O conceito de problema

Há diversas concepções acerca do que é um problema ou quando as pessoas se encontram diante de um problema. Parte dessa diversidade deve-se ao hábito do uso da palavra problema sem seu real significado. De modo geral, qualquer pergunta passou a ser considerada problema.

Etimologicamente, a palavra problema refere-se a algo com que se depara como objeto de discussão por ser dificil de explicar ou de resolver. Após o embate, nasce o desejo de resolvê-lo, às vezes com hesitação ou perplexidade para descobrir o que está por detrás.

Saviani (1985), ressalta que uma das formas mais comuns de que se utiliza a palavra problema é como sinônimo de questão. O referido autor considera como questão, por exemplo, a seguinte pergunta: “quantos anos você tem?” Esta pergunta pode ser considerada uma questão e não um problema, porque a resposta é conhecida e não é considerada como algo enigmático por quem a responda. Mesmo que se exija uma resposta um pouco mais complexa, por exemplo; - quantos anos você tem em número de dias, ou de horas ou de minutos?- não faz com que esta questão se torne um problema. A resposta não será simples e imediata. Pode-se demorar um pouco ou também pode-se desconsiderá-la. De acordo com tal acepção, os exercícios escolares de matemática são considerados questões, pois, de antemão, as respostas são conhecidas (pelo menos por parte do professor). Sobre isto o referido autor ressalta: “Isto é evidente em relação ao professor,

mas não deixa de ocorrer também no que diz respeito ao aluno. Na verdade, o aluno sabe que o professor sabe a resposta; e sabe também que, se ele aplicar os procedimentos transmitidos na sequência das aulas, a resposta será obtida com certeza. Se algum problema ele tem, não se trata aí do desconhecimento das respostas às questões propostas mas, evidentemente, da necessidade de saber quais as possiveis conseqüências que poderá acarretar o fato de não aplicar os procedimentos transmitidos nas aulas.”(p. 11)

Para Saviani, uma questão não é suficiente para definir a palavra problema. Entretanto, Saviani ressalta que para se definir problema tem-se que recorrer à sua essência, que é a necessidade. Para este autor a necessidade é a intenção do individuo em envolver-se nas tarefas tendentes à resolução de uma situação. Saviani (1985) afirma: “Uma questão em

si não caracteriza o problema, nem mesmo aquela cuja resposta é desconhecida; mas uma questão cuja resposta se desconhece e se necessita conhecer, eis aí um problema. Algo que eu não sei não é um problema; mas se eu ignoro alguma coisa que preciso saber eis-me, então, diante de um problema. Da mesma forma, um obstáculo que é necessário transpor, uma dificuldade que precisa de ser superada, uma dúvida que não pode deixar de ser dissipada são situações que se nos configuram como verdadeiramente problemáticas. (p.14)”

Na Educação Matemática, a resolução de problemas constitui uma metodologia de estudo distinta e o significado do que é um problema tem preocupado diversos autores. Por exemplo, Schoenfeld (1991), observa que, ao consultar sete educadores matemáticos para encontrar uma definição do que é um problema, é muito provável que se obtenham muitas outras definições diferentes.

Acredita-se que a evolução matemática aconteça devido aos problemas decorrentes da própria evolução humana. A importância atribuída ao problema depende das contribuições que ele pode dar e impulsionar os diversos ramos da matemática. Entende-se que um problema matemático é toda situação que requer a descoberta de informações matemáticas desconhecidas para resolvê-lo.

Diante da diversidade do conceito de problema, a seguir apresenta-se o que propõem alguns autores da área da Educação Matemática.

No ano de 1945, o matemático Georg Polya (1887-1985) publicou “A arte de resolver problemas”, em que expôs as características de um modelo de resolução de problemas constituído por quatro etapas: entender o problema, formular um plano, executá- lo e verificá-lo. Polya denominou o estudo destas quatro etapas de “heurística moderna”. Preocupou-se em elaborar sugestões e até propôs descrever estratégias para auxiliar na resolução de problemas complexos.

De acordo com Polya o estudante deve ser conduzido a perceber os princípios da descoberta e deve desejar exercitá-los. Polya também se preocupou com o significado de problema, num sentido amplo, fazendo distinção entre o problema em si e o processo de resolução.

Recentemente, outros aspectos da resolução de problemas - não considerados por Polya - estão sendo objetos de estudos. Por exemplo, estudos sobre análise da resolução de problemas com ajuda da ferramenta computacional os quais revelaram a importância de se desenvolverem atividades de “metacognição”32., ou seja, desenvolver controle dos nossos próprios processos mentais. Observa-se que se trata de um estudo interessante, pois requer a interação de dois campos de pesquisas muito distantes em princípio: a dos

34 _{"Cognição significa qualquer operação mental: percepção, atenção, memorização, leitura, escrita,} compreensão, comunicação, etc. Metacognição é o conhecimento de todas estas operações mentais: o que são, como se realizam, quando se usa uma ou outra, que fatores ajudam ou interferem na sua operatividade".

educadores e a dos psicólogos interessados na Teoria da Aprendizagem e pesquisadores em Inteligência Artificial.

Sternberg (1996) construiu um modelo de resolução de problemas constituído por sete etapas para a resolução de um problema: identificar, definir, construir uma estratégia, organizar informação, ter recursos, monitorar e avaliá-la.

