Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

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QUESTÕES DE GEOMETRIA ANALÍTICA ENUNCIADOS

1) (AFA 1989) A circunferência com centro   1, 2 e tangente à reta x    y 3 0, tem equação:

a) x ²  y ²  4x 2y 3    0 b) x ²  y ²  2x 4y 3    0 c) x ²  y ²  2x 4y 7    0 d) x ²  y ²  4x 2y 7    0 2) (AFA 1989) A equação reduzida

2 2

x y

9  4 k  1,

 onde k é um número real e k   4, representa uma:

a) parábola, se 0   k 4. b) hipérbole, se k   4.

c) circunferência, se k  4. d) elipse, se k  0.

3) (AFA 1990) A equação da elipse de centro C   2,1 ,  de excentricidade ³

5 e de eixo maior horizontal com comprimento 20 é:

a)  x 2  ²  y 1  ²

100 64 1

 

  b)  x 2  ²  y 1  ²

100 64 1

 

 

c)  x 2  ²  y 1  ²

100 64 1



   d)  x 2  ²  y 1  ²

100 64 1



  

4) (AFA 1994) A equação da elipse que, num sistema de eixos ortogonais, tem focos

 

F 1  3, 0 e F 3, 0 ₂   e passa pelo ponto 5

P , 2 3 , 2

 

 

  é:

a)

2 2

x y

36  25  1 b)

2 2

x y

16  25  1 c)

2 2

x y

25  36  1 d)

2 2

x y

25  16  1

5) (AFA 1994) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, considere P a ₁ circunferência de equação 2x ²  2y ²  11x 6y 8    0. Então, a equação da circunferência que é tangente ao eixo das abscissas e com o mesmo centro de P , é dada ₁ por:

a) x ^{2 3} x y ^{2 11} y ⁴

2 4 9

    b) x ^{2 11} x y ² 3y ¹²¹ 0

2 16

     c) x ^{2 11} x y ^{2 3} y ⁹

4 2 4

    d) 2x ² 2y ² 11x 6y ¹ 0

     8

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6) (AFA 1996) Determine os pontos A na reta   r 2x   y 0 e B na reta

  _{s x    y 2 0} tal que P 2,1 seja ponto médio de AB.  

a) A 0, 0 e   B 4, 2   b) A 0, 0 e   B    2, 4 

c) A   2, 4  e B 2, 0   d) A   1, 2  e B 4, 2  

7) (AFA 1996) Uma reta, que passa pelo primeiro quadrante, intercepta os eixos cartesianos nos pontos A k, 0   e B 0, k , determinando o triângulo OAB com 8  

unidades de área. Então, a equação geral dessa reta pode ser escrita por:

a) x    y 4 0 b) x    y 4 0 c) x    y 4 0 d) x   y 2 2  0

8) (AFA 1996) Dada a circunferência x ²  y ²  8x 4y 5    0 e os pontos ^D   ^{1, 2}  e

 

E 8,5 , pode-se afirmar que DE a) é um diâmetro da circunferência.

b) não intercepta a circunferência.

c) intercepta a circunferência em um único ponto.

d) é uma corda da circunferência, mas não contém o centro.

9) (AFA 1996) Se A 10, 0   e B   5, y  são pontos de uma elipse cujos focos são

 

F 1  8, 0 e F 8, 0 , ₂   então o perímetro do triângulo BF F mede: _{1 2}

a) 24 b) 26 c) 36 d) 38

10) (AFA 1997) Qual das equações abaixo representa a circunferência inscrita no triângulo de vértices A 3,5 ,   B 9,5 e   C 3,11 ?  

a) x ²  y ²    9 3 2 x    11 3 2 y 54 36 2      0 b) x ²  y ²    9 3 2 x    11 3 2 y 54 36 2      0 c) x ²  y ²   18 6 2 x     22 6 2 y 184 84 2      0 d) x ²  y ²   18 6 2 x     22 6 2 y 184 84 2      0

11) (AFA 1997) O valor numérico do raio da circunferência que intersecta a parábola x 2  2x 4y 1 0    no eixo das abscissas, e tem seu centro no foco da mesma é:

a) 1 b) ³

2 c) ⁵

2 d) 2

12) (AFA 1997) A área da circunferência que circunscreve o triângulo determinado pelas retas   ^{r y} ₁ ^{ 2x 1, }   ^r ₂ ^{2y x 12    0 e}   ^r ₃ ^{y 1  é:}

a) 9 b) 18 c) 25 d) 36

13) (AFA 1998) A reta (s), simétrica de   _{r x    y 1 0} em relação à reta

  _{t 2x    y 4 0,}

a) passa pela origem.

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b) forma um ângulo de 60 com (r).

c) tem ¹

 5 como coeficiente angular.

d) é paralela à reta de equação 7y x    7 0.

14) (AFA 1998) O lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano que, juntamente com os pontos ^A  ^{ 3,5}  ^e B 3,5 ,   determina triângulos com perímetro 2p  16 cm uma

a) elipse. b) parábola. c) hipérbole. d) circunferência.

15) (AFA 1998) A área da intersecção das regiões do plano cartesiano limitada por

  ²

x 2  y 4   25 e x

y 4 1

3

 

      é a) ⁹

2

 b) ¹⁷ 2

 c) ²⁵ 2

 d) ³¹ 2



16) (AFA 1999) A equação reduzida da cônica, representada no gráfico abaixo, é

a)

2 2

(x 4) (y 3)

9 16 1

 

  . b)

2 2

(x 5) (y 1)

9 16 1

 

  .

c)

2 2

(x 1) (y 5)

16 9 1

    . d)

2 2

(x 1) (y 5)

9 16 1

    .

17) (AFA 1999) A distância entre o ponto de interseção das retas r : 2x 3y 4    0 e

x t 2

s : , t

y 2t 1

  

   

 e a reta q : y ¹ x ¹

2 8

  é a) 4 5 . b) ^{3 7}

20 . c) ^{3 5}

10 . d) ^{5 7}

4 .

