Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

(1)

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

PROVA DE MATEMÁTICA – EPCAR 2018/2019 (VERSÃO A) ENUNCIADOS

1) Sobre o conjunto solução, na variável x, x , da equação

2 2

x+ =2 x +2 4x +8x+2 , pode-se dizer que a) é vazio.

b) possui somente um elemento.

c) possui dois elementos de sinais iguais.

d) possui dois elementos de sinais opostos.

2) Considere quatro números naturais distintos tais que, quando adicionados três a três, resultem em: 152, 163, 175 e 185. Sobre esses quatro números é correto afirmar que a) todos são números menores que 70.

b) nenhum é múltiplo de 10.

c) apenas um é um número primo.

d) algum é quadrado perfeito.

3) Considere os números X e Y, expressos por:

( ) ( )

( )

0,12 4,125

X 11

7, 36

324

= 

 

 

e Y ¹ ² 4

2 2 2

= + −

+ Marque a alternativa verdadeira.

a) X é um número racional não inteiro positivo.

b) X Y é um número inteiro e negativo.

c) X+Y é um número irracional.

d) Y

X é um número racional não inteiro e positivo.

4) Elisa pretende comprar um computador que custa x reais. Ela possui 70% do valor total do computador e ainda vai ganhar de seus avós uma herança, que será totalmente repartida entre ela e suas irmãs Daniella e Lavínia.

Nessa partilha, Elisa recebeu 0, 2777 da herança, Daniella 1200 reais e Lavínia ⁷ 18 da herança.

Ao fazer as contas do quanto possuía para comprar o computador percebeu que ainda lhe faltavam 200 reais para realizar a compra.

O valor x do computador é, em reais, tal que o número de divisores naturais de x é

a) 18 b) 20 c) 22 d) 24

5) Considere os números reais x, y e z, tais que:

x= 2+ 3 y= 2+ 2+ 3

( ) ( )

z= 2+ 2+ 2+ 3  −2 2+ 2+ 3

(2)

Simplificando a expressão (x y z) ¹ ¹ , 2 3

  − 

− obtém-se

a) 2− 3 b) 1 c) 2+ 3 d) 2 3

6) Considere a figura abaixo.

Sabe-se que:

• ABCD é um quadrado cuja medida do lado é x

• DEFG é um quadrado cuja medida do lado é x 2

• FGH é um triângulo retângulo isósceles.

• HIJK é um quadrado cuja medida do lado é a metade da medida do lado do quadrado DEFG

• JKL é um triângulo semelhante ao triângulo FGH

Considere o polinômio _{P x}( )₌( )_JL ²₋_{3 FH}( ) (₋_{2 AB})₊_15. Se a e b (_a__b)_{são as} raízes da equação _{P x}( )₌_0, então é FALSO afirmar que

a) a²−b² é quadrado perfeito. b) a b− é par.

c) ¹ 1.

a b 

− d)

2

1 0.

a b 

−

7) Considere o conjunto de todos os valores de m e n para os quais a expressão algébrica A, abaixo, está definida.

( )

2 2

2 2 2

2 2 1

2 2

m n

n m

A 1 2 1

m n

m m n n

−

− −

= 

+ + −



Nesse conjunto, uma expressão algébrica equivalente a A é a) m²+n² b) m²−n² c)

2 2

m n

+

− d)

2 2

m n

m n +

−

8) Gabriel, depois de uma longa temporada de dedicação aos estudos, foi descansar na casa de seus avós, no interior. Lá chegando, percebeu que muitas coisas de sua infância ainda permaneciam intocáveis. Exemplo disso foi a “venda” de seu avô... uma verdadeira bagunça!

(3)

Para ajudar na organização da “venda”, Gabriel aplicou conhecimentos de matemática básica. Assim, ele pegou os quatro sacos de café que ficavam à frente do balcão, pesou- os e etiquetou-os conforme ilustra a Figura (1), em kg.

Em seguida, com o total de peso que obteve, retirou ou colocou, em kg, café em cada saco, e anotou numa folha de papel como mostra a Figura (2).

