João Pereira Viana Filho
Ensino e Aprendizagem de Função: uma metanálise de dissertações brasileiras sobre modelagem matemática produzidas entre 1987 e 2010
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC-SP
João Pereira Viana Filho
Ensino e Aprendizagem de Função: uma metanálise de dissertações brasileiras sobre modelagem matemática produzidas entre 1987 e 2010
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE em EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora Doutora Barbara
Lutaif Bianchini.
Banca Examinadora
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Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho à minha esposa Iracema que, com muita paciência, sempre compreendeu e apoiou minha jornada.
Ao meu filho João Vitor, que nasceu durante o período mais crítico da elaboração deste trabalho, trazendo-me muitas alegrias.
À minha mãe Maria de Lourdes, meus irmãos e irmãs que nunca faltaram com apoio de todos os tipos, proporcionando a concretização de mais esta árdua jornada de minha vida, e sem os quais tudo se tornaria mais difícil.
Agradeço primeiramente a Deus por me proporcionar a alegria de viver e concretizar meus sonhos.
Agradeço à Professora Doutora Barbara Lutaif Bianchini pelo carinho, dedicação e paciência com que me orientou durante o longo percurso deste trabalho, contribuindo para meu amadurecimento como pesquisador e como profissional.
Aos professores que ministraram disciplinas durante o curso de Mestrado Acadêmico, proporcionando-nos momentos de reflexão e experiências.
À minha esposa Iracema pelo incentivo e paciência, e ao meu filho que apesar de bebê serviu de incentivo para continuar este desafio.
À minha mãe que além do incentivo, me deu apoio financeiro em muitas ocasiões.
Aos meus irmãos que me apoiam e incentivam em todas as jornadas.
A toda minha família que direta ou indiretamente me apoia.
Aos meus colegas do GPEA que, em muitas ocasiões, me deram força e ajudaram em diversas tomadas de decisão.
Aos meus colegas de curso, em especial, à colega Sonia que me apoiou, ouvindo muitas das minhas angústias, e ao colega Fábio, que também me apoiou nessa dura jornada.
“Ensinar exige compreender que a educação é uma forma de intervenção no mundo”.
Este trabalho teve como objetivo investigar possíveis contribuições da modelagem matemática para o ensino de função na Educação Básica. Para atender tal objetivo,
as investigações foram delineadas de forma a responder a questão de pesquisa: o que as pesquisas que utilizam a modelagem matemática em sala de aula, trazem como contribuição, e apontam como possibilidades e dificuldades do uso dessa metodologia ou estratégia de ensino e aprendizagem para introduzir ou ensinar função no Ensino Fundamental e Médio? Foi desenvolvida, para isso, uma
metanálise que aqui é entendida, segundo propõem Fiorentini e Lorenzato (2009), como sendo uma revisão sistemática de outras pesquisas, visando realizar uma avaliação crítica sobre elas, quando se intenciona realizar um estudo de caráter documental, com o objetivo de sintetizar ideias, investigar contribuições, classificar e encontrar categorias de pesquisa, encontrar similaridades e apontar possíveis divergências ou particularidades entre resultados de pesquisas. A análise seguiu as diretrizes para a leitura, análise e interpretação de textos, propostas por Severino (2002) e foi feita sobre sete dissertações de mestrado produzidas no Brasil, as quais abordaram o tema ensino e aprendizagem de função com modelagem matemática. Dessas, cinco são de Mestrado Profissionalizante e duas de Mestrado Acadêmico, em que três delas dedicaram suas investigações ao Ensino Fundamental e quatro as dedicaram ao Ensino Médio. As pesquisas foram levantadas e selecionadas a partir do Banco de resumos da CAPES. Nos resultados de pesquisa, apresentamos, segundo nossos critérios de identificação e classificação: oito categorias de concepções de modelagem matemática, oito maneiras pelas quais pode contribuir para o ensino de função, seis tipos de possibilidades e cinco tipos de dificuldades encontradas na implementação e no desenvolvimento das atividades e das ações em sala de aula, além de seis tipos de possíveis contribuições que a modelagem matemática, quando adotada como uma metodologia ou estratégia de ensino e aprendizagem de função no Ensino Fundamental e Médio pode trazer. Os resultados da busca e análise dos trabalhos, apontaram, também, para a necessidade de mais pesquisas sobre temas relacionados à abordagem das funções na Educação Básica, por meio da modelagem matemática, em especial, de pesquisas de doutorado.
ABSTRACT
This has been written to investigate possible contributions of Mathematical modeling to teaching functions on Basic Education. In order to do this, investigations were
aimed on answering the main question in the research: what are the contributions from researches which use Mathematical modeling, and what possibilities and difficulties come from this teaching and learning methodology or strategy to introduce or teach functions on both Ensino Fundamental (in Brazil it is from 1st grade to 9th grade) and Médio (10th to 12th grade)? A meta-analysis has been developed for this,
and, in this case, we understand it according to Fiorentini and Lorenzato’s (2009) proposal: a systematic review of other researches aiming to make a critical evaluation about them, with the intention of making a documental study, to summarize ideas, investigate contributions, classify and find research categories, find similarities and point possible differences or peculiarities between research results. The analysis has been done by following Severino’s (2002) guidelines to reading, analyzing and interpreting texts, and it was conducted on seven Master’s Degrees produced in Brazil, which have approached the theme learning and teaching functions with Mathematical modeling. Five of those are Professionalizing Masters (Mestrado Profissionalizante) and two of them are Academic Masters (Mestrado Acadêmico). Three of them are focused on Ensino Fundamental and four of them are focused on Ensino Médio. Those researches were found in and selected from the CAPES abstracts database. On research results, we present our identification and classifying criteria: eight categories for conception of Mathematical modeling, eight ways this can contribute to function teaching, six types of possibilities and five types of difficulties found on implementation and development activities and actions in the classroom, and six types of possible contributions that Mathematical modeling, when adopted as a function teaching and learning methodology or strategy in Ensino Fundamental and Médio, can bring. The results from the search and analysis of the theses have also pointed to the necessity of more research on themes related to the approach of functions in Basic Education (Educação Básica, from Preschool to 9th grade), using Mathematical modeling; specially Doctoral degrees (Doutorados).