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18) (AFA 2000) O parâmetro da parábola, que passa pelo ponto P 6, 2   e cujo vértice

 

V 3, 0 é o seu ponto de tangência com o eixo das abscissas, é a) ⁹

5 b) ⁹

4 c) 3 d) ⁹ 2

19) (AFA 2000) A excentricidade da elipse que tem centro na origem, focos em um dos eixos coordenados e que passa pelos pontos ^{A 3, 2 e}   B 1, 4   é

a) ²

3 b) ³

3 c) ²

2 d) ³ 2

20) (AFA 2000) Os pontos P a, b e   Q 1, 1    são interseção das circunferências  e

 , com centros C

  2, y  e C

 b, a 1 ,   respectivamente. Sendo C C

perpendicular a PQ que, por sua vez, é paralelo ao eixo das ordenadas, a equação geral de  é

a) x ²  y ²  8x 4y 2    0 b) x ²  y ²  4x 4y 10    0 c) x ²  y ²  10x 2y 6    0 d) x ²  y ²  10x 4y 4    0

21) (AFA 2000) A área do polígono que tem como vértices os extremos dos eixos maior e menor da elipse 4x ²  y ²  24x 6y 41 0,    é

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

22) (AFA 2001) As diagonais de um losango estão contidas nas retas

  _r  _{3m 1 x }  _  _{m 2 y }  _{ 0} e   _{t x }  _{m 1 y m 2 }  _{   0} . É correto afirmar que os possíveis valores de m

a) têm soma igual a 2 . b) têm produto igual a 3 . c) pertencem ao intervalo  ^{ 3,3}  ^. d) têm sinais opostos.

23) (AFA 2001) A equação reduzida da hipérbole, cujos focos são os extremos do eixo menor da elipse de equação 16x ²  25y ²  625, e cuja excentricidade é igual ao inverso da excentricidade da elipse dada, é

a) 16y ²  9x ²  144 b) 9y ²  16x ²  144 c) 9x ²  16y ²  144 d) 16x ²  9y ²  144 24) (AFA 2001) Na figura abaixo F e ₁ F são focos da elipse ₂

2 2

x y

25  9  1. O ponto C, de coordenadas 3

0, , 2

 

 

  pertence ao segmento MN. Os segmentos AC, CB e MN são,

respectivamente, paralelos aos segmentos F P, ₁ PF e ₂ F F . A área da figura _{1 2}

sombreada, em unidades de área, é

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a) 3 b) 6 c) 9 d) 12

25) (AFA 2002) A equação y   3 4   x 1   ² representa:

a) elipse de eixo maior igual a 2.

b) parábola de vértice V 1,3   e parâmetro p ¹ .

 2 c) hipérbole de eixo real vertical e centro C 1,3 .  

d) semicircunferência de centro C 1,3   e raio r  2.

26) (AFA 2002) Dada a equação ax ²  by ²  c, onde a, b e c são reais NÃO nulos, é correto afirmar que, necessariamente, sua representação gráfica é uma

a) circunferência, se a  b.

b) hipérbole, se a   b e c  b.

c) elipse de centro na origem, se a  b e c 1.  d) circunferência, se a  b e c  0.

27) (AFA 2003) A circunferência de equação x ²  y ²  8x 8y 16    0 e centro C é tangente ao eixo das abscissas no ponto A e é tangente ao eixo das ordenadas no ponto B. A área do triângulo ABC vale:

a) 4 b) 8 c) 12 d) 16

28) (AFA 2003) Dadas as retas de equações r y   ax  b e r ₁   y a x ₁  b . ₁ Determine a relação entre a, a , b e ₁ b que está correta. ₁

a) Se a  a ₁ e b  b ₁ tem-se r r . ₁

b) Se a  a ₁ e b  b ₁ tem-se r  r . ₁

c) Se a  a ₁ pode-se ter r  r . ₁

d) Se a  a ₁ e b  b ₁ tem-se r r . ₁

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29) (AFA 2004) Os pontos A 0, 0 e   B 3, 0 são vértices consecutivos de um  

paralelogramo ABCD situado no primeiro quadrante. O lado AD é perpendicular à reta y   2x e o ponto D pertence à circunferência de centro na origem e raio 5. Então, a diagonal AC mede

a) 38 b) 37 c) 34 d) 26

30) (AFA 2004) Com relação ao conjunto de pontos P x, y   equidistantes da reta y  3 e da origem do sistema cartesiano ortogonal, é INCORRETO afirmar que é uma curva a) representada por x ²  6y 9   0.

b) cujas coordenadas do vértice têm soma igual a 1, 5.

c) que representa uma função par.

d) cujo parâmetro é igual a 3.

31) (AFA 2005) Considere duas circunferências de mesmo raio, sendo

2 2

x  y  4x 8y 4    0 a equação da primeira e C ₂  4, 2 ,  o centro da segunda. Se a reta s contém uma corda comum a ambas as circunferências, é FALSO que s

a) é perpendicular à bissetriz dos quadrantes pares.

b) tem declividade positiva.

c) admite equação na forma segmentária.

d) tem coeficiente linear nulo.

32) (AFA 2005) Analise as proposições abaixo, classificando-as em (V) verdadeiras ou (F) falsas.

  Considere a circunferência  e a hipérbole 2y ²  x ²  8 tendo mesmo centro. Se

 passa pelos focos da hipérbole, uma de suas equações é x ²  y ²  12.

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  Numa hipérbole equilátera, uma das assíntotas tem coeficiente angular igual a 2 .

2

  A excentricidade da elipse x ²  4y ²  4 é igual a ³ . 2 Tem-se a sequência

a) V, F, V b) F, F, V c) F, V, F d) V, V, F

33) (AFA 2006) Considerando no plano cartesiano ortogonal as retas r, s e t, tais que

  x 2v 3

r ,

y 3v 2

 

   

   s mx    y m 0 e   t x  0, analise as proposições abaixo, classificando-as em (V) verdadeira(s) ou (F) falsa(s).

  ^{  m | r  s}

  ^{  m | s  t}

  ^{Se m  0,} as retas r, s e t determinam um triângulo retângulo.

  As retas r e s poderão ser retas suportes de lados opostos de um paralelogramo se m   1,5.

A sequência correta é

a) F – V – F – F b) V – V – V – F c) V – F – F – V d) F – V – V – V

34) (AFA 2006) Considere o sistema cartesiano ortogonal e as opções abaixo. Marque a FALSA.

a) A medida de um dos eixos da elipse de equação x ²  4y ²  1 é a quarta parte do outro.

b) As retas da equação y  mx representam as assíntotas da curva

2 2

x y

16  25  1 se, e somente se, m ⁵ .