Na Figura (2), o símbolo de (+) indica que aquele saco recebeu alguns quilogramas de café, descrito logo à frente do símbolo, bem como o de (-) indica que dele foram retirados alguns quilogramas de café, também descrito logo à frente do símbolo.

Para não perder as contas, Gabriel anotou, também, que:

• o produto da quantidade retirada do saco (II) pela quantidade retirada do saco (IV), em kg, é igual a 165.

• depois de acrescentar ou retirar café nos sacos, todos passaram a ter a mesma quantidade, em kg.

Dessa forma, sendo ^{x, y, m, n}^ ^*^, é correto afirmar que

a) a maior quantidade que foi retirada de um dos sacos de café foi superior a 30 kg.

b) na Figura (1), a diferença de peso entre os sacos (III) e (I) era de 82 kg.

c) x y+ =m.

d) ^m 2.

n 

9) As turmas FOX e GOLF do CPCAR 2018, que possuem 30 e 20 alunos, respectivamente, combinaram viajar para uma casa de praia num feriado que aconteceu no mês de junho de 2018.

Antes de viajar, decidiram dividir todas as despesas entre as turmas de forma diretamente proporcional ao número de alunos de cada turma.

Pagaram todas as despesas, mas não pagaram de forma proporcional. A turma FOX pagou 12000 reais e a turma GOLF pagou 10500 reais.

Tendo como base o que as turmas haviam combinado em relação às despesas da viagem, é correto afirmar que

(4)

a) a despesa correta da turma GOLF seria mais de 10000 reais.

b) a turma FOX pagou a menos 10% do que deveria ter pago.

c) o que a turma GOLF pagou a mais é um valor maior que 1800 reais.

d) a turma FOX deveria ter pago mais de 10000 reais.

10) Considere as equações:

(I) x²−bx 15+ =0 (_b_ ) cujas raízes são os números reais  e  (  )

(II) x²+kx 15+ =0 ⁽k ⁾

Sabe-se que as raízes da equação (I) são, cada uma, 8 unidades menores do que as raízes da equação (II).

Com base nessas informações, marque a opção correta.

a) b³−k é um número negativo.

b) O valor absoluto da diferença entre as raízes da equação (I) é 1.

c) As raízes da equação (II) NÃO são números primos.

d)  − ² ² é um número que é divisor de 8.

11) Um baú em forma de paralelepípedo reto-retângulo pesa 20 kg e tem como medidas externas 50 cm de altura e 3 dm por 400 mm de base.

O baú contém uma substância homogênea que pesa 1,5 kg por litro e que ocupa o espaço correspondente a 90% do volume de um paralelepípedo reto-retângulo de espessura desprezível e que possui as dimensões externas do baú.

Se o peso total do baú e da substância, em kg, é igual a x, então, pode-se dizer que x é um número natural

a) par menor que 100.

b) ímpar menor que 100.

c) primo.

d) divisível por 7 e maior que 100.

12) Um professor de matemática, ao utilizar um programa de computador, obteve a sequência de gráficos abaixo.

(5)

Os gráficos acima foram obtidos a partir das seguintes leis, na variável x:

(I) y=mx n+ (II) y= −px−q (III) y=ax²−bx+c (IV) y= −rx²+sx+t

em que os coeficientes a, b, c, r, s, t, m, n, p e q são números reais não nulos.

Esse professor apresentou os dados acima a uma turma de 9º ano e pediu-lhes que classificassem as afirmativas abaixo em V (verdadeira) ou F (falsa).

( ) ^{m n b c}^{   }⁰ ( ) ^{p q} ⁰

a t s

 

( )^s² ^{+   }^{4 r t} ⁰

A sequência correta que os alunos deveriam ter obtido é

a) F – V – V b) F – F – F c) V – F – F d) V – F – V 13) Considere a figura a seguir.

Sabe-se que:

• MNST e NPQS são quadrados;

• MS=4 2 cm;

• ^{med UQS}( ^ˆ )=^{150 ;} e

• os pontos M, U, S e R estão alinhados.

