A disseminação do uso do computador está possibilitando mudar a forma de produzir, armazenar e disseminar a informação. Assim, cientistas americanos como David Smith (Department of Mathematics, Duke University), David Marius Bressoud (Department of Mathematics and Computer Science, Temple University), Ed Dubinsky (Department Mathematics & Computer Science, Georgia State University, Atlanta, Georgia), Paul Zorn (Department of Mathematics, St Olaf College, Northfield Minnesota) e Cornelio Hopmann (Universidad Nacional de Ingenieria, Facultad de Electrotecnia y Computacion, Managua Nicaragua), e outros das áreas de computação e matemática, descontentes com os resultados do ensino do Cálculo Diferencial e Integral, iniciaram um movimento de reflexão desta disciplina, na década de 1980. Este movimento gerou a reforma do Cálculo, com o objetivo de encontrar formas criativas para ajudar os estudantes a entenderem suas idéias fundamentais. Alguns dos participantes sugeriram a utilização do sistema computacional algébrico (Computer Algebric System-CAS), com o objetivo de:
(i) explorar a compreensão conceitual; (ii) analisar o erro e a aproximação;
(iii)inovar os tipos de exercícios e perguntas;
(iv) superar as limitações das habilidades algébricas.
O primeiro CAS elaborado foi o MuMATH21 que é um aplicativo numérico. Para utilizá-lo, é necessário o conhecimento da linguagem de programação específica. Outro aplicativo utilizado nessa época foi o Macsyma22. Trata-se de um aplicativo simbólico, que trabalha com equações e expressões na forma simbólica. Tal aplicativo utiliza símbolos de integração ou diferenciação, o qual permite ao usuário a substituição por outras expressões ou troca de variáveis.
Uma das primeiras investigações que se tem deste período é de Palmiter (1986a) que estudou dois grupos (A e B) num curso de cálculo. Foram utilizado, no grupo A, os instrumentos lápis e papel, ou seja, um curso tradicional e no grupo B, o aplicativo Macsyma. Os estudantes do grupo B foram avaliados após cinco semanas do início do curso e os estudantes do grupo A, após dez semanas. Os resultados foram analisados e concluiu-se que os estudantes do grupo B (Macsyma) realizaram as tarefas, utilizando mais os conceitos matemáticos (técnicas de integração) do que os estudantes do grupo A.
Heid (1984, 1988), da Universidade de Maryland-Pennsylvania-USA, utilizou o CAS, para reorganizar um curso de Cálculo, os conceitos pedagógicos e suas aplicações. A dissertação de Heid (1984) foi considerada um marco do começo oficial da reforma do ensino de cálculo nos Estados Unidos. A hipótese de Heid era que os estudantes aprenderiam os conceitos e aplicações do cálculo sem necessidade de desenvolver as habilidades computacionais. Durante as primeiras doze semanas do primeiro semestre, os estudantes responderam perguntas e solucionaram problemas de aplicações e usaram o aplicativo MuMATH, que permite calcular limites, derivadas, primitivas de funções e seus respectivos gráficos. De acordo com a investigação de Heid, os estudantes apresentaram desempenho superior aos estudantes da classe tradicional, sob a forma de testes em que a avaliação era baseada na compreensão dos conceitos de cálculo. Por exemplo, o significado da derivada. Heid dedicou as últimas três semanas do semestre para desenvolver habilidades que ela denominou de manipulativa. Por exemplo, o uso da regra da cadeia e do
21
Aplicativo freeware. Disponível em: http://wombat.doc.ic.ac.uk/foldoc/foldoc.cgi?MuMATH. 22 Aplicativo freeware. Disponível em:http://www.macsyma.com/
produto e algumas técnicas de integração. Também foram realizadas sessões experimentais e tradicionais durante o curso de cálculo. Heid avaliou o curso que ela projetou e ensinou com o MuMATH. Filmou quase todas as sessões da classe experimental, realizou várias reuniões, observou a classe tradicional, entrevistou estudantes de ambas as classes, e elaborou notas extensas em reuniões com estudantes, fora da sala de aula. Os estudantes de Heid sobressaíram-se em relação aos estudantes da classe tradicional (com lápis e papel), porque demonstraram, através de representações visuais, os conceitos apreendidos no decorrer do curso. A tese de Heid foi confirmada demonstrando que a utilização da ferramenta computacional favorece aprendizagem dos conceitos do curso de Cálculo. Além disto, incentivou e possibilitou os estudantes a uma variedade de explorações visuais de matemáticas que não era possível somente com aulas tradicionais (quadro-negro e giz).
