Representação de problemas

Habitualmente, antes de se resolver um problema é comum se utilizar de um conjunto de convenções próprias para representar o conjunto de informações que se tem e onde se deseja chegar. A representação do problema pode contribuir tanto para o conhecimento como para a solução dele. Crê-se que é importante elaborar uma representação do problema para daí trabalhar a sua solução. Uma adequada representação facilita a solução do problema.

A representação é um instrumento indispensável para a solução de um problema com a calculadora ou com a ferramenta computacional. È por meio da representação que é possível a utilizar operadores para se obter a solução. A representação pode ser definida como uma estrutura de dados que contém a descrição do problema e um sistema de acesso à informação contida na estrutura de dados. A representação deve conter operadores que dêem condições de soluções do problema. Por exemplo; no livro de Edwards & Penney, p. 65, tem-se uma proposta de pesquisa numérica que contribui para a compreensão da definição de limites. Para isto os autores recomendam a utilização da calculadora TI-8133.

Figura 31: A Calculadora TI-81

Especificamente, nesta atividade da página 65 do livro texto os autores, descrevem os passos da referida calculadora TI-81 que os estudantes utilizarão.

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Especificação do modelo: CPU de 2MHz ZiLog Z80, memória de 2.4 RAM, tamanho da tela 96 x 64 pixel e 16 x 8 caracteres.

“Suponha que queiramos achar o valor (se existir) do limite lim ( ) x→a f x

de uma função f em x=a. Partiremos de um incremento fixo h e calcularemos (tão exatamente quanto possível) os valores de f nos pontos: 2 3 , , , ... , , ... 5 5 5 5n h h h h a+ a+ a+ a+ ,

que tendem para o numérico a quando n aumenta. A Fig. 2.2.12 mostra um programa simples de calculadora TI para este fim”.

Figura 32: Programa da calculadora TI-81 para pesquisa de lim ( ) x→a f x . Passos do programa Comentários

Prgm1: LIMIT :Disp``A´´ :Input A :1→H :0→N :Lbl 1 :H/5→H :A+H→X :Disp X :Disp Y1 :N+1→N :Pause :if N<8 :Goto 1 :End Nome do programa

Valor delimitador a de entrada x Incremento inicial h=1

Valor inicial do contador n=0 Sinal (label) para começar o loop Divida h por 5

Faça x=a+h

Exiba o novo valor de x Exiba o novo valor de f(x) Contador de incremento

Pressione ENTER para continuar Se n < 8 volte ao loop novamente.

Na atualidade, a utilização da calculadora é considerado um instrumento de cálculo em diferentes atividades práticas e profissionais. Nas escolas está sendo utilizada pelos estudantes em disciplinas de natureza técnica e em cursos técnicos ou científicos.

A calculadora constitui, para o ensino de matemática, um instrumento com grandes potencialidades educativas. A sua utilização pode contribuir para um ensino, cuja ênfase esteja colocada na compreensão, no desenvolvimento de diversas formas de raciocínio e na resolução de problemas.

Há uma sugestão no livro-texto, que se tome a=0 e h=1. para a realização da atividade citada . Assim, o cálculo dos valores numéricos f(x) passa a ser nos pontos: 0,2; 0,04; 0,0008, ... , (0,2)n, ... , “que tendem a zero quando n aumenta”.

Os referidos autores ressaltam a função f x( ) x 25 5

x

+ −

= , porque o resultado

numérico sugere que

0 25 5 1 lim 10 x x x → + _{− =} .

Entretanto, ao se utilizarem alguns sistemas de computadores, por exemplo; “one-liners” para tabelamento de funções, observa-se que os resultados numéricos tendem ao valor 0,1; conforme mostra numericamente a tabela abaixo.

X 25 5 x x + − (valores arredondados) 0,2 0,09980 0,04 0,09996 0,008 0,09999 0,0016 0,10000 0,00032 0,10000 0,000064 0,10000 M M ↓ ↓ 0 0,1 Figura 33: Pesquisando 0 25 5 lim x x x → + − .

Na página 65 do referido livro texto, os autores apresentam sugestão de expressões de comandos relacionados a cinco “softwares” de programação específica para a resolução do 0 25 5 lim x x x → + − .

BASIC FOR n=1 to 8 : PRINT a+h/5^n, f(a+h/5^n) : NEXT

Derive [VECTOR(a+h/5^n, N, 1, 8), VECTOR(f(a+h/5^n), n, 1, 8)]´ Maple For n from 1 to 8 do print (a+h/5^n, f(a+h/5^n)) od

Mathematica MatrixForm[(a+h)/5^n, f(a+h/5^n)), {n, 1, 8} ] (X)PLORE Table( f(a+h/5^n), n = 1 to n = 8)

Figura 34: Comandos para tabelamento de valores de f(a+h/5n).

É interessante ressaltar que com a utilização dos “softwares” acima há necessidade de que o estudante conheça linguagem de programação. Entretanto, com o “software” MPP, a resolução do problema ocorre de outro modo; isto é, declarar a expressão matemática sem a necessidade de declarar expressões de comandos. Para encontrar a solução do 0 25 5 lim x x x → + −

no MPP, o estudante terá que realizar os seguintes passos:

1. Na tela inicial do programa aparecerão seus módulos onde a escolha deverá ser 1.

2. Em seguida, pressionando a tecla “Enter”, aparecerá a tela que informará ao estudante quais serão os recursos que se encontram neste módulo.

Figura 36: Tela de informações do módulo 1.