Sejam A₁ a área do triângulo SRQ e A₂ a área do triângulo URQ, ambas em cm . O ² valor de ¹

2

A A é a) ²

2 b) ³

3 c) ⁶

2 d) ⁶

3

(6)

14) Um artista plástico providenciou uma peça de decoração com características matemáticas conforme apresentado no croqui a seguir.

Considere que:

• OA=OB=OC=OD=OE=OF=OG=R;

• Os arcos de circunferência AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA ora têm centro no ponto médio de cada uma das cordas AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA, respectivamente, ora têm centro no ponto O;

•  =3; e

• 2=1, 4.

A área hachurada no croqui, em função da medida R, é igual a

a) 1, 4R² b) 1, 6R² c) 1,8R² d) 2R² 15) Observe a figura a seguir:

(7)

Nela, as retas a, b, c e d são paralelas e são interceptadas pelas retas transversais r, s e t.

Assim, as medidas dos segmentos, em cm, são:

AB=y BC=9 CD 10=

DE=4 FG=z GH=m

HD=5 DI=2 MN 16=

BN=6 BP=x

A soma AB+FH, em cm, é dada por um número divisível por

a) 3 b) 4 c) 7 d) 11

16) Numa competição matemática entre as esquadrilhas do Esquadrão Phoenix, atual 1º esquadrão do CPCAR, havia um desafio entre as duas duplas A e B finalistas. Tal desafia consistia em escolher uma caixa na qual poderia haver um objeto escondido.

Foram colocadas 8 caixas e em apenas uma encontrava-se o tal objeto desejado.

Ganhava o desafio aquela dupla que apontasse a caixa na qual estivesse o objeto.

Sabe-se que, na competição, as duplas se alternariam, na escolha da caixa e, caso a dupla errasse, a caixa seria eliminada.

Sorteada a ordem de competição, a dupla A fez a 1ª escolha e errou. A 2ª escolha foi feita pela dupla B que também errou. No entanto, a dupla B foi a vencedora do desafio, o que só aconteceu na última caixa restante.

Em relação à probabilidade de cada dupla ser vencedora do desafio no momento de escolha da caixa, é correto afirmar que a

a) maior probabilidade de acerto que a dupla A teve numa de suas escolhas foi menor que 40%.

b) probabilidade de acerto da dupla A em sua 3ª escolha foi maior que 15% e menor que 17%.

c) probabilidade de acerto da dupla B era sempre o dobro da probabilidade de acerto da dupla A, se consideradas duas escolhas consecutivas.

d) 3ª maior probabilidade de acerto da dupla B foi de 20%.

(8)

PROVA DE MATEMÁTICA – EPCAR 2018/2019 (VERSÃO A) RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES

1) a (Equação irracional) 2) c (Sistemas lineares)

3) b (Conjuntos numéricos, frações e racionalização) 4) d (Problemas do 1º grau)

5) c (Racionalização)

6) d (Geometria plana – relações métricas nos polígonos regulares) 7) a (Produtos notáveis e fatoração)

8) b (Problemas do 1º grau com mais de uma variável) 9) d (Divisão em partes proporcionais)

10) a (Equação do 2º grau – relações entre coeficientes e raízes) 11) c (Sistemas de medida)

12) d * (Função do 1º grau e função do 2º grau) 13) b (Geometria plana – áreas)

14) b (Geometria plana – áreas)

15) a (Geometria plana – teorema de Thales) 16) d (Probabilidade)

* O enunciado dessa questão foi adaptado, pois ela estava incorreta da maneira como foi proposta originalmente.

(9)

PROVA DE MATEMÁTICA – EPCAR 2018/2019 (VERSÃO A) (ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES)

1) Sobre o conjunto solução, na variável x, x , da equação

2 2

x+ =2 x +2 4x +8x+2 , pode-se dizer que a) é vazio.

b) possui somente um elemento.

c) possui dois elementos de sinais iguais.

d) possui dois elementos de sinais opostos.

