Que concepções estão sendo adotadas, quanto à abordagem da

função na sala de aula do Ensino Fundamental e Médio?

Nosso objetivo com este questionamento é destacar as concepções adotadas pelas pesquisas em relação à abordagem por meio da modelagem matemática como metodologia ou estratégia de ensino e aprendizagem de função, no Ensino Fundamental e Médio, tendo como apoio as ideias defendidas pelos pressupostos teóricos adotados.

I. Modelagem matemática como ambiente de ensino e aprendizagem da Matemática na sala de aula

Esta é uma concepção de modelagem matemática defendida por referenciais teóricos como, por exemplo, Barbosa (2007), que defende a modelagem matemática como um ambiente de ensino e aprendizagem na sala de aula.

Na análise dos trabalhos, pudemos destacar esse tipo de concepção nas sete pesquisas, como pode ser observado nos trechos em destaque:

Luz (2010): [...] fundamentando-nos em Barbosa e Skovsmose, consideraremos, neste trabalho, a Modelagem Matemática como um ambiente de aprendizagem que proporciona cenários de investigação favoráveis à aprendizagem. (p. 52)

Macedo (2010): [...] como diz Barbosa (2001, p. 06): “A Modelagem é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade”. (p. 51)

Pires (2009): Barbosa (2001), entende modelagem como sendo um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade. Estas se constituem como integrantes de outras disciplinas ou do dia-a-dia. (p. 42)

Postal (2009): Estabelecemos previamente um conjunto de aspectos que caracterizam a ocorrência da Aprendizagem Significativa quanto às atividades de ensino e aprendizagem compõem uma proposta que considera o ambiente de Modelagem Matemática. (p. 5)

Rocha (2009): Percebeu-se, nesta altura do desenvolvimento da atividade, que o ambiente de aprendizagem criado na sala de aula propiciou a percepção das etapas da modelagem, pois na medida em que um aluno ia interagindo com o seu grupo, todos avançavam na resolução, mostravam para os colegas e assim, trocavam ideias e discutiam quem estaria resolvendo da “melhor maneira”. Houve trocas até mesmo entre os grupos, pois quem pensava estar resolvendo “correto” queria que outros vissem a resolução. (p. 37)

Santos (2006): Para Barbosa, “a Modelagem Matemática é um ambiente de aprendizagem, no qual, os alunos são convidados a problematizar, a investigar, por meio da matemática, situações com referência na realidade”. (p. 35)

Chaves (2005): Barbosa (2003, p. 69), de forma análoga a Biembengut e Hein (2003) e tomando por referência Skovsmose (2000), concebe Modelagem como “um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a problematizar e investigar, por meio da matemática, situações com referência na realidade”, em

que problematizar refere-se ao ato de criar perguntas e/ou problemas e investigar, refere-se à busca, à seleção, à organização e à manipulação de informação e de reflexão, na perspectiva de resolver os problemas ou responder as perguntas. (p. 33)

Essa ideia de ambiente, proposta por Barbosa (2007), deve-se ao fato de o trabalho com modelagem matemática prescindir de noções teóricas que estabelece esse ambiente como um espaço de interações entre a prática dos alunos, nos episódios ocorridos durante o processo de ensino e aprendizagem, como o próprio autor defende.

Esse tipo de concepção assumida em relação à prática com modelagem matemática, e que pode ser inferida a partir dos trabalhos por nós analisados, admite-a como sendo uma metodologia de ensino que pode transcender as limitações de uma sala de aula e de um currículo linear, indo mais além, consolidando a aula, de fato, como um ambiente de ensino e aprendizagem. Como declaram Klüber e Burak (2008), “os conceitos e ideias matemáticas se encaminham de acordo com o desenvolvimento das atividades, dando um caráter aberto para essa prática”. (p.29)

II. Modelagem matemática que pode partir de situações da realidade cotidiana do aluno

Concepção de trabalho com modelagem matemática adotada pela maioria dos defensores dessa metodologia de ensino e aprendizagem, como por exemplo, Bassanezi (2002), Biembengut e Hein (2005) e Barbosa (2007), entre outros.

