De que maneira a modelagem matemática pode contribuir para

Fundamental e Médio?

Como resposta a esse questionamento, buscamos destacar, dentre as várias maneiras como a modelagem matemática pode contribuir para potencializar o ensino e a aprendizagem de função no Ensino Fundamental e Médio, aquelas que puderam ser percebidas, a partir da análise interpretativa das pesquisas.

Essas maneiras foram classificadas em oito categorias ou tipos, conforme detalhadas a seguir.

I. Reorganizando o trabalho e a interação em sala de aula, podendo tornar mais dinâmico o processo de ensino e aprendizagem da Matemática, em particular, o ensino das funções

A presença da interação e da dinâmica em sala de aula é um fator considerado positivo, e visto com bons olhos por muitos profissionais e pesquisadores do campo da educação. São exemplos, os já citados anteriormente da área da modelagem matemática, uma vez que, para tais autores, esse tipo de proposta tem como pressuposto a participação integral dos alunos em seu processo de aprendizagem.

Nos textos seguintes, destacados das pesquisas de Luz (2010), Pires (2009), Postal (2009), Chaves (2005), esta ideia é confirmada.

Luz (2010): Essas etapas da atividade de Modelagem Matemática reorganizam o trabalho e a interação em sala de aula tornando-a um processo dinâmico que favorece o ensino e a aprendizagem, [...]. (p. 55)

Pires (2009): O fato deles terem sempre a frente uma situação familiar (como foi o caso da bomba d’água) e instigante, cuja solução envolvia o domínio das noções básicas da função afim, fez com que esses alunos tivessem interesse na aprendizagem dessas noções. (p. 147)

Postal (2009): A metodologia alternativa proporcionou maior interação dos estudantes, no sentido de realizarem as atividades, refletirem sobre o tema [...], e assim construírem o conceito de função de forma significativa. (p. 82)

Chaves (2005): No ensino por Modelagem exigem-se outras atitudes do aluno em sala de aula. Ele passa a ser o centro do processo de ensino-aprendizagem, pois é responsável pelos resultados obtidos e pela dinâmica do processo. (p. 130)

Como podemos notar nos trechos destacados de quatro das pesquisas analisadas, transformar o espaço da sala de aula num ambiente de interação entre os envolvidos no processo de ensino e aprendizagem é uma forte característica da modelagem matemática, o que a torna uma estratégia que pode ser favorável à aprendizagem significativa da Matemática, sendo capaz de dinamizar o processo e tornar o ambiente da sala de aula mais interativo, favorecendo, com isso o aluno para a compreensão dos conteúdos do campo das funções.

II. Gerando ambientes de aprendizagem que apresentam características que podem satisfazer as condições para a ocorrência da aprendizagem significativa da Matemática e, evidentemente, do conceito de função

Criar ambientes de ensino e aprendizagem favorável à aprendizagem significativa dos conceitos matemáticos parece ser uma das maneiras de se manifestar a modelagem matemática, quando usada como metodologia ou

estratégia de ensino e aprendizagem em níveis de Ensino Fundamental e médio, como confirmam os trechos destacados a seguir.

Luz (2010): [...] pode-se afirmar que o ambiente de aprendizagem gerado pela modelagem apresenta características que satisfazem as condições para a ocorrência da aprendizagem significativa, [...]. (p. 114)

Considerando que os mapas D revelaram entre outras coisas que a aprendizagem do conceito de Função do 1º Grau é mais significativa para alguns alunos após a nossa intervenção, podemos afirmar que o ambiente da Modelagem Matemática favoreceu esta aprendizagem, tanto por satisfazer as condições necessárias quanto por propiciar os princípios facilitadores da aprendizagem significativa [...]. (p. 115)

Santos (2006): [...], a modelagem matemática é um processo que acaba envolvendo a realidade e a matemática, mediante a qual se definem estratégias de ação, que oferecem ao aluno condições para a análise global da realidade, reforçada pelos significados da cultura em que está inserido, construindo um saber contextualizado entre a realidade e a matemática. (p. 39)

Chaves (2005): [...], pode-se dizer que as funções são modelos matemáticos socialmente, historicamente e/ou cientificamente construídos e validados e, que esse mesmo processo (a Modelagem) construtivo desse saber (função), revela-se interessante para ambientes onde se intencionem aprender e, aprender a aprender. (p. 65)

Essa colocação de que o ambiente de modelagem matemática que pode propiciar a aprendizagem significativa dos conteúdos matemáticos, segundo os autores das pesquisas cujos trechos estão em destaque, pode possibilitar ao aprendiz, agir sobre a realidade cultural em que se encontra. Tal situação é capaz de contribuir para que o aluno construa um saber que lhe permita aprender a aprender.

