Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

(1)

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2018/2019 ENUNCIADOS

1) Dadas as matrizes

1 2 1

A 1 0 1 ,

1 1 1

 − 

 

=  

 − 

 

 

x= 2 13 65 e B=x^Tx. Qual é o valor do determinante de 2 A ⁻¹B ?²

a) 0 b) 4 c) 8 d) 3380 e) 13520

2) Determine o valor do limite ( ³ ³)

x

x 1 x

lim^→− 2 + −

e assinale a opção correta.

a) − b) + c) 1 d) 0,5 e) zero

3) Sejam h, p, f e g funções reais tais que _{h x}( )₌ _x _{+ −}_{x 1 ,} p x( )=x ,³ f x( )=x² e ( ) ³

g x =ax , com a0. O valor de a torna a área da região limitada por f e g, no intervalo 0,1

a

 

 

  igual a ².

3 A é o valor da área da região limitada por h, p e pelo eixo das ordenadas.

Assinale a opção que representa um número inteiro.

a) A₂

a b) A²−2a c) A²−a² d) A2

a e) 2A a− ²

4) O atual campeão carioca de futebol, Botafogo, possui escudo baseado em um pentagrama, conforme figuras abaixo.

Figura 1 Figura 2

O pentagrama é um polígono estrelado de 5 vértices, que podem ser igualmente distribuídos em uma circunferência (formando cinco arcos congruentes). O pentagrama, através de seus segmentos, determina 6 regiões internas, 5 triângulos e 1 pentágono. O pentágono é vizinho de todos os triângulos e não existem triângulos vizinhos entre si.

Sendo assim, utilizando até 6 cores distintas (preto, branco, cinza, verde, amarelo e azul), de quantas maneiras essas regiões do pentagrama, conforme Figura 2, podem ser coloridas de forma que não haja duas regiões vizinhas com cores iguais?

a) 720 b) 120 c) 6480 d) 3750 e) 3774

(2)

5) Observe a figura abaixo.

O cubo ABCDEFGH, de aresta 3 cm, é rotacionado em torno de sua diagonal AG, gerando um sólido de revolução de volume V. Dessa forma, pode-se afirmar que o valor de V, em cm ,³ é tal que:

a) V 17 b) 17 V 27 c) 36 V 55 d) 27 V 36 e) 55 V 74 6) Quantos números inteiros entre 1 e 1000 são divisíveis por 3 ou por 7?

a) 47 b) 142 c) 289 d) 333 e) 428

7) Seja f : → . Assinale a opção que apresenta f x^{( )} que torna a inclusão

( ) ( ) ( )

f A f B f AB verdadeira para todo conjunto A e B, tais que A, B . a) f x( )=e cos x^x ( ) b) f x( )=e sen x^x ( ) c) f x( )=17e^x d) _{f x}( )₌( )_x³ _e^x _e)_{f x}( )₌(_x²₋_{2x 1 e}₊ ) ^x

8) Quantas raízes reais possui a equação 2cos x 1( − =) 2x⁴−8x³+9x²−2x 1?+

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) Infinitas

9) Felipe, andando pelo pátio de sua escola, encontra, no chão, uma lista de exercícios de matemática toda feita pelo seu amigo Bruno contendo as seguintes perguntas e respostas:

(1) É verdade que ( )³z ² =³z ,² z  . Justifique.

Resposta: Sim é verdade, pois, tomando a parte real igual a 1 e a parte imaginária igual a zero, tem-se z=1 e, com isso, a igualdade permanece.

(2) Cite duas descrições geométricas do conjunto B dos números complexos z que satisfazem z− = −2 z 3i , sendo i a unidade imaginária.

Resposta: É uma reta que passa pelo ponto ^{1 7}, 2 6

 

 

  e tem coeficiente angular igual a ². 3 (3) Seja z um número complexo e Re z^{( )} a parte real de z. Qual é o conjunto dos pontos tais que _{Re z}( )² __0?

