Sabe-se que a Matemática é uma ciência que faz parte do patrimônio cultural da Humanidade. Dada à flexibilidade e diversidade de aplicações da Matemática possibilitou resolver novos e velhos problemas com o auxílio da ferramenta computacional.
A Comissão Internacional para o Ensino da Matemática-1985 (ICMI) apud Howson (1986) elaborou as primeiras reflexões sobre a influência do computador no desenvolvimento da Matemática e seu ensino sob três momentos:
1. Como é que os computadores e a informática influenciam as idéias Matemáticas, os valores e o avanço da ciência Matemática?
2. Como é que novos currículos podem ser elaborados para refletir a mudança das necessidades e das possibilidades?
3. Como pode o uso dos computadores auxiliar o ensino da Matemática? Diante da evolução dos últimos anos, reconhece-se que as questões 1 e 3 são as que mais se assemelham com os objetivos deste trabalhos em relação ao ensino superior na Matemática e seu ensino com a ferramenta computacional. Sabe-se de exemplos da contribuição da ferramenta computacional na demonstração do Teorema de Fermat, do Teorema das Quatro Cores, do Teorema das Cinco Cores e o surgimento da geometria dos Fractais entre outros. No Cálculo Numérico os métodos iterativos, abordados por matemáticos como Leonhard Euler (1707-1783) e Carl Friedrich Gauss (1777-1855) foram relançados. Conduziu-se a um grande desenvolvimento de certos domínios de investigação como a análise numérica, a lógica e as estruturas discretas abstratas. Estimulou-se o desenvolvimento de novas áreas como a teoria do caos, os fractais, a programação linear e não linear e o estudo da complexidade computacional.
Especificamente com os Fractais é possível representar e visualizar elementos da natureza. É irrelevante para os Fractais a ferramenta computacional porque a representação dos modelos de fractais é muito difícil com a utilização de lápis e papel. A utilização da referida teoria se traduz como instrumento principal em várias das ciências, tais como: geologia, geografia, meteorologia, entre outros. De acordo com a possibilidade
de criação de novas formas e mundos artificiais mais realistas; Benoit Mandelbrot (1924-) representante do desenvolvimento da geometria Fractal descreve:
“Nuvens não são esferas,
montanhas não são cones, continentes não são círculos, um latido não é contínuo
e nem o raio viaja em linha reta.”14
Na Geometria, por exemplo; o sólido de Johnson – a cúpula pentagonal que é um poliedro convexo, formado por polígonos com 25 arestas, 12 faces regulares (5 triângulos, 5 quadrados, 1 pentágono e 1 decágono), 15 vértices, veja abaixo: com ajuda do software Small Stella15.
Figura 01: A cúpula pentagonal.
Observa-se que o aplicativo possibilita a visualização das arestas, dos vértices e das faces. Numa mesma tela o estudante vê a transformação da planificação no R2 para o sólido no R3 e vice-versa.
14Disponível em: http://www.fortunecity.com/emachines/e11/86/mandel.html. Acesso em 14/07/2005. 15
Small Great encontra-se disponível em: http://web.aanet.com.au. É um software freeware, específico para construção de poliedros. Acesso em 10 de maio de 1999.
Figura 02: Tela do software de geometria Small Stella.
Para o gráfico abaixo foi utilizado o software Grafeq 2.02 (freeware). Embora o Grafeq 2.0216, apresenta somente a visão bidimensional do gráfico, a visão tridimensional foi possível modelando a equação da sombra da esfera.
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Grafeq 2.02, encontra-se disponível no site: http://www.peda.com/grafeq. É um software freeware, específico para construção de poliedros. Acesso em 10 de maio de 1999.
A figura geométrica A planificação da figura geométrica
O movimento de abrir e fechar da figura geométrica.
Figura 03: A esfera e a sua sombra
Esfera:
Na esfera apresentada, é possível com a ajuda do aplicativo, o usuário “ver” a equação da curva ou da superfície. A equação da esfera da figura 03 é:
Sombreamento da esfera:
A equação do sombreamento da esfera da figura 03 é:
Na Educação Matemática tem-se discutido o ensino da Geometria Dinâmica17, com a finalidade de capacitar os estudantes e professores para lerem e explorarem os desenhos em termos geométricos. Com a ajuda da ferramenta computacional as propriedades geométricas aparecem dinamicamente como invariantes durante o deslocamento dos elementos geométricos.
