O estudante A realizou a seguinte atividade:
Usando o MPP, módulo 02, encontre os zeros da função y=x3-2x-13x-4, pelo Método da Bissecção.
Solução do estudante A:
“Este é o gráfico da função y=x3-2x-13x-4. Para descobrirmos os pontos de zero da função temos que dar um intervalo para ser calculada a raiz. Usamos o módulo 01 para saber onde o gráfico tem raiz. Depois no módulo 02 é para usar no cálculo da raiz, no caso pelo método da Bissecção. Dei os valores para a janela gráfica de -10 a 10 para o “x” e para o y os valores de -40 até 20. Depois calculei a derivada porque o MPP pede (mas não o Método da Bissecção).
O MPP foi reescalando a janela gráfica e foi mostrando como estava sendo calculado a raiz.
Daí achei o valor de um das raízes; por exemplo, x=-0,326602.”
O estudante B realizou a seguinte atividade:
Usando o MPP, módulo 02, encontre os zeros da função y=x3-3x+1, pelo Método da Bissecção.
Solução do estudante B:
“Este é o gráfico da função y=x3-3x+1 foi desenhado no MPP 1. Para descobrir os valores do zero da função foi utilizado o comando Trace. No módulo 02, explorei o gráfico na janela gráfica mais conveniente para xЄ[-4, 4].
Os zeros da função y=x3-3x+1 são: (-1,88; 0,01), (0,36; 0,01) e (1,56; 0,01)”.
O estudante C realizou a seguinte atividade:
Usando o MPP -2, encontre os zeros da função y=x3-2x-13x-4, pelo método da Newton.
Solução do estudante C:
“Para o primeiro ponto, analisamos o gráfico e colocamos com o limite o intervalo de -4 a -2. Foi solicitado uma precisão de 3 dígitos. A estimativa da primeira raiz foi o ponto (-2,523, 0).
Para o segundo ponto, analisamos o gráfico e colocamos como limite o intervalo de -1 a 0. Foi solicitado uma precisão com 3 dígitos.
Para a segunda raiz encontrada é o ponto -0,326809. Este ponto foi encontrado com 3 iterações.
Para o terceiro ponto, analisamos o gráfico e colocamos como limite o intervalo de 4 a 5. Foi solicitado uma precisão de 3 dígitos.
Para a terceira e última raiz encontrada é o ponto 4.850285. Este ponto foi encontrado depois de 5 iterações.”
O estudante D realizou a seguinte atividade:
Usando o MPP módulo 02, encontre os zeros da função
2 (4 7 ) x y= + , pelo método da Bissecção. Solução do estudante D:
“Este é o gráfico da função
2
(4 7 )
x y=
+ . Para descobrirmos os pontos de zeros da
função, temos que dar um limite máximo e mínimo de cada ponto. Temos que fazer ponto a ponto. Para o primeiro ponto analisamos o gráfico e colocamos como limite o intervalo de -2 a -1, com precisão de 6 dígitos.
A primeira raiz encontrada é o ponto (-1.5117188, 0). Este ponto foi encontrado depois de 11 iterações.
Para encontrar a segunda raiz, analisamos o gráfico no módulo 1 e colocamos como limite o intervalo de 0 a 1, com uma precisão de 6 dígitos.
O MPP apresentou uma mensagem avisando que o ponto 0 é exatamente uma raiz. Tentamos aumentar o intervalo para -1 a 1 mas o MPP apresentou uma mensagem de erro: a raiz não deve estar no intervalo de -1 a 1..
A mensagem de erro se deve ao fato que quando se utiliza o método da Bissecção refina-se a raíz a partir de um intervalo [a,b], onde f(a).f(b)<0. A cada nova iteração, o intervalo é dividido pela metade com a determinação de um ponto médio x . O i novo intervalo a ser considerado será o que resultar no produto entre f(a)ou f(b)com
) (xi
f menor que zero e a curvatura do gráfico da função não ajuda a ferramenta computacional a calcular o valor porque pode ir tanto para a direita como para a esquerda do zero e procurar a raiz e não encontrar.”
O estudante E realizou a seguinte atividade:
Usando o MPP módulo 2, encontre os zeros da função y=cos(x)+1 pelo método da Bissecção.
Solução do estudante E:
“No módulo 1, vimos que a função terá zeros próximos ao ponto x=π. Entretanto, ao tentar realizar o cálculo, percebi que não consegui pelo Método da Bissecção encontrar o resultado (a raiz). Mas tem solução.
