M etodologia Da P esquisa
5.1 A visualização matemática
A visualização matemática é uma forma de descrição das figuras. Desenhar um quadrilátero ou um hexágono torna-se mais fácil do que descrever essas figuras sob expressões formais. A utilização das figuras num texto é um recurso didático coerente com o discurso, tornando-o mais compreensível sobre o que se está descrevendo. Por exemplo, a representação dos problemas traçados com régua e compasso, pelos métodos de representação herdados dos artistas renascentistas e formalizados na geometria projetiva ou descritiva, a representação linear em perspectivas e a representação gráfica com auxilio do computador.
26 O termo imagem é utilizado sob dois aspectos: para favorecer a compreensão e para desenvolver as capacidades gráficas de expressões.
27 No Dicionário Universal da Língua Portuguesa On-Line disponível em: http://www.priberam.pt/dicionarios.aspx, o termo visualização é a transformação de conceitos abstratos em imagens reais ou mentalmente visíveis. Consulta em 16/03/1998.
Segundo Van Hiele (1986), a visualização tem um papel de destaque no processo de construção do conhecimento matemático. Para o referido autor, a representação mental dos objetos geométricos, a análise e a organização formal (síntese) das propriedades geométricas relativas a um conceito geométrico são passos preparatórios para o entendimento da formalização de um conceito.
D’Ambrosio (1986) destaca o papel social que a visualização representa para os matemáticos, colocando que as “(...) Visualizações são possíveis e elas formam um elo
uniforme entre matemáticos oferecendo-lhes assuntos para estudo sobre os quais especialistas de diferentes disciplinas podem trabalhar em conjunto. (p. 105)”.
Eisenburg e Dreyfus (1991) ressaltam a contribuição da interpretação e compreensão que a visualização produz, colocando que a “visualização do ponto de vista
da educação matemática inclui duas direcções: a interpretação e compreensão de modelos visuais e a capacidade de traduzir em informação de imagens visuais o que é dado de forma simbólica” (p. 119).
Entretanto, Zimmerman e Cunningham (1991), elucidam que a visualização está relacionada com os mais diversos ramos da matemática, envolvendo aspectos históricos, filosóficos, psicológicos, pedagógicos e tecnológicos. E para Cunningham (1991), “o termo
visualização científica é comumente corrente para o uso da tecnologia gráfica do computador” (p. 67).
Guzmán (2002) entende que “a visualização em matemática constitui um aspecto
importante da actividade matemática onde se actua sobre possíveis representações concretas enquanto se descobrem as relações abstractas que interessam ao matemático”
(p.16).
A visualização, para os pesquisadores Solano e Presmeg (1995), está relacionada ao processo de construir ou usar imagens visuais, com ou sem diagramas, figuras ou gráficos. Eles concluem: “visualização é a relação entre imagens” (p. 67).
Percebe-se que estas definições se assemelham no sentido que a visualização baseia-se na percepção e na manipulação de imagens visuais.
Entretanto, Nemirovsky e Noble (1997), numa análise psicológica, afirmam que há dificuldade quando se trabalha com os processos de visualização, que é a necessidade de saber se a imagem visual está na mente do estudante ou fora, numa folha de papel ou na
tela do monitor do computador. A resposta sobre essa questão faz com que alguns investigadores sustentem que a forma de representação mental humana é puramente proposicional. Outros, porém, presumem que os humanos possuem dois sistemas distintos de processamento de informação: um que representa a informação verbalmente e o outro que representa a informação visualmente.
Kaleff (1998) reconhece as controvérsias sobre como a visualização se forma em nossa mente. Entretanto, observa-se que ela tem seu lugar de destaque no ensino da geometria, uma vez que esta habilidade pode ser desenvolvida, desde que estejam disponíveis para o estudante, materiais de apoio didático baseados em materiais concretos, representativos do objeto geométrico em estudo. O computador pode ser considerado como material concreto. Crê-se que seu uso apropriado pode tornar o ensino da matemática muito mais eficaz, integrado e significativo, além de elucidar a relação desta ciência com as outras.