Figura 1 - Esquema simplificado de Modelagem Matemática ... 34
Figura 2 - Atividades intelectuais envolvidas nas etapas da modelagem matemática... 35
Figura 3 - Casos de modelagem matemática ... 36
Figura 4 - Síntese dos objetivos do processo de modelação em um curso regular ... 40
Figura 5 - Questões utilizadas como descritores ou categorias de análise ... 49
Figura 6 - Quadro de referência para análise temática ... 49
Figura 7 - Distribuição do número de pesquisas por ano e por nível ... 55
Figura 8 - Pré-seleção das pesquisas por programa de pós-graduação... 60
Figura 9 - Pesquisas selecionadas para metanálise ... 68
Figura 10 - Títulos e temas dos sete trabalhos escolhidos para metanálise ... 74
Figura 11 - Questões/problemas de pesquisa abordados nos trabalhos analisados ... 76
Figura 12 - Objetivos de pesquisa dos sete trabalhos analisados ... 79
Figura 13 - Evidência da abordagem teórico-metodológica de cada trabalho ... 87
Figura 14 - Textos que evidenciam a proposta desenvolvida em cada pesquisa ... 95
Figura 15 - Trechos evidenciando os resultados de cada trabalho ... 109
Figura 16 - Concepções de modelagem matemática, identificadas após a análise das sete dissertações... 126
Figura 17 - Maneiras como a modelagem matemática pode contribuir para potencializar o ensino e aprendizagem de função ... 136
Figura 18 - Possibilidades do uso da modelagem matemática como metodologia ou estratégia de ensino e aprendizagem de função ... 146
Figura 19 - Dificuldades do uso da modelagem matemática como metodologia ou estratégia de ensino e aprendizagem de função ... 152
INTRODUÇÃO ... 12
Capítulo I ... 17
PROBLEMÁTICA, JUSTIFICATIVA, A FUNÇÃO E A MODELAGEM MATEMÁTICA NO CURRÍCULO DO ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO ... 17
1.1 Motivação para pesquisa ... 17
1.2 O ensino de função no Ensino Fundamental e Médio ... 24
1.3 A Modelagem Matemática e o Currículo de Matemática do Ensino Fundamental e Médio ... 30
Capítulo II ... 44
REFERENCIAL TEÓRICO-METODOLÓGICO E PROCEDIMENTOS DE ANÁLISE... 44
2.1 O referencial teórico-metodológico ... 44
2.2 A metanálise como metodologia de pesquisa ... 44
2.3 Do processo de análise e interpretação de trabalhos ... 45
2.4 Das unidades de análise ... 48
Capítulo III ... 51
BUSCA, IDENTIFICAÇÃO E SELEÇÃO DAS PESQUISAS ... 51
3.1 O período e o local de busca ... 52
3.2 Busca e identificação das pesquisas ... 53
3.2.1 O caminho e os critérios da busca ... 53
3.3 Momentos da busca ... 54
3.3.1 Primeiro momento: usando a expressão “modelagem matemática” como filtro de busca ... 54
3.3.2 Segundo momento: usando a expressão “ensino com modelagem matemática” como filtro de busca ... 56
3.3.3 Terceiro momento: usando a expressão “ensino e aprendizagem com modelagem matemática” como filtro de busca ... 57
3.4 A seleção das pesquisas para metanálise ... 58
3.4.2 Segunda etapa: selecionando as pesquisas por título,
palavras-chave e público alvo ... 61
3.4.3 Terceira etapa: as pesquisas selecionadas para análise ... 63
Capítulo IV ... 70
A ANÁLISE INTERPRETATIVA DOS TRABALHOS ... 70
4.1 As dissertações selecionadas para análise interpretativa ... 70
4.2 A análise temática dos trabalhos ... 72
4.2.1 Os títulos das pesquisas ... 73
4.2.2 A problemática e objetivo de pesquisa ... 74
4.2.2.1 Questão/problema abordado ... 74
4.2.2.2 Objetivos das pesquisas ... 76
4.2.3 Procedimentos Metodológicos e Fundamentação teórica das pesquisas ... 80
4.2.3.1 Abordagem teórico-metodológica feita em cada pesquisa ... 80
4.2.4 Resultados e considerações finais das pesquisas ... 96
4.3 A análise interpretativa ... 109
4.3.1 Que concepções estão sendo adotadas, quanto à abordagem da modelagem matemática, como estratégia de ensino e aprendizagem de função na sala de aula do Ensino Fundamental e Médio? ... 110
4.3.2 De que maneira a modelagem matemática pode contribuir para potencializar o ensino e a aprendizagem de função no Ensino Fundamental e Médio? ... 126
4.3.3. Quais as possibilidades e as dificuldades encontradas durante o planejamento, a adequação do conteúdo e da ação dos alunos e dos professores em sala de aula? ... 137
4.3.3.1 Das possibilidades ... 137
4.3.3.2 Das dificuldades ... 146
4.3.4. Que contribuições pode trazer para o ensino e a aprendizagem de função, a modelagem matemática, como metodologia ou estratégia de ensino? ... 152
CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 166
INTRODUÇÃO
As motivações que nos levaram ao desenvolvimento desta pesquisa são múltiplas, porém, duas delas nos convêm destacar. A primeira está ligada à nossa atuação como professor de Matemática da Educação Básica nas redes públicas do Estado de São Paulo e da cidade de São Paulo, e a segunda se deve às nossas experiências de estudos anteriores, por meio de um curso de especialização em modelagem matemática, com foco no ensino e na aprendizagem de Matemática.
Em nossa atuação profissional nos sistemas de ensino público, estamos quase sempre enfrentando dificuldades, tanto em relação à nossa adaptação às constantes mudanças nas propostas curriculares, quanto em relação às escolhas que devemos fazer diante das metodologias ou estratégias de ensino, por meio das quais o conteúdo de matemática seja desenvolvido, de forma que possa potencializar a aprendizagem dos conhecimentos matemáticos em sala de aula, de tal maneira que os conhecimentos adquiridos pelo aluno na escola, possam, não só se tornar parte das suas vivências em aula, mas também se tornarem aliados no enfrentamento das situações que podem emergir da realidade.
Dessa forma, a investigação de trabalhos que pesquisaram metodologias ou estratégias de ensino, as quais, ao serem empregadas em sala de aula, podem possibilitar uma aprendizagem mais dinâmica e prazerosa para o aluno, podendo, ao mesmo tempo, potencializar esse processo, tornou--se uma das motivações para o desenvolvimento desta pesquisa de mestrado.
A nossa experiência anterior com modelagem matemática nos despertou um interesse especial sobre este campo da Educação Matemática, em particular, quando passa a ser usada como uma abordagem de ensino na Educação Básica.
na prática, ao se aplicar a modelagem matemática como uma metodologia1 ou estratégia2 de ensino e aprendizagem nas salas de aula do Ensino Fundamental e Médio, surgiu a ideia de eleger a modelagem como um dos temas desta investigação, e nele encontramos a inspiração para o desenvolvimento da presente pesquisa.
Ao ingressar no mestrado e passar a fazer parte do Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica (GPEA), que busca investigar as problemáticas envolvendo o ensino e a aprendizagem da álgebra nos diversos segmentos da Educação Matemática, e, após uma exposição de nosso projeto de pesquisa ao grupo, foram sugeridas as funções como tema matemático a ser investigado, ampliando, então, o tema de investigação para modelagem matemática e função.
Os conteúdos que envolvem as noções sobre função permeiam toda Educação Básica. Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997). Por exemplo, encontramos a justificativa de ser a proporcionalidade um dos assuntos a serem trabalhados de 1ª a 4º série (atualmente 1º ao 5º ano) do Ensino Fundamental, por este conhecimento matemático estar presente na resolução de problemas, envolvendo, entre outros elementos, a análise de tabelas, gráficos e funções.
Conscientes de que esse é um conhecimento matemático que apresenta relevância no currículo de Matemática da Educação Básica, na qual atuamos como professor da disciplina, e que as investigações sobre esse assunto são de interesse de nosso grupo de pesquisa, partimos em busca do objetivo de nossa investigação.
Desta forma, em discussão com a orientadora, chegamos ao tipo de pesquisa a ser desenvolvido e, a partir desse momento, passou a ser o objetivo de nosso trabalho: investigar possíveis contribuições da modelagem matemática para o ensino de função na Educação Básica.
Buscamos com este objetivo revelar: o que as pesquisas que utilizam a modelagem matemática em sala de aula, trazem como contribuições e o que apontam como possibilidades e dificuldades do uso desta metodologia ou
1 Conjunto de métodos, princípios e regras empregados por uma atividade ou disciplina. (HOUAISS e VILLAR, 2008, p. 502)
estratégia de ensino e aprendizagem para introduzir ou ensinar função no Ensino Fundamental e Médio?