Daí fiquei pensando o que pode estar acontecendo. Percebi que devido a definição do Método da Bissecção, a máquina fica louca. Ela (a máquina) não sabe se é para pegar o ponto da direita ou da esquerda. Assim decidi ir para outro método que isto não acontecesse. Decidi pelo Método de Newton (e precisou da derivada da função).
O resultado encontrado nesta janela gráfica foi x=-3,141118 com 11 iterações.”
O estudante F realizou a seguinte atividade:
Usando o MPP módulo 2, encontre os zeros da função: 2cos(x)-exp(x)/2, pelo Método da Secante.
Solução do estudante F:
“Inseri a função com o domínio na janela gráfica de -10 a 10 no módulo 01. Depois para calcular a primeira raiz, fui no módulo 2 do MPP e pedi a janela com
Neste intervalo aconteceu 6 iterações e encontrei o valor de x=-1.5158642.
Há outras raízes. E encontrei os seguintes valores: x=0,9047882, para x Є [0, 1]com 5 iterações ou x=-4,7146298, para x Є [-5,-4] com 4 iterações ou x=-7,8538846, para x Є [-8, 7] com 4 iterações.”
O estudante G realizou a seguinte atividade:
Usando o MPP módulo 2, encontre os zeros da função 5 10 3 5
9 21
x − x + x, pelo Método de Newton (x0 = −0,8).
Solução do estudante G:
“Para fazer esta atividade precisei inicialmente do módulo 1 para ver o gráfico da função e para se ter noção sobre a janela gráfica que contém a raiz da equação
No módulo 02 declarei a expressão da função e escolhi o método de Newton. O MPP pede a derivada da função e um ponto para iniciar o cálculo. O ponto que devo dar é -0,8. Então o MPP mostra:
Eu encontrei a raiz x=-0,906180, na janela de xЄ[-0,93; -0,89]e com 6 iterações.”
O estudante H realizou a seguinte atividade:
Usando o MPP módulo 2, encontre os zeros da função: 5 10 3 5
9 21
x − x + x pelo Método da Bissecção [-0,75; -0,25].
Solução do estudante H:
“Para solucionar este exercício tem necessidade de se ver o gráfico no módulo 1 do MPP. Enxerguei o gráfico e depois fui no módulo 2 para calcular a raiz pelo método da bissecção no intervalo pedido.
Escolhi o ponto à esquerda o valor -0,7 e do lado direito -0,3.
E com 10 iterações foi possível ver o resultado x=-0,5386719.”
O estudante I realizou a seguinte atividade:
Usando o MPP módulo 2, encontre os zeros da função: 5 10 3 5
9 21
x − x + x, pelo Método da Secante (x0 =0,8;x1=1).
Solução do estudante:
“Entrei no módulo 02 e digitei a expressão e declarei qual era a derivada da função. Porque o MPP pede esta informação mesmo que o método não exija. Vi o gráfico cortando o eixo de x na janela solicitada.
Iniciou o processo do cálculo da raiz. É interessante poder ver o processo acontecendo.
O cálculo da raiz no intervalo pedido aconteceu com 5 iterações e o resultado foi 0,9061797.”
Percebeu-se que as atividades realizadas no ambiente informatizado ajudaram os estudantes na compreensão do conceito. A ferramenta computacional reduziu o tempo dedicado a aprendizagem de técnicas e de algoritmos que ocupa a maior parte dos cursos de Cálculo. Observou-se que os nove estudantes solucionaram todas as atividades no ambiente computacional. Eles ilustraram os conceitos e comunicaram as idéias de maneira visual antes de passar para uma explicação escrita. A visualização auxiliou os estudantes na escrita.
Na atual sociedade em que os aspectos visuais se tornam predominantes, onde o importante é “aprender a ver”, e isso se adquire pela experiência seguida de reflexão. Os aspectos visuais no ensino da Matemática devem estar presentes e devem se apoiar todas as iniciativas dos estudantes que inventam esquemas para explorar situações ou resolver problemas. O ensino de Matemática, com a ajuda da ferramenta computacional, favorece os estudantes quanto ao aprender a ver matematicamente. Para Almeida Junior (1990), “... a
imagem é o lugar onde a consciência do educando tem a oportunidade de, dentro da escola, ler o mundo e problematizá-lo enquanto intérprete de sua situação social”. (p. 17).