 4

c) As circunferências x ²  y ²  2x  0 e x ²  y ²  4x  0 são tangentes exteriormente.

d) A equação x  y ²  0 representa uma parábola cuja reta diretriz não tem coeficiente angular definido.

35) (AFA 2007) No plano cartesiano, a figura abaixo representa duas circunferências

concêntricas  ₁ e  ₂ , cujo centro é o ponto C. Sabe-se que  ₁ é contorno de um

círculo representado pela equação  ^{x 1}   ²   ^{y 2}   ²  ⁴ e que AB, que mede 8 cm, é

corda da circunferência maior  ₂ , paralela ao eixo das ordenadas. Considerando

também que AB é tangente a  ₁ , classifique em (V) verdadeira e (F) falsa, cada

proposição a seguir.

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  ^ ₁ é tangente ao eixo das abscissas.

  A soma das coordenadas de A e B é um número maior que 5.

  A região sombreada é representada por

  ²   ²

x 3

.

x 1 y 2 20

 

    



  ^{A reta   t x 1 t} t

y 2

  

  

 é perpendicular à reta que passa pelos pontos A e C.

A sequência correta é

a) V – F – V – V b) V – V – F – F c) V – F – F – V d) F – V – V – F

36) (AFA 2007) Classifique em VERDADEIRO ou FALSO cada item a seguir.

(2) A parábola cuja equação é x ²  4y  0 tem diretriz representada pela reta y 1 0   e foco coincidente com o baricentro do triângulo ABC, onde A é a origem do sistema cartesiano, ^{B 2,3 e}   C   2, 0 . 

(3) O conjunto de pontos representados pela equação x ²  y ²    x y 0 é uma hipérbole equilátera que NÃO tem centro na origem do sistema cartesiano.

(8) Na elipse 16x ²  64y ²  1 a medida do eixo vertical é 50% da medida do eixo horizontal.

(16) Existem apenas 4 números inteiros entre os valores de k, para os quais o vértice da parábola y ²  4x 1  é ponto exterior à circunferência x ²  y ²  2x  4y k   0.

A soma dos itens VERDADEIROS é um número no intervalo a)  22,30  b)  10,16  c)  16, 22  d)  2,10 

37) (AFA 2008) A circunferência    x ²  y ²  2x 2y k    0 passa pelo ponto

 

A 0,1 . Sabendo-se que o ponto P de    mais próximo da origem coincide com o

baricentro do triângulo MNQ, onde ^{M 0, k ,}   N 2k, 0   e ^{Q x , y}  _{0 0}  é correto afirmar

que a área do triângulo MNQ é um número do intervalo

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a) 3 1, 2

 

 

  b) 5 2, 2

 

 

  c) 5

2 , 3

 

 

  d) 3

2 , 2

 

 

 

38) (AFA 2008) Classifique em (V) verdadeira ou (F) falsa cada afirmativa abaixo sobre o ponto P x, y   no plano cartesiano.

  Se o ponto P pertence simultaneamente à bissetrizes dos quadrantes ímpares e dos quadrantes pares, então o ponto simétrico de P em relação à reta _{y  k k}  _ ^*  tem a soma das coordenadas igual a 2k.

  ^Sendo   x, y  , então existem apenas dois pontos P x, y   que atendem à condições

2

x 0 . y 3y x

 

  

  Os pontos  P x, y   tais que a sua distância ao eixo das abscissas é igual à metade da distância de P ao ponto Q 0, 6 formam uma hipérbole de excentricidade igual a 2.  

Sobre as afirmativas, tem-se

a) apenas duas falsas. b) todas falsas.

c) apenas uma falsa. d) todas verdadeiras.

39) (AFA 2008) Considere as curvas, dadas pelas equações (I) 16x ²  4y ²  128x 24y 228    0

(II) y   7 x

(III) y ²  6y x 5    0

Analise cada afirmação a seguir, classificando-a em VERDADEIRA ou FALSA.

(01) O gráfico de (I) é representado por uma elipse, de (II) por duas retas e de (III) por uma parábola.

(02) O centro de (I) é um ponto de (II) e coincide com o vértice de (III).

(04) A soma das coordenadas do foco de (III) é um número menor que 1.  (08) A excentricidade de (I) é igual cos .

6



A soma dos itens verdadeiros é um número do intervalo a)  8,11  b)   4, 7 c)  12,15  d)   1,3 40) (AFA 2009) Sobre as retas    _r 1 k x 10y 3k      0 e  

  x 2 t

s y 1 1 k t

  

    

 onde

k, t  , pode-se afirmar que

a) poderão ser paralelas coincidentes para algum valor de k.

b) se forem paralelas, não terão equação na forma reduzida.

c) sempre poderão ser representadas na forma segmentária.

d) nunca serão perpendiculares entre si.

41) (AFA 2009) Os vértices de um triângulo ABC são os centros das circunferências:

  ^ ₁ ^{x 2  y 2  2x  4y 1 0  }

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  ^ ₂ ^{4x 2  4y 2  12x 8y 15    0}

  ^ ₃ ^{ x 7   2 }  ^{y 3 }  ^{2  8}

O tetraedro cuja base é o triângulo ABC e cuja altura, em metros, é igual à média aritmética dos quadrados dos raios das circunferências acima, também em metros, possui volume, em m , igual a ³

a) ²¹

2 b) ⁴⁹

4 c) ⁴⁹

2 d) ²¹ 4

42) (AFA 2009) Suponha um terreno retangular com medidas de 18 m de largura por 30 m de comprimento, como na figura abaixo.

Um jardineiro deseja construir nesse terreno um jardim elíptico que tenha os dois eixos (paralelos aos lados do retângulo) com o maior comprimento possível. Ele escolhe dois pontos fixos P e Q, onde fixará a corda que vai auxiliar no traçado.

Nesse jardim, o jardineiro pretende deixar para o plantio de rosas uma região limitada por uma hipérbole que possui:

• eixo real com extremidades em P e Q; e

• excentricidade e ⁵ .

