Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira
PROVA DE MATEMÁTICA EFOMM 2020-2021 (BRANCA) (ENUNCIADOS)
1) Considere uma equação definida por:
4 16
x x x
log x log x log x
det 4 16 64 0,
0 0 2
x 0.
Sabendo-se que a solução da equação acima é o número de elementos de um conjunto A, é correto afirmar que o número de subconjuntos que se pode formar com esse conjunto é igual a
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
2) Dadas as matrizes reais 2 2 do tipo A x cos x sen x , sen x cos x
pode-se afirmar que I) A x é inversível.
II) x 0, 2 tal que A x A x A x . III) A x nunca será antissimétrica.
Assinale a opção correta.
a) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
b) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.
c) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.
d) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
e) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
3) O valor de
2 2
2
sec 5 cossec 5 cossec 10
é igual a
a) 1
2 b) 1 c) 2 d) 5
2 e) 4
4) Sejam f e g funções reais definidas por 2 , xx 1 f x
x, x 1
e 2
2
1 x , x 0
g x .
x 1, x 0
Sendo assim, pode-se dizer que f g x é definida por
a)
2
2 2 1 x
2 x 1
1 x , x 0
2 , x 0
f g x
x 1, 2 x 0
2 , x 2
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b)
2
2 2 1 x
2 x 1
x 1, x 0
2 , x 0
f g x
1 x , 2 x 0
2 , x 2
c)
2
2 2 1 x
2 x 1
1 x , x 0
2 , x 0
f g x
x 1, 2 x 0
2 , x 2
d)
2
2 2 1 x
2 x 1
1 x , 0 x 1
2 , x 0
f g x
x 1, 2 x 0
2 , x 2
e)
2
2 2 1 x
2 x 1
1 x , x 1
2 , 0 x 1
f g x
x 1, 2 x 0
2 , x 2
5) Observe as progressões aritméticas a seguir e assinale a alternativa que representa o sexagésimo primeiro número a se repetir em ambas as progressões.
1, 3, 7, 11, 15,
1, 4, 7, 10,
a) 301 b) 399 c) 619 d) 727 e) 799
6) Em uma turma de 50 alunos, 26 estão estudando Arquitetura Naval 19 Inglês e 17 Cálculo. Sabe-se que dos alunos que estão estudando Arquitetura Naval, 6 estudam Inglês e 7 estudam Cálculo; e dos alunos que estão estudando Ing1ês, 9 estudam Cálculo. Além disso, há 6 alunos que não estão estudando essas três disciplinas.
Quantos desses alunos que estão estudando Arquitetura Naval também estão estudando Inglês e Cálculo ao mesmo tempo?
a) 0 b) 4 c) 7 d) 9 e) 10
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7) Uma circunferência tem seu centro sobre a reta parametrizada por:
x 3 t r : y t 1
Se os pontos A2, 4 e B 1,3 também pertencem a essa circunferência, assinale a alternativa que corresponda ao centro dessa circunferência.
a) 3 1 2 2,
b) 1,1 c) 5 1 2 2,
d) 0, 3 e) 1, 2
8) Se é o ângulo formado entre os vetores u2, 0, 2 e v1, 0,3 , então pode-se afirmar que sen é igual a
a) 3
2 b) 2
3 c) 3
5 d) 5
5 e) 3
10
9) Ao rotacionar o triângulo equilátero AOC em torno do eixo y, conforme ilustra a figura a seguir, obteremos um sólido. Assinale a alternativa que representa o volume desse sólido, em unidades de volume, sabendo que o vértice O do triângulo AOC sobrepõe-se à origem dos eixos.
a)
x3 3 6
b)
x3 3 4
c)
x3 3 2
d)
x3 3 24
e)
7 x3 3 24
10) O valor do limite
x x
x x
x 0
5 4
lim
3 2
é dado por
a) 5 3
ln ln
4 2 b) 5 ln ln 2
3 c) 3
2
log 5
4 d) 5
3 e) 1
11) Para que o polinômio p x x54x42x3kx23x2 seja divisível pelo polinômio q x 1 x ,2 o valor de k deve ser um número
a) múltiplo de 12.
b) múltiplo de 6.
c) áureo.
d) primo.
e) quadrado perfeito.