RESOLUÇÃO: a

2 2

x+ =2 x +2 4x +8x+2

(x 2)² ( x² 2 4x² 8x 2)² x 2 0

 + = + + +  + 

2 2 2

x 4x 4 x 2 4x 8x 2 x 2

 + + = + + +   −

2x 2 4x2 8x 2 x 2

 + = + +   −

(2x 2)² ( 4x² 8x 2)² x 2 2x 2 0

 + = + +   −  + 

2 2

4x 8x 4 4x 8x 2 x 2 x 1

 + + = + +   −   −

2 0 x 1

 =   −

 = S

2) Considere quatro números naturais distintos tais que, quando adicionados três a três, resultem em: 152, 163, 175 e 185. Sobre esses quatro números é correto afirmar que a) todos são números menores que 70.

b) nenhum é múltiplo de 10.

c) apenas um é um número primo.

d) algum é quadrado perfeito.

RESOLUÇÃO: c

Sejam m, n, p, q os quatro números naturais do enunciado, então, sem perda de generalidade, temos:

m n p 152

m n q 163

m p q 175

n p q 185

+ + =

 + + =

 + + =

 + + =



Somando as 4 equações, temos: ^{3 m n}^( ^{+ + +}^{p q})⁼⁶⁷⁵^{ + + + =}^{m n} ^{p q} ^225.

Assim, os quatro números são

( ) ( )

q= m n+ + + −p q m n+ +p =225 152− =73

( ) ( )

p= m n+ + + −p q m n q+ + =225 163− =62

(10)

( ) ( )

n= m n+ + + −p q m p q+ + =225 175− =50

( ) ( )

m= m n+ + + − + +p q n p q =225 185− =40 Desses 4 números, apenas o 73 é primo.

3) Considere os números X e Y, expressos por:

( ) ( )

( )

0,12 4,125

X 11

7, 36

324

= 

 

 

 

e Y ¹ ² 4

2 2 2

= + −

+ Marque a alternativa verdadeira.

a) X é um número racional não inteiro positivo.

b) X Y é um número inteiro e negativo.

c) X+Y é um número irracional.

d) Y

X é um número racional não inteiro e positivo.

RESOLUÇÃO: b

Vamos, inicialmente, calcular o valor de X. Para tanto, devemos obter as frações geratrizes das duas dízimas periódicas e transformar o decimal exato em fração.

12 4

0,12=99=33

736 7 729 81 7, 36

99 99 11

= − = =

4125 33 4,125

1000 8

= =

Vamos, agora, calcular X e Y.

( ) ( )

( )

4 33 1

0,12 4,125 33 8 2 1

X 4 2

81 11 1

11 2

7, 36

11 324 4 324

 

= = = =  =

  

 

 

Vamos, agora, calcular o valor de Y, racionalizando a fração de denominador irracional.

( )²

2

1 2 1 2 2 2 2 2 2

Y 4 4 4

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

4 3

2 2

− −

= + − =  + − = + − =

+ + − −

= − + − = − a) FALSA, pois X é inteiro.

b) VERDADEIRA, pois X Y = −6 que é um inteiro negativo.

c) FALSA, pois X Y+ = −1 que é um número racional.

d) FALSA, pois Y 3

X = −2 é um racional não inteiro, mas é negativo.

(11)

4) Elisa pretende comprar um computador que custa x reais. Ela possui 70% do valor total do computador e ainda vai ganhar de seus avós uma herança, que será totalmente repartida entre ela e suas irmãs Daniella e Lavínia.

Nessa partilha, Elisa recebeu 0, 2777 da herança, Daniella 1200 reais e Lavínia ⁷ 18 da herança.

Ao fazer as contas do quanto possuía para comprar o computador percebeu que ainda lhe faltavam 200 reais para realizar a compra.

O valor x do computador é, em reais, tal que o número de divisores naturais de x é

a) 18 b) 20 c) 22 d) 24

RESOLUÇÃO: d

Seja H o valor total da herança, então temos:

7 25 7

0, 2777 H 1200 H H H 1200 H H

18 90 18

7 5 18 12

H H H 1200 H 1200 H 3600

18 18 18

 + +  =  + + =

 − − =  − =  =

Portanto, Elisa recebeu de herança 0, 2777 3600 ⁵ 3600 1000

 =18 = reais.

