Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

PROVA DE MATEMÁTICA

ACADEMIA DA FORÇA AÉREA (AFA) – 2017/2018 (ENUNCIADOS)

1) Na reta dos números reais abaixo, estão representados os números m, n e p.

Analise as proposições a seguir e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA).

( ) ^{m n} p

 não é um número real.

( )  p  m  pode ser um número inteiro.

( ) ^p

n é, necessariamente, um número racional.

A sequência correta é:

a) V – V – F b) F – V – V c) F – F – F d) V – F – V

2) Constrói-se um monumento em formato de pirâmide utilizando-se blocos cúbicos:

Para a formação piramidal os blocos são dispostos em uma sequência de camadas,

sendo que na última camada, no topo da pirâmide, haverá um único bloco, como mostra

a figura a seguir.

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

Na disposição total, foram utilizados 378 blocos, do topo à base da pirâmide. Havendo necessidade de acrescentar uma nova camada de blocos abaixo da base da pirâmide, obedecendo à sequência já estabelecida, serão gastos x blocos nesta camada. A quantidade total de divisores positivos do número x é igual a

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

3) Dez vagas de um estacionamento serão ocupadas por seis carros, sendo: 3 pretos, 2 vermelhos e 1 branco. Considerando que uma maneira de isso ocorrer se distingue de outra tão somente pela cor dos carros, o total de possibilidade de os seis carros ocuparem as 10 vagas é igual a

a) 12600 b) 16200 c) 21600 d) 26100

4) Durante o desfile de Carnaval das escolas de samba do Rio de Janeiro em 2017, uma

empresa especializada em pesquisa de opinião entrevistou 140 foliões sobre qual

agremiação receberia o prêmio de melhor do ano que é concedido apenas a uma escola

de samba. Agrupados os resultados obtidos, apresentaram-se os índices conforme o

quadro a seguir:

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

A respeito dos dados colhidos, analise as proposições a seguir e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA).

( ) Se A for a agremiação vencedora em 2017 e se um dos foliões que opinaram for escolhido ao acaso, então a probabilidade de que ele NÃO tenha votado na agremiação que venceu é igual a 45%.

( ) Escolhido ao acaso um folião, a probabilidade de que ele tenha indicado exatamente duas agremiações é de 50%.

( ) Se a agremiação B for a campeão em 2017, a probabilidade de que o folião entrevistado tenha indicado apenas esta como campeã é menor que 10%.

A sequência correta é

a) V – V – F b) F – V – V c) F – V – F d) V – F – V

5) O menor dos possíveis coeficientes do termo em x , no desenvolvimento de ⁸

 _{2 x } ² _{ 3x} ³  ¹⁰ é igual a

a) 11240 b) 12420 c) 13440 d) 14720

6) Sejam a e b números positivos tais que o determinante da matriz

1 0 0 1

2 a 0 1

1 1 b 1

0 0 0 1

  

 

 

  

 

 

vale 24. Dessa forma o determinante da matriz b 2

3 a

 

 

 

 

é igual a

a) 0 b) 6 c)  6 d) 6

7) Considere no plano cartesiano as retas r e s dadas pelas equações: r : 3x 3py p    0 e s : px 9y 3    0, onde p  . Baseado nessas informações, marque a alternativa incorreta.

a) r e s são retas concorrentes se p  3.

b) Existe um valor de p para o qual r é equação do eixo das ordenadas e s é perpendicular a r.

c) r e s são paralelas distintas para dois valores reais de p.

d) r e s são retas coincidentes para algum valor de p.

8) Considere no plano cartesiano a circunferência  tangente à bissetriz dos quadrantes ímpares no ponto A 1,1 . Sabendo que a reta   t : x    y 4 0 tangencia  no ponto B, marque a opção correta.

a) A soma das coordenadas de B é igual a 3.

b) ^P   ^{1, 2}  é exterior a . 

c) O ponto de  mais próximo da origem é Q 0, 2   2 . 

d) A bissetriz dos quadrantes pares é exterior a . 

