A modelagem matemática tem sido empregada de duas formas: (1) Como metodologia de pesquisa nos diversos campos da investigação científica, situação em que é encarada como método de pesquisa, em que as ferramentas matemáticas auxiliam na obtenção de modelos que ajudaram na interpretação de muitos fenômenos – é o que chamaremos de “ensinar para modelagem matemática”. (2) Como metodologia ou estratégia de ensino e aprendizagem em sala de aula, em qualquer que seja o nível de ensino, vertente que admite a modelagem matemática como meio que pode facilitar o ensino e aprendizagem dos elementos matemáticos, caso que chamaremos de “ensinar pela modelagem matemática”.
Podem ser explorados vários objetos de estudo da matemática, quando a modelagem matemática é encarada como uma metodologia ou estratégia de ensino e aprendizagem em sala de aula, por meio de temas que podem advir do cotidiano, e que nem sempre estão diretamente ligados à Matemática.
Em nossa investigação, consideraremos este campo da Educação Matemática a partir da segunda vertente descrita acima, para a qual são dadas diferentes definições pelos especialistas da área.
Para Bassanezi (2002): “A modelagem matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real” (p. 16).
Biembengut e Hein (2005), por sua vez, declaram: “A modelagem matemática, originalmente, como metodologia de ensino-aprendizagem parte de uma situação/tema e sobre ela desenvolve questões, que tentarão ser respondidas mediante o uso de ferramental matemático e da pesquisa sobre o tema.” (p. 28).
Burak (1992), por exemplo, declara que “A Modelagem Matemática constitui-se em um conjunto de procedimentos cujo objetivo é construir um paralelo para tentar explicar, matematicamente, os fenômenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer predições e a tomar decisões”. (p. 62)
Já na visão de Barbosa (2007): “Uma das formas de conceituar Modelagem Matemática é como um ambiente de aprendizagem em que os alunos são convidados a investigar por meio da matemática, situações com referência à realidade”. (p. 161)
No cenário internacional, podemos destacar propostas como a de Lesh (2005), o qual declara: “a pesquisa com modelagem e modelos (M & M) geralmente investiga a natureza das competências e habilidades necessárias para permitir ao estudante a capacidade de usar o que ele aprendeu (presumidamente) na sala de aula em situações da “vida real” além da escola”.3 (p. 487, tradução nossa)
Percebe-se que, para todos eles, a modelagem matemática é vista como uma estratégia de ensino e aprendizagem que busca expressar ou descrever situações cotidianas do mundo real, usando linguagem matemática.
Portanto, quanto à prática em sala de aula, surgem questões que possibilitam diferentes visões, como, por exemplo: quando a modelagem matemática é utilizada como uma metodologia ou estratégia de ensino da matemática? E quando a matemática é usada para fazer modelagem matemática? Ou seja, ensinar pela modelagem matemática? Ou ensinar para a modelagem matemática?
No primeiro caso, “ensinar pela”, a modelagem matemática deve assumir o
papel de metodologia de ensino da matemática; isso quer dizer que existe um objeto matemático a ser ensinado, logo, este será planejado e trabalhado em sala de aula, por meio das estratégias de modelagem matemática, como se percebe na pesquisa
3 Models and Modeling (M & M) research often investigates the nature of understandings and abilities
that are needed in order for students to be able to use what they have (presumably) learned in the classroom in “real life” situations beyond school. (LESH, 2005, p. 487)
de Beltrão (2009), a qual investigou, em sua tese de doutorado, uma proposta de ensino de cálculo pela modelagem matemática; em Chaves (2005), que em sua dissertação propôs a modelagem matemática de questões ambientais relacionadas com a água, com o propósito de ensino e aprendizagem de funções no primeiro ano do Ensino Médio, ou ainda, em que suas pesquisas investigaram o desempenho de alunos frente a atividades de modelagem matemática, com objetivo de ensinar função, em alguns casos no Ensino Fundamental, em outros no Ensino Médio, tais como: Rocha (2009), Postal (2009), Chaves (2006), Tatsch (2006) e Santos (2006).