Considerando que, após receber a herança, ainda faltavam 200 reais para Elisa realizar a compra, então

70% x 1000 + +200= x 0, 7x 1200+ = x 0, 3x=1200 =x 4000 reais.

A quantidade de divisores naturais de 4000= 2 5⁵ ³ é _{d 4000}( ) (_{= +  + =}_{5 1}) (_{3 1}) _24.

5) Considere os números reais x, y e z, tais que:

x= 2+ 3 y= 2+ 2+ 3

( ) ( )

z= 2+ 2+ 2+ 3  −2 2+ 2+ 3 Simplificando a expressão (^{x y z}) ¹ ¹ ^,

2 3

  − 

− obtém-se

a) 2− 3 b) 1 c) 2+ 3 d) 2 3

RESOLUÇÃO: c

( ) ( ) ( )

( )

2

z 2 2 2 3 2 2 2 3 22 2 2 3

4 2 2 3 2 2 3

= + + +  − + + = − + + =

= − + + = − +

( )² ( )

y z = 2+ 2+ 3  2− 2+ 3 = 22− 2+ 3 = 4− 2+ 3 = 2− 3

( )²

x y z  = 2+ 3 2− 3 = 22− 3 = 4 3− =1

(12)

( )

1 1

2 2

1 1 1 2 3 2 3 2 3

x y z , 1 2 3

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 3

− − + + +

   =  =  = = = +

− − − + − −

6) Considere a figura abaixo.

Sabe-se que:

• ABCD é um quadrado cuja medida do lado é x

• DEFG é um quadrado cuja medida do lado é x 2

• FGH é um triângulo retângulo isósceles.

• HIJK é um quadrado cuja medida do lado é a metade da medida do lado do quadrado DEFG

• JKL é um triângulo semelhante ao triângulo FGH

Considere o polinômio _{P x}( )₌( )_JL ²₋_{3 FH}( ) (₋_{2 AB})₊_15. Se a e b (_a__b)_{são as} raízes da equação _{P x}( )₌_0, então é FALSO afirmar que

a) a²−b² é quadrado perfeito. b) a b− é par.

c) ¹ 1.

a b 

− d) 1 ₂

0.

a b 

− RESOLUÇÃO: d

Das relações entre os lados dos polígonos apresentadas no enunciado, temos:

AB=x FG=x 2

FH=FG 2=x 2 2=2x JK x 2

= 2

JL JK 2 x 2 2 x

=  = 2  =

Assim, o polinômio é _{P x}( )=_x²− 3 2x 2 x 15−  + =x²−8x 15,+ cujas raízes são a=5 e b=3.

a) VERDADEIRA, pois a²−b²=5²−3²=25 9 16− = =4² é um quadrado perfeito.

b) VERDADEIRA, pois a b− = − =5 3 2 que é par.

1 1 1

(13)

d) FALSA, pois 1 ₂ 1 ₂ 1 1

5 9 4 0.

a b =5 3 = = − 

− − −

7) Considere o conjunto de todos os valores de m e n para os quais a expressão algébrica A, abaixo, está definida.

( )

2 2

2 2 2

2 2 1

2 2

m n

n m

A 1 2 1

m n

m m n n

−

− −

= 

+ + −



Nesse conjunto, uma expressão algébrica equivalente a A é a) m²+n² b) m²−n² c)

2 2

m n

+

− d)

2 2

m n

m n +

− RESOLUÇÃO: a

Inicialmente, observemos que devemos ter m0, n0 e mn.

( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )( )

( )( )

2 2 4 4

2 2 2 2 2

1 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2

m n m n

m n m n m n

n m m n

A 1 2 1 m n n 2m n m m n

m m n n m n

m n m n m n m n m n m n

m n

m n m n m n

m n

−

− − − + −

=  =  =

+  + −

+ + −



+ − + + + −

=  = = +

− + −

+

Note que devemos ter também m −n.