III. Favorecendo um ensino interdisciplinar e investigativo em sala de aula, que pode propiciar a aprendizagem da Matemática e o conceito de função

Uma maneira pela qual a modelagem matemática pode favorecer a aprendizagem significativa dos conhecimentos matemáticos pode ser a interdisciplinaridade ou, ainda, conforme Bassanezi (2002), a multidisciplinaridade.

Essa característica também foi observada por algumas das pesquisas analisadas, como destacado em Luz (2010), Macedo (2010) e Chaves (2005).

Luz (2010): Nossa hipótese inicial de que a Modelagem Matemática, por suas características interdisciplinares e investigativas, é uma estratégia que fornece diversas situações nas quais o aluno pode construir significado para um conceito, foi confirmada. (p. 115)

Macedo (2010): [...] modelagem é uma forma de explicar e ou descrever uma situação-problema a partir de uma realidade existente podendo envolver conceitos vinculados a diversas disciplinas. (p. 51)

Chaves (2005): Usando a faceta de modelo característico das funções, podemos ainda, aplicá-las na resolução de problemas de outras áreas do conhecimento, estabelecendo, dessa forma, conexões entre a Matemática e as outras Ciências ou, entre a Matemática e o cotidiano. Assim a Modelagem favorece um tratamento metodológico intra e interdisciplinar para as funções. (p. 68)

Trabalhar a Matemática de forma interdisciplinar, nem sempre é uma tarefa fácil, considerando que, para ela, o professor precisa não só dominar bem o conteúdo matemático que se propõe a ensinar, como precisa conhecer e estar disposto a pesquisar suas aplicações em outras áreas, o que requer uma dedicação maior às pesquisas e ao planejamento, fatores que, segundo as pesquisas analisadas, nem sempre estão a favor dos professores de Educação Básica.

Ao adotar a modelagem matemática como uma metodologia de ensino, a ação em sala de aula se dá em conjunto, unindo professor e alunos, em que as etapas de pesquisa e elaboração de modelos requerem a interpretação de situações do cotidiano, utilizando para isso as ferramentas matemáticas, e a interdisciplinaridade acaba emergindo naturalmente, como foi destacado pelas três pesquisas evidenciadas acima.

IV. Confrontando o aluno com questões ou com problemas diferentes daqueles que está acostumado a encontrar nos livros didáticos

Uma vez que o problema a ser resolvido durante o processo de modelagem matemática não tem formulação pré-definida, e é resultado das investigações feitas

pelo aluno, – exigindo, muitas vezes, um conhecimento matemático que vai além de uma simples aplicação de fórmulas, podendo o aluno, colocar em prática muitos conhecimentos previamente adquiridos, empregando-os com funções diferentes daquelas que inicialmente aprendeu – este pode passar a ter uma certa consciência do que e do por que aprende. Pode, também, passar a perceber a relação da Matemática com o mundo à sua volta, uma vez que, neste processo, em geral, os problemas nascem das inquietações do dia a dia do próprio aprendiz.

Essa é uma maneira pela qual a modelagem matemática pode possibilitar o ensino e aprendizagem de função, sendo destacada pelas pesquisas de Luz (2010), Rocha (2009) e Chaves (2005).

Luz (2010): [...] as atividades de Modelagem Matemática como favorecedoras do ambiente em que o aluno possa ser confrontado com novas questões e com problemas sob uma roupagem nova e desconhecida. (p. 65)

Rocha (2009): A compreensão dos fenômenos relacionados ao cotidiano possibilitou a construção de modelos que aliaram conhecimentos multidisciplinares com os conteúdos matemáticos ajudando-os na compreensão destes fenômenos de uma maneira crítica e integradora. (p. 91)

Chaves (2005): Ao oportunizamos aos alunos que resolvam problemas com referência na realidade através da Modelagem estamos também dando uma oportunidade para que as funções se tornem mais “visíveis” aos alunos e, portanto, mais compreensíveis já que eles passam a operar sobre “coisas mais palpáveis”. (p. 69)

Ao considerar que a modelagem matemática pode permitir que o aluno seja confrontado com situações-problema diferentes daquelas apresentadas nos livros didáticos, ou seja, como Bassanezi (2002) cita: “enunciado → demonstração → aplicação”, os pesquisadores consideram o ambiente de modelagem como um ambiente de criação, em que o conteúdo matemático não se encontra pronto e acabado, mas sim, que ele é descoberto ou redescoberto pelo aluno.