Dubinsky e Schwingendorf (1990) realizaram uma experiência semelhante à pesquisa de Heid na Universidade de Purdue-USA. No primeiro semestre do curso experimental, estes professores dedicaram a maior parte do semestre à formação de conceitos e aplicações. As duas últimas semanas do curso foram reservadas para preparar os estudantes para um exame final, elaborado pelo departamento de matemática, cujo objetivo era verificar a utilização das técnicas manipulativas de conceitos. Os estudantes de Dubinsky e Schwingendorf obtiveram em média 75% de acertos naquele exame, enquanto que a média obtida pelos estudantes do departamento foi de 69% de acertos. No segundo semestre, diminuiu-se em uma semana o tempo dedicado para se trabalhar as habilidades manipulativas de conceitos e os estudantes dos pesquisadores obtiveram, no exame final, o resultado exatamente igual à média do departamento.
Os estudos de Palmiter (1986a, 1986b); Heid (1984, 1990 e 1995), como os de Dubinsky e Schwingendorf (1990), contribuíram para afirmar que, em um curso de cálculo, utilizando o CAS (Macsyma ou MuMATH), não ocorre perda de conteúdo quando se trabalha com a ferramenta computacional. Ao diminuir o tempo de manipulação de conceitos, os cursos que utilizaram o CAS demonstraram que as representações visuais e numéricas, além das representações simbólicas tradicionais, foram acentuadas (Heid, 1984, 1988; Muller, 1991; Ostebee e Zorn, 1990).
Pesquisa realizada por Park e Travers (1993) avaliou os estudantes de matemática no curso “Calculus & Mathematica”, da Universidade de Illinois-USA. Durante
o curso, os estudantes foram observados e entrevistados. Foram realizados pré e pós-testes e analisados mapas conceituais construídos pelos estudantes. Os pré e pós- testes foram aplicados a todos os estudantes durante as aulas. Ressalta-se que os mapas conceituais foram elaborados sob a forma de tarefa e 75% dos estudantes entregaram. Park concluiu, na sua investigação, que os estudantes de “Calculus & Mathematica”, mostraram compreender mais as relações entre as representações visuais e simbólicas do que os estudantes de um curso tradicional.
Gray e Tall (1993), em seus estudos com estudantes de Matemática da Universidade de Warwick-England, identificaram a flexibilidade de pensamento, isto é, alguns estudantes têm facilidade de trabalhar com o simbolismo matemático, associando o símbolo a um procedimento ou a um conceito matemático. O trabalho desenvolvido por esses pesquisadores contribuiu para a compreensão de tornar mais explícitos alguns problemas do ensino da matemática, em especial, a questão da ênfase dada ao ensino de regras e algoritmos dissociados dos conceitos e que podem constituir-se em um fator de inibição do desenvolvimento do pensamento matemático pelos estudantes.
Porzio (1994) comparou três cursos de cálculo do primeiro ao quarto ano na Universidade de Ohio: (1) curso tradicional, (2) com calculadoras gráficas e (3) “Calculus & Mathematica”. Procurou-se explorar a relação da derivada, a demanda e a primeira derivada, num curso de cálculo, envolvendo três grupos de estudantes dessa disciplina: o grupo I era caracterizado pelo ensino tradicional, o grupo II usou o aplicativo “Calculus & Mathematica” e o grupo III usou a calculadora gráfica. O grupo de estudantes que utilizou o aplicativo “Calculus & Mathematica”, mostrou diferentes formas de representações (simbólica e numérica) e apresentou relações das representações visuais e simbólicas em relação aos outros dois grupos de estudos. As análises estatísticas dos grupos I e II não apresentaram diferenças significativas um do outro.
Hegedus (1997) investigou as dúvidas dos estudantes em relação à solução de problemas sobre função, derivada, integral e limites. Da literatura consultada, o conceito de domínio da função (campos numéricos) foi o que mais apareceu nas concepções errôneas dos estudantes. Este engano é atribuído à aprendizagem elementar da matemática, inclusive as dificuldades da forma genérica do pensamento da matemática formal (pensamento algébrico).