Geralmente os aplicativos de geometria dinâmica são construídos baseados nos instrumentos virtuais “réguas e compassos”. Esses aplicativos criam grande impacto
17Designação dada à modelagem geométrica do Cabri Géomètre, do Institut d´Informatique et de Mathématiques Appliquées de Grenoble, França e do similar The Geometer's SketchPad, da Key Curriculum Press, Pensilvânia, Estados Unidos da América.
visual, onde as relações geométricas são exploradas interativamente. Os objetos geométricos podem ser construídos e manipulados no computador.
Fagundes (1997) elucida a importância do movimento e da visualização fácil e clara da construção e dos efeitos da manipulação que é permitido ao usuário realizar na Geometria Dinâmica: “É impressionante como essa capacidade de movimentação de uma
figura transforma em algo manipulável, visível, concreto, uma idéia até o momento não concebida, acelerando o processo de ensino-aprendizagem.” (p. 03).
Acredita-se que devido à versatilidade e facilidade de uso dos aplicativos de geometria dinâmica criou-se um interesse pela geometria nas instituições educacionais.
Há diversos aplicativos de geometria dinâmica entre eles o Cabri-Gèométre, The Geometer's SketchPad, Tabulae, Geometricks, Cinderella e o CaR. A seguir tem-se algumas informações sobre estes aplicativos de Geometria Dinâmica.
-Cabri-Géomčtre (shareware)
Foi desenvolvido por Jean-Marie Laborde e Franck Bellemain, no Institut D’Informatique et Mathématiques Appliquées de Grenoble, França. A sigla
Cabri é derivada de CAhier de BRouillon Interactif. Foi traduzido e
comercializado para vários idiomas. No Brasil, a Pontifícia Universidade Católica de São Paulo-PUCSP, difundiu para várias Instituições de Ensino. Disponível em http://www.cabri.net/.
-The Geometer's SketchPad (shareware).
Foi desenvolvido por Eugene Klotz e por Doris Schattschneider, na Pensilvânia-USA.
Disponivel em http://www.keypress.com/sketchpad/.
-Tabulae (freeware)
O nome Tabulæ se deve ao conjunto de tábuas de cera que os antigos gregos e romanos usavam para rabiscar mensagens e diagramas (Belfort 2001). O aplicativo Tabulae foi desenvolvido pelo Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro-Brasil.
- Geometricks (shareware).
Foi desenvolvido pelo dinamarquês Viggo Sadolin e é representado no Brasil pelos professores Marcelo de Carvalho Borba e Miriam Godoy Penteado, da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho-Unesp.
Disponível em: http://www.rc.unesp.br/igce/matematica/tricks/
-Cinderella, (freeware)
Foi desenvolvido por Jürgen Richter-Gebert e Ulrich Kortenkamp. É um aplicativo semelhante ao Cabri e Sketchpad. Este software permite que se trabalhe também em geometria hiperbólica e esférica.
Disponível em: http://cinderella.de/tiki-index.php
-CaR (freeware)
CaR é a sigla de “Régua e Compasso” (Compass and Ruler). Foi desenvolvido pelo professor René Grothmann da Universidade Católica de Berlim, na Alemanha.
Disponível em: http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann.
Acredita-se que os aplicativos de Geometria Dinâmica trazem algumas vantagens tais como: auxilia os estudantes a criar sua própria "matemática", cria figuras geométricas e avalia suas propriedades; propicia para professores e estudantes a possibilidade de transformar figuras preservando suas relações geométricas originais. Ressalta-se que o tratamento dinâmico da geometria, por meio da ferramenta computacional possibilita que a figura seja arrastada mantendo as relações entre objetos ligados por propriedades geométricas. Também é possível visualizar as novas medidas que vão aparecendo durante o movimento.