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12) Coloque V nas proposições verdadeiras e F nas proposições falsas.
Dados os conjuntos A0, 7,1 e Bx, y,1 . Se AB, podemos afirmar que x0 e y7.
Um conjunto A tem elementos e subconjuntos; e um conjunto B tem três elementos a mais que o conjunto A, então o número de subconjuntos de B é 3 .
Sejam os conjuntos A1, 2,3, 4 e C 1, 2 . O conjunto B é tal que B C 1 e B C A, então B2, 3, 4 .
Dados A2, 3, 4 , B3, 4, 5, 6 e a relação binária R de A em B tal que
R x, y A B | x divide y , então a relação inversa de R é uma função sobrejetora.
Lendo-se a coluna de parênteses de cima para baixo, encontra-se a) V – F – V – F
b) V – F – F – V c) F – F – V – F d) V – F – F – F e) F – F – F – F
13) Um valor do número complexo 34 2 i 4 2 é a) 2 2 i
b) 4 24 2 i c) 24 2 i d) 4 2 2 i e) 24 2 i
14) Seja o círculo maior com centro na origem e raio 10 cm. Os círculos menores têm raio 5 cm.
O valor da área sombreada, em cm , é 2 a) 250
3 1 b) 501 c) 1001 d) 1002 e) 100 3 1
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15) O valor da integral indefinida 5x 3 20dx é dado por a) 5x 320
21 C
b) 5x 319 19 C
c) 5x 319 105 C
d) 5x 321 21 C
e) 5x 321 105 C
16) Sejam x ,1 x2 e x3 as raízes do polinômio p x x3x214x24. O valor de
2 2 2
1 2 3
x x x é
a) 14 b) 29 c) 38 d) 336 e) 576
17) Seja o polinômio p x x55x48x38x27x3 com raiz dupla em x 1.
Pode-se afirmar que as demais raízes são compostas por a) uma raiz real dupla e uma complexa.
b) três raízes reais distintas.
c) uma raiz tripla.
d) duas raízes complexas e uma real.
e) duas raízes reais e uma complexa.
18) O valor do limite
x
x
lim e 2 cos 3x
é dado por
a) 2 b) 0 c) 2 d) e)
19) Um comerciante tem uma papelaria e vai distribuir 10 canetas iguais como brinde entre 4 crianças em sua loja. Considerando que cada criança vai receber pelo menos uma caneta, o número total de possibilidades desse evento é
a) 84 b) 150 c) 210 d) 512 e) 5040
20) Uma empresa realiza testes em seus funcionários para detectar a COVID19. O teste acusará positivo em 80% dos casos se o paciente realmente estiver infectado. Se o paciente estiver saudável, o teste dará um falso-positivo em 10% dos casos. Sabendo que a taxa de infeção na população é de 5%, a probabilidade de uma pessoa realmente ter a doença sendo que seu exame deu positivo é de
a) 25
70 b) 60
85 c) 40
135 d) 80
175 e) 95 165
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PROVA DE MATEMÁTICA EFOMM 2020-2021 (BRANCA) RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES 1) c (Determinantes e conjuntos)
2) c (Matrizes e determinantes)
3) e (Trigonometria – relações fundamentais e arco dobro) 4) a (Função composta)
5) d (Progressão aritmética) 6) b (Conjuntos)
7) a (Geometria analítica – circunferência e reta) 8) d (Vetores)
9) b (Geometria espacial – teorema de Pappus-Guldin) 10) c (Limites e logaritmos)
11) b (Polinômios – teorema de D’Alembert) 12) e (Conjuntos e relações)
13) a* (Números complexos – 2ª fórmula de De Moivre) 14) d (Geometria plana - áreas de regiões circulares) 15) e (Integral)
16) b (Equações polinomiais – relações de Girard)
17) d (Equações polinomiais – algoritmo de Ruffini-Horner) 18) e (Limites no infinito)
19) a (Análise combinatória – número de soluções inteiras de equações lineares) 20) c (Probabilidade – probabilidade condicional)
* O enunciado dessa questão foi adaptado, pois ela estava incorreta da maneira como foi originalmente proposta.
