, 2,1 .

Para calcular a distância do ponto P ao plano , vamos encontrar o vetor normal ao plano fazendo o produto vetorial dos vetores u0,1, 0 e v1,1,1 . A menor distância do ponto P ao plano  é a projeção do vetor determinado pelos pontos

 

A 9, 1, 0 e P 1, 2,1 na direção do vetor normal ao plano.

O vetor normal ao plano  é  

ˆ ˆ ˆi j k

n u v 0 1 0 ˆ ˆi k 1, 0, 1 . 1 1 1

       

A projeção do vetor AP   10, 21,1 sobre o vetor n_ 1, 0, 1  é dada por

(12)

     

 

     

2 2 2

AP n 10,1 2,1 1, 0, 1

d P, n 1 0 1

10 1 1 2 0 1 1 11 11 2

2 2 2



    

   

  

        

  

Outra maneira de resolver essa questão era, após a obtenção do vetor normal, escrever a equação do plano  na forma 1 x           0 y ^ 1^ z d 0 x z d 0, e usar o ponto A 9, 1, 0   para calcular d. Assim,

9     0 d 0 d 9.

Portanto, a equação do plano  é x  z 9 0.

Sabemos que a distância de um ponto x , y , z_o _o _o a um plano de equação axbycz d 0 é dada por ô ô ô

2 2 2

ax by cz d

d .

a b c

  

   Assim, a distância do ponto

 

P  1, 2,1 ao plano : x  z 9 0 é

 

 ²

2 2

1 1 1 1 9 11 11 2

d .

2 2

1 0 1

     

  

  

6) Uma pirâmide triangular tem como base um triângulo de lados 13 cm, 14 cm e 15 cm; as outras arestas medem l. Sabendo que o volume da pirâmide é de 105 22 cm , o valor de l, em cm, é igual a: 3

a) 155

8 b) 335

11 c) 275

9 d) 205

8 e) 95

8 RESOLUÇÃO: a

A figura a seguir é uma representação da pirâmide triangular descrita no enunciado.