Assim, se m n 0 e m n, então A=m²+n .²

8) Gabriel, depois de uma longa temporada de dedicação aos estudos, foi descansar na casa de seus avós, no interior. Lá chegando, percebeu que muitas coisas de sua infância ainda permaneciam intocáveis. Exemplo disso foi a “venda” de seu avô... uma verdadeira bagunça!

Para ajudar na organização da “venda”, Gabriel aplicou conhecimentos de matemática básica. Assim, ele pegou os quatro sacos de café que ficavam à frente do balcão, pesou- os e etiquetou-os conforme ilustra a Figura (1), em kg.

Em seguida, com o total de peso que obteve, retirou ou colocou, em kg, café em cada saco, e anotou numa folha de papel como mostra a Figura (2).

(14)

Na Figura (2), o símbolo de (+) indica que aquele saco recebeu alguns quilogramas de café, descrito logo à frente do símbolo, bem como o de (-) indica que dele foram retirados alguns quilogramas de café, também descrito logo à frente do símbolo.

Para não perder as contas, Gabriel anotou, também, que:

• o produto da quantidade retirada do saco (II) pela quantidade retirada do saco (IV), em kg, é igual a 165.

• depois de acrescentar ou retirar café nos sacos, todos passaram a ter a mesma quantidade, em kg.

Dessa forma, sendo ^{x, y, m, n}^ ^*^, é correto afirmar que

a) a maior quantidade que foi retirada de um dos sacos de café foi superior a 30 kg.

b) na Figura (1), a diferença de peso entre os sacos (III) e (I) era de 82 kg.

c) x y+ =m.

d) ^m 2.

n  RESOLUÇÃO: b

Figura (1) Figura (2)

Como o produto da quantidade retirada do saco (II) pela quantidade retirada do saco (IV) é igual a 165, então

(2y 3) (y 2) 165 2y² y 171 0 y ¹⁹ y 9

−  + =  + − =  = − 2  = y * =y 9

A quantidade de café final nos sacos é:

(I) 2x 7 m− +

(II) (^{5x 17}⁺ )⁻(^{2y 3}^{− =}) ^{5x 2y 20}⁻ ⁺ ⁼^{5x 2 9 20}^{−  +} ⁼^5x⁺²

(III) 7x n−

(IV) (^{6x 2}^{− − +}) (^{y 2})⁼^6x^{− − =}^{y 4} ^{6x 9 4}^{− − =}^{6x 13}⁻

(15)

Depois de acrescentar ou retirar café nos sacos, todos passaram a ter a mesma quantidade, então

5x 2+ =6x 13−  =x 15

2x 7 m 5x 2− + = +  =m 3x 9 3 15 9 54+ =  + = 7x n− =5x 2+  =n 2x 2− =  − =2 15 2 28

Note que a quantidade final de café nos 4 sacos foi 5x+ =  + =2 5 15 2 77 kg.

Vamos agora analisar as alternativas.

a) INCORRETA, pois a maior quantidade retirada foi 28 kg.

Adicionado a (I): m=54 kg

Retirado de (II): 2y 3− =  − =2 9 3 15 kg Retirado de (III): n=28 kg

Retirado de (IV): y+ = + =2 9 2 11 kg

b) CORRETA, pois a diferença de peso entre os sacos (III) e (I), na Figura (1), é

( )

7x− 2x 7− =5x+ =  + =7 5 15 7 82 kg.

c) INCORRETA, pois x+ =y 15 9+ =2454=m.

d) INCORRETA, pois ^m ⁵⁴ ⁵⁶ 2.

n = 2828=

9) As turmas FOX e GOLF do CPCAR 2018, que possuem 30 e 20 alunos, respectivamente, combinaram viajar para uma casa de praia num feriado que aconteceu no mês de junho de 2018.

Antes de viajar, decidiram dividir todas as despesas entre as turmas de forma diretamente proporcional ao número de alunos de cada turma.