Nessa metodologia, o estudo das funções pode assumir uma característica concreta, por exemplo, permitindo ao aluno que possa lidar com a dinâmica das relações entre grandezas do mundo em sua volta.

V. Valorizando o papel do professor, podendo proporcionar que se torne o mentor e mediador do processo de ensino e aprendizagem e junto com os alunos redescubra ou construa novos conhecimentos por meio das atividades de sala de aula.

O termo “mentor”, neste caso, se refere à pessoa que planeja a aula e proporciona para que a aprendizagem de fato ocorra. Refere-se ao professor dessa forma, porque, no processo de modelagem, quem dita a dinâmica do ensino e da aprendizagem é o professor, junto com os alunos e não o livro didático, como ocorre na maioria dos casos das aulas consideradas “tradicionais”.

Nos textos em destaque a seguir, retirados das pesquisas de Macedo (2010), Postal (2009) e Santos (2006), percebemos tal posicionamento.

Macedo (2010): Com a modelagem a prática do professor cresce em importância e precisa ser mais reconhecida e valorizada. Em nosso ver, o professor é o instrumento para a ação enquanto criador de situações de aprendizagem. O professor não pode abrir mão de seu direito de ser um mentor da aprendizagem, do seu direito de aceitar o desafio de junto com seus alunos redescobrir ou até mesmo construir um conhecimento novo através das atividades de sala de aula. (p. 64)

Postal (2009): Nestas atividades o professor deixou de ser o centro da informação para ser o orientador e o norteador das construções dos estudantes. (p. 74)

Santos (2006): [...] é de extrema importância a participação ativa e democrática do professor, direcionando o trabalho para que os alunos pesquisem elementos que levem a construção de modelos e posteriormente a análise crítica da solução. (p. 114)

Neste contexto de ambiente de ensino e aprendizagem que a modelagem matemática pode gerar, tanto o professor tem maior liberdade em ensinar, quanto o aluno para aprender. O professor como mentor, a pessoa que direciona o processo como se percebe nos textos destacados das pesquisas, seus conhecimentos frente aos alunos se tornam cada vez mais necessários, “importantes”, visto que os conhecimentos matemáticos ainda não dominados pelos alunos, são a ele requeridos, motivando o aluno em aprendê-los, uma vez que, pode ser de seu interesse solucionar os problemas levantados durante o processo.

VI. Comportando-se como um fator motivacional da aprendizagem ao valorizar os conhecimentos já adquiridos na escola e no cotidiano do aluno, com aspectos aplicativos que podem levar o aluno a valorizar a Matemática.

A modelagem matemática é reconhecida por pesquisadores dessa área, como motivadora do processo de aprendizagem da Matemática, por tratar de temas que podem advir da realidade cotidiana do aluno, como pano de fundo para estudar Matemática, apresentando característica que podem levá-lo a valorizar a matéria como um conhecimento que se manifesta na escola e que pode ser aplicável em sua realidade, como pode ser observado na citação seguinte:

Uma justificativa importante para a visualização da aplicação dos conceitos diz respeito aos aspectos motivacionais. Esse é, provavelmente, um dos aspectos mais evocados na literatura para justificar a inclusão de atividades de Modelagem Matemática na prática escolar, ancorando-se em argumentos que defendem que situações de ensino que proporcionam ao aluno contato com o contexto real podem motivá-lo para o envolvimento nas atividades e para a construção de conhecimento. (ALMEIDA, SILVA e VERTUAN, 2012, p. 30)

Essa foi uma maneira pela qual a modelagem matemática pôde contribuir para o ensino e a aprendizagem de função na escola, considerada pelas pesquisas por nós analisadas, como podemos perceber nos textos de Pires (2009), Postal (2009) Rocha (2009), Santos (2006) e Chaves (2005).