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

9) No plano cartesiano, os pontos P x, y   satisfazem a equação  x 1  ²  y 2  ²

25 9 1

   

da curva  . Se F e ₁ F são os focos de ₂  , tais que a abascissa de F é menor que a ₁ abscissa de F , ₂ é incorreto afirmar que:

a) a soma das distância de P a F e de P a ₁ F é igual a 10. ₂ b) F coincide com o centro da curva ₁ x ²  y ²  6x 4y   0.

c) F é exterior a ₂ x ²  y ²  25.

d) o ponto de abscissa máxima de  pertence à reta y   x 8.

10) Considere a função real _{f x}   ¹ _, 2x 2

  x   1. Se _f  _{2 a}  ¹ _f   _{a ,}

     5 então

 

f a 1 f 4 a

2

    

 

  é igual a

a) 1 b) 0,75 c) 0,5 d) 0,25

11) Considere os números A, B e C a seguir.

25 4 3

A  log 27 log 5 log   2

 ^{n n} 

n n

B  log log n (n é natural maior que 2)

log c log a log b

a b c

C b c a

     

                ^{a, b, c}  ^{ *} _

A correta relação de ordem entre os números A, B e C é

a) A   B C b) B   A C c) B C   A d) C   A B

12) Seja f :  uma função definida por   2

x 3, se x 2

f x x .

x, se x 2 4

 

 

     Analise as proposições a seguir e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA).

( ) A função f é injetora.

( )   x , a função f é crescente.

( ) A função f ^{ 1} , inversa de f, é dada por f ^{ 1} :  , tal que

 

1 x 3, se x 1

f x .

4x 4 2, se x 1

      

   



A sequência correta é

a) F – V – V b) V – V – V c) F – V – F d) V – F – V

13) No círculo de centro O a seguir, OA  2 m, M é o ponto médio de OP e a área y do triângulo retângulo ONM é dada em função do comprimento x do arco AP, com

0 x .

2

  

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

Assim sendo, é correto afirmar que y a) é decrescente se x , .

4 2

   

    b) assume valor máximo 0,125 m . ² c) pode assumir valor igual a ² m . ²

2 d) pode ser um número racional.

14) A figura a seguir é um pentágono regular de lado 2 cm.

Os triângulos DBC e BCP são semelhantes.

A medida de AC, uma das diagonais do pentágono regular, em cm, é igual a a) 1  5 b)   1 5 c) 2 ⁵

 2 d) 2 5 1 

15) Considere o sólido geométrico obtido pela rotação de 360 do triângulo ABC em

torno da reta que passa por C e é paralela ao lado AB. Sabe-se que este triângulo é

isósceles, com AC  BC  R 2 m, AB  2R m (sendo R uma constante real não nula),

e que o volume do sólido obtido é V   4 3 m . ³ A medida R, em metros, é igual a

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

a) ⁶ 3 b) ³ 3 c) ³ 9 d) 3

16) Na tabela a seguir estão relacionados os salários de todos os funcionários das classes A, B e C de uma empresa cuja média salarial é R$1.680, 00.

Se a mediana para a distribuição de frequências obtida acima é m, então a soma dos algarismos de m é igual a

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18

FIM ENUNC

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES 1) a (Conjuntos numéricos)

2) c (Progressões)

3) a (Análise combinatória) 4) a (Probabilidade)

5) c (Binômio de Newton – Fórmula de Leibniz) 6) d (Matrizes e determinantes)

7) d (Geometria analítica – retas)

8) c (Geometria analítica – circunferência) 9) b (Geometria analítica – cônicas) 10) d (Função)

11) b (Logaritmos) 12) b (Função)

13) d* (Trigonometria) 14) a (Geometria plana) 15) d (Geometria espacial) 16) b (Estatística)

(*) O enunciado dessa questão foi adaptado, pois ela estava incorreta da maneira como

foi originalmente proposta.

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

PROVA DE MATEMÁTICA

ACADEMIA DA FORÇA AÉREA (AFA) – 2017/2018 (ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES)

1) Na reta dos números reais abaixo, estão representados os números m, n e p.

Analise as proposições a seguir e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA).

( ) ^{m n} p

 não é um número real.

( )  p  m  pode ser um número inteiro.

( ) ^p

n é, necessariamente, um número racional.

A sequência correta é:

a) V – V – F b) F – V – V c) F – F – F d) V – F – V RESOLUÇÃO: a

( V ) ^{m n} p

 não é um número real.

n m m n 0 m n m n

p 0 p 0 p

      

   

  

( V )  ^p  ^m  pode ser um número inteiro.

