Mod´ elisation du r´ egime permanent

Nous nous pla¸cons ici en r´egime permanent, ce qui signifie que ˙σ = 0 et que par cons´equent la concentration en d´efauts a atteint son niveau stationnaire : ˙C_d= 0.

On obtient en cons´equent un syst`eme de deux ´equations coupl´ees relativement simple :

˙

ε_totale=C_dε˙0sinh

σγ0Ωf

2√ 3kT

(IV.25) et

0 =ad

√

3 ˙εviscoelast−Cd

C_d(t)−C_d^e trs

(IV.26) Pour mod´eliser le r´egime permanent, nous aurons donc 3 inconnues `a d´eterminer ( ˙ε0, γ0Ωf et ad) alors que nous connaissons un ensemble de couples (σ, ˙ε<sub>totale</sub>) `a diff´erentes temp´eratures. Pour limiter les possibilit´es, nous proc´ederons en deux temps ; nous nous placerons tout d’abord dans un cas simplifi´e qui nous permettra d’avoir une valeur approximative du volume d’activation apparentγ0Ωf, puis nous d´eterminerons les param`etres dans le cas pr´esent´e ci-dessus.

2.3.1.1 Calcul `a concentration en d´efauts constante

Nous supposons que le taux de d´efauts est constant et qu’il est ´egal `a sa valeur `a l’´equilibre thermo- dynamiqueC_d(T) =C_d^e(T) (cela signifie quea_d= 0). La d´etermination du volume d’activation doit ˆetre faite `a partir des couples (σ, ˙ε<sub>totale</sub>) issus des essais exp´erimentaux. Dans le cas o`u des overshoots sont pr´esents, la question se pose de la contrainte `a retenir : contrainte pic ou contrainte plateau. En effet, 102

2.3. Mod´elisation des essais de compression

l’´equation IV.25 d´efinit une relation univoque entre la contrainte et la vitesse de d´eformation (pour une temp´erature donn´ee). Afin de se rapprocher des conditions isostructure, il est pr´ef´erable de retenir les contraintes maximales des overshoots [Bl´etry, 2004]. Nous avons donc deux param`etres `a adapter ; en se pla¸cant dans le plan (σ, ˙ε_totale), on peut positionner les r´esultats exp´erimentaux `a diff´erentes temp´eratures et tracer les courbes ˙ε<sub>totale</sub> = f(σ) `a l’aide de l’´equation IV.25. On se rend compte que le param`etre ˙ε0 fait varier la pente `a l’origine de ces courbes alors que le volume d’activation apparent γ₀Ω_f permet d’adapter la courbure. Les courbes de la figure IV.13 montrent les points exp´erimentaux et les courbes th´eoriques issus de cette mod´elisation pour diff´erentes temp´eratures. Nous n’avons pas d´etermin´e les param`etres pour les deux plus hautes temp´eratures (400˚C et 410˚C) car nous n’avons pas suffisamment de points exp´erimentaux dans le r´egime Non Newtonien, ce qui rend difficile l’adaptation des param`etres. Les r´esultats sont rassembl´es dans le tableau 16.

Temp´eratures 340 350 360 373 380 390

˙

ε0 (s⁻¹) 9,5.10⁻⁵ 3,1.10⁻⁴ 1,5.10⁻³ 1,1.10⁻² 2,8.10⁻² 7,9.10⁻²

γ₀Ω_f ( ˚A³ ) 205 215 210 195 200 230

Tab. 16 :Valeurs des variables ajust´ees sur la loi en sinus hyperbolique pour fitter les r´esultats exp´erimentaux dans le cas o`u la concentration en d´efauts est suppos´ee constante et ´egale `a la concentration en d´efauts

`

a l’´equilibre .