Em consequência de seu objetivo, esta pesquisa apresenta uma metanálise de sete dissertações de mestrado, sendo cinco de Mestrado Profissionalizante e duas de Mestrado Acadêmico. Os procedimentos metodológicos desse procedimento se encontram detalhados no Capítulo 2 deste relatório.
A escolha deste tipo de investigação vem ao encontro de nosso objetivo, por termos optado em fazer uma pesquisa documental, usando para isso uma revisão de outros trabalhos.
A metanálise realizada por nós está fundamentada nos princípios teórico- -metodológicos definidos por Fiorentini e Lorenzato (2009) que a caracterizam como uma revisão sistemática de outras pesquisas, visando realizar uma avaliação crítica sobre elas. Segundo seus autores, este vem sendo um tipo de investigação adotada por pesquisadores, quando intencionam realizar um estudo de caráter documental, com o objetivo de sintetizar ideias e investigar contribuições, classificar e encontrar categorias de pesquisa, encontrar similaridades e apontar possíveis divergências ou particularidades entre os resultados.
Já a leitura, análise e interpretação dos textos das pesquisas que tiveram como foco responder à questão de pesquisa e alcançar os objetivos deste trabalho, seguiram as diretrizes metodológicas apresentadas por Severino (2002) e indicadas por ele para este propósito.
Tomamos, também, como parâmetros para estruturação e desenvolvimento da pesquisa e das análises realizadas, trabalhos documentais de metanálise, anteriormente desenvolvidos em nosso grupo de pesquisa, como o de Martins (2008), Nagamachi (2009) e Miranda (2009).
A busca e identificação destas pesquisas tiveram como fonte o Banco de teses da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), que disponibiliza resumos de pesquisas em formato eletrônico, a partir do ano de 1987.
Nossa busca estendeu-se de 1987 a 2010, último ano de disponibilidade desses resumos, até setembro do ano de 2011. Foi utilizada como filtro de busca, a expressão: “ensino e aprendizagem com modelagem matemática”. Após a identificação das pesquisas, fez-se a seleção daquelas que foram utilizadas para análise e, para isso, buscamos selecionar as pesquisas que versaram sobre o “ensino e aprendizagem de função por meio da modelagem matemática”, com aplicação em sala de aula.
O relato desta pesquisa encontra-se estruturado em uma introdução, quatro capítulos, as considerações finais e as referências.
O primeiro capítulo intitulado: “Problemática, justificativa, a função e a modelagem matemática no currículo do Ensino Fundamental e Médio” tem por
objetivo apontar as motivações e justificativas que levaram à escolha e problematização do tema e, também, apresentar algumas das questões que envolvem a modelagem matemática e as funções no currículo de matemática e o processo de ensino e aprendizagem deste assunto no âmbito da Educação Básica.
O segundo capítulo, de título: “Referencial teórico-metodológico e
procedimentos de análise”, tem por objetivo apresentar o contexto teórico--metodológico em que se fundamenta a investigação, descrevendo os procedimentos adotados durante a leitura, análise e interpretação dos textos das pesquisas.
O terceiro capítulo, que denominamos de: “A busca pelas pesquisas”, apresenta a fonte e as etapas de busca, identificação e seleção dos trabalhos analisados, os critérios de identificação e seleção e, os resultados obtidos após cada etapa.
O quarto e último capítulo, denominado: “A análise interpretativa dos
Este momento da pesquisa é iniciado pela análise temática dos trabalhos e sucedido pela análise interpretativa, etapa na qual as quatro questões originadas da questão diretriz, e utilizadas como descritores ou categorias de análise, conforme apresentadas no quadro da Figura 5 no Capítulo 2, são colocadas como parâmetros para obtenção dos dados que responderam a questão de pesquisa e que nos levaram a atingir o objetivo deste trabalho.
Capítulo I
PROBLEMÁTICA, JUSTIFICATIVA, A FUNÇÃO E A MODELAGEM MATEMÁTICA NO CURRÍCULO DO ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO
O objetivo deste capítulo é apresentar os elementos que justificam os motivos que nos levaram ao desenvolvimento desta pesquisa, e aos fatores que nos induziram à escolha do tema e nos encorajaram a explorar algumas das questões que permeiam o universo das teorias e práticas de ensino no campo da Educação Matemática.
1.1 Motivação para pesquisa
Ao ingressar no Mestrado Acadêmico, várias ideias nos surgiram como forma de pesquisar em modelagem matemática, desenvolvendo atividades com alunos ou não. Uma certeza tínhamos, investigaríamos algo ligado à modelagem matemática no Ensino Fundamental e Médio. A modelagem, porque havia nos despertado a curiosidade, durante um curso de especialização, e o Ensino Fundamental e Médio, por fazer parte do universo de nossa atuação como professor de Matemática de Educação Básica.
Ao ingressarmos no Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica (GPEA), o grupo de pesquisa que tem por objetivo encontrar respostas às inquietações que cercam o ensino e a aprendizagem da álgebra, nos diversos segmentos da Educação Matemática, e, devido à nossa experiência com modelagem matemática ter despertado o interesse pelo possível potencial dessa metodologia de ensino, surgiu a curiosidade de investigação de trabalhos de pesquisa, realizados com o objetivo de investigar suas contribuições para o ensino e aprendizagem de matemática na sala de aula do Ensino Fundamental e Médio.
panorama do tipo estado da arte das dissertações e teses que versavam sobre o ensino e aprendizagem com modelagem matemática, fazendo referência a algum objeto do ensino da álgebra, e que pudessem ser identificadas no banco de resumos da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), entre 1987 e 2010, período de disponibilidade de resumos neste portal, seguindo até o ano de 2011. Portanto, após exposição das ideias ao grupo, e conversa com a orientadora, percebemos haver a necessidade de focar um tema específico.
Após propormos investigar as concepções e manifestações da linguagem algébrica presentes em atividades de modelagem matemática, apresentadas em dissertações e teses versando sobre o ensino e aprendizagem com modelagem matemática, de expormos o tema do projeto em um Encontro de Produção Discente do programa, no segundo semestre de 2010, e de recebermos as contribuições e sugestões da plateia presente, formada por professores e colegas do programa, percebemos a necessidade de um melhor direcionamento do tema.
Finalmente, em um encontro do grupo de pesquisa no primeiro semestre de 2011, momento em que cada um dos orientandos integrantes do grupo expôs, oralmente, o objetivo de seu trabalho, para dessa forma socializá-lo com colegas e professores orientadores do grupo, foi questionado por que não focaríamos no tema
função, pois, dessa forma, o trabalho assumiria um caráter mais específico e, sem
dúvida, de grande interesse para o grupo de pesquisa.
Após esse encontro, e em reunião com a orientadora, chegamos à conclusão de que seria relevante para o grupo e para a academia, se realizássemos uma metanálise de trabalhos que investigaram “o ensino de função por meio da modelagem matemática”. Desse acordo, resultou como tema de nossa investigação, a realização de uma metanálise de dissertações e teses sobre ensino e aprendizagem com modelagem matemática no Ensino Fundamental e Médio, com vistas a identificar as possíveis contribuições de tal metodologia para o ensino e a aprendizagem de função.
artigo: “Modelagem matemática no ensino aprendizagem: o desenvolvimento de dietas”, mostrando os resultados de uma monografia desenvolvida durante um curso de Especialização na Universidade Federal do ABC (UFABC), no ano de 2010. Nessa ocasião, verificamos que, dos quinze trabalhos apresentados naquele dia, seis deles se referiam à utilização da modelagem matemática como metodologia ou estratégia de ensino na sala de aula.