Exemplo: p 1, 2   m   1, 2     p m 0 e

Note que a afirmativa fala em “pode ser”. Logo, basta um exemplo para garantir sua veracidade. Observe que a figura não permite afirmar que  ^p  ^m  seja sempre um inteiro.

( F ) ^p

n é, necessariamente, um número racional.

Contraexemplo: p 2

p 2 n 0,5 2 2

n 0,5

        



Note que a afirmativa fala em ser “necessariamente” um número racional. Logo, basta um contraexemplo para garantir que seja falsa. Observe que a figura não permite garantir que ^p

n seja racional ou irracional.

2) Constrói-se um monumento em formato de pirâmide utilizando-se blocos cúbicos:

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

Para a formação piramidal os blocos são dispostos em uma sequência de camadas, sendo que na última camada, no topo da pirâmide, haverá um único bloco, como mostra a figura a seguir.

Na disposição total, foram utilizados 378 blocos, do topo à base da pirâmide. Havendo necessidade de acrescentar uma nova camada de blocos abaixo da base da pirâmide, obedecendo à sequência já estabelecida, serão gastos x blocos nesta camada. A quantidade total de divisores positivos do número x é igual a

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

RESOLUÇÃO: c

Na camada de ordem n, n  1, a quantidade de blocos é dada pela expressão

 

1 4 n 1 ,    onde o 1 corresponde ao bloco central e a parcela 4 n 1 ^  ^ corresponde aos blocos laterais. Note que a cada camada são acrescentados 4 blocos.

A expressão 1 4 n 1    ^{ } corresponde a uma progressão aritmética de primeiro termo a 1  1 e razão r  4.

Na disposição total foram utilizados 378 blocos, o que significa que a soma dos termos dessa PA é 378. Assim, temos:

 

 ₁  ^{   } _{ }

n

2a r n 1 n 2 1 4 n 1 n

S 378 2n 1 n 378

2 2

       

      

 

2 1 3025 1 55 27

2n n 378 0 n n não convém n 14

4 4 2

 

           

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

Logo, a pirâmide foi construída originalmente com 14 camadas. Havendo necessidade de se acrescentar uma camada, seria a 15ª e, por conseguinte, a quantidade de blocos gastos nessa camada seria _{x  a 15    1 4 15 1}  _{ }  _57.

O número de divisores positivos de x  57   3 19 é d 57         1 1   1 1  4.

3) Dez vagas de um estacionamento serão ocupadas por seis carros, sendo: 3 pretos, 2 vermelhos e 1 branco. Considerando que uma maneira de isso ocorrer se distingue de outra tão somente pela cor dos carros, o total de possibilidade de os seis carros ocuparem as 10 vagas é igual a

a) 12600 b) 16200 c) 21600 d) 26100

RESOLUÇÃO: a

Primeiro temos que escolher 6 das 10 vagas, o que pode ser feito de

10 6

10 9 8 7

C 210

4!

  

  formas distintas.

Depois devemos permutar os carros entre si, usando permutações com elementos repetidos, o que pode ser feito de P ₆ ^{3,2,1 6!} 60

3!2!1!

  formas distintas.

Pelo princípio multiplicativo, o total de possibilidade de os seis carros ocuparem as 10 vagas é 210 60 12600.  

4) Durante o desfile de Carnaval das escolas de samba do Rio de Janeiro em 2017, uma empresa especializada em pesquisa de opinião entrevistou 140 foliões sobre qual agremiação receberia o prêmio de melhor do ano que é concedido apenas a uma escola de samba. Agrupados os resultados obtidos, apresentaram-se os índices conforme o quadro a seguir:

A respeito dos dados colhidos, analise as proposições a seguir e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA).

( ) Se A for a agremiação vencedora em 2017 e se um dos foliões que opinaram for escolhido ao acaso, então a probabilidade de que ele NÃO tenha votado na agremiação que venceu é igual a 45%.

( ) Escolhido ao acaso um folião, a probabilidade de que ele tenha indicado exatamente duas agremiações é de 50%.

( ) Se a agremiação B for a campeão em 2017, a probabilidade de que o folião entrevistado tenha indicado apenas esta como campeã é menor que 10%.