No segundo caso, “ensinar para”, a modelagem matemática deve assumir o
papel de objeto de ensino, ou seja, tem-se o conhecimento matemático e um problema real a resolver; logo, é preciso buscar e aprender estratégias de modelagem que ajudem a descrever ou a solucionar o problema. Essa é a forma que, em geral, trabalhos com modelagem matemática, assumem nas pesquisas científicas fora do contexto da educação, ou quando o propósito não é ensinar matemática, mas sim, ensinar e aprender modelagem matemática, como ocorre nas disciplinas de práticas de ensino ou em disciplinas de programas de formação de professores, em que o foco é desenvolver a prática da modelagem matemática como metodologia ou estratégia de ensino e aprendizagem para sua ação em sala de aula, e não ensinar matemática por meio de estratégias de modelagem.
Ensinar modelar pela matemática é uma prática muito antiga em ciências como a Física e a própria Matemática, como se percebe na declaração de Burak (1992) “A Modelagem Matemática tem sido feita desde a Pré-História. O homem vive na busca contínua para conhecer e compreender o seu ambiente.” (p. 16).
Também declaram Biembengut e Hein (2005):
Modelagem matemática, arte de expressar por intermédio de linguagem matemática situações-problema de nosso meio, tem estado presente desde os tempos mais primitivos. Isto é, a modelagem é tão antiga quanto à própria matemática, surgindo de aplicações na rotina diária dos povos antigos. (p. 7)
Que a prática de modelagem é antiga no campo da matemática, não parece haver dúvidas, se considerarmos as declarações dos autores aqui citados.
De fato, se considerarmos a modelagem matemática como arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los, interpretando suas
soluções na linguagem do mundo real, como já citado anteriormente, percebemos que, ao buscar desde a Antiguidade, propor e demonstrar teoremas, advindos de intuições do cotidiano está se buscando desenvolver modelos matemáticos originados em alguma realidade, nem que seja de uma realidade apoiada na própria matemática, o que hoje se costuma chamar de contexto matemático. Um exemplo é quando sobre o apoio de axiomas (conceitos matemáticos admitidos como verdades) demonstram-se teoremas, os quais representam modelos matemáticos. Uma mudança no contexto destes axiomas implica, geralmente, mudanças nos modelos.
Como sabemos, se um desses axiomas ou teoremas for contestado, pode nascer um novo modelo, como ocorreu com a Geometria Euclidiana que, ao ser contestado um teorema, deu origem a um novo modelo de geometria, a Geometria não Euclidiana. Afinal, o processo de busca por teoremas, inerente à Matemática Pura, é uma busca por modelos que, a qualquer momento, podem ser contestados, reelaborados ou desenvolvidos em outros semelhantes.
A Matemática se constitui e se reconstitui, a partir da busca por modelos. Como exemplo, podemos citar o longo processo histórico do desenvolvimento dos fundamentos do cálculo, que tem suas origens em modelos como método da exaustão de Arquimedes, passando pelo método dos indivisíveis de Cavalieri, até chegar ao método dos fluxos de Newton – diferentes apresentações de modelos do mesmo problema –, o cálculo de áreas e volumes, conhecido hoje como cálculo integral. O que os diferencia é o fato de terem sido desenvolvidos em épocas distintas, dispondo das ferramentas matemáticas que i existiam em sua época.
Em qualquer um dos casos, a motivação para o desenvolvimento do problema surgiu a partir de situações reais, que exigiam novas ferramentas matemáticas para ser solucionados.
Nesta perspectiva, Biembengut e Hein (2005) dispõem que a noção de modelo está sempre presente em todas as áreas, sejam elas: História, Arte, Moda, ou qualquer outra, já que o objetivo de um modelo pode ser tanto explicativo, como heurístico, pedagógico, diretivo, de previsão, entre outros, pois, segundo esses autores, os homens sempre recorreram aos modelos, seja para comunicar-se entre si, seja para preparar uma ação de seu interesse. Esses autores destacam, ainda, que a modelagem, sendo uma arte de modelar, se caracteriza como um processo
que, emergindo da razão, participa da nossa vida como forma de constituição e de expressão do conhecimento.