Também, por atuar como professor de Matemática de Educação Básica na rede estadual de São Paulo, e na rede municipal da cidade de São Paulo, percebemos que, aos poucos, essa metodologia tem marcado presença nas novas propostas de ensino da educação pública, como destaca o seguinte trecho da Proposta Curricular de Matemática do Estado de São Paulo (2008), ao discorrer sobre o tema gerador de cada unidade da grade curricular.
Além do papel articulador, o tema escolhido também tem sua relevância no sentido de apresentar possibilidades metodológicas alternativas ao tratamento tradicional dos conteúdos, de apresentar abordagem criativa e, sempre que possível, favorecer o uso da tecnologia, da modelagem matemática, de materiais concretos etc. (p. 49-50, grifo nosso)
Nesta investigação fomos motivados pela busca, não de encontrar respostas para as questões que se impõem ao amplo universo que une teoria e prática, mas sim de encontrar, no âmbito das pesquisas em Educação Matemática, resultados que apontem tendências ou lacunas no processo de ensino e aprendizagem da Matemática, em especial, no campo da Álgebra, de forma a ampliar as discussões em torno das problemáticas que dali emergem, e que podem influenciar no ensino e na aprendizagem de função.
Sendo assim, esta pesquisa, ao ter como foco a investigação de trabalhos que usaram a modelagem matemática como metodologia ou estratégia de ensino e aprendizagem em sala de aula com alunos do Ensino Fundamental e ou Médio, realiza uma metanálise de dissertações de mestrado realizadas no Brasil.
Desta forma, em busca de atingir tal objetivo fomos guiados pela questão de pesquisa: o que as pesquisas que utilizam a modelagem matemática em sala de aula, trazem como contribuição, e apontam como possibilidades e dificuldades do uso desta metodologia ou estratégia de ensino e aprendizagem para introduzir ou ensinar função no Ensino Fundamental e Médio?
Assim, por meio de uma metanálise que tem como proposta uma revisão sistemática de outras pesquisas, buscamos, usando do confronto de ideias, da busca de categorias e da interpretação e comparação dos resultados, atingir o objetivo acima descrito.
Essa análise nos levaria a investigar as concepções adotadas em relação à modelagem matemática, quando utilizada como metodologia ou estratégia de ensino e aprendizagem de função no Ensino Fundamental e Médio; investigar as possíveis contribuições que ela oferece, quando usada para promover o ensino e a aprendizagem de função nesses níveis de ensino e apontar as possibilidades ou as dificuldades encontradas durante o processo de modelagem no ambiente de ensino.
Este é um trabalho integrante do corpo de pesquisas realizadas pelo Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica (GPEA) do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP), o qual possui como projeto maior, o de investigar “Qual a álgebra a ser ensinada na
formação de professores?” Este trabalho tem como preocupação buscar compreender alguns dos fatores que interferem na consolidação do ensino e da aprendizagem da Matemática, na Educação Básica de hoje.
Nosso interesse, em particular, é com as questões que envolvem o ensino e a aprendizagem de função que, sem dúvida, é um dos tópicos matemáticos com o qual os alunos terão contato ainda no Ensino Fundamental, pois esta é uma das preocupações do subprojeto do GPEA: “Funções do ponto de vista cognitivo e
didático” que visa investigar o ensino e a aprendizagem de funções na Educação Básica, e do qual esta pesquisa faz parte. É um assunto que, geralmente, tem sua introdução no sétimo ano do Ensino Fundamental, quando se fazem as primeiras referências aos conceitos de proporção e relações entre grandezas.
metodologia ou estratégia, nos interessou por percebermos não haver outro trabalho tratando deste tema e com o mesmo objetivo, no grupo de pesquisa GPEA, em que ele se encontra inserido.
A relevância de se fazer levantamento de trabalhos já realizados, com o intuito de compilar e compreender um grupo de ideias, com o mesmo fim ou com fins semelhantes, desenvolvidas, porém, em momentos e ambientes distintos, reside em fatos como o de que esse tipo de pesquisa também pode facilitar o trabalho de outros pesquisadores, tanto de nosso grupo, quanto de outros grupos que tenham interesse em pesquisar o assunto no campo da Educação Matemática, mais particularmente, no campo das funções e da modelagem matemática.
A importância de pesquisas que busquem sintetizar estudos realizados sobre temas mais específicos evitando as grandes generalizações, é uma tendência trazida pela ascendência das pesquisas qualitativas em Educação Matemática, como destacam Fiorentini e Lorenzato (2009): “A principal mudança verificada nos últimos anos é que estes estudos deixam de focalizar aspectos muito gerais da aprendizagem e passam a centrar foco na aprendizagem de conteúdos matemáticos mais específicos”. (p. 42)
Referindo-se às investigações em Educação Matemática, Maranhão (2009) também destaca que:
Em face da divulgação e aceitação cada vez maiores de abordagens investigativas no ensino e na pesquisa em Educação Matemática, torna-se muito importante aprofundarmos seus pressupostos, conhecermos efeitos (positivos e negativos) analisarmos potencialidades e limitações, discutirmos dilemas e propormos questões em aberto em seu emprego. (p. 275)
Estas ideias podem, ainda, ser complementadas pelas palavras de Fiorentini e Lorenzato (2009) quando, por exemplo, se referem ao objeto e aos objetivos da pesquisa em Educação Matemática.
Embora o objeto de estudo da EM ainda se encontre em processo de
construção, poderíamos, de modo geral, dizer que ele envolve as múltiplas relações e determinações entre ensino, aprendizagem e conhecimento matemático em um contexto sociocultural específico. [...]. Por exemplo, se o foco de estudo for o ensino, o pesquisador não pode ignorar que se trata do ensino da matemática, que só faz sentido se considerar a existência de aprendizes como sujeitos sociais. Também não significa que o estudo deva ser somente prático com trabalho de campo. Ele pode ser também teórico, histórico e/ou bibliográfico. (p. 9-10)
No nosso caso, a pesquisa que desenvolvemos é uma pesquisa bibliográfica do tipo metanálise. A partir da declaração de Fiorentini e Lorenzato (2009), destacada na citação acima, podemos reforçar a justificativa de nossos propósitos em escolher uma investigação metanalítica, que busca as contribuições da modelagem matemática como metodologia ou estratégia de ensino e aprendizagem, para a introdução do conceito e o ensino e aprendizagem de função em níveis de Ensino Fundamental e Médio.
Segundo esses autores, os focos de estudo mais prestigiados no campo do ensino e aprendizagem da matemática têm sido os processos de contagem, os sistemas de numeração e as operações fundamentais com números naturais, nas séries iniciais e, só mais recentemente, tem sido dada atenção ao estudo dos números racionais, da álgebra, da geometria, do cálculo, entre outros, o que justifica mais uma vez, os motivos de termos escolhido a função como o objeto matemático de nossa pesquisa.
Nas últimas décadas, o interesse pela Modelagem Matemática no campo da Educação Matemática tem crescido e ganhado visibilidade. Sua principal preocupação refere-se à utilização de situações do dia-a-dia ou de outras ciências nas aulas de matemática na educação básica e superior. (p. 8)
Foi, também, por sua crescente presença nas pesquisas em educação matemática, como destacam os autores na citação anterior, que nos despertou o interesse em investigar propostas de ensino e aprendizagem de função, por meio da modelagem matemática. Para isso, partimos do princípio de que a álgebra ocupa um lugar de destaque na construção da linguagem formal da Matemática, que o conceito e as propriedades das funções nesse campo são relevantes, podendo, muitas vezes, ser considerada como uma das bases para o ensino de Matemática em níveis mais avançados.