(3)

Resposta: É o conjunto ^A



^z ^| argumento de z ³



4 4

 

=    união com o conjunto



³



B z | argumento de z .

4 4

 

=  −   −

(4) Seja z um número complexo. Quais são os valores de z tais que e^{2z 1}⁻ =1?

Resposta: z ¹ k i

= + 2 para k . Sendo i a unidade imaginária.

Supondo que Felipe saiba responder a todas as perguntas de forma correta. E que ele as corrigirá atribuindo a cada pergunta o valor de 2,5 pontos por resposta correta e zero ponto por resposta errada, NÃO existe acerto de parte da questão (Bruno acerta ou erra sua resposta). Sendo assim, assinale a opção que apresenta a quantidade de pontos obtidos por Bruno na correção de Felipe.

a) 10 b) 7,5 c) 5 d) 2,5 e) zero

10) Seja a função real ^{f : 2, 4} → ^, definida por f x( )=0,5x²−4x 10+ e o retângulo ABOC, com A t, f t ,( ( )) B=(0, f t( )), O 0, 0( ) e C t, 0 ,( ) onde t 2, 4 . Assinale a opção que corresponde ao menor valor da área do retângulo ABOC.

a) 8 b) ¹⁵

2 c) ²⁰⁰

27 d) ⁵⁰

9 e) ²⁰ 3

11) Sejam ( )an , ( )bm e ( )ck três progressões geométricas de razão q e primeiro termo x. ( )bm tem o dobro de termos de ( )an , e ( )ck tem ³

2 de termos de ( )bm . Sabendo que a soma dos termos de ( )an é igual a 10 e a soma dos termos de ( )ck é ⁴²,

5 assinale a opção que apresenta a diferença, em módulo, dos possíveis valores da soma dos termos de ( )bm .

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

12) Seja ABCDEF um prisma triangular reto, com todas as suas arestas congruentes e suas arestas laterais AD, BE e CF. Sejam O e O’ baricentros das bases ABC e DEF, respectivamente, e P um ponto pertencente a OO’ tal que PO ' ¹OO '.

= 6 Seja  o plano determinado por P e pelos pontos médios de AB e DF. O plano  divide o prisma em dois sólidos. Determine a razão entre o volume do sólido menor e o volume do sólido maior, determinados pelo plano , e assinale a opção correta.

a) ⁴⁷

97 b) ⁴⁹

95 c) ⁴³

93 d) ⁴⁵

93 e) ⁴¹ 91

(4)

13) Sejam a elipse de equação

2 2

x y

16+25 =1 e o ponto P 8, 0 .( ) Duas retas r e s, que passam por P, tangenciam a elipse nos pontos A e B, respectivamente. Sendo assim, a área do triângulo ABP é igual a:

a) 40 b) 15 3 c) ^{80 3}

3 d) ^{35 15}

4 e) 21 3

14) Pedro está pensando em enviar uma carta para a sua mãe, no interior do Pará, para comunicar o falecimento do seu pai no Rio de Janeiro. A probabilidade de que Pedro escreva a carta é de 0,8. A probabilidade de que o correio não perca a carta é de 0,9. A probabilidade de que o carteiro entregue a carta é de 0,9. Sabendo-se que a mãe de Pedro não recebeu a carta, qual é a probabilidade condicional de que Pedro não a tenha escrito?

a) ²⁵

44 b) ²

5 c) ⁴⁹

87 d) ⁷³

121 e) ³⁸ 88 15) Seja f uma função real, tal que df x( )

dx 0,  x , ou seja, a função possui derivada positiva em toda a reta. Portanto, pode-se afirmar que f é uma função:

a) crescente. b) decrescente.

c) simétrica em torno de zero. d) estritamente positiva.

e) convexa.

16) Um Aspirante da Escola Naval observou que intersectando a superfície

2 2 2

S: 2x −y +4z =1 com planos paralelos a dois eixos coordenados, ele poderia obter, em cada plano, uma cônica. O Aspirante anota em cartões a equação de cada plano cuja interseção com S seja uma cônica de distância focal igual a 6. Se ele anotou apenas uma equação por cartão, qual a quantidade de cartões que apresenta uma equação cuja interseção com S é uma hipérbole?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

17) Seja a família de funções reais f, definidas por f x( )=2x²+bx 3,+ sendo b e, seja a função real g, definida pelo lugar geométrico dos pontos extremos das funções f.

Sendo assim, o valor de _{g 7}( ) é:

a) 101 b) 101− c) 95 d) 95− e) 98−

18) Sejam os pontos A. B, C e D sobre uma circunferência, conforme a figura abaixo, de tal forma que os comprimentos dos arcos AB, BC, CD e DA medem, respectivamente,

3,

 2 3 ,

 4 3

 e ⁵ , 3

 determinando as cordas AC e BD. O valor da área da região sombreada é de:

(5)

a) ⁴ 4 3

3

+ + b) ⁴ 4 3

3

+ − c) ⁵ 4 3

3

+ +

d) ⁵ 4 2 3 3

+ − e) ⁴ 4 2 3

3

+ −

19) O lugar geométrico dos ponto P do plano de mesma potência em relação a duas circunferências não concêntricas é chamado eixo radical. Seja C₁ a circunferência de equação x²+y² =64 e C₂ a circunferência de equação (_x₊₂₄)²₊_y² ₌_16. Sejam a e b as distâncias do eixo radical a cada uma das circunferências, assinale a opção que apresenta do valor de a b .−

a) ³

2 b) ⁵

2 c) 2 d) 1 e) ¹

2

20) Sejam f e g duas funções reais tais que g é a inversa de f. Se f é definida como ( ) ^x ^x

x x

e e

f x ,

e e

−

= −

+ calcule

g 1

e 2

  

  e assinale a opção correta.

a) 2 b) 2 c) 3 d) 3 e) − 2

(6)

PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2018/2019 RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES 1) a (Matrizes e determinantes)

2) e (Limites) 3) a (Integral)

4) e (Análise combinatória) 5) c (Geometria espacial) 6) e (Análise combinatória) 7) c (Função – tipologia)

8) d (Derivada – gráfico de função) 9) b (Números complexos)

10) c (Derivada – máximos e mínimos) 11) a (Progressão geométrica)

12) b (Geometria espacial – seções de sólidos) 13) b (Geometria analítica – elipse)

14) a (Probabilidade) 15) a (Cálculo – derivada)

16) e (Geometria analítica – cônicas) 17) d (Função quadrática)

18) d (Geometria plana – áreas)

19) c (Geometria plana – relações métricas na circunferência) 20) d (Função inversa e exponencial)

(7)

PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2018/2019 ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES

1) Dadas as matrizes

1 2 1

A 1 0 1 ,

1 1 1

 − 

 

=  

 − 

 

 

x= 2 13 65 e B=x^Tx. Qual é o valor do determinante de 2 A ⁻¹B ?²

a) 0 b) 4 c) 8 d) 3380 e) 13520

RESOLUÇÃO: a

 

2

T 2

2

2 2 13 2 65 2

B x x 13 2 13 65 13 2 13 13 65

65 65 2 65 13 65

   

   

=  =     =    

2

2 2 13 2 65 2 13 65

det B 13 2 13 13 65 2 13 65 2 13 65 0 2 13 65 65 2 65 13 65

 

=   =    =

 

( ¹ ²) ³ ( ¹) ( )² ¹ ( )² ¹ ²

det 2 A B 2 det A det B 8 det B 8 0 0

det A det A

− −

  =   =   =   =

2) Determine o valor do limite ( ³ ³)

x

x 1 x

lim^→− 2 + −

e assinale a opção correta.

