Toda proposta de transformação levanta questões para serem refletidas antes de se colocarem em prática. O ensino da matemática, com o auxílio da ferramenta computacional, traz à tona algumas reflexões sobre o conteúdo a ser ensinado.
Nos parâmetros da National Council of Teachers of Mathematics - NCTM (1987) encontra-se a importância da utilização das calculadoras e dos computadores para a renovação dos currículos de educação matemática. Enfatiza-se a importância da introdução das tecnologias de informação nos currículos de matemática. Propõe que seja facilitada aos estudantes a manipulação das calculadoras e que se promova o acesso e a utilização da ferramenta computacional como uma ferramenta para processar informação, investigar e resolver problemas individualmente ou em grupos.
Estas preocupações também aparecem no estudo elaborado por Balacheff e Kaput (1996) sobre os conteúdos e o currículo de Matemática. Estes autores ressaltam: "A
necessidade de novos conteúdos de Matemática que visem capacitar os estudantes para o próximo século não é compatível com as estruturas curriculares vigentes... Novas alternativas curriculares dependem de substancial aplicação de potentes tecnologias. Este processo deve incluir dramático crescimento nas interações entre os participantes do processo educacional e entre os recursos disponíveis". (p. 488).
Quando se utiliza aplicativo educacional o conteúdo de Matemática é modificado? modifica-se a Matemática? o que se está ensinando é realmente Matemática? A análise dessas questões conduz a três caminhos: o conteúdo pode se tornar rudimentar, pode se sobressair ou ainda podem aparecer novos conteúdos. Considera-se um exemplo de conteúdo rudimentar a interpolação das tabelas trigonométricas e logarítmicas. O estudante tem, com auxílio das máquinas de calcular ou computacional, o cálculo pronto sem haver necessidade de recorrer às tabuas trigonométricas ou logarítmicas. Acredita-se que, nesse momento, a utilização das máquinas de calcular ou computacional é fundamental. Elas
contribuem para o desenvolvimento do raciocínio e para a resolução de problemas, aliviando o peso dos cálculos e permitindo que o estudante se concentre nas estratégias de resolução. Um exemplo de conteúdo que se sobressai é a compreensão do significado de dígito que as máquinas são capazes de mostrar ao estudante. São tantos dígitos que os estudantes até podem se confundir quanto à definição dos conjuntos dos números racionais e irracionais e se atrapalharem ao classificá-los. Além disto, é possível o estudo do erro da máquina (arredondamento e truncamento dos números, aritmética do ponto flutuante). Finalmente, a possibilidade de novos conteúdos significa que, com a máquina, os estudantes que possuem pouca experiência matemática são capazes de visualizar e estimar os valores de mínimo e máximo a partir do desenho do gráfico da função.
O ensino e aprendizagem da matemática com as tecnologias digitais na Educação Matemática têm sido objeto de discussões da associação de professores de Matemática, o “National Council of Teachers of Mathematics” (NCTM) dos EUA. O NCTM (1980) publicou oito recomendações para o Ensino da Matemática nos Anos 80, sob o título "Uma Agenda para a Ação". Encontra-se neste documento a preocupação com a manipulação, a exploração e a utilização pelos estudantes das calculadoras e ferramentas computacionais. De modo geral as oito recomendações advertem os professores de matemática sobre os aspectos do ensino e aprendizagem da Matemática. As três primeiras recomendações são essenciais para o desenvolvimento deste trabalho. São elas:
Recomendação 1:
"Que o objetivo do ensino da Matemática nos anos 80 seja a resolução de
problemas9"; Recomendação 2:
"Que as capacidades básicas em Matemática sejam definidas de modo a incluírem mais do que facilidades de cálculo";
Recomendação 3:
"Que os programas de matemática tirem todas as vantagens das capacidades das calculadoras e dos computadores em todos os níveis de ensino".