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(RESOLUÇÃO)
1) Considere uma equação definida por:
4 16
x x x
log x log x log x
det 4 16 64 0,
0 0 2
x 0.
Sabendo-se que a solução da equação acima é o número de elementos de um conjunto A, é correto afirmar que o número de subconjuntos que se pode formar com esse conjunto é igual a
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
RESOLUÇÃO: c
Vamos desenvolver o determinante pelo teorema de Laplace na última linha.
4 16
x x x
log x log x log x
4 16 64 0
0 0 2
3 3 4
x x x x 2
log x 4 log x log x log x
1 2 0 2 0
4 16 4 4
x x x
x
1 4
2 log x 4 0 2 log x 4 4 4 0
1 4
0
x x
log x 0 x 10 1
S 1
4 4 0 4 4 x 1
Dessa forma, o número de elementos do conjunto A é # A 1 e o número de subconjuntos do conjunto A é # P A 2# A 212.
2) Dadas as matrizes reais 2 2 do tipo A x cos x sen x , sen x cos x
pode-se afirmar que I) A x é inversível.
II) x 0, 2 tal que A x A x A x . III) A x nunca será antissimétrica.
Assinale a opção correta.
a) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
b) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.
c) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.
d) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
e) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
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RESOLUÇÃO: c I) FALSA
Inicialmente, lembremos que uma matriz A é inversível se, e somente se, seu determinante é não nulo.
2 2
cos x sen x
det A x det cos x sen x cos 2x
sen x cos x
det A x cos 2x 0 2x k , k x k , k
2 4 2
Portanto, A x não é sempre inversível. II) VERDADEIRA
2 2
2 2
cos x sen x cos x sen x cos x sen x
A x A x A x
sen x cos x sen x cos x sen x cos x cos x sen x 2 sen x cos x cos x sen x
sen x cos x 2 sen x cos x sen x cos x
1 2 sen x cos x cos x sen x
2 sen x cos x 1 sen x cos x
c
os x 1
cos x 1 2 sen x cos x sen x
Se x0, 2, então x0 ou x 2 .
Note que, se cos x 1 sen x0, o que implica que a equação 2sen x cos xsen x é sempre satisfeita.
III) VERDADEIRA
cos x sen x A x sen x cos x
é antissimétrica se, e somente se, cos x 0 ,
sen x sen x sen x 0
o que não ocorre para nenhum valor de x. Portanto, A x nunca será antissimétrica.
3) O valor de
2 2
2
sec 5 cossec 5 cossec 10
é igual a
a) 1
2 b) 1 c) 2 d) 5
2 e) 4
RESOLUÇÃO: e
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
2
2 2 2 2
1 1
sec 5 cossec 5 cos 5 sen 5 sen 5 cos 5
sen 10
cossec 10 1 sen 5 cos 5
sen 10
1 4sen 5 cos 5
2sen 5 cos 5 4
sen 5 cos 5 sen 5 cos 5
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4) Sejam f e g funções reais definidas por 2 , xx 1 f x
x, x 1
e 2
2
1 x , x 0
g x .
x 1, x 0
Sendo assim, pode-se dizer que f g x é definida por
a)
2
2 2 1 x
2 x 1
1 x , x 0
2 , x 0
f g x
x 1, 2 x 0
2 , x 2
b)
2
2 2 1 x
2 x 1
x 1, x 0
2 , x 0
f g x
1 x , 2 x 0
2 , x 2
c)
2
2 2 1 x
2 x 1
1 x , x 0
2 , x 0
f g x
x 1, 2 x 0
2 , x 2
d)
2
2 2 1 x
2 x 1
1 x , 0 x 1
2 , x 0
f g x
x 1, 2 x 0
2 , x 2
e)
2
2 2 1 x
2 x 1
1 x , x 1
2 , 0 x 1
f g x
x 1, 2 x 0
2 , x 2
RESOLUÇÃO: a
2 , xx 1 f x
x, x 1
2g x , g x 1
f g x f g x
g x , g x 1
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2 2
2 2 2
1 x , x 0 g x
x 1, x 0
x 0 g x 1 x 1
x 0 g x 1 x 1
x 0 g x x 1
Vamos analisar g x x21, com x0, a fim de identificar os intervalos em que g x é maior ou igual a 1, ou menor do que 1.