Portanto, em se tratando do âmbito da Educação Matemática, para esses pesquisadores, a modelagem matemática é uma prática bem mais recente, como consta nesta declaração:
A modelagem matemática na educação é mais recente. Nas últimas décadas, a modelagem vem ganhando “espaço” em diversos países, nas discussões sobre ensino e aprendizagem, com posicionamentos a favor e contra sua utilização como estratégia de ensino de Matemática. (BIEMBENGUT e HEIN, 2005, p. 7)
Alguns esquemas são propostos para ilustrar o processo de modelagem matemática. Bassanezi (2002) traz o esquema aqui apresentado na Figura 1, denominado por ele de “esquema simplificado de Modelagem Matemática” (p. 44). Nele, tem-se uma situação-problema advinda do cotidiano, supostamente sem forma definida, com todas as variáveis do mundo real, das quais se faz a interpretação, traduzindo o problema para o mundo matemático; faz-se, então, a modelagem, encontra-se o modelo matemático (uma maneira de se expressar a situação com forma e variáveis pré-definidas), passando à formalização, e retornando ao mundo
real no qual ocorre a aplicação e a validação do modelo.
Formalização
Interpretação
Figura 1 - Esquema simplificado de Modelagem Matemática Fonte: Bassanezi (2002, p. 44)
A seguir, temos um quadro elaborado por nós, apresentando uma síntese do que esse autor traz, entre as páginas 26 e 32 de seu livro, ao considerar as atividades intelectuais envolvidas nas etapas da modelagem matemática de uma situação ou problema real, mediante o esquema apresentado na Figura 1.
Mundo Matemático Mundo
Etapas Atividades
intelectuais Dinâmica do processo Procedimentos
I – Problema não Matemático Experimentação É a atividade essencialmente laboratorial em que se processa a obtenção dos dados.
Traçar o objetivo da pesquisa. Adoção de técnicas e métodos experimentais. Busca do foco de interesse da teoria. II – Dados Experimentais Abstração É o procedimento que deve levar à
formulação dos Modelos Matemáticos.
Seleção das variáveis. Problematização ou
formulação aos problemas teóricos numa
linguagem própria da área em que se está
trabalhando. Formulação de hipóteses Simplificação. III – Modelo Matemático Resolução O modelo matemático é obtido quando se substitui a linguagem natural das hipóteses por
linguagem matemática coerente.
Formulação das equações. Resolução seja por métodos analíticos ou
computacionais.
Validação aceitação ou não do É o processo de modelo proposto.
Teste e confrontação das soluções e previsões
obtidas a partir do modelo, com os valores obtidos do sistema real. IV - Solução Modificação Alguns fatores ligados ao problema original podem provocar a rejeição ou a aceitação dos modelos. Uma previsão pode estar incorreta ou decorrer da intuição. O aprofundamento da teoria implica na reformulação dos modelos.
Nenhum modelo deve ser considerado definitivo, podendo sempre ser melhorado. Figura 2 - Atividades intelectuais envolvidas nas etapas da modelagem matemática Fonte: Elaborado pelo autor
Em relação à extensão e às tarefas que cabem ao professor e ao aluno, durante o processo de modelagem matemática em sala de aula, Barbosa (2003)
apresenta um esquema com três casos que podem ocorrer, os quais estão esquematizados conforme a figura abaixo:
Figura 3 - Casos de modelagem matemática Fonte: Barbosa (2003, p. 11)
Segundo Barbosa (2003) no primeiro caso cabe ao professor a tarefa de levantar os dados e propor o problema, aos alunos juntos com o professor, fica a tarefa de resolução do problema. No segundo caso, o professor formula o problema inicial (propõe o tema), enquanto os alunos, com a mediação do professor, buscam os dados e procuram soluções para o problema. No terceiro caso fica a cargo dos alunos juntos com o professor, escolherem o tema, elaborarem o problema e buscarem solução para ele.