Em relação à recomendação 1, entende-se que, para resolver problemas de matemática, requer-se o conhecimento de um conjunto de conceitos e suas relações para serem utilizados na solução do problema. Para isto, o documento do NCTM-80, explicita que os conteúdos de matemática devam conduzir os estudantes a compreenderem e a utilizarem:
i) os conceitos e as técnicas de cálculo; (...), os conjuntos dos
números racionais e dos números reais, a noção de função, o uso do simbolismo matemático para descrever relações do mundo real, o uso do raciocínio dedutivo e indutivo para tirar conclusões acerca dessas relações, e as noções geométricas tão úteis ao representá-las; (p. 03).
ii) os métodos de coletar, organizar e interpretar a informação, deduzindo e testando inferências a partir dos dados, e refletindo sobre os resultados;
iii) a resolução de problemas por meio da ferramenta computacional como forma de se desprenderem das abordagens tradicionais e desenvolver novas estratégias de interação e simulação;
iv) o imaginário, a visualização e os conceitos espaciais.
As capacidades básicas a que se refere o item ii, é no sentido de se decidir aquilo que é essencial para preparar os estudantes a fim de exercerem sua cidadania.
O desenvolvimento do item iii reforça a utilização, pelos estudantes, das tecnologias digitais, como a calculadora e a ferramenta computacional, na resolução de problemas. Ressalte-se que as calculadoras e as ferramentas computacionais devem ser usadas para explorar, descobrir, e desenvolver conceitos matemáticos e não somente para verificar resultados ou realizar exercícios práticos.
A partir do documento da National Council of Teachers of Mathematics (NCTM-1980) dos EUA, as instituições de ensino iniciaram um movimento para proporcionar cursos que preparem os professores e estudantes de graduação em matemática para serem capazes de explorar e utilizar as ferramentas computacionais.
Estudos realizados por Dubinsky, e Schwingendorf, 1990; Heid, 1984, 1990; Heid e Zbiek 1995; Palis, 1999 e Tall, 1997ª, sobre o ensino e aprendizagem com ajuda da ferramenta computacional em matemática, concluem que o computador tem contribuído para seu ensino e aprendizagem porque é possível promover processo de simulação, que facilita, em menos tempo, o estudo de diferentes situações e de experimentação. Essa tecnologia é considerada de ajuda externa para ser utilizada no ensino. Trata-se, portanto, de um componente do meio em que a aprendizagem ocorre e pode favorecê-la, proporcionando:
– recursos para os professores na construção dos conceitos; – adoção de uma metodologia diferenciada para as aulas;
– a auto-aprendizagem dos conceitos com ajuda de um programa tutorial interativo (no caso de se utilizarem aplicativos);
– reforços de conhecimento, mediante a programação de diversos métodos de cálculo e uso de aplicativos específicos como são os pacotes informáticos Mathematica, Derive, MatLab, MPP entre outros,
– o estabelecimento de uma relação democrática que permite que todos aprendam com todos10.
Penteado (1999) pesquisou a presença de computadores na escola. O referido autor discute a inserção dos computadores pelos docentes e ressalta o surgimento de uma nova estrutura de ensino, afirmando: “(...) Um novo cenário afeta a forma como os alunos e professor se comportam na sala de aula e a forma como se comunicam entre si. O professor se vê diante de situações novas (os alunos também) em relação ao que usualmente está acostumado a enfrentar, exigindo estratégias diferentes. Essa nova organização do espaço físico não precisa estar necessariamente vinculada ao uso de computadores, mas um tal uso parece implicar uma mudança na distribuição dos alunos e dos demais componentes presentes na sala de aula. Isto é, as novas tecnologias não são apenas úteis em si mesmas, mas enquanto provocadoras de uma atividade mais criativa, que tem efeito principalmente na mudança de atitude do professor.” (p. 303)
A literatura mostra que as primeiras experiências sobre a utilização da ferramenta computacional no ensino de matemática são recentes e parece existir
10
Para os pesquisadores Robert Sternberg e Wendy Williams, esse fenômeno é denominado por “QI grupal” (que reflete o grau em que os participantes efetivamente colaboram).
concordância entre os autores que, através da utilização da ferramenta computacional no ensino da matemática, é possível:
-favorecer os estudantes com dificuldades de aprendizagem, compreensão e retenção no processo de ensino;
-colaborar na aprendizagem de conceitos matemáticos; -desenvolver a compreensão de conceitos matemáticos.