Esta também foi uma ideia de modelagem matemática concebida pelos sete trabalhos analisados, como em destaque nos trechos que se seguem:

Luz (2010): [...] propomos a Modelagem Matemática como ambiente de aprendizagem que com suas características próprias, pode contribuir para a construção da aprendizagem significativa por meio da investigação de situações recortadas da realidade ou de outras áreas não matemáticas. (p. 53)

Macedo (2010): [...] como diz Barbosa (2001, p. 06): “A Modelagem é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por

meio da matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade”. (p. 51) Pires (2009): Com o intuito de apresentar situações reais, nas quais o aluno possa usar a Matemática, como ferramenta para melhor compreendê-las, nossa intervenção de ensino caracteriza-se de maneira geral, por partir de situações reais para a formalização dos conceitos trabalhados. (p. 72)

Postal (2009): Consideramos a Modelagem Matemática como uma abordagem, por meio da Matemática, de uma situação ou problema da realidade, configurando uma atividade que se desenvolve segundo um esquema – “um ciclo de modelagem” – no qual a escolha do assunto tem a participação direta dos sujeitos envolvidos. (p. 38)

Rocha (2009): O desenvolvimento das habilidades de utilizar a Modelagem permite que a Matemática se torne presente nos mais diversos campos da ciência, relacionando-se com diferentes áreas do conhecimento, possibilitando que o indivíduo relacione os problemas do cotidiano com a sala de aula, interagindo com o meio. (p. 26)

Santos (2006): Araújo apud Machado (2006) entende que a Modelagem é uma abordagem matemática, de um problema não-matemático da realidade, escolhido pelos alunos, de tal maneira que as questões da Educação Matemática Crítica fazem o embasamento do desenvolvimento do trabalho. (p. 35)

Chaves (2005): Nesse processo interessamo-nos pela Modelagem Matemática, porque nesta, a matemática escolar deixa de ser mera transmissão de técnicas de resolução e passa a configurar-se como instrumental relevante para a solução de problemas de situações reais envolvendo outras áreas do conhecimento. (p. 12)

Esta concepção de modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem, traz implícita a ideia de que a Matemática pode relacionar-se diretamente com o mundo cotidiano em que vive o aluno.

Segundo Monteiro e Pompeu Junior (2001), na perspectiva da modelagem matemática, entendem-se saberes cotidianos, como as expressões culturais de um grupo e, vida cotidiana como o ‘“lugar”’ em que compartilham conhecimentos, códigos de conduta, crenças, valores; enfim, apresenta-se como uma realidade interpretada e subjetivamente dotada de sentido para os homens e geradora de procedimentos” (p. 55).

Essa forma de pensar o cotidiano, não restringe os conhecimentos do aluno aos elementos locais apenas, mas sim, expande o seu conhecimento matemático, para um universo que vai além dos livros didáticos e do uso das operações fundamentais nas práticas diárias.

Segundo se percebe das propostas dos trabalhos analisados, nessa concepção de modelagem matemática, o conhecimento matemático pode ser parte da vida do aluno, auxiliando-o nas soluções de problemas diversos, podendo favorecê-lo na interpretação da realidade. Assim aponta D’Ambrósio, no prefácio do livro de Bassanezi. “A modelagem matemática é matemática por excelência. As origens das ideias centrais da matemática são o resultado de um processo que procura entender e explicar fatos e fenômenos observados na realidade”. (BASSANEZI, 2002, p. 11)

III. Modelagem matemática prescindindo a interdisciplinaridade

A ideia de que a esta metodologia prescinde a interdisciplinaridade dentro e fora da sala de aula, é um tipo de concepção que tem seus fundamentos, em propostas como as de Bassanezi (2002), que assim declara: “A modelagem pressupõe multidisciplinaridade”. (p. 16)

Pudemos identificar nas sete pesquisas a defesa por este tipo de concepção de modelagem matemática.

Luz (2010): [...] propomos a Modelagem Matemática como ambiente de aprendizagem que com suas características próprias, pode contribuir para a construção da aprendizagem significativa por meio da investigação de situações recortadas da realidade ou de outras áreas não matemáticas. Proporcionando ao estudante um ambiente cujas condições apontam para a aquisição de significados em domínios interdisciplinares de conhecimentos por meio de sua interação intencional na resolução e compreensão da situação proposta para estudo. (p. 53)

Macedo (2010): Entendemos que modelagem é uma forma de explicar e ou descrever uma situação-problema a partir de uma realidade existente podendo envolver conceitos vinculados a diversas disciplinas, [...]. (p. 51)

Pires (2009): Podemos salientar ainda, que esta metodologia pode: [...]. Aproximar a matemática de outras áreas do conhecimento; (p. 46)

Postal (2009): De acordo com Bassanezi (2002), “A Matemática Aplicada é essencialmente interdisciplinar e sua atividade consiste em tornar aplicável alguma estrutura Matemática fora do seu campo estrito; a modelagem, por sua vez, é um instrumento indispensável da Matemática Aplicada”. (p. 36)

Rocha (2009): Para verificar o desempenho dos alunos na aplicação dos conceitos de função, optou-se, em sala de aula, pelo uso da Modelagem Matemática, por acreditar-se que ensinar Matemática, nesta perspectiva, oportuniza ao aluno interagir com outras áreas do conhecimento e, o tema escolhido, viabiliza essa interação. (p. 13)

Santos (2006): Para D’Ambrósio (2001), a matemática não pode excluir questões e problemas que afetam o mundo, como a questão ambiental, com isso, precisa- se lançar mão de novas maneiras para um trabalho interdisciplinar, desta forma, o trabalho com Modelagem Matemática buscou, por meio do tema: poluição do ar, do solo e das águas, relacionar um problema mundial com a disciplina de matemática. (p. 26)

Chaves (2005): Entre o reconhecimento das vantagens que a Modelagem Matemática pode trazer para o ensino-aprendizagem e a sua aplicação, existe um caminho permeado de estudos e de pesquisas a ser percorrido. Daí vem que, a adoção da Modelagem, como método de ensino da Matemática demanda do professor disposição para adquirir conhecimentos interdisciplinares e multidisciplinares, e um espírito inovador, aumentando sua iniciativa para a pesquisa e de flexibilidade perante os obstáculos (BARBOSA, 1999). (p. 137)

Nessa concepção de modelagem matemática, segundo se pode notar a partir das pesquisas analisadas, o ensino e a aprendizagem de Matemática assumem uma característica que parece ser própria da sua natureza – a multidisciplinaridade e interdisciplinaridade –, pois, de alguma forma, a Matemática influencia e sofre influência das demais formas de conhecimento e do meio em que se encontra o processo de ensino e aprendizagem, como é proposto pelas ideias da Etnomatemática.

Monteiro e Pompeu Junior (2001), por exemplo, ao discutir Etnomatemática numa perspectiva pedagógica declaram: “O processo educativo que perde contato com o meio em que se insere torna-se obsoleto, sem dinâmica e afastado de seu objetivo principal, que é educar e formar cidadãos”. (p. 48)

IV. Modelagem matemática que pode favorecer a educação matemática crítica do aluno

A concepção de que a modelagem matemática pode favorecer uma formação crítica do cidadão, e uma postura crítica do professor em relação ao processo de ensino e aprendizagem, podendo levá-lo a um estado de consciência crítica sobre este processo, tem suas raízes nas ideias da Educação Matemática Crítica, que segundo Skovsmose (2000), “caminhar entre os diferentes ambientes de aprendizagem pode ser uma forma de engajar os alunos em ação e reflexão e, dessa maneira, dar à educação matemática uma dimensão crítica”. (p. 1)

Este autor propõe que uma das diferentes preocupações deste tipo de abordagem na Educação Matemática é o desenvolvimento da materacia, que assim descreve: “Materacia não se refere apenas às habilidades matemáticas, mas também à competência de interpretar e agir numa situação social e política estruturada pela matemática”. (SKOVSMOSE, 2000, p. 2)

Essa concepção é aquela em que a modelagem matemática é admitida como uma metodologia ou estratégia que pode instituir um ambiente de ensino e aprendizagem, o qual pode favorecer o espírito crítico do aluno em relação ao seu próprio aprendizado frente ao conhecimento em jogo, e pode levá-lo a reconhecer o papel social da matemática e a reflexão sobre a responsabilidade que tem sobre sua própria formação.

Para Skovsmose (2000): “Referências à vida real parecem ser necessárias para estabelecer uma reflexão detalhada sobre a maneira como a matemática pode estar operando enquanto parte de nossa sociedade. Um sujeito crítico é também um sujeito reflexivo”. (p. 19)

Nessa concepção de educação matemática, assim como em modelagem, o professor é admitido como alguém que precisa adquirir uma postura sociocultural e construtivista, interagindo com o aprendiz como mediador da aprendizagem, como fica evidenciado nos trechos destacados das pesquisas analisadas.

Luz (2010): Nesse sentido, autores têm ressaltado a importância de estudos direcionados para “métodos que forneçam elementos que desenvolvam potencialidades, propiciando ao aluno a capacidade de pensar crítica e independentemente” (BIEMBENGUT; HEIN, 2005, p. 9). (p. 50)

Macedo (2010): Ao adotar a modelagem como metodologia de ensino o professor deve ter em mente que ele tem diante de si seres em formação, que podem aceitar ou não o desafio de gerar um novo conhecimento ao mesmo tempo em que descobrem outros. O professor precisa compreender que no processo de ensino-aprendizagem, a motivação e o desenvolvimento da autonomia do aluno são fundamentais para torná-lo um sujeito pensante e crítico, que ao se deparar com novas situações ou problemas, saiba utilizar os vários conhecimentos e informações aprendidas para escolher um caminho adequado à solução das situações problemas apresentadas. (p. 48)

Pires (2009): No que se refere à modelagem matemática e a resolução de problemas o nosso suporte veio das ideias de Polya (1995), Barbosa (2001), Bassanezi (2006) e Biembengut e Hein (2007). Nesse sentido, buscamos estabelecer uma relação entre as ideias da modelagem e a Educação Crítica e Educação Matemática Crítica por Skovsmose (2001). (p. 18)

Postal (2009): O grau de rigor com os modelos também não é o mesmo. Segundo Bassanezi (2002, p. 38), “Mais importante do que os modelos obtidos é o processo utilizado, a análise crítica e sua inserção no contexto sociocultural”. (p. 38)

Rocha (2009): [...] o desenvolvimento do uso da Modelagem Matemática no País, conforme Burak (1987, 2004), Scheffer (1999), Barbosa (2007), Bisognin (2008), Caldeira (1998, 2004, 2007, 2009), Santos e Bisognin (2007), mostra que diferentes possibilidades podem ser oferecidas aos alunos com o objetivo de aprimorar o desenvolvimento do raciocínio lógico, bem como contribuir para a formação de indivíduos mais críticos e comprometidos com a transformação da sociedade a que pertencem. (p. 24)

Santos (2006): Araújo apud Machado (2006) entende que a Modelagem é uma abordagem matemática, de um problema não-matemático da realidade, escolhido pelos alunos, de tal maneira que as questões da Educação Matemática Crítica fazem o embasamento do desenvolvimento do trabalho. (p. 35)

Chaves (2005): E, ainda, se levarmos em conta que, para modelar uma situação real, antes de tudo, é preciso interpretá-la, interrogá-la e/ou criticá-la, podemos dizer que, através do estudo das funções via modelagem, é possível levar o aluno a compreender e participar do mundo em que vive. (p. 69)

A concepção de que o aluno é o agente protagonista do processo de ensino e aprendizagem do qual faz parte, em que participa de forma ativa e crítica,

modificando, transformando, interferindo e agindo sobre o conhecimento que adquire, conhecimento esse que o auxilia na tomada de decisões em seu dia a dia, encontra respaldo em propostas como as da Educação Matemática Crítica e da Etnomatemática, como se nota a partir das pesquisas analisadas, e da declaração de Monteiro e Pompeu Junior (2001). “[...], a matemática faz-se presente e necessária para se compreender o contexto sociocultural e é aí que o ensino da matemática passa a ter significado e importância”. (p. 65)

V. Modelagem matemática que pode ser feita por meio da investigação de situações da realidade cotidiana e de atividades experimentais em sala de aula

Nota-se, ainda, nos textos analisados, uma concepção de modelagem matemática, que a admite como uma metodologia de investigação e experimentação em sala de aula, capazes de valorizar o espírito científico e investigativo do aluno, com atividades experimentais que podem ter origem em alguma situação real advinda da realidade vivenciada por ele. Caso semelhante ao que foi realizado nas pesquisas de Macedo (2010) que desenvolveu com os alunos uma atividade de modelagem, a partir do escoamento de um líquido e, Pires (2009) que, por meio da construção de uma bomba d’água de jardim, explorou o conceito de função afim, utilizando as etapas de modelagem matemática.

Esse tipo de concepção de modelagem matemática é aquele que parece mais se correlacionar com as propostas dos PCNEM (BRASIL, 1998), no qual é proposto como uma das competências e habilidades a serem desenvolvidas no âmbito do Ensino Médio: “identificar variáveis relevantes e selecionar os procedimentos necessários para a produção, análise e interpretação de resultados de processos e experimentos científicos e tecnológicos”. (p. 12) Ele parte de ideias como as defendidas por pesquisadores como Bassanezi (2002), Biembengut e Hein (2005), que propõem uma modelagem matemática em que, na atividade, a pesquisa e as investigações experimentais conduzem o processo.

Encontramos, em todas as sete pesquisas, evidências que indicam uma posição em relação a este tipo de concepção de modelagem matemática, como consta nos trechos em destaque aqui:

Luz (2010): Esses casos são delimitados pelas tarefas que cabem a cada um dos atores (professor e aluno), no desenvolvimento da atividade com modelagem. De um caso a outro, a atividade vai avançando de uma simples atividade isolada até uma atividade de investigação em longo prazo e a responsabilidade da atividade é transferida do professor para o aluno (BARBOSA, 2001, p. 9). (p. 53)

Macedo (2010): [...] nos preocupamos com a fundamentação teórica de nossa dissertação discorrendo sobre a importância da Modelagem, das atividades experimentais, dos conceitos que fazem da Engenharia Didática [...]. (p. 18)

Pires (2009): [...] compreendemos que o uso da modelação vem resgatar seu objetivo primordial, a construção de um ambiente pedagógico que permite ao aluno vivenciar a aplicabilidade dos conteúdos matemáticos, ao mesmo tempo em que desenvolve a capacidade de investigar, trabalhar em grupo, refletir sobre os resultados alcançados, criticar e formar sua própria opinião. (p. 55)

Postal (2009): Para tentar expandir as investigações em sala de aula em direção a temas mais gerais, buscamos integrar a experimentação com a tecnologia ao trabalho de modelagem. (p. 31)

Rocha (2009): Para tal, as questões propostas para a pesquisa, na sala de aula, foram encaminhadas por meio das etapas sugeridas por Bassanezi (2002) para a Modelagem Matemática, que são: escolha do tema, pesquisa exploratória, levantamento dos problemas, resolução do(s) problema(s) e desenvolvimento da Matemática relacionada ao tema e análise crítica da(s) solução(ões). (p. 13)

Santos (2006): A Modelagem Matemática se apresenta como uma proposta alternativa de mudança de um ensino tradicional para um ensino que enfatiza a educação pela pesquisa, com atividades de exploração e investigação. (p. 33)

Chaves (2005): Barbosa (2003, p.69), de forma análoga a Biembengut e Hein (2003) e tomando por referência Skovsmose (2000), concebe Modelagem como “um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a problematizar e investigar, por meio da matemática, situações com referência na realidade”, em que problematizar refere-se ao ato de criar perguntas e/ou problemas e investigar, refere-se à busca, à seleção, à organização e à manipulação de informação e de reflexão, na perspectiva de resolver os problemas ou responder as perguntas. (p. 33)

Tal concepção, defendida pelos trabalhos analisados, tem como princípio a ideia de que o processo de ensino e aprendizagem da Matemática pode privilegiar a natureza investigativa do aluno e combinar teoria, investigação e experimentação, de forma a valorizar os métodos matemáticos dedutivos que partem de uma realidade concreta.

Não só nas pesquisas em modelagem matemática, como observado nos trabalhos analisados, essa concepção encontra defesa. Nos PCN+ (BRASIL, 2002), por exemplo, há a declaração de que foram eleitas três grandes competências como metas a serem perseguidas durante o Ensino Médio, sendo uma delas: “investigação e compreensão, competência marcada pela capacidade de enfrentamento e resolução de situações-problema, utilização dos conceitos e procedimentos peculiares do fazer e pensar das ciências”. (BRASIL, 2002, p. 113). Esse fazer e pensar das ciências se relaciona ao que, em geral, percebemos nas propostas em modelagem matemática, que é o aluno como pesquisador e formador de opinião, como evidenciado pelas pesquisas analisadas.

VI. Modelagem matemática como metodologia ou estratégia de resolução de problemas

A modelagem matemática é encarada, muitas vezes, como uma estratégia que pode favorecer a resolução de problemas. Para Bassanezi (2002), por exemplo, a resolução de problemas, é uma das etapas do processo de modelagem matemática.

Essa concepção de que a modelagem matemática é uma metodologia que pode contribuir para a resolução de problemas, ou que se dá em conjunto com esta, foi, também, identificada durante a análise dos trabalhos, como em destaque nos trechos evidenciados de três das sete pesquisas.

Pires (2009): No que se refere à modelagem matemática e a resolução de problemas o nosso suporte veio das ideias de Polya (1995), Barbosa (2001),