2 2 x 0
x 1 1 x 2 0 2 x 2 2 x 0
2 2 x 0
x 1 1 x 2 0 x 2 x 2 x 2
Dessa forma, temos:
2 2 2 2
1 x 1, x 0
1 x 1, x 0
g x
x 1 1, 2 x 0
x 1 1, x 2
Vamos utilizar essas informações para obter a expressão de f g x .
2
2 2 g x 1 x
2 x 1
1 x , x 0
2 , x 0
2 , g x 1
f g x f g x
g x , g x 1 x 1, 2 x 0
2 , x 2
5) Observe as progressões aritméticas a seguir e assinale a alternativa que representa o sexagésimo primeiro número a se repetir em ambas as progressões.
1, 3, 7, 11, 15,
1, 4, 7, 10,
a) 301 b) 399 c) 619 d) 727 e) 799
RESOLUÇÃO: d
A P.A. 1, 3, 7, 11, 15, tem 1° termo a1 1 e razão r4. Logo, seu termo geral é
n 1
a a r n 1 1 4 n 1 4n 5.
A P.A. 1, 4, 7, 10, tem 1° termo b11 e razão s3. Logo, seu termo geral é
m 1
b b s m 1 1 3 m 1 3m 2.
n m
a b 4n 5 3m 2 4n 3m 3
Uma solução particular da equação é n m 3. A solução geral é n 3 3t
m 3 4t, t
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A primeira repetição acontece quando t0. A 61ª repetição acontece quando t60, o que implica n 3 3 60 183 e m 3 4 60243. Dessa forma, o 61° número a se repetir é a183b243 4 183 5 727.
Note que os elementos repetidos são da forma an4n 5 4 3t 3 5 12t 7, ou seja é uma progressão aritmética de 1° elemento 7 e razão 12.
Seria possível resolver esse problema construindo os próximos termos das PAs e identificando o padrão de repetição.
P.A. 1, 3, 7 , 11, 15, 19 , 23, 27, 31 , 35, 39, 43 ,
P.A. 1, 4, 7 , 10, 13, 16, 19 , 22, 25, 38, 31 , 34, 37, 40, 43 ,
Observe que os termos que se repetem são 7, 19, 31, 43, que constituem uma P.A. de 1° termo 7 e razão 12.
6) Em uma turma de 50 alunos, 26 estão estudando Arquitetura Naval 19 Inglês e 17 Cálculo. Sabe-se que dos alunos que estão estudando Arquitetura Naval, 6 estudam Inglês e 7 estudam Cálculo; e dos alunos que estão estudando Ing1ês, 9 estudam Cálculo. Além disso, há 6 alunos que não estão estudando essas três disciplinas.
Quantos desses alunos que estão estudando Arquitetura Naval também estão estudando Inglês e Cálculo ao mesmo tempo?
a) 0 b) 4 c) 7 d) 9 e) 10
RESOLUÇÃO: b
Sejam os conjuntos A, I e C correspondentes aos alunos que estudam Arquitetura Naval, Inglês e Cálculo, respectivamente. Logo, # A 26, # I 19 e # C 17.
Como dos alunos que estão estudando Arquitetura Naval, 6 estudam Inglês e 7 estudam Cálculo, então # A I 6 e # A C7.
Como dos alunos que estão estudando Ing1ês, 9 estudam Cálculo, então # I C9.