Entretanto, o impacto tecnológico não ocorre somente na preocupação do conteúdo, ou seja, o que ensinar, mas também como ensinar. Acredita-se que a formação profissional é um fator que influencia o ensino porque está ligada a como esses profissionais foram ensinados e carrega dentro de cada um toda uma cultura, filosofia e crença do que deve e pode ser ensinado. Há uma preocupação com a maneira com que devem ser ensinados os recursos tecnológicos. Em particular, a tecnologia computacional permite que o professor faça as perguntas e os estudantes respondam-nas, baseadas em informações apresentadas na tela do computador, ou, às vezes, os estudantes fazem as perguntas e os professores dão as respostas ressaltando o conteúdo matemático.
Neste contexto, o desafio dos professores de matemática é trazer tecnologias digitais para a sala de aula como instrumentos que auxiliem na aquisição de conceitos matemáticos, proporcionando ao estudante o desenvolvimento do seu raciocínio e da sua capacidade de resolver problemas. Assim, este ambiente de aprendizagem requer, dos professores, uma mudança em seu papel: ser flexível nas tomadas de decisão na elaboração de situações-problemas e na análise das respostas dadas pelos estudantes com o auxílio da ferramenta computacional. Espera-se que os estudantes sejam capazes de reconhecer, criticamente, se as atividades produzem resultados satisfatórios, comparando as situações e a diversificação de procedimentos ou soluções. Além disso, ao fazer uso da ferramenta computacional, o estudante terá domínio cada vez maior de suas funções, tirando proveito desse recurso tecnológico. A ferramenta computacional é um instrumento excepcional para a resolução de problemas porque permite ao estudante realizar simulação, vivenciar e visualizar verdades matemáticas levando-o a elaborar conjecturas.
Dunham (1993, 1995), Dunham e Dick (1994), Foley (1990), e Leitzel (1991), investigaram a integração de recursos tecnológicos (calculadoras, calculadoras gráficas, telecomunicações por computador, vídeos, teleconferências, aplicativos educacionais e
outras ferramentas tecnológicas) nas aulas de graduação de matemática. Essas pesquisas revelaram que é apropriada a utilização de recursos tecnológicos nas aulas da graduação. Embora, no caso específico do uso das calculadoras no ensino de graduação, Dunham e Dick (1994) observam que, apesar de a maioria dos estudantes ter recursos para adquirir a sua própria calculadora, as universidades devem se preocupar em estabelecer programas de aluguel ou de empréstimo para os estudantes necessitados.
Cysneiros (1998) defende o uso da tecnologia computacional na educação e destaca a importância do desenvolvimento de iniciação à cultura do computador (computer
literacy). Ressalta que a tecnologia deve ser encarada como um instrumento de
complementação humana. Para o referido autor, o computador deve ser utilizado como um objeto de estudo, priorizando a aquisição de conceitos computacionais. E atribui à ferramenta computacional o papel da democratização das informações. A sociedade, por exemplo, pode acessar informações sobre a atual política do MEC em "informatização" das escolas públicas do país, por meio do projeto PROINFO. Cysneiro faz críticas ao programa que não tem sido aplicado, no interior das escolas, por profissionais e pesquisadores.
Carraher (1992) analisa o uso do computador na educação e suas relações com questões de aprendizagem e epistemologia. Este autor propõe um modelo de utilização deste recurso informático: “uma teoria de aprendizagem com o auxílio do computador
teria de ser construtivista, no sentido de oferecer subsídios para analisar como o conhecimento do aluno é assentado nos conceitos e estruturas mentais previamente elaborados, através da interação do aluno com o ambiente - no caso, o ambiente simbólico, sustentado pelo computador” (p. 27).