On d´etermine de cette mani`ere un volume d’activation apparent moyen de 210 ˚A³ en bon accord avec ce qui a ´et´e trouv´e par Reger-Leonhard [Reger-Leonhard et al., 2000] ou Bletry [Bl´etry, 2004]

dans deux autres nuances base Zr. Cette valeur nous donne un point de r´ef´erence pour l’approche plus globale qui va suivre. De plus, on peut remarquer qu’un mod`ele de type volume libre avec la mˆeme hypoth`ese de concentration en d´efauts constante aboutirait `a un volume d’activation apparent identique (voir [Bletry et al., 2004]).

0,E+00 1,E-03 2,E-03 3,E-03 4,E-03 5,E-03 6,E-03 7,E-03 8,E-03 9,E-03 1,E-02

0 200 400 600

Contraintes pic (MPa) (s-1)

T augmente

Fig. IV.13 :Vitesse de d´eformation en fonction de la contrainte mesur´ee par sauts de vitesse pour diff´erentes temp´eratures : 340˚C, 350˚C, 360˚C, 373˚C, 380˚C et 390˚C. Les courbes repr´esentent l’ajustement

`

a l’aide de l’´equation IV.25.

103

Chapitre 2. Mod´elisation de la d´eformation

2.3.1.2 Calcul `a concentration en d´efauts variable

Nous allons maintenant d´eterminer l’ensemble des param`etres d´efinissant l’´ecoulement en r´egime permanent. Le couple (σ, ˙ε_totale) qui nous int´eresse correspondra donc aux plateaux d’´ecoulement pour diff´erentes temp´eratures.

La connaissance des valeurs de ˙ε₀,γ₀Ω_f eta_dnous permet de connaˆıtre, pour chaque contrainte donn´ee, les valeurs de concentration en d´efauts d’´ecoulement ainsi que les vitesses de d´eformation correspon- dantes, grˆace `a la r´esolution des ´equations IV.25 et IV.26 ; nous sommes donc en mesure de fitter les valeurs exp´erimentales.

Si nous imposons un volume d’activation constant de 210 ˚A³, nous nous rendons compte qu’il n’est pas possible de rendre compte des r´esultats exp´erimentaux avec une valeur unique de a_d. La variation de ˙ε0 est insuffisante pour obtenir l’´evolution sur la gamme de temp´erature ´etudi´ee comme le montre la figure IV.14.

0,E+00 1,E-03 2,E-03 3,E-03 4,E-03 5,E-03 6,E-03 7,E-03 8,E-03 9,E-03 1,E-02

0 200 400 600

Contraintes plateau (MPa) (s-1 )

T augmente

Fig. IV.14 :Vitesse de d´eformation en fonction de la contrainte plateau mesur´ee par sauts de vitesse pour diff´erentes temp´eratures : 340˚C, 350˚C, 360˚C, 373˚C, 380˚C et 390˚C. Les courbes repr´esentent l’ajustement `a l’aide des ´equations IV.25 et IV.26. On fixeγ0Ωf = 210 ˚A<sup>3</sup> etad= 0,2(permet de fitter les points exp´erimentaux `a 340˚C). On se rend compte que cela ne marche pas.

On est donc oblig´e de faire ´evoluer en parall`ele un couple de param`etres en fixant le troisi`eme : soit ( ˙ε0,a<sub>d</sub>) soit ( ˙ε0, γ0Ω<sub>f</sub>). On est alors capable, dans les deux cas, de mod´eliser les r´egimes permanents pour les diff´erentes temp´eratures d’analyse comme on le voit sur les courbes IV.15.a pour le couple ( ˙ε0,ad) et IV.15.b pour le couple ( ˙ε0,γ0Ωf). Les valeurs utilis´ees pour fitter les courbes dans ces deux cas sont rassembl´ees dans le tableau 17. On se rend compte que, lorsque la temp´erature augmente, il est n´ecessaire de diminuer, soit le volume d’activation apparent soit le taux de cr´eation de d´efauts, pour fitter correctement les valeurs exp´erimentales. Une diminution du volume d’activation a d´ej`a ´et´e mesur´ee, dans le cadre du mod`ele des volumes libres, sur deux autres verres m´etalliques base Zr [Bl´etry, 2004]. Cependant, cette variation n’a pas ´et´e mise en avant du fait d’un intervalle de temp´eratures de mesures relativement faible.