 4

Considerando o ponto A coincidente com a origem do plano cartesiano e a elipse tangente aos eixos coordenados, no primeiro quadrante, julgue as afirmativas abaixo.

(01) O centro da elipse estará a uma distância de 3 34 m do ponto A.

(02) Para fazer o traçado da elipse o jardineiro precisará de menos de 24 m de corda.

(04) O número que representa a medida do eixo real da hipérbole, em metros, é múltiplo de 5.

(08) Um dos focos dessa hipérbole estará sobre um dos eixos coordenados.

A soma dos itens verdadeiros pertence ao intervalo

a)  7,11  b)   5, 7 c)   1,5 d)  11,15 

43) (AFA 2010) Considere as circunferências dadas pela equação

1

x y

b

  ( b  0 ).

A circunferência que circunscreve um quadrado de área igual a 1250 é tal que b pertence ao intervalo

a) 1 0, 30

 

 

  b) 1 1

30 28 ,

 

 

  c) 1 1

28 26 ,

 

 

  d) 1 1

26 24 ,

 

 

 

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44) (AFA 2010) Considere a reta r simétrica da reta   _{s 2x    y 2 0} em relação a reta

  _{t x 3y 2    0} . Com base nisso, marque a alternativa verdadeira.

a) Se ¹⁰ y 0

 3   então r    t . b)  P (x, y)  r tal que x  0 e y  0 . c) Na reta r , se x ⁸

 7 então y ²

  7 . d)  P (x, y)  r tal que x  0 e y ¹⁰

  3 .

45) (AFA 2011) Um quadrado de 9 cm

de área tem vértices consecutivos sobre a bissetriz dos quadrantes pares do plano cartesiano. Se os demais vértices estão sobre a reta r , que não possui pontos do 3 quadrante, é INCORRETO afirmar que a reta r a) pode ser escrita na forma segmentária.

b) possui o ponto P   2, 2 2  . c) tem coeficiente linear igual a 3 2 .

d) é perpendicular à reta de equação 2x  2y  0 .

46) (AFA 2012) Considere no plano cartesiano as retas

x 2t

r : 1

y 3t 2

 

   

 e

  ^k

s : k 1 x y 0

    2 , onde k  . Sobre as retas r e s é correto afirmar que NUNCA serão

a) concorrentes perpendiculares. b) concorrentes oblíquas.

c) paralelas distintas. d) paralelas coincidentes.

47) (AFA 2012) No plano cartesiano, a circunferência  de equação

2 2

x  y  6x 10y k    0 , com k  , determina no eixo das ordenadas uma corda de comprimento  8 . Dessa forma, é correto afirmar que

a)  é tangente ao eixo Ox . b) o raio de  é igual a k . c) P k, 1     . d)  é secante à reta x  k .

48) (AFA 2013) 9) Sejam a e b dois números reais positivos. As retas r e s se interceptam no ponto  a, b  . Se a

, 0 r 2

 

 

  e b

0, s

2

 

 

  , então uma equação para a reta t , que passa por  0, 0  e tem a tangente do ângulo agudo formado entre r e s como coeficiente angular, é

a) _{3abx }  _2a ² _{ b} ²  _{y  0 b) 3bx  b a}  ² _{ b} ²  _{y  0}

c) _{3ax a a }  ² _{ b} ²  _{y  0 d) 3abx 2 a }  ² _{ b} ²  _{y  0}

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49) (AFA 2013) Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse de equação x ²  9y ²  8x 54y 88    0 é correto afirmar que

a) tem raio igual a 1 .

b) tangencia o eixo das abscissas.

c) é secante ao eixo das ordenadas.

d) intercepta a reta de equação 4x   y 0 .

50) (AFA 2014) A circunferência  é tangente à reta r : y ³ x

 4 e também é tangente ao eixo das abscissas no ponto de abscissa 6 . Dentre as equações abaixo, a que representa uma parábola que contém a origem do plano cartesiano e o centro de  é

a) ^{12 y x}  ^  ^{ x}

^{ 0 b) 3y}

 ^{12y 2x}   ⁰ c) 2y

 3x  0 d) 12y  x

 0

51) (AFA 2015) Considerando a circunferência de equação  : x

 y

 2x  4y 4   0 , é correto afirmar que

a)  é concêntrica com  ^{: x 1}   

  ^{y 2}  

 ¹ . b) o ponto O 0, 0 é exterior a    .

c) a reta r : x    y 3 0 é tangente a  .

d)  é simétrica da circunferência  ^{: x 1}   

  ^{y 2}  

 ⁹ , em relação ao ponto

 

O 0, 0 .

52) (AFA 2015) Considere no plano cartesiano um triângulo equilátero ABC em que:

 os vértices B , de abscissa positiva, e C , de abscissa negativa, estão sobre o eixo OX ;

 possui baricentro no ponto 3 G 0, 3

 

 

 

Considere também, nesse mesmo plano cartesiano, a circunferência 

inscrita e a circunferência 

circunscrita ao triângulo ABC .

Analise as proposições abaixo e escreva (V) para verdadeira e (F) para falsa.

  ^{A reta r} , suporte do lado AB , passa pelo ponto  ^{ 1, b}  ^{, em que} b é o dobro do oposto do coeficiente angular de r .

  O círculo delimitado por 

contém o ponto 1 2 , 3

  

 

  .

  O ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares de abscissa ³

3 pertence a 

. A sequência correta é

a) V – F – V b) F – F – V c) V – F – F d) F – V – F

53) (AFA 2016) Considere os pontos A 4, 2    , B 2, 0 e todos os pontos   P x, y   ,

sendo x e y números reais, tais que os segmentos PA e PB são catetos de um mesmo

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triângulo retângulo. É correto afirmar que, no plano cartesiano, os pontos P x, y   são tais que

a) são equidistantes de C 2, 1    . b) o maior valor de x é 3  2 . c) o menor valor de y é  3 . d) x pode ser nulo.

54) (AFA 2016) Analise as proposições abaixo e escreva V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).

I) ( ) A distância entre o vértice e o foco da parábola y ²  4x 4   0 é igual a 1 unidade de comprimento.

II) ( ) Numa hipérbole equilátera, as assíntotas são perpendiculares entre si.

III) ( ) A equação 2x ²  y ²  4x 4y 4    0 representa uma elipse que tem um dos focos no ponto P 1, 4 .  

A sequência correta é

a) F – F – V b) V – F – V c) F – V – F d) V – V – F

56) (AFA 2017) Seja  : 3x

 3y

 6x 12y k    0, uma circunferência que no plano cartesiano tem interseção vazia com os eixos coordenados. Considerando k  , é correto afirmar que

a) k k

P ,

3 3

 

 

  é interior a  .

b) existem apenas dois valores inteiros para k.

c) a reta r : x  k intersecta  .

d) se c é o comprimento de  , então c   2 unidades de comprimento.

57) (AFA 2018) Considere no plano cartesiano as retas r e s dadas pelas equações:

r : 3x 3py p    0 e s : px 9y 3    0, onde p  . Baseado nessas informações, marque a alternativa incorreta.

a) r e s são retas concorrentes se p  3.

b) Existe um valor de p para o qual r é equação do eixo das ordenadas e s é perpendicular a r.

c) r e s são paralelas distintas para dois valores reais de p.

d) r e s são retas coincidentes para algum valor de p.

58) (AFA 2018) Considere no plano cartesiano a circunferência  tangente à bissetriz dos quadrantes ímpares no ponto A 1,1 . Sabendo que a reta   t : x    y 4 0 tangencia

 no ponto B, marque a opção correta.

a) A soma das coordenadas de B é igual a 3.

b) P   1, 2  é exterior a . 

c) O ponto de  mais próximo da origem é Q 0, 2   2 . 

d) A bissetriz dos quadrantes pares é exterior a . 

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59) (AFA 2018) No plano cartesiano, os pontos P x, y   satisfazem a equação

 x 1  ²  y 2  ²

25 9 1

    da curva  . Se F e ₁ F são os focos de ₂  , tais que a abascissa de F é menor que a abscissa de ₁ F , ₂ é incorreto afirmar que:

a) a soma das distância de P a F e de P a ₁ F é igual a 10. ₂ b) F coincide com o centro da curva ₁ x ²  y ²  6x 4y   0.

c) F é exterior a ₂ x ²  y ²  25.

d) o ponto de abscissa máxima de  pertence à reta y   x 8.

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RESPOSTAS 1) b (Geometria analítica – circunferência)

2) b (Geometria analítica – cônicas) 3) a (Geometria analítica – elipse) 4) d (Geometria analítica – cônicas) 5) b (Geometria analítica – circunferência) 6) a (Geometria analítica – ponto e reta) 7) b (Geometria analítica – reta)

8) d (Geometria analítica – circunferência) 9) c (Geometria analítica – elipse)

10) d (Geometria analítica – circunferência)

11) b (Geometria analítica – circunferência e parábola) 12) c (Geometria analítica – reta)

13) d (Geometria analítica – reta) 14) a (Geometria analítica – cônicas)

15) c (Geometria analítica – circunferência e reta) 16) d (Geometria analítica – elipse)

17) c (Geometria analítica – reta) 18) b (Geometria analítica – parábola) 19) b (Geometria analítica – elipse)

20) d (Geometria analítica – circunferência) 21) d (Geometria analítica – elipse)

22) d (Geometria analítica – reta)

23) a (Geometria analítica – elipse e hipérbole) 24) b (Geometria analítica – elipse)

25) d (Geometria analítica – circunferência) 26) b (Geometria analítica – cônicas) 27) b (Geometria analítica – circunferência) 28) a (Geometria analítica – reta)

29) d (Geometria analítica – circunferência e reta) 30) a (Geometria analítica – parábola)

31) c (Geometria analítica – circunferência e reta) 32) a (Geometria analítica – cônicas)

33) d (Geometria analítica – reta) 34) a (Geometria analítica – cônicas) 35) a (Geometria analítica – circunferência) 36) b (Geometria analítica – cônicas)

37) d (Geometria analítica – circunferência e reta) 38) c (Geometria analítica – cônicas)

39) a (Geometria analítica – cônicas) 40) d (Geometria analítica – reta)

41) b (Geometria analítica – circunferência) 42) a (Geometria analítica – cônicas) 43) d (Geometria analítica – circunferência) 44) c (Geometria analítica – reta)

45) b (Geometria analítica – reta) 46) d (Geometria analítica – reta)

47) a (Geometria analítica – circunferência)

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48) d (Geometria analítica – reta) 49) b (Geometria analítica – elipse)

50) b (Geometria analítica – circunferência) 51) d (Geometria analítica – circunferência) 52) a (Geometria analítica – circunferência e reta) 53) b (Geometria analítica – circunferência) 54) d (Geometria analítica – cônicas)

55) c (Geometria analítica – reta e Geometria Espacial) 56) b (Geometria analítica – circunferência)

57) d (Geometria analítica – retas)

58) c (Geometria analítica – circunferência)

59) b (Geometria analítica – cônicas)

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RESOLUÇÕES

1) (AFA 1989) A circunferência com centro   1, 2 e tangente à reta x    y 3 0, tem equação:

a) x ²  y ²  4x 2y 3    0 b) x ²  y ²  2x 4y 3    0 c) x ²  y ²  2x 4y 7    0 d) x ²  y ²  4x 2y 7    0 RESOLUÇÃO: b

Se a circunferência é tangente à reta t : x    y 3 0, então a ditância do centro O 1, 2  

da circunferência à essa reta é igual ao raio R da circunferência. Assim termos:

 

  ²

2

1 2 3 2

R d O, t 2.

1 1 2

     

 

A equação da circunferência é

 _{x 1 }  ² _  _{y 2 }  ² _   ₂ ² _{ x} ² _{ 2x 1 y  } ² _{ 4y 4    2 x} ² _{ y} ² _{ 2x  4y 3   0}

2) (AFA 1989) A equação reduzida

2 2

x y

9  4 k  1,

 onde k é um número real e k   4, representa uma:

a) parábola, se 0   k 4. b) hipérbole, se k   4.

c) circunferência, se k  4. d) elipse, se k  0.

RESOLUÇÃO: b

A equação representa uma circunferência, se 4 k     9 k 5.

A equação representa uma hipérbole, se 4 k      0 k 4.

A equação representa uma elipse, se 4 k      0 k 4 e k  5.

A equação nunca representa uma parábola.