A sequência correta é

a) V – V – F b) F – V – V c) F – V – F d) V – F – V

RESOLUÇÃO: a

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

Vamos colocar as informações do enunciado em um diagrama de Venn, começando pela interseção de A, B e C.

( V ) Como 140 77   63 foliões não votaram na agremiação A, então a probabilidade de que o folião não tenha votado na agremiação que venceu é P ⁶³ 45%.

 140 

( V ) A probabilidade de que um folião tenha indicado exatamente duas agremiações é 15 20 35 70

P 50%.

140 140

 

  

( F ) A probabilidade que um folião tenha indicado apenas a agremiação B como campeã é P ¹⁸ 12,9%,

 140  ou seja, é maior do que 10%.

5) O menor dos possíveis coeficientes do termo em x , no desenvolvimento de ⁸

 2 x  ²  3x ³  ¹⁰ é igual a

a) 11240 b) 12420 c) 13440 d) 14720

RESOLUÇÃO: c

De acordo com o polinômio de Leibniz, os termos no desenvolvimento de

 _{2 x } ² _{ 3x} ³  ¹⁰ são da forma ^10! 2   x ²   3x ^{3 10!} 2 3 x ^{2 3} ,

! ! ! ! ! !

 

    

      

     

com      10.

Para obtermos os termos em x , devemos ter ⁸ 2     3 8, o que ocorre para

     ^{, ,}    6, 4, 0 ; 7,1, 2 .     Assim, temos:

 , ,   6, 4, 0  ^10! 2 ⁶ 3 ⁰ x ^{2 4 3 0} 210 64 x ⁸ 13440x ⁸ 6!4!0!

  

           

 , ,   7,1, 2  ^10! 2 ⁷ 3 ² x ^{21 3 2} 360 128 9 x ⁸ 414720x ⁸ 7!1!2!

  

            

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

Logo, o menor dos possíveis coeficientes do termo em x é 13440. ⁸

6) Sejam a e b números positivos tais que o determinante da matriz

1 0 0 1

2 a 0 1

1 1 b 1

0 0 0 1

  

 

 

  

 

 

vale 24. Dessa forma o determinante da matriz b 2

3 a

 

 

 

  é igual a

a) 0 b) 6 c)  6 d) 6

RESOLUÇÃO: d

Vamos aplicar o teorema de Laplace na 4ª linha do determinante.

  ^{4 4}

1 0 0 1

1 0 0 1 0 0

2 a 0 1

1 1 2 a 0 2 a 0

1 1 b 1

1 1 b 1 1 b

0 0 0 1





      

  

O determinante obtido é o determinante de uma matriz triangular inferior e, portanto, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Assim, temos:

1 a b 24 ab 24

      

b 2

b a 3 2 a b 6 24 6 2 6 6 6

3 a

            

7) Considere no plano cartesiano as retas r e s dadas pelas equações: r : 3x 3py p    0 e s : px 9y 3    0, onde p  . Baseado nessas informações, marque a alternativa incorreta.

a) r e s são retas concorrentes se p  3.

b) Existe um valor de p para o qual r é equação do eixo das ordenadas e s é perpendicular a r.

c) r e s são paralelas distintas para dois valores reais de p.

d) r e s são retas coincidentes para algum valor de p.

RESOLUÇÃO: d

r

1 1 1

r : 3x 3py p 0 y x m

p 3 p

         

s

p 1 p

s : px 9y 3 0 y x m

9 3 9

          a) correta

As retas r e s são concorrentes se, e somente se, seus coeficientes angulares são diferentes. Assim, 1 9 ²

p 9 p 3

p p

      

b) correta

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

A equação do eixo das ordenadas é x  0. A reta r é o eixo das ordenadas para p  0.

Nesse caso, a equação de s é y ¹ ,

 3 que é uma reta horizontal e, portanto, perpendicular a r.

c) correta

As retas r e s são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais.

Assim, 1 9 ²

p 9 p 3.

p p

        d) incorreta

As retas r e s são coincidentes se, e somente se, possuem mesmo coeficiente angular e mesmo coeficiente linear. O coeficiente linear de r é ¹

 3 e o coeficiente linear de s é ¹ , 3 então, seus coeficientes lineares são distintos, o que implica que elas não são coincidentes para nenhum valor de p.