Para Eves apud Singh (1997) “(...) Um especialista em resolver problemas

deve ser dotado de duas qualidades incompatíveis - uma imaginação inquieta e uma paciente obstinação.” (p. 213)

A tecnologia computacional tem contribuído para a mudança dos conteúdos das matrizes curriculares de matemática nos diversos níveis de ensino e os métodos pelos quais a matemática é ensinada. Os estudantes devem continuar a estudar conteúdos matemáticos apropriados e também serem capazes de reconhecer quando e como usar a ferramenta computacional para se trabalhar com a matemática. Cabe aos professores propiciar momentos sobre como e quando usar a ferramenta computacional para auxiliar a compreensão matemática dos seus estudantes.

Henry Poincaré (1854-1912), matemático francês, relata em sua obra “Ciência e

método” (1908), o desejo de solucionar um problema em matemática, no qual estava

trabalhando arduamente e sem sucesso, nas funções fuchsianas. Cansado, fez uma pausa para ir a uma excursão geológica. Assim que tomou o ônibus para a excursão, teve uma inspiração. O resultado procurado apareceu de uma maneira surpreendente e ele teve certeza de ter resolvido o problema. Mais tarde, ele pôde verificar o resultado.

As funções fuchsianas que Poincaré descobriu, são funções f(z) que têm a propriedade de voltar a tomar o mesmo valor quando a variável z sofre uma substituição da forma: (az+b) / (cz+d) em que a, b, c e d são constantes determinadas, formando assim um grupo descontínuo: f((az+b)/(cz+d))=f(z). Poincaré reconheceu os esforços do professor Fuchs, dando a essas funções o nome de funções fuchsianas. A figura abaixo mostra uma representação dessas funções.

Figura 30: Uma representação da função Fuchs.

Na Grécia Antiga também encontramos exemplos de matemáticos que desejavam ajudar outras pessoas a solucionar problemas. É interessante elucidar a preocupação e o tratamento dado pelo filósofo grego Sócrates para o pensar sobre o pensamento. Para Sócrates, o que atualmente denominamos de problema, denominava-se “recordação”. Em um de seus famosos diálogos com Platão, mostra-nos que, através de perguntas, um escravo conseguiu descobrir o Teorema de Pitágoras. Assim, Sócrates conclui que o escravo possuía o conhecimento. Era necessário, no entanto, instigá-lo.

Acredita-se que não há muito que fazer para desenvolver a capacidade de resolução de problemas, exceto, talvez, aprender a técnica de questionamento de Sócrates. Esse exemplo foi utilizado para observar que, ao se utilizar a tecnologia digital no ensino e aprendizagem, o educador deve refletir sobre as perguntas que se farão aos estudantes.

Wiles (1996) apud Singh (1997) é um matemático inglês dedicou seus estudos para demonstrar o teorema de Fermat. O referido matemático descreve a emoção na resolução de um problema clássico: “(...) Talvez descrevesse melhor a minha experiência

de trabalho matemático como a entrada numa mansão escura. Vamos até à primeira divisão, que está escura, completamente escura. Damos encontrões, batemos na mobília. Gradualmente, acabamos por aprender onde se encontra cada peça da mobília. Finalmente, após cerca de seis meses, encontramos o interruptor e ligamos a luz. De repente, tudo se ilumina e podemos ver exatamente onde estivemos. (...)”. (p. 284)

Para Newell e Simon (1972), um problema é uma situação na qual o indivíduo deseja fazer algo, porém desconhece o caminho das ações necessárias para concretizar a sua ação. Entretanto, para Polya (1978) só há problema quando há uma dificuldade que se deseja vencer ou contornar. Segundo Kantowski (1980), o problema é uma situação com que o indivíduo se defronta e para a qual não tem um algoritmo que lhe permita chegar à

solução. Schoenfeld (1985) considera problema uma questão difícil ou que levanta dúvidas; uma questão de pesquisa, discussão ou pensamento; uma questão que exercita a mente. E para Chi e Glaser (1993), o problema é uma situação na qual o indivíduo atua com propósito de alcançar uma meta utilizando para tal alguma estratégia em particular.

Como referências foram escolhidas duas das diversas perspectivas para se definir um problema: a que toma como referência a relação do indivíduo com a situação ou a que o distingue da própria tarefa. No primeiro caso, o indivíduo é o centro da reflexão, ou seja, a mesma situação pode ser um problema para uns e não ser para outros. Por exemplo, a abordagem feita por Saviani (1985), trata de identificar a necessidade ou intencionalidade como a essência do problema. No entanto para Schoenfeld (1985) e Kantowski (1980), problema é descrito como uma situação desconhecida para o indivíduo que compara com a situação. Desta maneira, a identificação, se é ou não um problema, leva em consideração a existência ou não de determinadas características inseparáveis à tarefa. Por fim, a situação é um problema, independentemente do indivíduo ou da experiência que ele possui. Por exemplo, Smith (1991), ressalta as atividades mentais que a tarefa exige do indivíduo: a análise e o raciocínio.

Acredita-se que as duas abordagens são pertinentes, de acordo com a situação e dos objetivos que se deseja ressaltar ou valorizar. Contudo, é interessante observar que, mesmo diante da gama de diversidade de situações consideradas como problemas, devem- se levar em consideração três aspectos que os caracterizam: a sua formulação, as estratégias ou procedimentos para a sua resolução e o tipo de solução do problema. O

problema deve-se apresentar com clareza em seu enunciado para que o objetivo a ser alcançado conduza o indivíduo, que o resolve, a criar um conjunto de ações possíveis, cuja execução de estratégia a ser utilizada, produza um resultado que contribua para a sua resolução.

No que segue pretende realizar a análise da resolução de problemas por meio da interpretação da visualização de informações com a ferramenta computacional MPP. Para atingir tal objetivo utilizará, como referencial teórico, a definição de problemas dada por Saviani (1985). Para auxiliar na análise da resolução de problemas, recorrerá a Polya (1985) e Sternberg (1996).