3) (AFA 1990) A equação da elipse de centro C   2,1 ,  de excentricidade ³

5 e de eixo maior horizontal com comprimento 20 é:

a)  x 2  ²  y 1  ²

100 64 1

    b)  x 2  ²  y 1  ²

100 64 1

   

c)  x 2  ²  y 1  ²

100 64 1

    d)  x 2  ²  y 1  ²

100 64 1

   

RESOLUÇÃO: a

Inicialmente, observe que você pode identificar a alternativa correta apenas usando a informação do centro da elipse, porque a menos do centro todas as outras características das equações apresentadas são iguais.

Mesmo assim, vamos ver como identificar todas as características da equação.

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A elipse de centro  ^{x , y} _{0 0}  , de eixo maior horizontal com comprimento 2a e eixo menor vertical de comprimento 2b, com b  a, é  0   ² 0  ²

2 2

x x y y

1.

a b

 

 

Se a elipse tem excentricidade e ^c c ea,

   a então

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a  b  c  b  a  c  a  a e  a 1 e  . No caso do problema, temos:

2a  20   a 10

2 2

3 9

e b 10 1 64

5 25

 

        

 x , y 0 0    ^ 2,1 ^

Assim, a equação da elipse é  x   2  ²  y 1  ^{2 } x 2 ^{ 2}  y 1  ²

1 1.

100 64 100 64

 

       

4) (AFA 1994) A equação da elipse que, num sistema de eixos ortogonais, tem focos

 

F 1  3, 0 e F 3, 0 ₂   e passa pelo ponto 5

P , 2 3 , 2

 

 

  é:

a)

2 2

x y

36  25  1 b)

2 2

x y

16  25  1 c)

2 2

x y

25  36  1 d)

2 2

x y

25  16  1 RESOLUÇÃO: d

O centro da elipse é o ponto médio entre F ₁   3, 0  e F 3, 0 , ₂   ou seja, ^{O 0, 0 .}  

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O eixo focal da elipse é horizontal, então sua equação é da forma

2 2

2 2

x y

1,

a b

  onde a e b são os semi-eixos maior e menor, respectivamente.

Como os focos são F ₁   3, 0  e F 3, 0 , ₂   então a distância focal é 2c    6 c 3.

Sabemos que a soma das distâncias de um ponto da elipse aos focos é igual ao seu eixo maior 2a, então

   

2 2

2 2

1 2

5 5

2a PF PF 3 0 2 3 3 0 2 3

2 2

121 1 169 49 13 7

12 12 10

4 4 4 4 2 2

   

                   

        

a 5

 

Na elipse, vale a relação a ²  b ²  c . ² Assim, temos: 5 ²  b ²  3 ²   b 4 Logo, a equação da elipse é dada por

2 2 2 2

2 2

x y x y

1 1.

25 16 5  4    

5) (AFA 1994) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, considere P a ₁ circunferência de equação 2x ²  2y ²  11x 6y 8    0. Então, a equação da circunferência que é tangente ao eixo das abscissas e com o mesmo centro de P , é dada ₁ por:

a) x ^{2 3} x y ^{2 11} y ⁴

2 4 9

    b) x ^{2 11} x y ² 3y ¹²¹ 0

2 16

     c) x ^{2 11} x y ^{2 3} y ⁹

4 2 4

    d) 2x ² 2y ² 11x 6y ¹ 0

     8 RESOLUÇÃO: b

Vamos escrever a equação da circunferência na forma reduzida, a fim de identificar o seu centro.

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2x 2y 11x 6y 8 0 x 11 x y 3y 4 0

2

11 11 3 3 11 3

x 2 x y 2 y 4

4 4 2 2 4 2

11 3 221

x y

4 2 16

           

       

                           

   

            

Logo, a circunferência P tem centro _{1 1} 11 3

O ,

4 2

 

   

  e raio ²²¹ .

4

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Uma nova circunferência de mesmo centro que P e tangente ao eixo das abscissas deve ₁ ter raio igual a

O

3 3

y .

2 2

   Assim, sua equação será

2 2 2

2 2

2 2

11 3 3 11 121 9 9

x y x x y 3y

4 2 2 2 16 4 4

11 121

x x y 3y 0

2 16

                 

     

     

     

6) (AFA 1996) Determine os pontos A na reta   r 2x   y 0 e B na reta

  _{s x    y 2 0} tal que P 2,1 seja ponto médio de AB.  

a) A 0, 0 e   B 4, 2   b) A 0, 0 e   B    2, 4 

c) A   2, 4  e B 2, 0   d) A   1, 2  e B 4, 2  

RESOLUÇÃO: a

r : 2x      y 0 y 2x

Se A  r, então podemos escrever A na forma A a, 2a .    s : x       y 2 0 y x 2

Se B  s, então podemos escrever B na forma B b, b 2 .   

Como P 2,1 é ponto médio de   AB, então a b

2 a b 4 2

     e  2a   b 2 

1 2a b 4.

2

       

a b 4

a 0 b 4

2a b 4

  

   

  



Portanto, os pontos são ^{A 0, 0 e}   B 4, 2 .  

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7) (AFA 1996) Uma reta, que passa pelo primeiro quadrante, intercepta os eixos cartesianos nos pontos A k, 0   e B 0, k , determinando o triângulo OAB com 8  

unidades de área. Então, a equação geral dessa reta pode ser escrita por:

a) x    y 4 0 b) x    y 4 0 c) x    y 4 0 d) x   y 2 2  0 RESOLUÇÃO: b

Como a reta passa no primeiro quadrante, então k  0.

A área do triângulo OAB é S _OAB ^{k k} 8 k ² 16 k 4.

2

      

Usando a forma segmentária da equação da reta, temos: ^{x y} 1 x y 4 0.

4       4

8) (AFA 1996) Dada a circunferência x ²  y ²  8x 4y 5    0 e os pontos ^D  ^{ 1, 2}  ^e

 

E 8,5 , pode-se afirmar que DE a) é um diâmetro da circunferência.

b) não intercepta a circunferência.

c) intercepta a circunferência em um único ponto.

d) é uma corda da circunferência, mas não contém o centro.

RESOLUÇÃO: d

Inicialmente, vamos escrever a equação da circunferência na forma reduzida.