Rieber (1994) descreve e integra as três áreas de investigação sugeridas pelo título de seu livro - computadores, gráficos e aprendizagem. O livro tem três partes principais. A primeira parte (capítulos 1, 2, 3) apresenta uma avaliação sobre gráficos em educação e traz um pensamento que induz a exemplos de como a visualização ajuda o ser humano na solução de problemas. A segunda parte (capítulos 4, 5, 6) apresenta uma avaliação da teoria e pesquisa que relacionou o visual-instrutivo. A terceira parte (capítulos 7, 8, 9) dá ênfase às considerações relacionadas a apresentações visuais e ambientes de aprendizagem interativos. O livro é interessante, no sentido de mostrar como o autor considera as visões tradicionais e alternativas da aprendizagem instrutiva.
Autores brasileiros têm procurado detectar as deficiências, as causas e propor mudanças no ensino de cálculo. Biembengut e Hein (1995) salientam que o cálculo tem sido uma das disciplinas de maior índice de reprovação e, em consenso sobre o que se aprende de cálculo no ensino superior, não é aplicado na respectiva área de atuação. Biembengut e Hein (1995), em seu estudo diagnóstico do ensino de cálculo, no Brasil, identificaram a presença do Cálculo Diferencial e Integral em muitos cursos universitários. Às vezes, na matriz curricular das universidades, o curso de Cálculo aparece com outras denominações, tais com: Análise Matemática I e II, ou Matemática Básica e Avançada (curso de Ciências Contábeis, Administração de Empresas e Ciências Econômicas), Cálculo Diferencial e Integral I, II, III e IV (cursos de Engenharias, Matemática, Física e Química) ou Matemática Aplicada (na Biologia) e em outros cursos.
Bassanezi (1988) aponta um problema sério que acontece em pequeno grau, por exemplo o problema emocional entre professores e estudantes no curso de cálculo. Bassanezi ressalta que esse tipo de problema é comum acontecer com estudantes de cursos que não possuem ligações diretas com a matemática, como nas áreas de biologia ou de humanas. Isso ocorre quando os professores insistem em desenvolver a matemática pela matemática (ensino formalista com ênfase nas regras). Desta forma, gera um desgaste mútuo para os professores e para os estudantes, que geralmente não gostam da matéria, e passam a detestá-la mais ainda; para os professores que, após passarem por essa terrível experiência, tendem a enxergar a disciplina de cálculo como um castigo e fazem de tudo para evitá-la. Isso interfere no ensino e aprendizagem na sala de aula.
Os índices de evasão e repetência trazem sérias conseqüências. Em particular, esta dificuldade foi constatada com os estudantes dos cursos de Engenharia, Arquitetura e Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de Londrina – UEL, num estudo realizado por Souza e Moreira (1996). Estudo parecido, desenvolvido por Silva (1999), apresentou os índices de aprovação nas disciplinas Matemática I e Matemática II (ou Cálculo Diferencial e Integral) com estudantes de engenharia. Participaram desse estudo 439 estudantes, os quais apresentaram deficiência de pré-requisitos para o curso, alto índice de faltas dos estudantes, evasão, desinteresse e a baixa qualidade do rendimento escolar.
Segundo Palis (1995 e 1999), os cursos de Cálculo Diferencial e Integral têm sido, de fato, colocados como barreiras ao acesso profissional, nas áreas técnica e científica, provocando desperdício de capital intelectual. Encontram-se argumentos, nos quais o professor do ensino superior desconhece os conhecimentos prévios dos estudantes e tendem, assim, a supervalorizá-los ou subvalorizá-los. Além disso, poucos professores universitários acompanham e analisam a qualidade do conhecimento que o estudante está adquirindo na universidade.
No ano letivo de 1994, Palis (1995) desenvolveu, com estudantes de Iniciação Científica, um trabalho em Calculo III, utilizando o Pacote Gráfico do National Center for Atmospheric Research-NCAR. De acordo com a autora, foram elaboradas atividades de visualização de gráficos de funções de duas variáveis. Ressalta: “não ficou nenhum registro
dessa ação, como de muitas outras que já devem ter sido realizadas por professores universitários no País” (p. 16).
Barison (1997) preocupou-se em realizar seus estudos de natureza exploratória. Investigou algumas reações psicológicas em 195 estudantes da disciplina de cálculo, ao receberem o feedback após uma prova parcial. Para isso, elaborou-se um questionário que media reações em termos de atribuições, emoções e valorização das notas. Observou-se se elas dependiam da meta de realização que os estudantes têm, controladas três categorias de fatores: gênero, percepções do êxito na prova e autoconceito em Matemática. O estudo concluiu, pelas análises estatísticas, que os estudantes não se orientavam para um determinado tipo de meta (aprender ou evitar fracasso), mas uma parte deles apresentava níveis intermediários nas duas metas, e, independente do nível, argumentaram que não estavam valorizando as notas, pois a intenção era aprender ou passar de ano. As causas
apontadas pelos estudantes que fracassaram foram: o método insuficiente de estudo e a dificuldade da prova. Além disso, apenas os homens argumentaram a falta de esforço e distração.