Nota-se que neste esquema de modelagem matemática as tarefas que cabem ao professor e ao aluno, durante o processo de modelagem matemática vão sofrendo algumas mudanças e, gradativamente, passando a envolver o aluno, de forma que, em todos os momentos a participação e a mediação do professor são imprescindíveis para a dinâmica do processo.
Para Bassanezi (2002), a modelagem matemática como metodologia ou estratégia de ensino e aprendizagem de matemática no Ensino Fundamental e Médio pressupõe, antes de tudo, a multidisciplinaridade, e parte do princípio de que por meio desse processo, aprender Matemática torna-se mais interessante e dinâmico, como reforça na declaração: “A Matemática não deve ser considerada importante simplesmente por alguma definição arbitrária ou porque mais tarde ela
poderá ser aplicada. Sua importância deve residir no fato de poder ser tão agradável
Foi refletindo sobre a declaração acima que, mais uma vez, nos convencemos de que não basta dizer que a Matemática é importante para convencer o aluno a estudar e a gostar dessa matéria, pois esse desafio é muito mais complexo do que se possa imaginar.
E, visto que vivenciamos uma realidade em que o professor tem a tarefa de ensinar, e ao mesmo tempo tornar o processo de ensino e aprendizagem mais prazeroso e interessante, também nos despertou a ideia de investigar resultados de pesquisas, que abordaram a modelagem matemática como uma metodologia ou estratégia de ensino e aprendizagem de função em sala de aula, pois, segundo Bassanezi (2002), a modelagem matemática, ao pressupor multidisciplinaridade na educação, pode ter a capacidade de permitir, no processo de ensino e aprendizagem, a combinação entre os aspectos lúdicos da Matemática e seu potencial para aplicação.
Esse jogo de encontros entre os aspectos lúdicos e aplicativos da Matemática, em que se considera o aluno como protagonista do processo de ensino e aprendizagem, representa uma das preocupações das propostas para a educação brasileira, como podemos notar nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental: “O significado da atividade matemática para o aluno também resulta das conexões que ele estabelece entre os diferentes temas matemáticos e também entre estes e as demais áreas do conhecimento e as situações do cotidiano”. (BRASIL, 1998, p. 37). E também, nas Orientações Curriculares da Secretaria Municipal de Educação da cidade de São Paulo (SÃO PAULO, 2007), como consta no trecho seguinte:
O estabelecimento das relações interdisciplinares entre as áreas de conhecimento se dá a partir da compreensão das contribuições de cada uma das áreas no processo de construção dos conhecimentos dos alunos e, de cada área, é essencial que ele aprenda, inclusive para se apropriar de estratégias que permitam estabelecer as relações interdisciplinares entre as áreas, tornando a própria interdisciplinaridade um conteúdo de aprendizagem. (p. 25-26)
Nas propostas públicas como a dos PCNEF (BRASIL, 1998), PCNEM (BRASIL, 1998), PCN+ (BRASIL, 2002), a Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008) e as Orientações Curriculares da Secretaria Municipal de Educação da cidade de São Paulo (SÃO PAULO, 2007) apresentam, no seu conteúdo,
referências à prática pedagógica por meio da interdisciplinaridade entre as áreas em sala de aula.
A Proposta Curricular de Matemática do Estado de São Paulo, por exemplo, ao discorrer sobre o papel que a Matemática, assume como ferramenta de suporte e resolução de problemas em contextos sociais, declara que: “no tocante à capacidade de sintetizar, de tomar decisões a partir de elementos disponíveis, a Matemática assume um papel preponderante.” (SÃO PAULO, 2008, p. 43)
Outro fator que pode ser observado nessas propostas é o fato de que elas chamam atenção para o desafio que se apresenta à necessidade da prática investigativa em sala aula; uma prática que também é defendida pelos pesquisadores da área da modelagem matemática.