   

2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2

x y 8x 4y 5 0 x 2 4 x 4 y 2 2 y 2 5 4 2

x 4 y 2 5

                 

    

Logo, a circunferência tem centro O 4, 2 e raio R    5.

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 _{  1 4}  ² _{ }  _{2 2}  ² _{ 5} ⁵

 8 4   ²    5 2  ²  5 ²

Os pontos D   1, 2  e E 8,5   satisfazem a equação da circunferência, o que implica que DE é uma corda da circunferência.

O ponto médio de DE é M ^{1 8 2 5} , ^{7 7} ,  4, 2 , 

2 2 2 2

  

   

      

    o que implica que DE

não é um diâmetro e, portanto, não contém o centro.

9) (AFA 1996) Se A 10, 0   e B   5, y  são pontos de uma elipse cujos focos são

 

F 1  8, 0 e F 8, 0 , ₂   então o perímetro do triângulo BF F mede: _{1 2}

a) 24 b) 26 c) 36 d) 38

RESOLUÇÃO: c

Pela definição de elipse, devemos ter AF ₁  AF ₂  BF ₁  BF ₂  2a, onde 2a é o eixo maior da elipse.

    ^{2   2 2}

AF 1  10   8   0 0  18  18

  ²   ^{2 2} AF 2  10 8    0 0  2  2 Assim, BF ₁  BF ₂  AF ₁  AF ₂  18 2   20.

Como F F _{1 2}  16, então o perímetro do triângulo BF F _{1 2} é

1 2 1 2

2p  F F  BF  BF  16 20   36.

10) (AFA 1997) Qual das equações abaixo representa a circunferência inscrita no triângulo de vértices A 3,5 ,   B 9,5 e   C 3,11 ?  

a) x ²  y ²    9 3 2 x    11 3 2 y 54 36 2      0

b) x ²  y ²    9 3 2 x    11 3 2 y 54 36 2      0

c) x ²  y ²   18 6 2 x     22 6 2 y 184 84 2      0

d) x ²  y ²   18 6 2 x     22 6 2 y 184 84 2      0

RESOLUÇÃO: d

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

Dispondo os três vértices no plano cartesiano ortogonal, observa-se que o triângulo ABC é um triângulo retângulo de catetos AB  AC  6 e hipotenusa BC  6 2.

Sejam I o incentro (centro do círculo inscrito) e r o raio do círculo inscrito ao triângulo ABC.

Sabemos que em um triângulo retângulo o raio do círculo inscrito é igual ao semiperímetro menos a hipotenusa, então r p BC ^{6 6 6 2} 6 2 6 3 2.

2

        As coordenadas do incentro são:

 

I A

x  x     r 3 6 3 2   9 3 2

 

I A

y  y     r 5 6 3 2   11 3 2

Portanto, a equação da circunferência inscrita em ABC é

   

 

      ^{ }

   

2 2 2

I I

2

2 2

2 2

2 2

x x y y r

x 9 3 2 y 11 3 2 6 3 2

x 18x 6 2x 99 54 2 y 22y 6 2y 139 66 2 54 36 2

x y 18 6 2 x 22 6 2 y 184 84 2 0

    

       

           

        

11) (AFA 1997) O valor numérico do raio da circunferência que intersecta a parábola x 2  2x 4y 1 0    no eixo das abscissas, e tem seu centro no foco da mesma é:

a) 1 b) ³

2 c) ⁵

2 d) 2

RESOLUÇÃO: b

Vamos escrever a equação da parábola em sua forma reduzida.

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

  ²

2 2 1

x 2x 4y 1 0 x 2x 1 4y 2 x 1 4 y

2

 

              

 

A equação acima corresponde a uma parábola com eixo de simetria vertical, concavidade voltada para cima, vértice da parábola é 1

V 1, 2

 

      e o parâmetro é p 4 2.

  2

Como VF ^p 1

  2 e o foco está cima do vértice, então as coordenadas do foco são F 1, 1 .

2

 

  

 

Como o centro da circunferência coincide com o foco da parábola, então ele é o ponto 1, 1 .

2

 

 

 

Assim, a equação reduzida da circunferência é  _{x 1}  ² _y ^{1 2} _{r .} ² 2

 

       

A interseção da circunferência com a parábola ocorre em um ponto da forma   a, 0 , então

parábola:   ² 1   ²

a 1 4 0 a 1 2

2

 

         

circunferência:  a 1  ² 0 ^{1 2} r ² r ² 2 ^{1 9} r ³

2 4 4 2

 

             

12) (AFA 1997) A área da circunferência que circunscreve o triângulo determinado pelas retas   r y 1  2x 1,    r 2 2y x 12    0 e   r 3 y 1  é:

a) 9 b) 18 c) 25 d) 36

RESOLUÇÃO: c

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

O coeficiente angular de   ^r ₂ ^{2y x 12 0 y x 6}

       2 é m ₂ ¹ ,

  2 e o coeficiente angular de   ^{r y} ₁ ^{ 2x 1  é m} ₁ ^{ 2. Como m m} ₁ ^ ₂ ^{  1,} as retas   ^{r e} ₁   ^r ₂ ^são

perpendiculares, o que implica que o triângulo ABC da figura é retângulo em A.

Se o triângulo ABC é retângulo em A, a sua hipotenusa BC é diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Vamos identificar as coordenadas dos vértices B e C para calcular a medida da hipotenusa BC.

  ₁   ₃

B  r  r : 2x 1 1       x 0 B   0,1

  ₂   ₃

C  r  r : ^x 6 1 x 10 C  10,1 

     2   BC 10

 

Logo, o raio R da circunferência circunscrita é R ^{BC 10} 5

2 2

   e sua área é

2 2

S   R   5   25 unidades de área.

13) (AFA 1998) A reta (s), simétrica de   _{r x    y 1 0} em relação à reta

  _{t 2x    y 4 0,} a) passa pela origem.

b) forma um ângulo de 60 com (r).

c) tem ¹

 5 como coeficiente angular.

d) é paralela à reta de equação 7y x    7 0.