Pires (2009): Diante dos resultados apresentados [...], podemos inferir que a intervenção de ensino contribuiu para a aprendizagem desses alunos, [...], tanto a modelagem, como resolução de problemas por apresentarem aspectos aplicativos facilitam ao estudante compreender melhor os argumentos matemáticos, guardar os conceitos e os resultados e valorizar a própria Matemática. (p. 124)

O fato deles terem sempre a frente uma situação familiar [...] e instigante, cuja solução envolvia o domínio das noções básicas da função afim, fez com que esses alunos tivessem interesse na aprendizagem dessas noções. (p. 147)

Postal (2009): Ao se trabalhar uma proposta de Modelagem Matemática o estudante desenvolve a criatividade e apresenta uma motivação maior pelas aulas de Matemática. (p. 82)

Rocha (2009): Neste enfoque, pode-se perceber o grau de envolvimento dos alunos nas discussões acerca do tema. Notou-se que a motivação dos alunos na

busca por informações a respeito deste assunto ia além das aulas, ultrapassando os portões da escola. Os alunos continuavam conversando com seus familiares a respeito do tema enriquecendo as discussões que aconteciam na sala de aula, propiciando o debate e, em alguns casos, a mudança de postura com relação ao que estava sendo abordado. (p. 50)

Santos (2006): [...] algumas das razões para incluir a Modelagem Matemática no currículo [...], como motivação, pois os alunos conseguiram verificar a aplicabilidade do que estavam estudando; facilitação da aprendizagem, pois conectaram o que estavam estudando com outros assuntos, e o desenvolvimento de habilidades gerais de exploração, no momento que estavam pesquisando e investigando os assuntos sobre o tema. (p. 147)

Chaves (2005): De todos os argumentos favoráveis para a utilização da Modelagem Matemática, podemos classificar como os mais visíveis, a motivação para aprender, bem como a facilitação do aprendizado e a melhora nos níveis de participação, contribuindo dessa forma, para a diminuição da passividade do aluno perante a Matemática e sua própria aprendizagem, além da implantação e da manutenção de um atraente e agradável ambiente de ensino e aprendizagem. (p. 135)

Quem trabalha com modelagem matemática, com o propósito de metodologia ou estratégia de ensino e aprendizagem na Educação Básica, em geral atribui a ela característica de motivadora. Em nossa análise, pudemos perceber esse reconhecimento em cinco das sete pesquisas analisadas.

E, ao que notamos, essa característica pode ser alavancada por fatores que estão vinculados às possibilidades de interação entre: aluno e aluno; aluno e professor; professor, aluno e tema; professor, aluno e matemática; aluno, matemática e realidade. Estas relações, por sua vez, se encontram mediadas pelo tema, que pode estar relacionado à realidade cotidiana do aluno e, pela modelagem matemática que pode mostrar a aplicabilidade de conhecimentos matemáticos adquiridos na escola, valorizando a própria matemática perante o aluno.

VII. Modificando a rotina da sala de aula, podendo criar um ambiente de ensino e aprendizagem igualitário entre os estudantes em integração com o professor.

Em tais condições, a modelagem matemática utilizada como metodologia de ensino e aprendizagem, pode se tornar uma estratégia que, trabalhada em grupos

ou não, pode permitir a interação entre os estudantes, entre estes e o professor e entre estes e a Matemática, visto que cada grupo ou cada aluno, além de se encontrar ligado ao seu próprio projeto, encontra-se, ao mesmo tempo, ligado aos projetos de toda a sala e ao professor, podendo proporcionar um ambiente dinâmico e de interação, como podemos perceber nos trechos destacados das pesquisas de Rocha (2009) e Santos (2006).

Rocha (2009): Percebeu-se, nesta altura do desenvolvimento da atividade, que o ambiente de aprendizagem criado na sala de aula propiciou a percepção das etapas da modelagem, pois na medida em que um aluno ia interagindo com o seu grupo, todos avançavam na resolução, mostravam para os colegas e assim, trocavam ideias e discutiam quem estaria resolvendo da “melhor maneira”. Houve trocas até mesmo entre os grupos, pois quem pensava estar resolvendo “correto” queria que outros vissem a resolução. (p. 37)