a) − b) + c) 1 d) 0,5 e) zero

RESOLUÇÃO: e

Vamos utilizar o produto notável _a³₊_b³₌(_a₊_{b a})( ²₋_{ab b}₊ ²)_,_com _a₌_x_e

3 3

b= 1 x .−

( ) ( ) ( )

( )

3 3 3 3 2 3 3 3 3 2

x x 2 3 3 3 3 2

x 1 x x 1 x x x 1 x 1 x

lim lim

2 2

x x 1 x 1 x

→− →−

+ − = + −  −  − + − =

−  − + −

( )

3 3

3 3 3 3

2 2

x 2 3 3 3 3 x 2 3 3 3 3

1 x 1 x 1 x 1 x

lim lim

2 2

x x 1 x 1 x x x 1 x 1 x

→− →−

+ − + −

=  =  =

−  − + − −  − + −

( )²

x 2 3 3 3 3

1 1

lim 0

2 ^→−x x 1 x 1 x

   

+ − + +

=  =

−  − + −

Note que o último denominado tende a +, e portanto o limite é zero.

(8)

Alternativamente, podemos calcular esse limite utilizando o teorema de L’Hôpital.

( ³ ³) ³ ³ ^{( )}^* ³ ³ ^{( )}^**

x x x

1 1

x x 1 1 1

x 1 x x x

lim lim lim

2 2 2

x

→− →− →−

   

+  − + −

   

+ − =   =   =

( )

2

3 4

3

2 2

x x

3 2 3

1 1

1 3x

1 1

lim 3 x lim

2x 2 1

1 x

x

− −

→− − →−

 −   −

 

 

= =  =

−  −  

( )

(***)

x 3 3 2

1 1

lim 0

2 ^→− 1 x

=  =

−

(*) Divide-se em cima e em baixo por x.

(**) O limite é da forma ⁰,

0 o que implica que podemos aplicar o teorema de L’Hôpital.

(***) O denominador tende a +, o que implica que o limite tende a zero.

3) Sejam h, p, f e g funções reais tais que _{h x}( )₌ _x _{+ −}_{x 1 ,} p x( )=x ,³ f x( )=x² e ( ) ³

g x =ax , com a0. O valor de a torna a área da região limitada por f e g, no intervalo 0,1

a

 

 

  igual a ².

3 A é o valor da área da região limitada por h, p e pelo eixo das ordenadas.

Assinale a opção que representa um número inteiro.

a) 2

A

a b) A²−2a c) A²−a² d) A2

a e) 2A a− ² RESOLUÇÃO: a

O valor da área da região limitada por f e g, no intervalo 0,¹ a

 

 

  é dada por:

( ) ( )

( ) ⁽ ⁾ ³ ⁴ ^{1 a}

1 a 1 a

2 3

0 0 0

3 4

3 3

x ax

f x g x dx x ax dx

3 4

1 1 a 1 1 a 1 1 2

0 0

3 a 4 a 3 4 3a 4a 3

 

− = − = − =

   

       

=    −    −  −  = − =

3 3

1 2 1 1

a a

3 8 2

12a

 =  =  =

Vamos analisar a função h:

( )

2x 1, se x 0

h x x x 1 1, se 0 x 1.

2x 1, se x 1

− + 



= + − =  

 − 



(9)

Analisando o gráfico acima, observamos que a área limitada por h, p e pelo eixo das ordenadas é a área entre os gráficos de h e p no intervalo  0,1 , e é dada por

( ) ( )

( ) ⁽ ⁾ ⁴ ¹

1 1

3

0

0 0

4 4

A h x p x dx 1 x dx x x 4

1 0 3

1 0

4 4 4

 

= − = − = −  =

   

= −   − − =

Como a ¹

= 2 e A ³,

= 4 então ₂ ₂ 3

A 4 3 4 3 .

a 1 4 2

= =  = 

  

 

4) O atual campeão carioca de futebol, Botafogo, possui escudo baseado em um pentagrama, conforme figuras abaixo.