3. Ao pressionar a tecla “Enter”, aparecerá a tela na qual deverá declarar a expressão matemática para que por meio do gráfico possa realizar a inspeção numérica do 0 25 5 lim x x x → + − .

Figura 37: Tela de declaração das expressões matemáticas.

Pode-se observar que a expressão declarada não requer do estudante, nenhum conhecimento de uma linguagem de programação.

4. Para a solução do problema

0 25 5 lim x x x → + −

será visualizado na próxima tela que aparecerá pressionando a tecla “Enter”.

Figura 38: Tela de declaração com algumas expressões matemáticas

Observação sobre os comandos que aparecem na tela do programa: a) F1: tamanho da janela gráfica para visualizar o gráfico,

b) F2: caixa de informação da expressão matemática e xmin e xmax é caixa de

informação do domínio da função. Como a expressão declarada 25 5

x x

+ −

, tem problema de existência quando x=0, então o problema será dividido em duas etapas: à esquerda e à direita do valor zero. (O MPP exige do estudante o conhecimento da determinação do domínio da função)

5. O próximo passo é pressionar F9, para visualizar as informações gráficas.

Polya (1985) elucida que encontrar a solução de um problema é uma descoberta. E em qualquer descoberta, por mais simples que seja, deve-se investigar o que existe para ser descoberto.

“Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade suscetível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter”. (p.36)

Um dos objetivos do ensino do Cálculo Diferencial e Integral é a resolução de problemas. Entretanto os conceitos são considerados muito abstratos pelos estudantes. Acredita-se que, por meio da visualização computacional, seja possível contribuir com a resolução de problemas do Cálculo Diferencial e Integral e talvez descobrir se existe mais alguma coisa além da tela do computador sobre os objetos que estão sendo observados.

Atenta-se que o estudo do Cálculo Diferencial e Integral, caracteriza-se por associar o método de investigação à análise geométrica grega. Acredita-se que este fato reflete o pensamento geométrico e analítico de seus criadores. Em particular, Isaac Newton – um dos criadores - foi influenciado pelo método analítico e utilizava-se do método geométrico para investigar a natureza das coisas. Newton investigava uma determinada situação da mesma maneira que os geômetras gregos investigavam uma figura, no sentido de descobrir nexos entre as suas partes. Para Newton, o estudo das inter-relações físicas de um experimento é regido pelo procedimento heurístico detectado no estudo das inter - relações das partes de uma figura na antiga geometria grega. Pode-se observar, a seguir, na figura, o auxilio geométrico de que Newton se utilizava como recurso de visualização e de resolução de problemas.

Figura 40: Manuscrito original de "Optica” de Isaac Newton.34

Retomando a idéia de elucidar a resolução de problemas em ambiente computacional, outro exemplo do mesmo livro de Edwards & Penney, na página 173;

“Use o método de Newton para achar o valor de x para o qual x3 = cos(x).”

Passos para a solução de um problema com o MPP:

1. Escolher no menu principal o módulo de resolução do problema. No caso, o módulo 2 é o mais adequado porque é o módulo que determina, raízes pelos métodos de Newton, da bissecção ou da secante.

Figura 41: Tela do menu principal do MPP.

2. Abre-se a tela abaixo que irá explicar ao estudante os métodos de encontrar as raízes de uma equação real.

Figura 42: Tela do módulo do cálculo de raízes.

3. A seguir tem-se a tela abaixo onde se escolherá o método para determinar a raiz da equação. Foi escolhido o método de Newton e a seguir, na caixa de informação F2, declara-se a função. Como o método de Newton baseia-se na derivada, o estudante terá de declará-la na caixa de informação F3.

Figura 43: Tela de declaração do método e da expressão matemática.

Ao pressionar F9, ao estudante será solicitado, pelo programa “chutar um valor” “(guess)”, a iniciar o processo para encontrar a raiz da equação. Para resolver o problema, toma-se um ponto qualquer, por exemplo, o valor -2:

“Guess”:-2

Figura 44: O cálculo do zero da função pelo método de Newton pela esquerda-MPP.

O estudante visualizará o processo geométrico do Método de Newton. O MPP mostra, durante o cálculo, a reta tangente nos pontos. Ao terminar o processo de cálculo, o estudante terá, na tela do MPP, as seguintes informações:

a) #iters 8; significa no MPP, que o “guess” utilizado pelo estudante provocou 8 iterações. Este número poderia ser menor se o estudante tivesse atribuído um valor mais próximo do zero. Para isto ele deveria ter utilizado o módulo 1, no qual ele poderia “visualizar o gráfico da função” e estimar o valor do zero da função.

b) x=0,865474; significa que o valor encontrado da raiz tem 6 dígitos

A seguir tem-se a ilustração do processo, tomando-se um ponto qualquer à direita. Por exemplo: “Guess”: 2.

Figura 45: Cálculo do zero da função pelo método de Newton pela direita- MPP.

Ressalta-se que historicamente, a origem do método de Newton é geométrica. Consiste em definir a nova iterada a partir da intersecção com o eixo das abscissas da tangente à função f (calculada na iterada anterior):

Observação: A equação da tangente no

ponto xn é y=f(xn) + f'(xn ) ( x - xn ) e a

iterada xn+1 é a "raiz da tangente". Basta

tomar y=0 para verificar que o valor de xn+1

coincide com o obtido. Entretanto, mesmo geometricamente, não se pode ter iteradas em que f' (xn) = 0, pois as tangentes

ficariam paralelas ao eixo das abscissas, e não haveria intersecção.