Mesmo considerando a dificuldade de aprendizagem dos alunos, devido, talvez, a falta de um conhecimento matemático mais consistente, percebeu-se a eficácia do uso da Modelagem, na abordagem de situações-problema que propiciou a exploração do conceito de função e contribuiu para o ensino de funções numa perspectiva democrática que oportunizou a integração entre professor e aluno, onde ambos aprenderam numa dinâmica de interação interdisciplinar. O uso da Modelagem permitiu a realização de atividades de natureza diversa que modificou a rotina da sala de aula. (p. 91)

Santos (2006): A escolha do tema estimulou a participação ativa e interessada dos alunos, transformando, desta forma, o espaço escolar em algo mais dinâmico e significativo. Além disso, os resultados obtidos são animadores, pois se observa, nos alunos, uma mudança das concepções e do sentimento que a Matemática desperta, notando uma maior motivação pela disciplina e pelos conteúdos de matemática estudados, além de uma melhora significativa no desempenho dos mesmos. (p. 149)

Essa ideia de mudança da rotina da sala de aula está relacionada à característica que o processo de modelagem matemática tem de poder favorecer o desenvolvimento de atividades de natureza diversa, não concentrando as estratégias de ensino e aprendizagem em situações únicas, as quais podem favorecer apenas uma parte dos alunos, visto que em metodologias “tradicionais”, as atividades são desenvolvidas a priori pelo professor, apresentando poucas possibilidades de adaptação. No caso da modelagem, as atividades são, em geral, planejadas pelo professor, porém, desenvolvidas em conjunto com os alunos,

podendo ser reajustadas à medida que se torne necessário, podendo, assim atribuir um processo mais dinâmico ao ensino e aprendizagem de matemática.

VIII. Desenvolvendo a afetividade, o gosto e o prazer do aluno ao trabalhar com matemática.

Também pode ser considerada como uma maneira de elevar a autoestima do aluno em relação à aprendizagem de Matemática, uma vez que, o aluno no processo de modelagem matemática, passa a utilizar seus conhecimentos sobre a matéria como ferramentas para o desenvolvimento de outros conhecimentos, desvinculando da impressão de que um conhecimento aprendido no ano anterior, não tem relação com aquele que está sendo aprendido ou que ainda venha a aprender.

O trabalho com modelagem matemática, em geral prevê que o aluno desenvolva seus conhecimentos a partir de um tema que pode está ligado à sua realidade cotidiana, e com o qual ele tem uma afinidade. Nesse caso, o ato de aprender pode passar a ser mais prazeroso, como destacado no texto de Santos (2006).

Santos (2006): Os alunos após a realização do trabalho com Modelagem Matemática demonstraram que ao trabalhar de modo diferente começam a gostar de matemática, [...], a Modelagem Matemática envolve o afetivo, já que o aluno desenvolve por meio de uma atividade o gosto e o prazer pelo trabalho matemático.

[...] o trabalho foi participativo e informativo, onde os alunos tiveram oportunidades de trabalhar em grupos, debatendo e pesquisando os assuntos, demonstrando estarem mais entusiasmados. Com relação às aulas, estas apresentaram-se diferentes e interessantes, onde se teve mais facilidade em aprender. (p. 147) [...] muitas escolas públicas de Ensino Fundamental e Médio refletem a mesma realidade da turma que foi pesquisada, onde os alunos apresentam impressões negativas com relação à disciplina de Matemática. Esta pesquisa constatou que após a realização do trabalho com a estratégia de Modelagem Matemática, que envolve investigação, por meio da pesquisa exploratória, levantamento e resolução dos problemas, bem como o desenvolvimento da Matemática relacionada ao tema e análise crítica dessas soluções, os alunos passaram a mostrar mudanças positivas em relação a essas concepções. (p. 149)

Esse gosto, prazer e a afetividade pelo conhecimento matemático têm suas raízes no fato de o aluno, no processo de modelagem matemática, enfrentar uma

situação que ele mesmo pode ter criado e levantado às informações que deram origem ao problema, diferenciando-se de uma situação em que o autor de um livro didático ou mesmo o professor foi o responsável, o que pode mudar radicalmente suas concepções em relação ao conhecimento matemático, como evidencia Santos (2006) no trecho destacado acima.

 Em resumo

Em nossa análise, pudemos extrair das sete pesquisas, um grupo de oito categorias de maneiras possíveis com que a modelagem matemática pode contribuir para potencializar o ensino e aprendizagem de função no Ensino Fundamental e Médio, conforme apresentamos, em resumo, no quadro seguinte:

Maneiras como a modelagem matemática pode contribuir para potencializar