Pagaram todas as despesas, mas não pagaram de forma proporcional. A turma FOX pagou 12000 reais e a turma GOLF pagou 10500 reais.

Tendo como base o que as turmas haviam combinado em relação às despesas da viagem, é correto afirmar que

a) a despesa correta da turma GOLF seria mais de 10000 reais.

b) a turma FOX pagou a menos 10% do que deveria ter pago.

c) o que a turma GOLF pagou a mais é um valor maior que 1800 reais.

d) a turma FOX deveria ter pago mais de 10000 reais.

RESOLUÇÃO: d

O total de despesas foi 12000 10500+ =22500 reais. As partes devidas pelas turmas FOX e GOLF devem ser proporcionais a 3 e 2, respectivamente.

Sejam 3k e 2k as parcelas devidas pelas turmas FOX e GOLF, respectivamente, então 3k 2k+ =22500 =k 4500.

Logo, a turma FOX deveria ter pago 3 4500 13500 = reais e a turma GOLF, 2 4500 9000 = reais.

a) INCORRETO, pois a despesa correta da turma GOLF seria 9000 reais.

b) INCORRETO, pois a turma FOX pagou 13500 12000 1500− = reais a menos o que representa ¹⁵⁰⁰ 11%

13500  do que deveria ser pago.

c) INCORRETO, pois a turma GOLF pagou a mais 10500 9000 1500− = reais.

d) CORRETO, pois a turma FOX deveria ter pagou 13500 reais.

(16)

10) Considere as equações:

(I) x²−bx 15+ =0 (_b_ ) cujas raízes são os números reais  e  (  )

(II) x²+kx 15+ =0 ⁽k ⁾

Sabe-se que as raízes da equação (I) são, cada uma, 8 unidades menores do que as raízes da equação (II).

Com base nessas informações, marque a opção correta.

a) b³−k é um número negativo.

b) O valor absoluto da diferença entre as raízes da equação (I) é 1.

c) As raízes da equação (II) NÃO são números primos.

d)  − ² ² é um número que é divisor de 8.

RESOLUÇÃO: a

A equação (I) x²−bx 15+ =0 (_b_ ) tem raízes reais  e  (  ), então, pelas relações entre coeficientes e raízes, temos:

( )

1

b b

1

 =  +  = − − =

2

15 15

 =   = 1 =

A equação (II) x²+kx 15+ =0 ⁽k ⁾ tem raízes (_{ +}₈)_e( +8 ,) (  ), então, pelas relações entre coeficientes e raízes, temos:

( ) ( ) ^{( )}

1

8 8 k k k 16 *

1

 =  + +  + =− = −   +  = − −

( ) ( ) ( )

( ) ^{( )}

2

8 8 15 15 8 64 15

1

15 8 64 15 8 **

 =  +   + = =   +   +  + =

 +   +  + =   +  = − De (*) e (**), temos: − − = −  = −k 16 8 k 8.

Portanto, a equação (II) será x²−8x 15+ =0, cujas raízes são 3 e 5, o que implica

8 3 5

+ =   = −

8 5 3

 + =   = −

Daí, temos _b=  +  = − + − = −( ) ( )₅ ₃ ₈ e a equação (I) será x²+8x 15+ =0, cujas raízes são  = −3 e  = −5.

a) CORRETA, pois b³− = −k ( ) ( )8 ³− − = −8 5040.

b) INCORRETA, pois ( ) ( )_{− − − =}₃ ₅ ₂₌_2.

c) INCORRETA, pois as raízes da equação (II) são 3 e 5, que são números primos.

d) INCORRETA, pois _{ − = −}² ² ( )₃ ²_{− −}( )₅ ² _{= −}_{9 25}_{= −}₁₆ que não é divisor de 8.

11) Um baú em forma de paralelepípedo reto-retângulo pesa 20 kg e tem como medidas externas 50 cm de altura e 3 dm por 400 mm de base.