E, sendo a modelagem matemática uma estratégia de ensino, poderá contribuir para o processo de ensino e aprendizagem de função no Ensino Fundamental e Médio, já que representa, atualmente, segundo Bassanezi (2002) uma metodologia de ensino da Matemática em ascensão, que traz consigo a vantagem de permitir a multidisciplinaridade em sala de aula. Nas suas palavras, “modelagem pressupõe multidisciplinaridade” (p.16)
Para outros pesquisadores, essa metodologia também pode gerar ambientes de interdisciplinaridade, como destacam Meyer, Caldeira e Malheiros (2011): “A Modelagem também pode criar possibilidades interdisciplinares na sala de aula, fato considerado muito importante (ou, até essencial) entre as questões de ensino e aprendizagem”. (p. 85)
Ainda segundo esses autores, por meio da interdisciplinaridade a modelagem matemática procura mostrar que a Matemática não é uma ciência isolada das outras, mas sim, uma ciência que interage com as demais formas de conhecimento.
Foi após a reflexão sobre o que apresentamos e discutimos nesta unidade, que encaminhamos nossa pesquisa. Nos itens seguintes discutiremos sobre o ensino e aprendizagem de função e sobre a modelagem matemática no âmbito do Ensino Fundamental e Médio.
1.2 O ensino de função no Ensino Fundamental e Médio
Como e quando o estudo de função deve ser iniciado na Educação básica? Essa é uma questão que causa polêmica não só no âmbito das propostas curriculares, mas também entre as pesquisas acadêmicas.
Com relação às propostas curriculares, neste item apresentamos alguns aspectos que são destacados em três dessas propostas: os Parâmetros Curriculares Nacionais, a Proposta Curricular do Estado de São Paulo e as Orientações Curriculares do Município de São Paulo.
Nas Orientações Curriculares e Proposições de Expectativas de Aprendizagem para o Ensino Fundamental: Ciclo II: Matemática (SÃO PAULO, 2007), da Secretaria Municipal de Educação da cidade de São Paulo, por exemplo, é apresentada menção específica ao conteúdo de função, apenas a partir do nono ano do Ensino Fundamental, apesar de introduzir a álgebra como bloco temático das expectativas de aprendizagem, a partir do sétimo ano.
Nessa proposta há a declaração de que o estudo da álgebra é iniciado no sétimo ano, com o objetivo de levar os alunos a identificarem os diferentes usos das letras, em situações que envolvem generalização de padrões e o reconhecimento de propriedades, incógnitas, fórmulas e relações numéricas. Revelando que:
É interessante propor tarefas investigativas em que os alunos possam investigar padrões, tanto em sucessões numéricas como em representações geométricas e identificar suas estruturas, construindo a linguagem algébrica para descrevê-los simbolicamente. Esse trabalho favorece a que o aluno construa a ideia de álgebra como uma linguagem para expressar regularidades, [...]. (SÃO PAULO, 2007, p. 49)
álgebra a partir do sétimo ano. No nível médio, essa proposta apresenta o conteúdo função distribuído entre os três anos, introduzindo o assunto a partir da primeira série, com o estudo das funções afim, quadrática, exponencial e logarítmica, prosseguindo no segundo ano, em que propõe a abordagem das funções trigonométricas e, finalizando no terceiro ano, propondo o estudo e análise das propriedades das funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e polinomiais.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática para o Ensino Fundamental (PCNEF) (BRASIL, 1998) assim como as propostas citadas acima, desenvolvidas por esferas políticas inferiores, também apresentam menção específica ao conteúdo função, a partir do quarto ciclo do Ensino Fundamental, ciclo que engloba o oitavo e nono ano, expondo que, ao se trabalhar com a álgebra, é fundamental que se inicie com a compreensão de conceitos como o de variável e de função.
Neste documento por sua vez, é justificado que, devido à complexidade que caracteriza os conceitos e procedimentos algébricos, não é desejável que no terceiro ciclo do Ensino Fundamental já se desenvolva um aprofundamento das expressões e equações algébricas, e que esse estudo deve ser deixado para melhor detalhamento no quarto ciclo, apesar de apontar esse como sendo um dos conteúdos a ser desenvolvido no bloco Números e Operações, trazendo as primeiras noções sobre álgebra, desde as primeiras séries do Ensino Fundamental.
Nesse documento, é ressaltado desde o segundo ciclo do Ensino Fundamental (atual 4º e 5º anos), o trabalho com regras, propriedades e padrões numéricos, geométricos e métricos, como forma de familiarizar os alunos, levando-os à ampliação de suas hipóteses e exploração de contextos matemáticos mais amplos, tais como o de função.
Nesse documento, encontramos a seguinte declaração em relação à introdução do ensino de função:
O ensino pode ser iniciado diretamente pela noção de função para descrever situações de dependência entre duas grandezas, o que permite o estudo a partir de situações contextualizadas, descritas algébrica e graficamente. (BRASIL, 2002, p. 121)
Em qualquer uma das propostas citadas acima, não há uma justificativa explicitando o porquê de o assunto função só ser abordado, especificamente, a partir do nono ano do Ensino Fundamental, os PCNEF (BRASIL, 1998). Justificam apenas, o fato de adiar os estudos mais detalhados da álgebra para este ciclo, devido à complexidade dos conceitos nela envolvidos, não explicitando outros argumentos.
Portanto, em qualquer uma das propostas, percebe-se uma preocupação em serem trabalhados os conceitos de variáveis, de relações entre grandezas e generalização de padrões desde os primeiros anos do Ensino Fundamental, sendo dada maior ênfase a partir do sétimo ano, deixando a introdução de maneira formal do assunto de função para o nono ano do Ensino Fundamental ou Ensino Médio.
Em todos eles percebe-se uma preocupação para que a introdução ao estudo da álgebra ocorra a partir da noção da relação entre grandezas, da noção de generalização de padrões e da noção de proporcionalidade, fatores que remetem às questões ligadas à introdução do conceito de função.
De fato, no campo das pesquisas, os resultados apontam para uma posição semelhante à adotada pelas propostas curriculares, como, por exemplo, destacam Souza e Diniz (2008):
A álgebra deveria ser apresentada inicialmente através da relação entre grandezas, ou seja, a partir da ideia de função, onde o conceito de variáveis é absolutamente natural desde que não nos preocupemos com formalismos excessivos e sim com as ideias fundamentais. (p. 5)
A ideia parece fazer sentido, uma vez que os primeiros contatos com o conceito de função, sem dúvida, ocorrem mesmo antes da introdução à álgebra formal no Ensino Fundamental.
nas fórmulas, como apontam Souza e Diniz (2008), ou ainda quando ocorrem os primeiros contatos com grandezas e medidas, que geralmente acontecem antes mesmo de ingressar na escola, visto que o ato de medir é um processo de estabelecer relação de proporcionalidade entre grandezas, ou seja, ao medir, se estabelece uma função de correspondência entre duas grandezas.
Usiskin (1995) já declarava que uma das duas questões fundamentais relacionadas ao ensino e ao currículo de álgebra na Educação Básica, é a do papel das funções e do momento de introduzi-las, e revela que alguns dos currículos de escolas elementares defendem as funções como veículo principal para a introdução das variáveis e da álgebra.