8) Considere no plano cartesiano a circunferência  tangente à bissetriz dos quadrantes ímpares no ponto A 1,1 . Sabendo que a reta   t : x    y 4 0 tangencia  no ponto B, marque a opção correta.

a) A soma das coordenadas de B é igual a 3.

b) P   1, 2  é exterior a  .

c) O ponto de  mais próximo da origem é Q 0, 2   2 . 

d) A bissetriz dos quadrantes pares é exterior a  . RESOLUÇÃO: c

A bissetriz dos quadrantes ímpares,  ₁₃ : y  x, é paralela à reta t : y   x 4.

Como  tangencia y  x em A 1,1 , então a reta passando por A e perpendicular a  

y  x é a reta suporte de um diâmetro de  e a interseção dessa reta com t : y   x 4 é

o ponto de tangência entre  e t.

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

A reta que passa por A 1,1 e perpendicular a   y  x, é dada por

y 1 1 y x 2

x 1

      



O ponto B é a interseção de t : y   x 4 e y    x 2. Assim, temos:

 

x         4 x 2 x 1 y     3 B 1,3

O centro O de  é o ponto médio de AB, então  

 

1 1 1 3

O , 0, 2 .

2 2

    

      O raio de  é r  OA  OB   1 0   ²    1 2  ²  2.

a) INCORRETA

A soma das coordenada de B    1,3  é    1 3 2.

b) INCORRETA

A distância de ^P   ^{1, 2}  ao centro de  é OP     1 0  ²    2 2  ²   1 2  r. Logo, o ponto P é interior a  .

c) CORRETA

Come o centro de  está sobre o eixo Oy, o seu ponto mais próximo da origem é o ponto Q   0, 2  2 .  Note que y _Q  y _O    r 2 2.

d) INCORRETA

A distância do centro O 0, 2 de    à bissetriz dos quadrantes pares

12 : y x x y 0

      é

2 2

1 0 1 2

d 2 r,

1 1

  

  

 ou seja, a distância do centro de  à bissetriz dos quadrantes pares é igual ao raio da circunferência, o que implica que  ₁₂ é tangente a  .

9) No plano cartesiano, os pontos P x, y   satisfazem a equação  x 1  ²  y 2  ²

25 9 1

   

da curva  . Se F e ₁ F são os focos de ₂  , tais que a abascissa de F é menor que a ₁ abscissa de F , ₂ é incorreto afirmar que:

a) a soma das distância de P a F e de P a ₁ F é igual a 10. ₂ b) F coincide com o centro da curva ₁ x ²  y ²  6x 4y   0.

c) F é exterior a ₂ x ²  y ²  25.

d) o ponto de abscissa máxima de  pertence à reta y   x 8.

RESOLUÇÃO: b

A equação  x 1  ²  y 2  ²

: 1

25 9

 

   representa uma elipse tal que Centro  1, 2  

a 2  25   a 5 (semieixo maior horizontal)

b 2    9 b 3 (semieixo menor vertical)

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

2 2 2 2 2 2

b  c  a  c  a  b  25 9 16     c 4 (semidistância focal) Os focos são F ₁    3, 2  e F 5, 2 . ₂   

a) CORRETA

1 2

PF  PF  2a    2 5 10 b) INCORRETA

   

2 2 2 2 2 2

2 2

x y 6x 4y 0 x 2 3x 3 y 2 2y 2 9 4

x 3 y 2 13

             

    

Logo, o centro da curva é   3, 2  que não coincide com F ₁    3, 2 . 

c) CORRETA

A circunferência x ²  y ²  25 tem centro  0, 0  e raio 5. A distância de F ao centro ₂ da circunferência é  5 0   ²     2 0  ²  29  5, então F é exterior à ₂ circunferência.

d) CORRETA

O ponto de máxima abscissa de  é A 6, 2 ,    que pertence à reta y   x 8.