Figura 1 Figura 2

O pentagrama é um polígono estrelado de 5 vértices, que podem ser igualmente distribuídos em uma circunferência (formando cinco arcos congruentes). O pentagrama, através de seus segmentos, determina 6 regiões internas, 5 triângulos e 1 pentágono. O

(10)

pentágono é vizinho de todos os triângulos e não existem triângulos vizinhos entre si.

Sendo assim, utilizando até 6 cores distintas (preto, branco, cinza, verde, amarelo e azul), de quantas maneiras essas regiões do pentagrama, conforme Figura 2, podem ser coloridas de forma que não haja duas regiões vizinhas com cores iguais?

a) 720 b) 120 c) 6480 d) 3750 e) 3774

RESOLUÇÃO: e

Temos 6 opções para a cor do pentágono. Essa cor não pode ser usada nos triângulos.

Assim, temos 5 cores para pintar os 5 triângulos podendo haver repetição de cores, pois os triângulos não são considerados vizinhos entre si.

Vamos indicar as cores utilizadas nas pontas por letras. Podemos ter 5 cores distintas (abcde), 4 cores distintas (aabcd), 3 cores distintas (aaabc ou aabbc), 2 cores distintas (aaaab ou aaabb) ou 1 cor (aaaaa).

Exceto o caso em que todas as cores são iguais (aaaaa), as permutações coincidem por rotação em 5 posições, ou seja, devemos dividir o total de casos por 5.

O número de maneiras de pintar os 5 triângulos com 5 cores, não todas iguais, podendo haver repetição é 5⁵−5, onde o 5 subtraído é o número de maneiras de pintar os 5 triângulos com cores iguais.

Assim, o número de maneiras de pintar o pentagrama é (₅⁵ ₅)

6 6 5 3774,

5

 − +  = onde a primeira parcela refere-se aos casos em que as cores não são todas iguais (que devemos dividir por 5 por causa das coincidências por rotação) e a segunda parcela refere-se ao caso em que todas as cores são iguais.

5) Observe a figura abaixo.

O cubo ABCDEFGH, de aresta 3 cm, é rotacionado em torno de sua diagonal AG, gerando um sólido de revolução de volume V. Dessa forma, pode-se afirmar que o valor de V, em cm ,³ é tal que:

a) V 17 b) 17 V 27 c) 36 V 55 d) 27 V 36 e) 55 V 74 RESOLUÇÃO: c

(11)

Considere a figura acima, na qual a diagonal do cubo AG está na horizontal.

O volume V da figura obtida pela rotação do cubo ao redor de AG pode ser aproximado pela soma do volume de dois cones congruentes e um cilindro.

Na figura são formados dois triângulos retângulos cujos catetos são uma aresta do cubo e uma diagonal de face e cuja hipotenusa é a diagonal do cubo.

Pelas relações métricas no triângulo retângulo, temos: 3 3 r = 3 3 2 =r 6 e 32 =3 3 h  =h 3.

A altura do cilindro é x=AG−2h=3 3− 2 3= 3.

Assim, uma aproximação superior para o volume da figura é

( )² ( )²

2 2 3

1 2

V 2 r h r x 6 3 6 3 10 3 54, 4 cm .

3 3

     +   =    +   =    Assim, 36 V 55.

(12)

6) Quantos números inteiros entre 1 e 1000 são divisíveis por 3 ou por 7?

a) 47 b) 142 c) 289 d) 333 e) 428

RESOLUÇÃO: e

O princípio da inclusão-exclusão estabelece que a quantidade de números inteiros entre 1 e 1000 divisíveis por 3 ou por 7 é igual à quantidade de números divisíveis por 3 somada à quantidade de números divisíveis por 7 e subtraída da quantidade de números divisíveis por 3 e 7, sempre entre 1 e 1000.