Outros pesquisadores também têm apontado para uma necessidade de reformulação na maneira como a álgebra tem sido ensinada na Educação Básica. House (1995), por exemplo, declara que as forças que atuam na escola sobre o conteúdo, o ensino e as aplicações da álgebra, surgem de duas fontes: da tecnologia da computação e das forças sociais. De fato, nas Orientações Curriculares e Proposição de Expectativas de Aprendizagem para o Ensino Fundamental: ciclo II de matemática (SÃO PAULO, 2007), do município de São Paulo, são colocadas entre os critérios para seleção de expectativas de aprendizagem, e aspectos a serem considerados para a sua organização, “a relevância social e cultural” (p. 24) e a “perspectiva de uso das tecnologias disponíveis”. (p. 27)
Post, Behr e Lesh (1995) afirmam que: “a introdução à álgebra deve se basear na noção de que as variáveis podem ser manipuladas de uma maneira que corresponde exatamente a muitos aspectos do mundo real.” (p. 102) Tal ideia se aproxima daquelas defendidas no contexto da modelagem matemática, quando utilizada como uma metodologia ou estratégia de ensino, como podemos inferir a partir do que defende Ponte (2005).
Lins e Gimenez (2005), por vez, sugerem: “é preciso começar mais cedo o trabalho com álgebra, e de modo que esta e a aritmética desenvolvam-se juntas, uma implicada no desenvolvimento da outra.” (p. 10) Segundo esses autores entre as diversas concepções da algébrica, apresentam-se aquelas que têm “como ponto de partida o ‘concreto’” (p.108), um “concreto” que é visto no sentido de real. Tomado lugar neste contexto, segundo eles as propostas baseadas em modelagem matemática.
Assim como outros pesquisadores deste campo do ensino da Matemática, esses autores também reconhecem a presença das relações quantitativas como um assunto da educação algébrica que está presente desde cedo no processo de ensino e aprendizagem da matemática na Educação Básica.
Sierpinska (1988 apud TALL, 1992, p. 5) afirma que, em relação ao conceito de função, o mais fundamental é a relação entre variáveis e magnitudes, e que se isto não for desenvolvido, representações tais como equações e gráficos perdem o sentido e tornam-se objetos isolados uns dos outros. Enfatiza, também que, apresentar as funções a alunos iniciantes por meio de sua definição pré-elaborada é um erro didático, uma inversão do processo didático.
É mediante argumentos como esses que conduzimos nosso interesse pela investigação das possíveis contribuições da modelagem matemática como metodologia ou estratégia de ensino em sala de aula para a introdução, ensino e aprendizagem de função, pois esta, por se constituir de uma abordagem de ensino que pode partir da investigação de fatos do cotidiano, poderia assumir o papel integrador entre a matemática escolar e o mundo fora da escola sugerido por Lins e Gimenez (2005).
Entre as dissertações de mestrado, podemos destacar a de Castro (2011) e a de Conceição Junior (2011) desenvolvidas em nosso grupo de pesquisa, em que tanto um como o outro, investigaram a abordagem funcional na introdução de conceitos algébricos; e, em outros programas, a dissertação de Kern (2008) que investigou a introdução ao pensamento algébrico através de relações funcionais, com alunos da sexta série (sétimo ano) do Ensino Fundamental e, Tatsch (2006) que investigou a aprendizagem de funções e estatística por meio da modelagem matemática, em uma turma de primeiro ano do Ensino Médio, explorando o tema alimentação e as questões sobre obesidade e desnutrição.
Rossini (2006), em sua investigação que explorou os saberes docentes sobre o tema função do ponto de vista de suas praxeologias, percebeu a relevância da exploração das questões que cercam esse tema em qualquer que seja o nível de ensino, declarando: “o conceito de função pode ser introduzido em uma classe de oitava série, sem que se apresente uma definição formal, mas sim organizações em torno de tarefas relacionadas às diversas concepções do tema”. (p. 335)
Outros pesquisadores, ao investigarem no campo do ensino de álgebra na Educação Básica, também obtiveram resultados que apontam para uma introdução do conceito de função a partir das relações funcionais por meio de ações planejadas. Assim foi com Castro (2011) que, ao realizar um estudo exploratório das relações funcionais e suas representações no terceiro ciclo do Ensino Fundamental, com o objetivo de investigar como as relações funcionais em diferentes representações contribuem para a introdução ao pensamento e linguagem da álgebra, constatou ser essa uma forma positiva de se iniciar o ensino da álgebra no Ensino Fundamental. O autor declara, ainda, que por meio de ações planejadas, o trabalho com as relações funcionais pode contribuir efetivamente para o ensino de álgebra e das funções.
referentes ao sinal da função, dificuldades que, segundo ele, podem ser resultado de abordagens tecnicistas que priorizam apenas o fazer, deixando de lado aspectos como compreender e refletir.
Nesses casos, há uma ênfase na introdução da álgebra por meio da exploração das relações funcionais, como desatacado por Souza e Diniz (2008), Lins e Gimenez (2005), e por Usiskin (1995). Processo que junto com o processo de generalização de padrões, em geral, são privilegiados na atuação com modelagem matemática.
1.3 A Modelagem Matemática e o Currículo de Matemática do Ensino Fundamental e Médio
A modelagem matemática tem sido empregada de duas formas: (1) Como metodologia de pesquisa nos diversos campos da investigação científica, situação em que é encarada como método de pesquisa, em que as ferramentas matemáticas auxiliam na obtenção de modelos que ajudaram na interpretação de muitos fenômenos – é o que chamaremos de “ensinar para modelagem matemática”. (2) Como metodologia ou estratégia de ensino e aprendizagem em sala de aula, em qualquer que seja o nível de ensino, vertente que admite a modelagem matemática como meio que pode facilitar o ensino e aprendizagem dos elementos matemáticos, caso que chamaremos de “ensinar pela modelagem matemática”.
Podem ser explorados vários objetos de estudo da matemática, quando a modelagem matemática é encarada como uma metodologia ou estratégia de ensino e aprendizagem em sala de aula, por meio de temas que podem advir do cotidiano, e que nem sempre estão diretamente ligados à Matemática.
Em nossa investigação, consideraremos este campo da Educação Matemática a partir da segunda vertente descrita acima, para a qual são dadas diferentes definições pelos especialistas da área.
Biembengut e Hein (2005), por sua vez, declaram: “A modelagem matemática, originalmente, como metodologia de ensino-aprendizagem parte de uma situação/tema e sobre ela desenvolve questões, que tentarão ser respondidas mediante o uso de ferramental matemático e da pesquisa sobre o tema.” (p. 28).
Burak (1992), por exemplo, declara que “A Modelagem Matemática constitui-se em um conjunto de procedimentos cujo objetivo é construir um paralelo para tentar explicar, matematicamente, os fenômenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer predições e a tomar decisões”. (p. 62)
Já na visão de Barbosa (2007): “Uma das formas de conceituar Modelagem Matemática é como um ambiente de aprendizagem em que os alunos são convidados a investigar por meio da matemática, situações com referência à realidade”. (p. 161)
No cenário internacional, podemos destacar propostas como a de Lesh (2005), o qual declara: “a pesquisa com modelagem e modelos (M & M) geralmente investiga a natureza das competências e habilidades necessárias para permitir ao estudante a capacidade de usar o que ele aprendeu (presumidamente) na sala de aula em situações da “vida real” além da escola”.3 (p. 487, tradução nossa)
Percebe-se que, para todos eles, a modelagem matemática é vista como uma estratégia de ensino e aprendizagem que busca expressar ou descrever situações cotidianas do mundo real, usando linguagem matemática.
Portanto, quanto à prática em sala de aula, surgem questões que possibilitam diferentes visões, como, por exemplo: quando a modelagem matemática é utilizada como uma metodologia ou estratégia de ensino da matemática? E quando a matemática é usada para fazer modelagem matemática? Ou seja, ensinar pela
modelagem matemática? Ou ensinar para a modelagem matemática?