Cury e Pinent (1999) realizaram um estudo numa universidade do sul do Brasil, com o objetivo de obter informações sobre as concepções de Ciências e de Matemática por parte dos estudantes num curso de Cálculo Diferencial e Integral. Para a realização desse estudo elaborou-se um questionário baseado nas idéias de dois pensadores contemporâneos: Jurgen Habermas (1929 - ) e Ernest Cassierer (1874-1945). Este questionário foi aplicado em 359 estudantes. As respostas geraram uma matriz de dados elaborada com o auxílio do programa estatístico SPSS23. O instrumento buscou avaliar as atitudes/sentimentos/crenças de calouros de Engenharia da PUCRS em relação às Ciências e à Matemática. O estudo mostrou que as concepções de Ciências e de Matemática por parte dos estudantes são contraditórias e que revelou que muitos assimilam idéias vinculadas pelos meios de comunicação sem se preocuparem em discutí-las e questioná-las. Revelou-se no estudo que as concepções dos estudantes são influenciadas pelos professores, que os tomam como modelo para suas futuras práticas. Esta investigação contribuiu para fornecer subsídios para modificações no ensino do Cálculo e pode auxiliar os professores envolvidos no processo ensino e aprendizagem, na compreensão das atitudes/sentimentos/crenças demonstrados pelos estudantes ingressantes na universidade.
Cury (2000) aplicou um teste nas turmas de Ciências Exatas para tentar minimizar as dificuldades apresentadas por estes estudantes na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral A amostra correspondia a um total de 44 estudantes da PUCRS (Física, Matemática, Química e Engenharias: Civil, Elétrica, Mecânica e Mecatrônica) e 9 docentes da mesma Instituição. A análise descritiva dos resultados confirma as alegações de Felder, que caracteriza os estudantes de engenharia como sendo Ativos, Sensoriais, Visuais e Seqüenciais, destacando-se os estilos sensorial e visual. O perfil dos professores também segue o que foi apresentado por Felder21: Reflexivos, Intuitivos, Visuais e Globais. O conhecimento dos estilos da amostra foi utilizado para a proposição de alternativas de
23 O pacote estatístico SPSS (Statistical Package for the Social Sciences - Disponível em: http://www.spss.com.br/
21Felder & Silverman (1988) afirmam que o aprendizado em um sistema educacional estruturado consiste em um processo que envolve dois passos: recepção e processamento de informação. Então, os estilos de aprendizagem são definidos como os diferentes modos de se executar esse processo
obtenção de um novo ambiente de sala de aula. Foram sugeridos: aulas expositivas dialogadas; tarefas em duplas, o que foi ponto de motivação entre os estudantes; uso de laboratórios de informática; recursos gráficos; uso de exemplos de outras áreas; e o ensino indutivo, em que o tema era abordado a partir dos exemplos e fatos, para posteriormente, seguir para as leis e fundamentos.
Fuentes e Cornejo (1994) aplicaram nos estudantes universitários chilenos do primeiro ano, em uma aula de cálculo, um questionário para avaliar seus sentimentos de auto-estima, expectativas de êxito e suas percepções sobre a atuação do professor em classe, além das atividades e conteúdos da aula. Foi possível identificar, no estudo, que quando o estudante avaliava como bom o seu desempenho no primeiro ano da disciplina, manifestava-se o sentimento positivo nos anos seguintes de estudo, despertando segurança em suas expectativas de êxito (fortalecimento das crenças de auto-eficácia).
Palis (1998), afirma que: “(...) A pesquisa em Educação Matemática no Ensino
Superior constitui uma área bastante nova de investigação. Esta área vem se desenvolvendo rapidamente e vem realizando uma substituição paulatina de um conjunto de atividades centradas em observações/diagnósticos por estudos interpretativos e desenho de estratégias instrucionais fundamentadas em teorias de aprendizagem.” (p.111)
Acredita-se que uma reflexão sobre o ensino e aprendizagem dos conceitos e métodos do Cálculo Diferencial e Integral deve extrapolar a discussão no nível da metodologia utilizada em sala de aula.