10) Considere a função real _{f x}   ¹ _, 2x 2

  x   1. Se _f  _{2 a}  ¹ _f   _{a ,}

     5 então

 

f a 1 f 4 a

2

    

 

  é igual a

a) 1 b) 0,75 c) 0,5 d) 0,25

RESOLUÇÃO: d

 

 

1 1

f 2 a

2 2 a 2 2a 2

   

   

   

1 1

f a

2 a 2 2a 2

  

    

  ¹   ^{1 1 1 2 1}

f 2 a f a

5 2a 2 5 2a 2 2a 2 5

1 1

a 1 5 a 4

a 1 5

          

   

        

 

       

 

a 4

f 1 f 4 a f 1 f 4 4 f 3 f 0

2 2

1 1 1 1 1

0, 25

2 3 2 2 0 2 4 2 4

               

   

   

      

    

11) Considere os números A, B e C a seguir.

25 4 3

A  log 27 log 5 log   2

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

 ^{n n} 

n n

B  log log n (n é natural maior que 2)

log c log a log b

a b c

C b c a

     

                ^{a, b, c}  ^{ *} _

A correta relação de ordem entre os números A, B e C é

a) A   B C b) B   A C c) B   C A d) C   A B RESOLUÇÃO: b

2

3

1 2

25 4 3 5 2 3

5 2 3

A log 27 log 5 log 2 log 3 log 5 log 2

3 1 1 3 log 3 log 5 log 2 3

log 3 log 5 log 2 .

2 2 2 8 log 5 log 2 log 3 8

      

      

 ^{n n}   ⁿ

 ^{ 2 }

n n n n n 2 n n

B log log n l og log n l og 1 log n log n 2 n

  

       

 

log c log a log b log c log a log b

log c log b log a log c log b log a log c log a log b

a b c a b c

C a b c

b c a b c a

  

     

                    

 

     

log c log b log a log c log b log a log c log b log a log c log b log a

log C log a b c

log a log b log c

log c log b log a log a log c log b log b log a log c 0

  

  

   

   

      

C 10 0 1

  

2 3 1 B A C

      8

12) Seja f :  uma função definida por   2

x 3, se x 2

f x x .

x, se x 2 4

 

 

     Analise as proposições a seguir e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA).

( ) A função f é injetora.

( )   x , a função f é crescente.

( ) A função f ^{ 1} , inversa de f, é dada por f ^{ 1} :  , tal que

 

1 x 3, se x 1

f x .

4x 4 2, se x 1

      

   



A sequência correta é

a) F – V – V b) V – V – V c) F – V – F d) V – F – V RESOLUÇÃO: b

A função f : ₁   , 2   , definida por _{f 1}   _{x   x 3} é estritamente crescente e tem

imagem ^Im _f

^{  }  ^{, 1 .} 

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

A função f : 2, ₂     , definida por ₂   x ²

f x x

 4  tem vértice em x _V ¹ 2, 2 1

4

 

 então ela é estritamente crescente e sua imagem é  

f

Im    1, .

Portanto, f é estritamente crescente, o que implica que ela é injetora. Além disso, a imagem de f é Im _f         , 1   1, 

Vamos calcular a inversa de f : ₁   , 2      , 1 ,  dada por _{f 1}   _{x   x 3.}

  ^{ }

1 1

1 1

y    x 3 f ^ y     x y 3 f ^ x   x 3, x   1

Vamos calcular a inversa de f : 2, ₂        1,  , dada por ₂   x ²

f x x.

 4 

  ² ₂  

2

4 16 4 1 4y

y f x x x x 4x 4y 0 x 2 2 y 1

4 2

    

           

Como

 

2 2

f f

D  Im

 2,  , então ^f ₂ ^{ 1}   ^{y   2 2 y 1   f} ₂ ^{ 1   x   2 2 x 1,  para}

x   1.

Logo, a inversa de f é _f ¹   _x ^{x 3, se x 1} _. 4x 4 2, se x 1

    

       Portanto, todas as afirmações são verdadeiras.

13) No círculo de centro O a seguir, OA  2 m, M é o ponto médio de OP e a área y do triângulo retângulo ONM é dada em função do comprimento x do arco AP, com

0 x .

2

  

Assim sendo, é correto afirmar que y a) é decrescente se x , .

4 2

   

   

b) assume valor máximo 0,125 m . ²

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

c) pode assumir valor igual a ² m . ² 2 d) pode ser um número racional.