O referido autor entende que esse ambiente simbólico representa um micro- mundo matemático. Constitui-se o centro de um sistema axiomático intuitivo, em que os estudantes podem definir novos objetos e operações e investigar interativamente suas propriedades.
Gatti (1993) reconhece as potencialidades do uso do computador na educação mas manifesta sua preocupação com seu uso no ensino, em relação ao desenvolvimento social, cognitivo e afetivo dos estudantes a partir de atividades com computadores. O autor expressa confiança no movimento de transformação da seguinte forma: “que este
sala de aula e no ensino de modo geral, ou seja, pode propiciar a criação de novas formas de relação pedagógica, de novas formas de se pensar o currículo e, portanto, pode também conduzir a mudanças no ambiente escolar” (p.27).
O referido autor também destaca a importância da escolha dos softwares e programas educacionais pelo professor, os quais devem atender à fundamentação teórica do ensino e à aprendizagem que considera a integração desses recursos com uma seqüência de aprendizagens ou estrutura de ensino, não se esquecendo, porém, de se considerar a proposta pedagógica da escola.
Miskulin (1999) investigou as influências das novas tecnologias (o aplicativo escolhido foi o LOGO11) sobre o perfil do futuro profissional, frente às exigências da atual sociedade e se expressa da seguinte forma: “(...) com a introdução, disseminação e
apropriação das novas tecnologias em nossa sociedade, tem havido uma utilização maior da Informática e da automação nos meios de produção e de serviços, gerando novos comportamentos e novas ações humanas. Tal cenário exige e necessita de um novo perfil de trabalhador. Nesse sentido, pode-se ressaltar o processo cada vez mais disseminado da automação nas linhas de montagens de automóveis; da automação nos processos de fabricação de aparelhos eletrônicos; da informatização dos sistemas bancários; dos sistemas informatizados das companhias aéreas, em seus mais variados serviços, dentre outros. Tais ambientes exigem, sem duvida nenhuma, uma nova formação do cidadão, um novo perfil do trabalhador com um nível qualificado de informação, com conhecimento crítico, criativo e mais amplo, resultando em condições que lhe permitam integrar-se plena e conscientemente nas tarefas que, possivelmente, desempenhará em sua profissão e em sua vida”. (p. 10). A autora elucida a postura dos estudantes diante de problemas
desafiantes e de investigação e busca meios para solucioná-los.
Heid e Zbiek (1995), concluíram em seus estudos que a ferramenta computacional oferece possibilidades de favorecimento e é eficiente no processo de ensino e aprendizagem de tópicos do currículo escolar. Aprendendo por meio do computador, os estudantes podem, concomitantemente, aprender sobre esta ferramenta.
11 O software SLogo/Windows95 é gratuito e foi desenvolvido por Daniel Bobrow e Wallace Feurzeig. O Logo é uma linguagem de programação de computadores para ser utilizada por qualquer pessoa, inclusive por crianças. Disponível em português em: http://www.nied.unicamp.br.
Em relação à exploração, a análise de aplicativos para o ensino de matemática, fundamenta-se na expectativa de contribuir para um ensino e aprendizagem mais dinâmica e mais próxima das constantes transformações que a sociedade, em particular o ensino da matemática, tem vivenciado. Assim, espera-se contribuir para diminuir a distância que separa a educação nos níveis fundamental, médio e superior das recentes ferramentas de produção e difusão do conhecimento. As atividades em sala de aula devem proporcionar uma aprendizagem contínua em um exercício coletivo de memória, imaginação, percepção, raciocínio e competência para a produção e transmissão de conhecimentos.
Segundo o Principle and Standards for School Mathematics–NTCM (1998), a preocupação quanto aos currículos de matemática e o uso da tecnologia (calculadoras, calculadoras gráficas, aplicativos, vídeos e aplicativos educacionais) é auxiliar os estudantes na compreensão da matemática e prepará-los para utilizá-la num mundo em que cada vez mais se utiliza a tecnologia. Entretanto, para alfabetizar os estudantes em tecnologia, o professor deverá selecionar cuidadosamente, de forma consciente, atividades que levarão os estudantes a descobrir, explorar e analisar os recursos da ferramenta para aprender e ser capaz de usar, descrever, refletir e explicar o seu funcionamento. Toda mudança é um processo e não um evento. E, neste processo, o currículo, a formação profissional e o desempenho escolar deverão estar baseados na realidade do mundo da tecnologia em que os estudantes viverão e trabalharão depois que concluírem sua formação profissional. A mudança faz-se necessária para atender a formação profissional para um futuro inimaginável. De fato, os estudos de Alcântara (1999) apontam as possibilidades que a utilização dos computadores podem oferecer na educação e na sociedade. Destaca-se:“a
tendência dos dias atuais tem sido de cada vez mais mergulharmos no mundo da tecnologia de computadores. Hoje essa tecnologia exerce um papel significativo na vida de todos a ponto de sugerir e criar novos papéis e profissões que nunca pensávamos um dia estarem presentes em nossas vidas”. (p.26).
O atual sistema educativo brasileiro, em relação aos seus currículos e particularmente no ensino da matemática, defende a utilização dos computadores, porque é uma das possibilidades de trabalho em sala de aula, ocupando um lugar de destaque nas orientações expressas nos ProInfo (1996) e PCNs (1998), para concretizar os objetivos que
se colocam na Educação Matemática (ICMI12, 1986; NCTM, 1991). Os PCNs sugerem mudanças ao ensino de matemática baseadas em experiências que consideram a ferramenta computacional como um instrumento motivador na realização de tarefas. O ProInfo (1996) sugere recomendações e/ou propostas de ações pedagógicas sobre as potencialidades educativas do computador. A utilização da ferramenta computacional permite transformar os processos de pensamento e construção do conhecimento os quais não são permitidos ao papel. Esta transformação pode ser observada ao se utilizarem aplicativos de geometria dinâmica ou de modelação com funções reais de uma ou várias variáveis reais e equações diferenciais.
A tendência de investigação na área de tecnologias digitais em Educação Matemática concentra-se em cinco temas correlatos:
-estudos sobre o ensino e aprendizagem da matemática em ambientes informatizados, concepção, desenvolvimento, uso, integração e impactos destes no sistema educativo, inclusive na formação de professores;
-estudos sobre a compreensão do uso dos aplicativos nas atividades propostas aos estudantes, utilizando-se teorias e metodologias variadas; -estudos sobre os desafios para a educação formal e das novas
possibilidades para a educação não-formal (ensino a distância, aprendizagem on-line) que se colocam em decorrência da presença maciça da tecnologia digital na sociedade atual;
-exploração de novos paradigmas para a escola e de novos perfis para o professor numa sociedade em que o aprendizado é permanente e constante. Acontece em múltiplas instituições e através das diversas e variadas interações do quotidiano e as linhas demarcatórias entre aprendizagem, trabalho e entretenimento tornam-se menos nítidas;
-estudos sobre aspectos sócio-culturais, considerando, por exemplo, o papel do professor, o complexo processo de gênese instrumental, a conexão entre uso de ferramentas e técnicas tradicionais.
Tais pesquisas consideram que as novas tecnologias, com seu caráter intrinsecamente cognitivo, facilitam o acesso aos múltiplos sistemas de representações,
oferecendo novas perspectivas no uso de linguagens e expressões matemáticas. A tecnologia está mudando a forma como se faz matemática ao redor do mundo.
Acredita-se que, com o auxílio da ferramenta computacional, é possível utilizar- se do ensino para mostrar uma Matemática viva e conectada ao cotidiano dos estudantes, professores e dos indivíduos de maneira geral, o que é muito importante para a Educação.