Há outras contribuições para o ensino e pesquisa da Matemática como, por exemplo pesquisar com ajuda da ferramenta computacional a convergência de uma série de Fourier. Espinosa (1997) pesquisou com estudantes de Engenharia o problema da
convergência com ajuda do aplicativo Mathematica18. Espinosa relatou que a importância de seu estudo reside na interrelação entre professor, estudante e a ferramenta computacional. Observou-se que durante a realização da atividade os estudantes tinham interesse em contribuir com algumas idéias intuitivas e ao mesmo tempo ia-se tentando modelar graficamente a série. Espinosa atribui a interrelação devido o processo de modelagem que pode ser realizado com ajuda do aplicativo Mathematica. E elucida que, os estudantes discutiam idéias bem definidas do que estava acontecendo ao ver o fenômeno sendo modelado graficamente com ajuda do aplicativo. E recomenda que no ensino de Matemática, é importante não ficar na visualização, mas procurar realizar as demonstrações analíticas, formalizando as conjecturas que foram geradas pela intuição, pela discussão e pela visualização do conceito ou da idéia elaboradas pelos estudantes.
Leonhard Euler (1707-1783) apud D’Ambrosio (1985) reforça a importância da observação na evolução da Matemática: “as propriedades de números que nós conhecemos
foram usualmente descobertas por observação e descobertas bem antes de sua validade ter sido confirmada por demonstração. (...) É por observação que progressivamente descobrimos para provar”. (p. 105).
A ferramenta computacional tem contribuído com as possibilidades da observação e experimentação da Matemática19. Por exemplo, realizar a experimentação numérica para calcular um limite, calcular a derivada em um determinado ponto, a área sob uma curva, verificar o comportamento gráfico de uma função em um determinado intervalo. Neste contexto, Durval (1998) elucida as representações gráficas e a interpretação para a Matemática, levando-se em consideração a discriminação de variáveis visuais pertinentes e a percepção das variações correspondentes na escrita algébrica.
A ferramenta computacional também provocou mudança na forma de demonstração. A Matemática é também uma ciência de demonstração. Entretanto, há padrão para a demonstração dependendo do lugar e do tempo. Na atualidade a Matemática e o matemático convivem com demonstração auxiliadas com ajuda da ferramenta computacional (Teorema das Cores ou o Teorema de Fermat).
18Mathematica é um ambiente para desenvolvimentos matemáticos, numéricos ou simbólicos, com recursos gráficos. Embora faça cálculos numéricos, é principalmente voltado para a manipulação simbólica. É mantido pela Wolfram Research, Inc em: http://www.wolfram.com/products/mathematica/
19
No endereço na Internet; http://archives. math. utk.edu, é possível encontrar muitos aplicativos de Matemática organizados por disciplinas, onde pode-se realizar experimentação.
O objetivo desse capítulo foi de argumentar o uso da ferramenta computacional no ensino da Matemática no ensino superior e tornar mais efetivo do ponto de vista educacional. Provocar mudanças na instituição escola como lembra Lévy (1996), (...) "É
certo que a escola é uma instituição que há cinco mil anos se baseia no falar / ditar do mestre, na escrita manuscrita do aluno e, há quatro séculos, em um uso moderado da impressão. Uma verdadeira integração da informática supõe o abandono de um hábito antropológico mais que milenar o que não pode ser feito em alguns anos." (p.53).
Crê-se que a ferramenta computacional no ensino da Matemática no ensino superior sugere uma reflexão sobre a relação entre a Matemática e a tecnologia digital, tomando como base a necessidade de renovação de saberes. Recomenda-se que as atividades em sala de aula devem proporcionar uma aprendizagem contínua em um exercício coletivo de memória, imaginação, percepção, raciocínios e competências para a produção e transmissão de conhecimentos. Acredita-se que os aplicativos matemáticos devam ser utilizados de modo a favorecer a aprendizagem da Matemática em todos os níveis educacionais para além da memorização dos resultados dessa ciência, favorecendo o “saber pensar matemático”.
D´Ambrósio (1999a) observa que na atualidade, os indivíduos têm como instrumento de trabalho toda a tecnologia disponível. A resolução de problemas geométricos com utilização apenas de régua e compasso continuará a atrair interesse de alguns matemáticos, como aconteceu desde a Antigüidade. Mas o grande desenvolvimento da ciência acontecerá, quando incorpor toda a tecnologia disponível num contexto cultural.