RESOLUÇÃO: d

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

Vamos inicialmente identificar as coordenadas do ponto A, interseção de

  _{r x    y 1 0} e   _{t 2x    y 4 0.}

  _{r x}       _{y 1 0 y x 1}

  _{t 2x}        _{y 4 0 y 2x 4}

5 2 5 2

x 1 2x 4 x y A ,

3 3 3 3

 

               

 

O ponto B, interseção de (r) com Oy tem coordendas B    0,1 . Vamos refletir o ponto B em relação à reta (t) para obter o ponto B’. O coeficiente angular de (t) é m _t   2, então o coeficiente angular da reta (b) suporte de BB’, que é perpencicular a (t), é

b

m 1 .

 2 Portanto, a reta (b) é dada por ^{y 1 1} y ^x 1.

x 0 2 2

    



O ponto M, interseção das retas (b) e (t), é dado por 2x 4 ^x 1 x 2 y 0,

         2 então M    2, 0 .  Como o ponto M    2, 0  é médio de BB´, com B    0,1 , então

 

B'    4, 1 .

Os pontos 5 2

A ,

3 3

 

       e ^B'     ^{4, 1}  pertencem à reta (s), então a equação de (s) é dada por

 

  1 2

y 1 3 1 y x 3

x 4 5 7 7 7

4 3

 

    

        

          

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

Logo, (s) é paralela à reta 7y x 7 0 y ^x 1

      7 (pois têm o mesmo coeficiente angular).

14) (AFA 1998) O lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano que, juntamente com os pontos A   3,5  e B 3,5 ,   determina triângulos com perímetro 2p  16 cm uma

a) elipse. b) parábola. c) hipérbole. d) circunferência.

RESOLUÇÃO: a

Seja C um ponto tal que o perímetro do triângulo ABC é igual a 16 cm, então AB CA CB 16      6 CA CB 16    CA CB 10  

Logo, o lugar geométrico dos pontos C é uma elipse de focos em A e B e eixo maior 2a  10.

15) (AFA 1998) A área da intersecção das regiões do plano cartesiano limitada por

  ²

x 2  y 4   25 e x

y 4 1

3

 

      é a) ⁹

2

 b) ¹⁷ 2

 c) ²⁵ 2

 d) ³¹ 2



RESOLUÇÃO: c

A equação ^{x 2}   ^{y 4}   ²  ²⁵ representa um círculo de centro em O 0, 4 e raio 5.  

A equação x

y 4 1

3

 

   

  representa a região abaixo de uma reta oblíqua crescente.

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

Como a reta x

y 4 1

3

 

      passa pelo ponto O 0, 4 , ela contém um diâmetro do  

círculo e a interseção das regiões será um semicírculo de raio 5. Portanto, a área da interseção é

5 2 25

S 2 2

 

  unidades de área.

16) (AFA 1999) A equação reduzida da cônica, representada no gráfico abaixo, é

a)

2 2

(x 4) (y 3)

9 16 1

 

  . b)

2 2

(x 5) (y 1)

9 16 1

 

  .

c)

2 2

(x 1) (y 5)

16 9 1

 

  . d)

2 2

(x 1) (y 5)

9 16 1

 

  .

RESOLUÇÃO: d

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

As extremidades do eixo maior da elipse são A   1,9  e A '   1,1 ,  então 2a      9 1 8 a 4.

O centro O da elipse é o ponto médio de AA ', ou seja, O   1,5 . 

Uma das extremidades do eixo menor é B 2,5 (tem mesma ordenada que O), então  

b     2   1 3.

Logo, a equação reduzida da elipse é dada por:

    ²   ^{2   2}   ²

2 2

y 5 y 5

x 1 x 1

1 1.

9 16

3 4

 

  

    

Note que, como o eixo maior da elipse é vertical, o denominador a ²  16 aparece na fração de numerador  y 5   ² .

17) (AFA 1999) A distância entre o ponto de interseção das retas r : 2x 3y 4    0 e

x t 2

s : , t

y 2t 1

  

   

 e a reta q : y ¹ x ¹

2 8

  é a) 4 5 . b) ^{3 7}

20 . c) ^{3 5}

10 . d) ^{5 7} 4 . RESOLUÇÃO: c

O ponto P de interseção das retas r : 2x 3y 4    0 e x t 2

s : , t

y 2t 1

   

  

 é dado por:

    ³

2x 3y 4 0 2 t 2 3 2t 1 4 0 4t 3 t

                 4

3 11

x t 2 2

4 4

      

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

3 3 1

y 2t 1 2 1 1

4 2 2

 

            

 

Logo, as coordenadas de P são 11 1

P , .

4 2

   

 

 

A distância d do ponto 11 1

P ,

4 2

   

 

  à reta q : y ¹ x ¹ 4x 8y 1 0

2 8

      é dada por:

  ²

2

11 1

4 8 1

11 4 1 6 6 6 5 3 5

4 2

d .

20 10

80 4 5 4 5

4 8

   

                 

     

 

18) (AFA 2000) O parâmetro da parábola, que passa pelo ponto P 6, 2   e cujo vértice

 

V 3, 0 é o seu ponto de tangência com o eixo das abscissas, é a) ⁹

5 b) ⁹

4 c) 3 d) ⁹ 2 RESOLUÇÃO: b

O vértice V 3, 0 é o seu ponto de tangência da parábola com o eixo das abscissas e o  

ponto P 6, 2   tem ordenada positiva, então a parábola tem eixo de simetria vertical concavidade voltada para cima e sua equação é dada por  ^{x 3 }  ^{2  2p y 0 ,}  ^  ^{onde p é}

o parâmetro.

O ponto P 6, 2   pertence ao gráfico, então  _{6 3}  ² _{2p 2 0}   _p ⁹ _.

      4

19) (AFA 2000) A excentricidade da elipse que tem centro na origem, focos em um dos eixos coordenados e que passa pelos pontos ^{A 3, 2 e}   B 1, 4   é

a) ²

3 b) ³

3 c) ²

2 d) ³ 2 RESOLUÇÃO: b

A equação de uma elipse com centro na origem e foco sobre um dos eixos coordenados é

2 2

2 2

x y

1.

p q

 

Como a elipse passa pelos pontos ^{A 3, 2 e}   B 1, 4   , então

2 2 2 2

2 2 2 2

3 2 1 4

1 1

p  q   p  q 

2

2 2 2 2 2

9 4 1 16 35 35

4 4 1 1 3 p

p q p q p 3

   

               

   