Há 6 alunos que não estão estudando essas três disciplinas, então
# A I C 50 6 44.
Usando a fórmula derivada do princípio da inclusão-exclusão para 3 conjuntos, temos:
# A I C # A # I # C # A I # A C # I C # A I C
44 26 19 17 6 7 9 # A I C # A I C 4
Essa questão também pode ser resolvida com auxílio de um diagrama de Venn.
Começamos a preencher o diagrama pela variável x correspondente à interseção dos três conjuntos. Depois preenchemos os valores correspondentes aos alunos que estudam exatamente 2 disciplinas e então os que estudam apenas 1 disciplina. A região exterior aos 3 conjuntos corresponde aos alunos que não estudam nenhuma das disciplinas.
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Considerando que a soma de todas as regiões deve ser igual ao total de alunos, temos:
26 4 x 9 x 1 x 6 50 x 4.
7) Uma circunferência tem seu centro sobre a reta parametrizada por:
x 3 t r : y t 1
Se os pontos A2, 4 e B 1,3 também pertencem a essa circunferência, assinale a alternativa que corresponda ao centro dessa circunferência.
a) 3 1 2 2,
b) 1,1 c) 5 1 2 2,
d) 0, 3 e) 1, 2 RESOLUÇÃO: a
Seja O x , y
0 0
o centro da circunferência. Sabendo que Or, podemos representar O na forma O x , y
0 0
3 t, t 1 para algum parâmetro t .Os pontos A e B pertencem à circunferência, então OAOB. Assim, temos:
2 2 2 2
2 2
OA 3 t 2 t 1 4 1 t t 5 2t 12t26
2 2 2 2
2 2
OB 3 t 1 t 1 3 4 t t 4 2t 16t32
2 2 2 2 3
OA OB 2t 12t 26 2t 16t 32 4t 6 t
2
0 0
3 3 3 1 3 1
x 3 t 3 y t 1 1 O ,
2 2 2 2 2 2
Outra forma de resolver essa questão seria encontrar a mediatriz do segmento AB. A interseção dessa mediatriz com a reta r corresponderia ao ponto O.
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O ponto médio de AB é 2 1 4 3 1 7
M , , .
2 2 2 2
O coeficiente angular de AB é
3 4 1 1
m ,
1 2 3 3
então o coeficiente angular da mediatriz de AB é
m ' 1 3.
1 3
A equação da mediatriz de AB pode ser escrita na forma y 3x k.
O ponto 1 7
M ,
2 2
está na mediatriz, então 7 1
3 k k 5
2 2 e a equação da mediatriz de AB é y 3x 5.
A interseção da mediatriz de AB com a reta r é dada por
3
t 1 3 3 t 5 t 1 9 3t 5 2t 3 t
2
3 3 3 1
O 3 t, t 1 3 , 1 , .
2 2 2 2
8) Se é o ângulo formado entre os vetores u2, 0, 2 e v1, 0,3 , então pode-se afirmar que sen é igual a
a) 3
2 b) 2
3 c) 3
5 d) 5
5 e) 3
10
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RESOLUÇÃO: d
Vamos efetuar o produto escalar entre os vetores u e v.
2 2 2 2 2 2
u v u v cos 2 1 0 0 2 3 2 0 2 1 0 3 cos
8 4
8 8 10 cos cos
10 5
O ângulo entre dois vetores está no intervalo 0, , então sen 0. Pela relação fundamental da trigonometria, temos:
2
2 2 2 4 2 4 1 5
sen cos 1 sen 1 sen 1 sen .
5 5 5 5
9) Ao rotacionar o triângulo equilátero AOC em torno do eixo y, conforme ilustra a figura a seguir, obteremos um sólido. Assinale a alternativa que representa o volume desse sólido, em unidades de volume, sabendo que o vértice O do triângulo AOC sobrepõe-se à origem dos eixos.
a)
x3 3 6
b)
x3 3 4
c)
x3 3 2
d)
x3 3 24
e)
7 x3 3 24
RESOLUÇÃO: b
Vamos aplicar o teorema de Pappus-Guldin.