No primeiro caso, “ensinar pela”, a modelagem matemática deve assumir o papel de metodologia de ensino da matemática; isso quer dizer que existe um objeto matemático a ser ensinado, logo, este será planejado e trabalhado em sala de aula, por meio das estratégias de modelagem matemática, como se percebe na pesquisa
3 Models and Modeling (M & M) research often investigates the nature of understandings and abilities that are needed in order for students to be able to use what they have (presumably) learned in the
de Beltrão (2009), a qual investigou, em sua tese de doutorado, uma proposta de ensino de cálculo pela modelagem matemática; em Chaves (2005), que em sua dissertação propôs a modelagem matemática de questões ambientais relacionadas com a água, com o propósito de ensino e aprendizagem de funções no primeiro ano do Ensino Médio, ou ainda, em que suas pesquisas investigaram o desempenho de alunos frente a atividades de modelagem matemática, com objetivo de ensinar função, em alguns casos no Ensino Fundamental, em outros no Ensino Médio, tais como: Rocha (2009), Postal (2009), Chaves (2006), Tatsch (2006) e Santos (2006).
No segundo caso, “ensinar para”, a modelagem matemática deve assumir o papel de objeto de ensino, ou seja, tem-se o conhecimento matemático e um problema real a resolver; logo, é preciso buscar e aprender estratégias de modelagem que ajudem a descrever ou a solucionar o problema. Essa é a forma que, em geral, trabalhos com modelagem matemática, assumem nas pesquisas científicas fora do contexto da educação, ou quando o propósito não é ensinar matemática, mas sim, ensinar e aprender modelagem matemática, como ocorre nas disciplinas de práticas de ensino ou em disciplinas de programas de formação de professores, em que o foco é desenvolver a prática da modelagem matemática como metodologia ou estratégia de ensino e aprendizagem para sua ação em sala de aula, e não ensinar matemática por meio de estratégias de modelagem.
Ensinar modelar pela matemática é uma prática muito antiga em ciências como a Física e a própria Matemática, como se percebe na declaração de Burak (1992) “A Modelagem Matemática tem sido feita desde a Pré-História. O homem vive na busca contínua para conhecer e compreender o seu ambiente.” (p. 16).
Também declaram Biembengut e Hein (2005):
Modelagem matemática, arte de expressar por intermédio de linguagem matemática situações-problema de nosso meio, tem estado presente desde os tempos mais primitivos. Isto é, a modelagem é tão antiga quanto à própria matemática, surgindo de aplicações na rotina diária dos povos antigos. (p. 7)
Que a prática de modelagem é antiga no campo da matemática, não parece haver dúvidas, se considerarmos as declarações dos autores aqui citados.
soluções na linguagem do mundo real, como já citado anteriormente, percebemos que, ao buscar desde a Antiguidade, propor e demonstrar teoremas, advindos de intuições do cotidiano está se buscando desenvolver modelos matemáticos originados em alguma realidade, nem que seja de uma realidade apoiada na própria matemática, o que hoje se costuma chamar de contexto matemático. Um exemplo é quando sobre o apoio de axiomas (conceitos matemáticos admitidos como verdades) demonstram-se teoremas, os quais representam modelos matemáticos. Uma mudança no contexto destes axiomas implica, geralmente, mudanças nos modelos.
Como sabemos, se um desses axiomas ou teoremas for contestado, pode nascer um novo modelo, como ocorreu com a Geometria Euclidiana que, ao ser contestado um teorema, deu origem a um novo modelo de geometria, a Geometria não Euclidiana. Afinal, o processo de busca por teoremas, inerente à Matemática Pura, é uma busca por modelos que, a qualquer momento, podem ser contestados, reelaborados ou desenvolvidos em outros semelhantes.
A Matemática se constitui e se reconstitui, a partir da busca por modelos. Como exemplo, podemos citar o longo processo histórico do desenvolvimento dos fundamentos do cálculo, que tem suas origens em modelos como método da exaustão de Arquimedes, passando pelo método dos indivisíveis de Cavalieri, até chegar ao método dos fluxos de Newton – diferentes apresentações de modelos do mesmo problema –, o cálculo de áreas e volumes, conhecido hoje como cálculo integral. O que os diferencia é o fato de terem sido desenvolvidos em épocas distintas, dispondo das ferramentas matemáticas que i existiam em sua época.
Em qualquer um dos casos, a motivação para o desenvolvimento do problema surgiu a partir de situações reais, que exigiam novas ferramentas matemáticas para ser solucionados.
que, emergindo da razão, participa da nossa vida como forma de constituição e de expressão do conhecimento.
Portanto, em se tratando do âmbito da Educação Matemática, para esses pesquisadores, a modelagem matemática é uma prática bem mais recente, como consta nesta declaração:
A modelagem matemática na educação é mais recente. Nas últimas
décadas, a modelagem vem ganhando “espaço” em diversos países, nas
discussões sobre ensino e aprendizagem, com posicionamentos a favor e contra sua utilização como estratégia de ensino de Matemática. (BIEMBENGUT e HEIN, 2005, p. 7)
Alguns esquemas são propostos para ilustrar o processo de modelagem matemática. Bassanezi (2002) traz o esquema aqui apresentado na Figura 1, denominado por ele de “esquema simplificado de Modelagem Matemática” (p. 44). Nele, tem-se uma situação-problema advinda do cotidiano, supostamente sem forma definida, com todas as variáveis do mundo real, das quais se faz a interpretação, traduzindo o problema para o mundo matemático; faz-se, então, a modelagem, encontra-se o modelo matemático (uma maneira de se expressar a situação com forma e variáveis pré-definidas), passando à formalização, e retornando ao mundo real no qual ocorre a aplicação e a validação do modelo.
Formalização
Interpretação
Figura 1 - Esquema simplificado de Modelagem Matemática Fonte: Bassanezi (2002, p. 44)
A seguir, temos um quadro elaborado por nós, apresentando uma síntese do que esse autor traz, entre as páginas 26 e 32 de seu livro, ao considerar as atividades intelectuais envolvidas nas etapas da modelagem matemática de uma situação ou problema real, mediante o esquema apresentado na Figura 1.
Mundo Matemático Mundo
Etapas Atividades
intelectuais Dinâmica do processo Procedimentos
I – Problema não Matemático
Experimentação
É a atividade essencialmente laboratorial em que
se processa a obtenção dos dados.
Traçar o objetivo da pesquisa. Adoção de técnicas e métodos experimentais.
Busca do foco de interesse da teoria.
II – Dados Experimentais
Abstração
É o procedimento que deve levar à
formulação dos Modelos Matemáticos.
Seleção das variáveis. Problematização ou
formulação aos problemas teóricos numa
linguagem própria da área em que se está
trabalhando.
Formulação de hipóteses Simplificação.
III – Modelo Matemático
Resolução
O modelo matemático é obtido quando se substitui a
linguagem natural das hipóteses por
linguagem matemática coerente.
Formulação das equações. Resolução seja por métodos analíticos ou
computacionais.
Validação aceitação ou não do É o processo de modelo proposto.
Teste e confrontação das soluções e previsões
obtidas a partir do modelo, com os valores obtidos do sistema real.
IV - Solução
Modificação
Alguns fatores ligados ao problema
original podem provocar a rejeição ou a aceitação dos
modelos. Uma previsão pode estar incorreta ou decorrer
da intuição.
O aprofundamento da teoria implica na reformulação dos
modelos.
Nenhum modelo deve ser considerado definitivo, podendo sempre ser melhorado.
Figura 2 - Atividades intelectuais envolvidas nas etapas da modelagem matemática Fonte: Elaborado pelo autor
apresenta um esquema com três casos que podem ocorrer, os quais estão esquematizados conforme a figura abaixo:
Figura 3 - Casos de modelagem matemática Fonte: Barbosa (2003, p. 11)
Segundo Barbosa (2003) no primeiro caso cabe ao professor a tarefa de levantar os dados e propor o problema, aos alunos juntos com o professor, fica a tarefa de resolução do problema. No segundo caso, o professor formula o problema inicial (propõe o tema), enquanto os alunos, com a mediação do professor, buscam os dados e procuram soluções para o problema. No terceiro caso fica a cargo dos alunos juntos com o professor, escolherem o tema, elaborarem o problema e buscarem solução para ele.
Nota-se que neste esquema de modelagem matemática as tarefas que cabem ao professor e ao aluno, durante o processo de modelagem matemática vão sofrendo algumas mudanças e, gradativamente, passando a envolver o aluno, de forma que, em todos os momentos a participação e a mediação do professor são imprescindíveis para a dinâmica do processo.
Para Bassanezi (2002), a modelagem matemática como metodologia ou estratégia de ensino e aprendizagem de matemática no Ensino Fundamental e Médio pressupõe, antes de tudo, a multidisciplinaridade, e parte do princípio de que por meio desse processo, aprender Matemática torna-se mais interessante e dinâmico, como reforça na declaração: “A Matemática não deve ser considerada importante simplesmente por alguma definição arbitrária ou porque mais tarde ela poderá ser aplicada. Sua importância deve residir no fato de poder ser tão agradável
Foi refletindo sobre a declaração acima que, mais uma vez, nos convencemos de que não basta dizer que a Matemática é importante para convencer o aluno a estudar e a gostar dessa matéria, pois esse desafio é muito mais complexo do que se possa imaginar.
E, visto que vivenciamos uma realidade em que o professor tem a tarefa de ensinar, e ao mesmo tempo tornar o processo de ensino e aprendizagem mais prazeroso e interessante, também nos despertou a ideia de investigar resultados de pesquisas, que abordaram a modelagem matemática como uma metodologia ou estratégia de ensino e aprendizagem de função em sala de aula, pois, segundo Bassanezi (2002), a modelagem matemática, ao pressupor multidisciplinaridade na educação, pode ter a capacidade de permitir, no processo de ensino e aprendizagem, a combinação entre os aspectos lúdicos da Matemática e seu potencial para aplicação.
Esse jogo de encontros entre os aspectos lúdicos e aplicativos da Matemática, em que se considera o aluno como protagonista do processo de ensino e aprendizagem, representa uma das preocupações das propostas para a educação brasileira, como podemos notar nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental: “O significado da atividade matemática para o aluno também resulta das conexões que ele estabelece entre os diferentes temas matemáticos e também entre estes e as demais áreas do conhecimento e as situações do cotidiano”. (BRASIL, 1998, p. 37). E também, nas Orientações Curriculares da Secretaria Municipal de Educação da cidade de São Paulo (SÃO PAULO, 2007), como consta no trecho seguinte:
O estabelecimento das relações interdisciplinares entre as áreas de conhecimento se dá a partir da compreensão das contribuições de cada uma das áreas no processo de construção dos conhecimentos dos alunos e, de cada área, é essencial que ele aprenda, inclusive para se apropriar de estratégias que permitam estabelecer as relações interdisciplinares entre as áreas, tornando a própria interdisciplinaridade um conteúdo de aprendizagem. (p. 25-26)
referências à prática pedagógica por meio da interdisciplinaridade entre as áreas em sala de aula.
A Proposta Curricular de Matemática do Estado de São Paulo, por exemplo, ao discorrer sobre o papel que a Matemática, assume como ferramenta de suporte e resolução de problemas em contextos sociais, declara que: “no tocante à capacidade de sintetizar, de tomar decisões a partir de elementos disponíveis, a Matemática assume um papel preponderante.” (SÃO PAULO, 2008, p. 43)
Outro fator que pode ser observado nessas propostas é o fato de que elas chamam atenção para o desafio que se apresenta à necessidade da prática investigativa em sala aula; uma prática que também é defendida pelos pesquisadores da área da modelagem matemática.
Nos PCN+, ao serem discutidas as competências que devem ser desenvolvidas no aluno, encontramos a seguinte declaração: “porque se aprende e se percebe o aprendido apenas em situações reais, que, numa abordagem por competências, o contexto e a interdisciplinaridade são essenciais”. (BRASIL, 2002, p. 35)
Nesse mesmo documento, ao serem apresentadas as discussões sobre os temas estruturadores do ensino de matemática, encontramos a seguinte declaração em relação ao conteúdo função:
O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre
grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos
descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática. Assim, a ênfase do estudo das diferentes funções deve estar no conceito de função e em suas propriedades em relação às operações, na interpretação de seus gráficos e nas aplicações dessas funções. (BRASIL, 2002, p.121, grifo nosso)
Mediante a declaração em destaque na citação anterior, e do que temos discutido até agora em relação à modelagem matemática e as três propostas curriculares apresentadas, podemos inferir que a modelagem pode se encontrar incluída entre essas propostas.
Neste sentido, Biembengut e Hein (2005) apontam algumas das situações que podem ser enfrentadas, pois, segundo estes autores, no intermédio do processo de modelagem matemática em sala de aula, há o inconveniente de não se saber inicialmente por onde o modelo passará, podendo o ferramental matemático requerido não estar ao alcance do aluno, além da possível dificuldade da adequação ao currículo estabelecido, o que exige do professor uma análise a priori, ao tomar a
decisão de trabalhar com essa metodologia. Buscando investigar tais dificuldades e as contribuições, segundo eles, em muitos países, inclusive no Brasil, muitos trabalhos experimentais, utilizando a essência da modelagem, vêm sendo realizados no ensino e aprendizagem, do Ensino Fundamental ao Superior. E declaram:
A condição necessária para o professor implementar modelagem no ensino
– modelação – é ter audácia, grande desejo de modificar sua prática e disposição de conhecer e aprender, uma vez que essa proposta abre caminho para descobertas significativas. Um embasamento na literatura disponível sobre modelagem matemática, alguns modelos clássicos e sobre pesquisas e/ou experiências no ensino são essenciais. (BIEMBENGUT e HEIN, 2005, p. 29)
E, ainda, segundo esses pesquisadores, no que diz respeito ao ensino da Matemática, há um consenso de que é preciso voltar-se para a promoção do conhecimento matemático e da habilidade em utilizá-lo como ferramenta que vá além da simples resolução de problemas matemáticos, muitas vezes sem significado para o aluno. É necessário que o aluno adquira uma compreensão, tanto da teoria matemática quanto do problema a ser estudado, sendo que a modelagem matemática pode participar desse processo, despertando no aluno o interesse por tópicos matemáticos ainda desconhecidos, enquanto modela matematicamente.
Os mesmos autores destacam ainda que, em cursos regulares nos quais há um programa a cumprir, a implementação do processo de modelagem matemática deve sofrer algumas adequações, levando em consideração as variáveis associadas ao estágio e disponibilidades dos alunos, ao cumprimento do programa, e à familiaridade do professor com a modelagem matemática. Segundo eles, ao método de utilizar a essência da modelagem matemática em cursos regulares com programa definido, denomina-se modelação matemática. Esse método de ensino e