A quantidade de números inteiros entre 1 e 1000 divisíveis por 3 são ¹⁰⁰⁰ 333.

3

  =

 

 

A quantidade de números inteiros entre 1 e 1000 divisíveis por 7 são ¹⁰⁰⁰ 142.

7

  =

 

 

A quantidade de números inteiros entre 1 e 1000 divisíveis por 3 e 7 é igual à quantidade de números divisíveis pelo mínimo múltiplo comum de 3 e 7 que é mmc 3, 7( )=21.

Assim, essa quantidade é ¹⁰⁰⁰ 47.

21

  =

 

 

Portanto, a quantidade de números inteiros entre 1 e 1000 são divisíveis por 3 ou por 7 é 333 142 47+ − =428.

7) Seja f : → . Assinale a opção que apresenta f x^{( )} que torna a inclusão

( ) ( ) ( )

f A f B f AB verdadeira para todo conjunto A e B, tais que A, B . a) f x( )=e cos x^x ( ) b) f x( )=e sen x^x ( ) c) f x( )=17e^x d) _{f x}( )₌( )_x³ _e^x _e)_{f x}( )₌(_x²₋_{2x 1 e}₊ ) ^x

RESOLUÇÃO: c

Lema: A inclusão f A^{( )}f B^{( )}f A⁽ B⁾ é sempre verdadeira, se e somente se, a função f é injetora.

Demonstração:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f A f B f AB   y f A f B  y f AB Seja y₀f A( )f B( )y₀f A( )  y₀f B .( )

Vamos analisar dois casos:

1º) y₀f A⁽ B :⁾ nesse caso a inclusão é satisfeita

2º) y₀f A⁽ B :⁾ y₀f A B( − )  y₀f B A( − )  −x₁ A B  x₂ −B A

(x1 x2) tais que y0 =f x( )1 =f x( )2 , o que só ocorre se f não for injetora.

Assim, se a inclusão é sempre verdadeira, então f é injetora (C.Q.D.).

Portanto, devemos encontrar uma alternativa que apresente uma função injetora.

A alternativa c) f x( )=17e^x apresenta uma função injetora, pois é uma função exponencial.

A fim de verificar que as outras funções não são injetoras, vamos analisar a sua primeira derivada.

a) _{f x}( )=_{e cos x}^x ( )_{f ' x}( )=_e^x_{cos x}+_e^x −( _{sen x})=_e^x(cos x sen x− )

(13)

Note que x 4

= é uma raiz de f ' x^{( )} e que _{f ' x}( )__0, se 0 x , 4

  e _{f ' x}( )__0, se

x ,

4 2

 

  o que implica que x 4

=  corresponde a um ponto de máximo local e, portanto, a função não é injetora.

b) _{f x}( )₌_{e sen x}^x ( )__{f ' x}( )₌_e^x__{sen x}₊_e^x__{cos x}₌_e^x(_{sen x}₊_{cos x}) Note que x ³

4

=  é uma raiz de f ' x^{( )} e que _{f ' x}( )__0, se 0 x ³ , 4

   e _{f ' x}( )__0, se

3 x ,

4

   o que implica que x ³ 4

=  corresponde a um ponto de máximo local e, portanto, a função não é injetora.

d) f x( )=( )x³ e^xf ' x( )=3x² +e^x x³e^x =e^x(x³+3x²)=e^xx² +(x 3)

Note que x=0 é uma raiz de _{f ' x ,}( ) mas que não corresponde a uma mudança de sinal da derivada e, portanto, não está associada a um máximo ou mínimo local. Por outro lado, x= −3 é uma raiz de f ' x^{( )} e que _{f ' x}( )__0, se x −3, e _{f ' x}( )__0, se x −3, o que implica que x= −3 corresponde a um ponto de mínimo local e, portanto, a função não é injetora.

e) _{f x}( )₌(_x²₋_{2x 1 e}₊ ) ^x __{f ' x}( ) (₌ _2x_{− }_{2 e}) ^x₊(_x²₋_{2x 1 e}_{+ }) ^x ₌_e^x_(_x²₋₁)

Sabemos que x= 1 são raízes de f ' x^{( )} e que _{f ' x}( )__0, se x −1, _{f ' x}( )__0, se 1 x 1,

−   e _{f ' x}( )__0, se x1, o que implica que x= −1 corresponde a um ponto de máximo local e x=1 corresponde a um ponto de mínimo local e, portanto, a função não é injetora.