Diversas sugestões podem surgir em relação aos objetivos dos cursos, ao perfil dos profissionais a serem formados, à estrutura curricular recomendada para esses cursos. Pode-se também coletar informações que abordem os aspectos positivos e negativos dos professores, dos estudantes e dos profissionais diante da disciplina.
Atualmente a pesquisa em Educação Matemática no ensino universitário brasileiro tem aumentado como ressalta Palis. Isto se deve à preocupação dos educadores como ensino e a aprendizagem dos estudantes nesta Sociedade de Informação ou de Conhecimento.
2.3.1 A Integração
Existem procedimentos fundamentais no aprendizado e nas aplicações da matemática que freqüentemente são esquecidos e que precisam ser justificados. De modo geral, são exemplos: a decomposição em fatores primos, a existência de raízes para equações, processos de contagem, a indução matemática e algumas dezenas de fórmulas amplamente usadas sem nenhuma preocupação com “demonstrações” ou mesmo com hipóteses adequadas. Um exemplo muito importante para os estudantes da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral é o ”Teorema Fundamental do Cálculo”, relacionando, de
modo perfeito, os conceitos de derivada e integral definida, garantindo, para esses conceitos, as mais diversas e bem sucedidas aplicações.
Muitos livros de Cálculo Diferencial e Integral adotam para introduzir
∫
f x dx( ) como um estudo da antiderivação, a expressão dy f x( ) y f x dx( )dx = → =
∫
, onde y é afunção denominada de “integração”.
Outros livros mostram que a “área S” sob o gráfico da função x é dS y
dx = , isto é,
a área pode ser obtida pela “integração” de y. E a área sob a curva num intervalo [a, b] é então representada pelo símbolo
b
a
y dx
∫
, que significa a antiderivada y, subtraindo-se o resultado quando x = a de x = b. Há outras práticas de se fazer isto, dando ênfase às técnicas como é o caso da integral por partes ou pela substituição. Há livros que preferem se utilizar da notação dS ydx = , por acreditar que tal procedimento conduz a um resultado
rápido de notação e de técnica.
Edwards e Penney (1997), livro adotado pelo projeto “Cálculo com Aplicações”, inicia o capitulo 5 – pag. 242, expondo ao estudante o estudo de Arquimedes sobre “as
razões entre os volumes e entre as áreas das superfícies da esfera e do cilindro são ambas 2 : 3.” Os autores descrevem a definição da integral e apresentam o símbolo da
tabela, sugerem exemplos de funções suas respectivas antiderivadas. Após isto, mostra-se por meio de um esquema, que a diferenciação e a antiderivada são operações opostas. Ressalta que a técnica da antidiferenciação freqüentemente ajuda a resolver uma equação diferencial da forma: dy f x( )
dx =
No capítulo 5.3 é introduzido pelos autores “os cálculos elementares de áreas de qualquer polígono é decomposto como a soma das áreas dos triângulos que remonta ao Egito e Babilônia de muitos milênios atrás. É ressaltado que os antigos gregos iniciaram a pesquisa de áreas de figuras curvilíneas nos Va.C. e IVa.C..
Estimula-se a inspeção de lados circunscritos e inscritos a uma dada região do polígono. Os autores apresentam a idéia de partição de intervalos e pede aos estudantes para realizarem tarefas para verificar por meio de inspeção numérica, calcular a respectiva área dos retângulos sob, sobre e na curva e colocar os resultados sob a forma de uma tabela. Ou seja, espera-se que os estudantes sejam capazes de compreenderem que aumentando o número de retângulos de bases cada vez menor, maior é aproximação da área sob a curva.
Neil e Shuard (1982) sugerem realizar aproximações numéricas com ajuda de uma calculadora para encontrar a área aproximada sob a curva. Entretanto, as calculadoras da década de 80 eram programáveis. Por exemplo; utilizando uma calculadora gráfica da década de 80 para realizar uma tarefa de investigar o valor da área sob a curva com equação y = x2, y=x3,..., só poderia ser realizada se desenvolvesse um programa do tipo:
Figura 05: Ilustração do programa da calculadora TI-81 para pesquisa lim ( )
x→a f x ,
Tall (1984) elaborou o software VUSoft (não programável) com objetivo de contribuir com o ensino da Matemática. Este programa ajuda os estudantes de diferentes idades para favorecer a visualização, exploração e analise de conceitos matemáticos dos gráficos de funções elementares.
Figura 06: Tela do VUSoft para o cálculo gráfico.
Em todos os momentos do desenvolvimento da humanidade o homem tem-se dedicado em criar instrumentos que facilitam o cálculo, para poder enfrentar determinadas