O baú contém uma substância homogênea que pesa 1,5 kg por litro e que ocupa o espaço correspondente a 90% do volume de um paralelepípedo reto-retângulo de

(17)

Se o peso total do baú e da substância, em kg, é igual a x, então, pode-se dizer que x é um número natural

a) par menor que 100.

b) ímpar menor que 100.

c) primo.

d) divisível por 7 e maior que 100.

RESOLUÇÃO: c

O volume do paralelepípedo reto-retângulo com mesmas dimensões externas do baú é 50 cm 3 dm 400 mm  =5 dm 3 dm 4 dm  =60 dm3=60 .

O volume ocupado pela substância homogênea é 90% 60 =54 .

O peso da substância homogênea é 1, 5 54 =81 kg, então o peso total do baú e da substância é 20 81 101 kg.+ =

Portanto, x=101, que é primo.

12) Um professor de matemática, ao utilizar um programa de computador, obteve a sequência de gráficos abaixo.

Os gráficos acima foram obtidos a partir das seguintes leis, na variável x:

(I) y=mx n+ (II) y= −px−q (III) y=ax²−bx+c (IV) y= −rx²+sx+t

em que os coeficientes a, b, c, r, s, t, m, n, p e q são números reais não nulos.

Esse professor apresentou os dados acima a uma turma de 9º ano e pediu-lhes que classificassem as afirmativas abaixo em V (verdadeira) ou F (falsa).

( ) m n b c   0

( ) ^{p q} 0 a t s

 

 

(18)

( )^s²+   ^{4 r t} ⁰

A sequência correta que os alunos deveriam ter obtido é

a) F – V – V b) F – F – F c) V – F – F d) V – F – V RESOLUÇÃO: d

A equação y=mx n+ do gráfico (I) deve ser tal que m0, pois a função do 1º grau é decrescente, e n0, pois o gráfico intersecta o eixo y na parte de ordenadas negativas.

A equação y= −px−q do gráfico (II) deve ser tal que −   p 0 p 0, pois a função do 1º grau é crescente, e −   q 0 q 0, pois o gráfico intersecta o eixo y na parte de ordenadas negativas.

A equação y=ax²−bx+c do gráfico (III) deve ser tal que a0, pois a concavidade do gráfico da função quadrática é voltada para baixo, e c0, pois o gráfico intersecta o eixo y na parte de ordenadas negativas. Além disso, a abscissa do vértice da parábola é positiva, ou seja, ( )

V

b b

x 0 0 b 0.

2a 2a

= − −     

A equação y= −rx²+sx+t do gráfico (IV) deve ser tal que −   r 0 r 0, pois a concavidade do gráfico da função quadrática é voltada para baixo, e t0, pois o gráfico intersecta o eixo y na parte de ordenadas negativas. A abscissa do vértice da parábola é negativa, ou seja,

( )

V

s s

x 0 0 s 0.

2 r 2r

= −     

 − Essa função possui

duas raízes reais distintas, pois seu gráfico intersecta o eixo das abscissas em dois pontos distintos, o que implica que seu discriminante é positivo, ou seja,

( )

2 2

s 4 r t 0 s 4rt 0.

 = −  −    + 

Com base nas informações anteriores, vamos avaliar as afirmativas.

( )^V ^{m n b c}^{   }⁰

m0, n0, b0, c     0 m n b c 0

( )F ^{p q} 0 a t s

 

 

p 0, q 0, a 0, t 0, s 0 p q 0 a t s

       

 

( )^{V s}²^{+   }^{4 r t} ⁰

Vide a análise do gráfico (IV).

(19)

13) Considere a figura a seguir.

Sabe-se que:

• MNST e NPQS são quadrados;

• MS=4 2 cm;

• med UQS( ^ˆ )=150 ; e

• os pontos M, U, S e R estão alinhados.

Sejam A₁ a área do triângulo SRQ e A₂ a área do triângulo URQ, ambas em cm . O ² valor de ¹

2

A A é a) ²

2 b) ³

3 c) ⁶

2 d) ⁶

3 RESOLUÇÃO: b

Como MS=4 2 cm é diagonal do quadrado MNST, então os dois quadrados possuem lados iguais a 4.