8) Quantas raízes reais possui a equação 2cos x 1( − =) 2x⁴−8x³+9x²−2x 1?+

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) Infinitas

RESOLUÇÃO: d

Sejam f x^{( )}=2 cos x 1⁽ − ⁾ e g x( )=2x⁴−8x³+9x²−2x 1.+ Vamos esboçar o gráfico das duas funções a fim de identificar a quantidade de interseções entre eles, o que é igual à quantidade de raízes da equação _{f x}( )₌_{g x .}( )

Vamos analisar primeiro a função g x( )=2x⁴−8x³+9x²−2x 1.+

A sua primeira derivada é g ' x( )=8x³−24x²+18x 2.− Por inspeção, x=1 é raiz de g ' x .( ) Vamos aplicar o algoritmo de Ruffini para fatorar o polinômio.

1 8 −24 18 −2

8 −16 2 0

( ) ³ ² ( )( ² )

g ' x =8x −24x +18x 2− = x 1 8x− −16x+2

Assim, as raízes de _{g ' x}( ) são 1 e ¹⁶ ^{256 4 8 2} ² ³.

16 2

 −   = 

(14)

Portanto, _{g ' x}( )_₀ em ,² ³ 1,² ³

2 2

− −   + 

   

    e _{g ' x}( )_₀ em

2 3 2 3

,1 , .

2 2

 −   + +

   

    Isso implica que x ² ³

2

=  correspondem a pontos de mínimo local e x=1 corresponde a um ponto de máximo local.

Agora vamos calcular o valor numérico de g nos pontos extremos. Mas vamos dar uma

“ajeitada” na expressão de _{g x}( ) a fim de facilitar as contas.

( ) ⁴ ³ ² ²( ² ) ² ²( )² ( )²

g x =2x −8x +9x −2x 1+ =2x x −4x+4 +x −2x 1+ =2x x−2 + x 1− Analisando a expressão acima, concluímos que g é simétrico em relação a x 1.=

( ) ²( )² ( )² g 1 = 2 1 1 2− + −1 1 =2

2 2

2

2 2 2

3 3 3 3 3

g 1 g 1 2 1 1 2 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 1 3 7

2 1 1 2 1

2 2 4 4 4 8 4 8

   

         

+ = − =  −  − −  + − −  =

         

           

     

=  −  − −  + =  −  + = + =

     

É útil também calcular o valor de g em alguns pontos próximos para identificar quando os valores de g ficam maiores do que 2 (valor máximo absoluto de f).

( ) ( ) ²( )² ( )² g 2 =g 0 = 2 0 0 2− + −0 1 =1

( ) ( ) ( ) (² )² ( )²

g 3 =g − =  −1 2 1 − −1 2 + − −1 1 =222

Vamos agora analisar a função f x^{( )}=2 cos x 1 .⁽ − ⁾ A sua imagem é ^{Im f}( )^{= −} ^{2, 2}^e

ela é periódica de período 2 . Além disso, f 1^{( )}=2 cos 0=2 e um ponto de interseção dos gráficos de f e g.

A seguir seguem os esboços dos gráficos das duas funções com base nas informações obtidas.

Portanto, há 3 pontos de interseção entre os gráficos de f e g, o que implica que a equação

( ) ⁴ ³ ²

2cos x 1− =2x −8x +9x −2x 1+ possui 3 raízes.