104

2.3. Mod´elisation des essais de compression

0,E+00 1,E-03 2,E-03 3,E-03 4,E-03 5,E-03 6,E-03 7,E-03 8,E-03 9,E-03 1,E-02

0 200 400 600

Contraintes plateau (MPa) (s-1)

T augmente

(a)

0,E+00 1,E-03 2,E-03 3,E-03 4,E-03 5,E-03 6,E-03 7,E-03 8,E-03 9,E-03 1,E-02

0 200 400 600

Contraintes plateau (MPa) (s-1)

T augmente

(b)

Fig. IV.15 :Vitesse de d´eformation en fonction de la contrainte plateau mesur´ee par sauts de vitesse pour diff´erentes temp´eratures : 340˚C, 350˚C, 360˚C, 373˚C, 380˚C et 390˚C. Les courbes repr´esentent l’ajustement `a l’aide des ´equations IV.25 et IV.26. Les couples ajustables sont soit (ε˙₀,a_d) dans le cas de la figure (a) (on fixe alorsγ0Ωf = 210 ˚A³) ; soit (ε˙0,γ0Ωf) dans le cas de la figure (b) (on fixe alorsa_d= 1).

Temp´eratures 340 350 360 373 380 390

γ₀Ω_f constant = 210 ˚A³

˙

ε0 (s⁻¹) 1.10⁻⁴ 3,8.10⁻⁴ 1,7.10⁻³ 1.10⁻² 2,7.10⁻² 8,5.10⁻²

a_d 0,2 0,1 0,01 0,001 0 0

a_d constant = 1

˙

ε₀ (s⁻¹) 1,1.10⁻⁴ 4,2.10⁻⁴ 2,3.10⁻³ 1,63.10⁻² 4,9.10⁻² 2,2.10⁻¹

γ0Ωf ( ˚A³ ) 188 177 139 101 75 50

Tab. 17 :Valeurs des variables ajust´ees pour fitter les r´esultats exp´erimentaux dans les cas o`u on fixe un volume d’activation apparent ou dans le cas o`u on fixe un taux de cr´eation de d´efauts.

.

Avant d’aborder la mod´elisation des courbes de compression, nous devons choisir une des deux m´ethodes de fit utilis´ees. Nous choisissons de gardera_dconstant et d’autoriser une variation du volume d’activation pour deux raisons : premi`erement, parce que le param`etrea_dest le seul param`etre qui peut nous permettre d’ajuster la hauteur des overshoots et deuxi`emement parce que la diminution de a_d l’am`ene `a des valeurs nulles pour des temp´eraturesT ≥380˚C. Cela signifie qu’il n’y a plus de cr´eation de d´efauts par la d´eformation et donc plus d’overshoots possibles, alors que nous en avons observ´e exp´erimentalement pour des temp´eratures sup´erieures `a 380˚C.

La d´ependance `a la temp´erature du param`etre ˙ε₀ peut ˆetre mod´elis´e avec une bonne pr´ecision par une loi de type Arrh´enius qui nous permet de calculer les param`etres ^γ0√2νH

3 et ∆Hm. Les valeurs obtenues sont indiqu´ees dans le tableau 18.

105

Chapitre 2. Mod´elisation de la d´eformation

t₀ Q_rs S_f H_f

3,5.10⁻¹⁴s 175kJ/mol 6.3J/(mol.˚C) 14.2kJ/mol ad γ0Ωf γ0√2νH

3 ∆Hm E

1 varie 1,54.10⁴⁰ 518kJ/mol 15GP a

Tab. 18 :Ensemble des param`etres et des valeurs utilis´ees pour le mod`ele de d´eformation m´ecanique. Le volume d’activation varie suivant les valeurs d´efinies dans le tableau 17.