Nos PCN+, ao serem discutidas as competências que devem ser desenvolvidas no aluno, encontramos a seguinte declaração: “porque se aprende e se percebe o aprendido apenas em situações reais, que, numa abordagem por competências, o contexto e a interdisciplinaridade são essenciais”. (BRASIL, 2002, p. 35)
Nesse mesmo documento, ao serem apresentadas as discussões sobre os temas estruturadores do ensino de matemática, encontramos a seguinte declaração em relação ao conteúdo função:
O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos
descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática. Assim, a ênfase do estudo das diferentes funções
deve estar no conceito de função e em suas propriedades em relação às operações, na interpretação de seus gráficos e nas aplicações dessas funções. (BRASIL, 2002, p.121, grifo nosso)
Mediante a declaração em destaque na citação anterior, e do que temos discutido até agora em relação à modelagem matemática e as três propostas curriculares apresentadas, podemos inferir que a modelagem pode se encontrar incluída entre essas propostas.
Devemos ainda ressaltar que, em propostas de modelagem, assim como em qualquer outra proposta, alguns fatores merecem atenção ao se adotar tal estratégia como forma de mediar o ensino e aprendizagem em sala de aula.
Neste sentido, Biembengut e Hein (2005) apontam algumas das situações que podem ser enfrentadas, pois, segundo estes autores, no intermédio do processo de modelagem matemática em sala de aula, há o inconveniente de não se saber inicialmente por onde o modelo passará, podendo o ferramental matemático requerido não estar ao alcance do aluno, além da possível dificuldade da adequação ao currículo estabelecido, o que exige do professor uma análise a priori, ao tomar a decisão de trabalhar com essa metodologia. Buscando investigar tais dificuldades e as contribuições, segundo eles, em muitos países, inclusive no Brasil, muitos trabalhos experimentais, utilizando a essência da modelagem, vêm sendo realizados no ensino e aprendizagem, do Ensino Fundamental ao Superior. E declaram:
A condição necessária para o professor implementar modelagem no ensino – modelação – é ter audácia, grande desejo de modificar sua prática e disposição de conhecer e aprender, uma vez que essa proposta abre caminho para descobertas significativas. Um embasamento na literatura disponível sobre modelagem matemática, alguns modelos clássicos e sobre pesquisas e/ou experiências no ensino são essenciais. (BIEMBENGUT e HEIN, 2005, p. 29)
E, ainda, segundo esses pesquisadores, no que diz respeito ao ensino da Matemática, há um consenso de que é preciso voltar-se para a promoção do conhecimento matemático e da habilidade em utilizá-lo como ferramenta que vá além da simples resolução de problemas matemáticos, muitas vezes sem significado para o aluno. É necessário que o aluno adquira uma compreensão, tanto da teoria matemática quanto do problema a ser estudado, sendo que a modelagem matemática pode participar desse processo, despertando no aluno o interesse por tópicos matemáticos ainda desconhecidos, enquanto modela matematicamente.
Os mesmos autores destacam ainda que, em cursos regulares nos quais há um programa a cumprir, a implementação do processo de modelagem matemática deve sofrer algumas adequações, levando em consideração as variáveis associadas ao estágio e disponibilidades dos alunos, ao cumprimento do programa, e à familiaridade do professor com a modelagem matemática. Segundo eles, ao método de utilizar a essência da modelagem matemática em cursos regulares com programa definido, denomina-se modelação matemática. Esse método de ensino e aprendizagem da Matemática pode valer em qualquer que seja o nível de ensino, das séries iniciais a pós-graduação, não havendo restrição ao seu uso.
Biembengut e Hein (2005) elencam como objetivos do processo de modelação em um curso regular com programa a ser cumprido, o que apresentamos, em síntese, na Figura 4 seguinte, e que pode se conferido nas páginas 18 e 19 do livro escrito por estes autores.
Objetivos do processo de modelação em um
curso regular com programa a ser cumprido
Aproximar uma outra área do conhecimento da Matemática;
Enfatizar a importância da Matemática para a formação do aluno;
Despertar o interesse pela Matemática ante a aplicabilidade;
Melhorar a apreensão dos conceitos matemáticos; Desenvolver a habilidade para a resolução de
problemas;
Estimular a criatividade.
Figura 4 - Síntese dos objetivos do processo de modelação em um curso regular Fonte: Elaborado pelo autor
Esses seis objetivos se aproximam dos objetivos previstos tanto pelos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental (BRASIL, 1998), quanto pelos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL,