C álculo C om A plicações: uma experiência de investigação em ensino de matemática universitária
“CÁLCULO COM APLICAÇÕES”
3.2 A dinâmica do “Cálculo Com Aplicações”
Em fevereiro de 1998, ocorreu a primeira reunião, com os professores coordenadores para a elaboração do projeto “Cálculo com Aplicações”, no Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica-IMECC-Unicamp. Compareceram nesta reunião os docentes, os pesquisadores externos, os tutores e os auxiliares didáticos. Vale observar a riqueza da diversidade de históricos pessoais, de interesses e de ideologias pedagógicas de todos os participantes. Ressalta-se abaixo, a diversidade de formação dos docentes e a unidade da qual cada um está locado na Unicamp.
Docentes
Nome Departamento Curso atendido
Herbert Bazzani Matemática Eng. Civil
Vera Figueiredo Matemática Cursão
Orlando Lopes Matemática Eng. Elétrica
A.C. Gilli Martins Matemática Eng. Alimentos
Margarida Mello Matemática Aplicada Estatística
Otília T. W. Paques Matemática Química
Jaime Angulo Pava Matemática Eng. Computação
Silvio Pregnolatto Matemática Aplicada Eng. Quim. Alim. (not.)
Sandra A. Santos Matemática Cursão
Plínio Santos Matemática Aplicada Eng. Agrícola
Marcelo Schiffer Matemática Aplicada Eng. Química
Pesquisadores Externos
Nome Unidade/Instituição Nível
Rosa Maria Machado FE - Unicamp / Cotil - Unicamp Doutorando - Ed. Matem.
Tutores
Nome Unidade Nível
Maurício Bacos Eng. Elétrica Graduação
Alex E. de Bernardini Física Pós-Graduação
Ricardo S. Braga Física Graduação
Renato Fernandes Cantão Matemática Aplicada Pós-Graduação
Gil R. Cavalcante Matemática Pós-Graduação
Leandro F. Crocomo Eng. Elétrica Graduação
Lázaro Valentim Donadon Eng. Mecânica Pós-Graduação
Élvio de Napole Gregolin Eng. Química Pós-Graduação
Francisco Fambrini Eng. Elétrica Graduação
Belisario N. Huallpa Eng. Mecânica Pós-Graduação
André Jensen Biologia Graduação
Antonio B. de Jesus Eng. Mecânica Pós-Graduação
Lúcia Ohashi Eng. Química Graduação
Karina L. Pompeu Eng. Elétrica Graduação
Cristina M. Saracho Eng. Mecânica Pós-Graduação
Carlos Souto Eng. Mecânica Pós-Graduação
Arlan L. de Souza Eng. Química Pós-Graduação
Hermano Tercius Eng. Elétrica Graduação
Alessandro C. Vitorino Eng. Mecânica Pós-Graduação
Auxiliares Didáticos
Meliane A Koike Eng. Alimentos Graduação
Gabriel F. M. Bonilha Eng. Elétrica Graduação
Este fato foi observado no trabalho de Souza Junior (2000); ...”O fato do grupo
ser heterogêneo e aberto contribuiu para a criação de um espaço muito rico de aprendizagem individual e coletiva no qual o individuo, através de suas idéias, reflexões e saberes, contribuiu com o desenvolvimento do trabalho coletivo e, por outro lado, o fato do individuo participar de um trabalho coletivo, que produziu e acumulou saberes, possibilitou também um espaço de aprendizagem para os professores e alunos.”(p.292).
Nesta reunião foi decidido alguns procedimentos básicos para organização das atividades semanais. Foi destinado as professoras Vera/Margarida/Sandra pelas reuniões de sexta-feira com toda a equipe (Oficina de Trabalho) com o seguinte roteiro:
- Avaliação da semana: apresentar um resumo dos relatórios dos tutores; - Avisos da semana:
a) Um professor, um tutor e uma das coordenadoras para elaboração da proposta da próxima atividade de laboratório. A reunião acontecerá nas segundas- feiras das 10 às 11h30min na sala da professora (Vera, Margarida ou Sandra).
b) Sugestão/Discussão dos exercícios (Livro-texto) que comporão a Lista a ser entregue aos estudantes na próxima semana, isto é, na quarta-feira.
c) Ao tutor responsável pela coordenação da elaboração do gabarito da semana e entregá-lo nas terças-feiras (o mesmo que colaborou em (a).
d) Professor que ficará com a guarda do gabarito dos exercícios da semana será o mesmo que colaborou em (a).
e) Outros (testes, provas, etc).
- Material a ser entregue na reunião:
a) a proposta preliminar da atividade de laboratório (11 professores, 19 tutores, 4 auxiliares e 6 professores convidados. Total 40 participantes);
b) Lista de presença do atendimento (tutores e auxiliares); c) Relatório da semana;
d) Lista de presença das aulas de laboratório a cada 6 semanas (tutores); e) outros
Material a ser recolhido dos tutores na reunião:
a) Listas de presenças do atendimento. b) Relatório da semana.
c) Lista de presença das aulas de laboratório (a cada 6 semanas). d) Sobras do material (atividades de laboratório).
Para Souza Junior (2000) a organização em oficinas de trabalho foi muita produtiva para o processo de criação em relação ao processo de ensinar e aprender Cálculo na Universidade.
Matricularam-se na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral no primeiro semestre de 1998, 750 estudantes.
Foi elaborado um cronograma do conteúdo programático para todos os cursos do projeto “Cálculo com Aplicações”. Em particular, o cronograma para o curso de Química é o seguinte: Previsão da Programação para MA 151 (1° semestre de 1998)(*)
04/03 Apresentação do curso; Funções e Números Reais (1.1). 06/03 Números Reais/Plano Coordenado e Retas (1.2)
09/03 Gráficos de Equações e de Funções (1.3); Breve Catálogo de Funções (1.4) 11/03 Cont. Breve Catálogo de Funções (1.4); Uma antecipação: O que é Cálculo (1.5). 13/03 Atividade de Laboratório.: Introdução ao MPP.
16/03 Tangentes e a Derivada – Uma Primeira Apresentação (2.1); O Conceito de Limites (2.2);
18/03 Ainda sobre Limites (2.3); O Conceito de Continuidade (2.4). 20/03 Atividade de Laboratório: Limites/Continuidade.
23/03 A Derivada e a Taxa de Variação (3.1); Regras Básicas de Diferenciação (3.2); 25/03 A Regra da Cadeia (3.3); Derivadas de Funções Algébricas (3.4). Teste. 27/03 Atividade de Laboratório Derivadas como Taxa de Variação.
30/03 Máximos e Mínimos de Funções em Intervalos Fechados (3.5); Problemas de Max. e Min. (1.6).
01/04 Derivadas de Funções Trigonométricas (3.7); Diferenciação Implícita e Taxas Relacionadas (3.8.).
03/04 Atividade de Laboratório: Máximos e Mínimos.
06/04 Revisão/Exercícios. 08/04 Primeira Prova. 10/04 Não haverá aula.
13/04 Incrementos, Diferenciais e Aproximação Linear (4.2);
15/04 Funções Crescentes e Decrescentes e o Teorema do Valor Médio (4.3); Derivadas de Ordem Superior e Concavidade (4.6);
17/04 Atividade de Laboratório: Introdução aos Polinômios de Taylor.
20/04 Não haverá aula
22/04 O Teste da Derivada Primeira (4.4); Traçado de Curvas Simples (4.5); 24/04 Atividade de Laboratório: Traçado de Curvas e Assíntotas (4.7).
27/04 Antiderivadas e Problemas de Valor Inicial (5.2); Cálculos Elementares de Áreas (5.3).
29/04 Somas de Riemann e a Integral (5.4); Cálculo de Integrais (5.5).
01/05 Não haverá aula.
04/05 Valores Médios e o Teorema Fundamental do Cálculo (5.6); Integração por Substituição (5.7).
06/05 Cont. Integração por Substituição (5.7); Áreas de Regiões Planas (5.8). Teste. 08/05 Atividade de Laboratório: Cálculo de Áreas.
11/05 Estabelecendo Fórmulas Integrais (6.1);
Volume – Seções Transversais (6.2) e Cascas Cilíndricas (6.3).
13/05 Comprimento de Arcos e Áreas de uma Superficie de Revolução (6.4); Equações Diferenciais Separáveis (6.5).
15/05 Atividade de Laboratório: Aplicações da Integral Definida: Força e Trabalho (6.6).
18/05 Revisão/Exercícios.
20/05 Segunda Prova
22/05 Lab: Avaliação.
27/05 O Logaritmo Natural (7.2); A Função Exponencial (7.3); Funções Exponencial e Logarítmica Generalizadas (7.4).
29/05 Atividade de Laboratório: Crescimento e Decrescimento Naturais (7.5).
01/06 Funções Trigonométricas Inversas (8.2)
03/06 Formas Indeterminadas e a Regra de L´Hôpital (8.3); Outras Formas Indeterminadas (8.4).
05/06 Atividade de Laboratório: Funções Hiperbólicas e Hiperbólicas Inversas (8.5)
08/06 Tabelas de Integrais e Substituições Simples (9.2) (**); Integrais Trigonométricas (9.3);
10/06 Integração por Partes (9.4).
12/06 Não haverá aula.
15/06 Funções Racionais e Frações Parciais (9.5) 17/06 Substituição Trigonométrica (9.6)
19/06 Atividade de Laboratório: Equivalência de soluções.
22/06 Integrais com Polinômios Quadráticos (9.7) 24/06 Integrais Impróprias (9.8)
26/06 Atividade de Laboratório: Integrais Impróprias – Trombeta de Gabriel.
29/06 Revisão/Exercícios
01/07 Terceira Prova
03/07 Atividade de Laboratório Teste
06/07 Segunda Chamada
08/07 Prova Substitutiva 10/07 Término das Aulas
13/07 Exame Final
17/07 Semana de Exames
(*) A seqüência da programação está sujeita a alterações no decorrer do semestre.
(**) No Capítulo 9 – Técnicas de Integração – procurar resgatar as aplicações (áreas, volumes, centro de massa, trabalho, etc.) nos exemplos.
Nesse encontro, ficou decidido pelo grupo que, às sextas-feiras, aconteceriam reuniões com a participação de todos os docentes, tutores, auxiliares didáticos e pesquisadores externos do projeto. Essas reuniões realizavam-se, geralmente, no período das 10h30 min às 12 horas, no Laboratório de Informática, situado no prédio do Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica.
O objetivo das reuniões semanais era identificar problemas surgidos, durante a semana, em sala de aula ou extra-classe. Os problemas poderiam ser de ordem pedagógica (dificuldades em relação à disciplina, à interação dos tutores com os estudantes) ou de ordem técnica (como manutenção em equipamentos utilizados: - computadores, retroprojetores). Era o momento para se discutirem, analisarem e organizarem os trabalhos entre professores e tutores. Foram utilizados os seguintes instrumentos de apoio: listas de exercícios, atividades de laboratório semanais (atividades computacionais), proposta de dois projetos desenvolvidos pelos estudantes e atendimento dos tutores aos estudantes (duas horas semanais em horário extraclasse, convenientemente combinado). Além desses suportes, foi criado um site: www.ime.unicamp.br/~calculo, no qual os estudantes encontrariam os seguintes recursos para participar, dando a sua opinião e/ou consultar:
(i)Informações (programa, critério de avaliação, equipe de tutores, oficina de
estudos, notas, calculadora da média); (ii)Caldeirão (Fórum de discussões);
(iii)Black Tie (Sarau da Quinta, Mostra de Trabalhos);
(iv)Dª Nana Recomenda (A boa lista, O tutorial da HP 48G/GX, O mapa deste
site);
(v)Túnel do Tempo;
(vi)Novidades (Notas, Questionário sobre Cálculo com Aplicações);
(vii)Mãos à Obra (Listas/Exercícios/Labs, Provas/Testes, Projetos);
(viii)Prof. Pardal (Desafios!, Pega Erro!) e
Figura 08: Página Ambiente de Ensino e Aprendizagem do Projeto
A informação central da página descreve sobre a dinâmica do trabalho e a história do projeto. Ressalta-se que toda estrutura visava à interação acadêmica e social dos estudantes.
Os professores responsáveis pela disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, no projeto “Cálculo com aplicações”, possuem experiência no ensino superior de matemática e trabalham em sala de aula com aplicativos matemáticos. Os professores inseridos no projeto concordam que a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral deve focalizar conceitos e demonstrações dos principais resultados, suas interpretações e aplicações e utilizar-se da ferramenta computacional para o desenvolvimento do estudo. O aplicativo escolhido pelo professor responsável pelo curso de graduação da Química foi o aplicativo gráfico e numérico Mathematics Plotting Package-MPP (versão 3.80/freeware).
As atividades foram desenvolvidas na sala de aula do Laboratório de Informática do Instituto de Física-Unicamp. Havia duas salas de aulas com os computadores em bancadas, em cinco filas, cada fila com cinco microcomputadores. Eram 20 microcomputadores da marca PC-DIGITAL:- 486, ligados em rede NOVELL. Os
estudantes trabalhavam individualmente e/ou em duplas, dependendo da natureza da atividade.
O programa do aplicativo gráfico “Mathematics Plotting Package-MPP”
encontrava-se em “redes locais” de fácil acesso. Foram disponibilizadas duas impressoras matriciais Olivetti.
A aplicação das tarefas para serem solucionadas com a ajuda do aplicativo gráfico e numérico Mathematics Plotting Package-MPP ocorria na própria sala de aula do
Laboratório de Informática de Física. Semanalmente, às segundas-feiras, das 8h às 10 horas. A classe era dividida em três turmas para realizar duas atividades distintas: uma era a aplicação dos conceitos matemáticos trabalhados na semana, utilizando a ferramenta computacional, e a outra solucionavam a lista de exercícios com lápis e papel.
Os estudantes, quando se encontravam no Laboratório de Informática, deparavam-se com dois tipos de saberes: (1) a linguagem computacional a ser aprendida por meio do domínio da informática e (2) o conteúdo de Cálculo Diferencial e Integral e suas aplicações.
No decorrer das aulas no laboratório, observou-se que os estudantes tinham prazer de permanecer no local. Havia muita discussão entre os estudantes para a realização das tarefas, o que transformava o laboratório num ambiente de trabalho de criação. Havia bastante interesse por parte deles nas aulas no laboratório. Eles quase não saiam de lá. No horário de saída, a movimentação era maior e o fluxo constante. Para eles o laboratório representava uma transformação da aula conservadora e uma inovação do saber.
È importante salientar que, tanto os estudantes como os professores afirmaram ser imprescindível a aula teórica antes da prática, pois é necessário aprender os conceitos antes de operar com a ferramenta computacional. Na verdade, a ferramenta computacional é um verificador de resultados como também ela ajuda a intuir, explorar, a fazer movimentos.
Na página da internet do projeto, disponível em: http://www.ime.UNICAMP.br/~calculo/22, com auxílio do aplicativo computacional “Quick-Time”23, tornou-se possível provocar movimentos nas figuras construídas, explorá-
22 Acesso em 19/10/1998. 23
Aplicativo freeware; disponível em: http://www.apple.com/quicktime/download/win.html. Acesso em 19/10/1998.
las e analisá-las. Neste endereço da página na web, encontram-se as várias atividades solicitadas para os estudantes do projeto a serem realizadas em ambiente computacional. Selecionaram-se duas atividades por caracterizarem o movimento do processo de pensamento e construção de conhecimento. As duas atividades selecionadas foram realizadas pelos estudantes Renato Cantão e Rodrigo Portugal, integrantes do projeto “Cálculo com Aplicações”24, de 1998. Para a realização das atividades, os estudantes utilizaram o aplicativo gráfico “Quick-Time”. Uma das atividades reporta-se à História do Cálculo, mostrando o “aparecimento” do Cálculo Integral com ajuda do matemático grego do período helenístico, Arquimedes (287 a.C. - 212 a.C.) e ao Cálculo Diferencial e Integral com as contribuições de Newton e Leibniz.