Há quem defenda que a visualização pode ajudar nas demonstrações, desde que o professor coloque claramente o problema e a estratégia. Acredita-se que esta estratégia pode ser usada nas séries iniciais, pois as demonstrações podem ser tratadas informalmente e de uma maneira menos rigorosa. Neste nível, os estudantes devem ser encorajados a testar e refinar hipóteses para se convencerem das proposições e dos resultados geométricos e o computador faz a ligação entre os experimentos e o raciocínio dedutivo, proporcionando- lhes a oportunidade de compreender uma prova rigorosa num nível de ensino mais elevado. Os professores de matemática procuram desenvolver nos estudantes a habilidade em usar a intuição visual. Sabe-se que há diferentes tipos de visualização de que os estudantes necessitam, tanto em contextos matemáticos, quanto em outros: capacidade de criar, manipular e ler imagens mentais; visualizar informação espacial e quantitativa e interpretar visualmente a informação que lhes seja apresentada; rever e analisar situações anteriores com objetos manipuláveis. E essa reflexão tem sido objeto de pesquisa na área de Educação Matemática pelos investigadores como Polya (1988); Eisenburg e Dreyfus (1991). Pode-se afirmar que a visualização em matemática é resultado da relação entre o problema e a solução, ou seja, visualizar é formar ou conceber uma imagem visual de algo que não se tem ante os olhos. Em algumas áreas da Matemática faz-se necessária a
utilização das técnicas de visualização, como a Geometria Diferencial, a Geometria Simplética28 e a Análise Numérica.
A visualização matemática, através da tela do computador, dá possibilidade de se elaborar um conjunto de argumentos (conjecturas) e ainda utilizá-los para resolver problemas, permitindo aos estudantes construir e relacionar as várias representações da informação e construir os conceitos matemáticos. Por exemplo: as duas “visões” do gráfico da função g definida, para x≠0, por g(x) = x sen(1/x).
Figura 23: Gráfico de g(x) = x sen(1/x) para x≠0.
Pode-se observar que gráfico da função g(x) = x sen(1/x) para x≠0, oscila muito no intervalo para x Є [-1, 1], quando x→0. Com ajuda do MPP, ampliou-se a janela gráfica para “ver” melhor o comportamento da função quanto mais próximo da origem.
28 Geometria simplética é um ramo da matemática, que consiste no estudo de propriedades globais de variedades que possuem uma estrutura, dita simplética, e das transformações, que preservam tal estrutura. Disponível em: http://sistemas1.usp.br:8080/fenixweb. Consulta em: 19/04/1998.
Figura 24: Gráfico ampliado de g(x)=x sen(1/x); x≠0 perto da origem.
A visualização também traz um componente que é a interpretação daquela visualização, isto é, a habilidade que os estudantes têm para traduzir e interpretar as informações na forma simbólica. No caso do gráfico da função g(x) = x sen(1/x) para x≠0,
como s e n (1 x) ≤ 1,∀ x ≠ 0 , t e m -s e : − x ≤ x s e n(1 x) ≤ + x ,∀ x ≠ 0 . Além disso,
x 0
0, quando x 0, "Teorema do Sanduiche" que lim . (1/ ) 0. como x decorre do x sen x → ± → → =
Este resultado pode ser visualizado pelos estudantes com o auxílio da ferramenta computacional, possibilitando dar contínuos “zooms” e conjecturar sobre o comportamento da função ao redor da origem.
Um dos objetivos da utilização de computadores para as representações gráficas é “visualizar” a mudança dos gráficos ao mudar os dados de entrada e o resultado do cálculo simbólico. Enfim, com a ferramenta computacional, o conceito matemático que os estudantes devem incorporar não é alterado, já que o que modifica é a forma de apresentar o conceito, a forma de apropriação, o processo que permite o entendimento, o tipo de conexão que se realiza entre os conceitos, sua visão final do mesmo, a percepção de sua complexidade, o tempo que se aprendem os aspectos parciais do conceito.