RESOLUÇÃO: d x  OA     x 2

O ponto M é médio de OP, então OM 1.  No triângulo retângulo OMN, temos MN sen MN sen

OM      e ^ON cos ON cos .

OM      A área y do triângulo OMN

é ON MN cos sen 2sen cos sen 2

y .

2 2 4 4

     

   

Assim, y pode ser escrita em função de x, como y ^{sen x} .

 4

a) INCORRETA, pois a função seno cresce nesse intervalo.

b) INCORRETA, pois a imagem de y é Im _y 0, ¹ 4

 

     e o supremo de y é 1 ² 0, 25 m .

4 

c) INCORRETA, pois sen x 2

y sen x 2 2 1.

4 2

    

d) CORRETA, pois se x , 6

  então

sen 1 6 2 1

y .

4 4 8



   

14) A figura a seguir é um pentágono regular de lado 2 cm.

Os triângulos DBC e BCP são semelhantes.

A medida de AC, uma das diagonais do pentágono regular, em cm, é igual a a) 1  5 b)   1 5 c) 2 ⁵

 2 d) 2 5 1 

RESOLUÇÃO: a

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

O pentágono regular divide a circunferência em 5 arcos iguais de ³⁶⁰ 72 . 5

   Sabendo que a medida de um ângulo inscrito é metade da medida do arco por ele determinado, podemos identificar os ângulos da figura.

No triângulo ABP, temos ABP ˆ  APB ˆ   72 , então o triângulo é isósceles e AP  AB  2.

Todas as diagonais do pentágono regular são iguais, pois são cordas que determinam arcos de 2 72    144 . 

Sejam AC  BD  x e, como ABC   BPC, temos:

x 2 2

x 2x 4 0 x 1 5

2  x 2       



Como x  0, então x  AC 1   5 cm.

Alternativamente, poderia ter sido usado o teorema de Ptolomeu diretamente no quadrilátero inscritível ABCD. Assim,

AB CD AD BC     AC BD         2 2 x 2 x x x 2  2x   4 0.

15) Considere o sólido geométrico obtido pela rotação de 360 do triângulo ABC em torno da reta que passa por C e é paralela ao lado AB. Sabe-se que este triângulo é isósceles, com AC  BC  R 2 m, AB  2R m (sendo R uma constante real não nula), e que o volume do sólido obtido é V   4 3 m . ³ A medida R, em metros, é igual a a) ⁶ 3 b) ³ 3 c) ³ 9 d) 3

RESOLUÇÃO: d

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

Inicialmente, observemos que AC ²  BC ²   R 2   ²  R 2  ²  4R ²  AB , ² então o triângulo ABC é retângulo e AB

CM R

 2  é a mediana relativa à hipotenusa e, portanto, igual à metade da hipotenusa.

O sólido obtido pela rotação do triângulo ABC em torno do eixo OO ' AB é um cilindro de revolução de raio OB  R e altura AB  2R, menos dois cones de raio

OB  R e alturas OC  O'C  R. Assim, temos:

2 2 3

cilindro cone 3

1 4

V V 2 V R 2R 2 R R R 4 3

3 3

R 3 3 R 3 m

             

   

16) Na tabela a seguir estão relacionados os salários de todos os funcionários das classes A, B e C de uma empresa cuja média salarial é R$1.680, 00.

Se a mediana para a distribuição de frequências obtida acima é m, então a soma dos algarismos de m é igual a

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18

RESOLUÇÃO: b

Os pontos médios das classes A, B e C são 1200, 1800 e 2400, respectivamente.

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

A média dos salários é dada por

 

1200 20 1800 x 2400 10

1680 1800x 48000 1680 30 x 20 x 10

120x 2400 x 20

    

     

 

   

Para dados estão agrupados em intervalos de classe, o cálculo da mediana é feito por interpolação, de acordo com a seguinte fórmula:

ant Me

n F

Me 2 h

f

    , onde é o limite

inferior do intervalo de classe da mediana, n é o número total de observações, F _ant é a frequência acumulada da classe anterior à da mediana, f _Me é a frequência simples da classe da mediana e h é a amplitude da classe da mediana. Assim, a mediana é

50 20

m 1500 2 600 1650,

20

     cuja soma dos algarismos é 1 6 5 0 12.    

FIM RESOL