REVISÃO DE LITERATURA

A fim de constituir a revisão de literatura examinamos: (i) produções acadêmicas do Gepemem;

(ii) produções acadêmicas disponíveis no Catálogo de Teses e Dissertações da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes); (iii) trabalhos acadêmicos disponibilizados pela Rede Sigma-t.

Dentre os trabalhos examinados, selecionamos para a revisão de literatura o texto Dutra (2020), pesquisa de mestrado intitulada “Produção de significado a respeito de números figurados em um processo de formação de professores de Matemática”, vinculada ao Gepemem.

O texto em questão adota a produção de significado – advinda do discurso – como aspecto central da cognição humana e da aprendizagem, assim, esta pesquisa adota o MCS como referencial epistemológico.

O cenário da pesquisa é constituído por oficinas, cursos de extensão e minicursos. Para análise dos dados são tomados resíduos de enunciação da oficina realizada na 7ª Semana da Matemática

(Semat), do Ifes, campus Vitória (maio 2018) e do minicurso ministrado na VI Escola de Inverno de Educação Matemática da Universidade Federal de Santa Maria – RS.

Para analisar a dinâmica da produção de significados matemáticos a respeito do tema Aritmética Pitagórica, Dutra (2020) adota o método da leitura plausível proposto pelo MCS. Versaremos a respeito da leitura plausível no capítulo 4.

Os aspectos do texto que mais nos chamaram atenção em relação ao MCS foram: (i) a análise do trânsito da produção de significados entre os MPS geométrico, aritmético e algébrico; (ii) a identificação de núcleos diversificados como a distribuição gnomônica, a soma e o elevar cada termo ao quadrado; (iii) a identificação dos processos de impermeabilização, de descentramento, de estranhamento e de limites epistemológicos; (iv) o uso de MDP como facilitadores do trânsito entre os MPS; (v) o potencial que as práticas educativas envolvendo números figurados oferecem aos processos de ensino e de aprendizagem da geometria, da aritmética e da álgebra; (vi) a legitimação de MPS “da rua” na escola, em contraposição ao Ensino Tradicional de Matemática (ETM).

Dutra (2020) propõe um grupo de tarefas de ensino, conjunto de ações e operações, para o desenvolvimento da oficina, entendida por nós, à luz da TA, como atividade. Para facilitar a realização das tarefas e o trânsito entre os MPS, foram utilizados materiais concretos e manipulativos, como tampinhas de garrafas PET e tabelas, além de técnicas de recursividade e princípio de contagem. Sobre o trânsito entre MPS, o texto elucida que

Todas as práticas apresentadas, foram planejadas considerando ações e operações que permitissem transitar pelos MPS geométrico (analisando as formas), aritmético (realizando contagem, preenchendo tabelas e formando sequências numéricas) e algébrico (consultando as tabelas preenchidas e utilizando técnicas de recursividade para obtenção do termo geral) (DUTRA, 2020, p. 118).

As ações realizadas foram as seguintes: (A1) construção da sequência dos números triangulares;

(A2) construção da sequência dos números quadrados; (A3) construção da sequência dos números pentagonais; (A4) construção da sequência dos números hexagonais. As operações realizadas foram as seguintes: (O1) formar as sequências de polígonos utilizando as tampinhas;

(O2) preencher as tabelas observando a ordem, a distribuição gnomônica e o total de tampinhas por linha (de acordo com a ordem); (O3) preencher as tabelas para os termos de décima a trigésima ordem; (O4) determinar o termo geral de cada uma das sequências utilizando recursividade.

Antes das ações e operações a serem iniciadas, Dutra (2020) explanou a respeito da história dos números figurados e da escola pitagórica, de parte do lastro teórico da pesquisa, e da proposta da oficina, que envolveu: (i) a apresentação dos números figurados; (ii) a discussão sobre as sequências de números figurados construídas; (iii) e a determinação dos termos gerais das sequências sem a utilização de fórmulas prontas, usando a recursividade.

Outro aspecto do texto em voga que nos chamou a atenção, refere-se ao caráter coletivo e interativo do processo formativo, advindo dos princípios norteadores de PEI, tal como protagonizado em Chaves (2005, 2004). Organizar grupos de trabalho com os atores da pesquisa favoreceu a produção de significados, de forma que tais produções pudessem convergir a respeito do tema em questão, como podemos observar nos resíduos de enunciação produzidos pelo grupo 1, nas tarefas com números quadrados:

Cabeça - [...] Se a gente sair somando os números ímpares, vamos achar os números quadrados. Isso está parecendo alguma coisa, só que está fugindo.

Nerd - Ah sim! Entendi o que você está querendo dizer, é a soma de PA, não é?

Cabeça - É isso mesmo! A quantidade de tampinhas que esse número quadrado tem é a soma de uma PA, pode ir por aí para você ver (DUTRA, 2020, p. 94, destaque do autor).

Como é possível observar, no diálogo estabelecido entre os dois atores supracitados, há uma intencionalidade de colaboração, de resolverem conjuntamente o que fora proposto.

Durante o desenvolvimento das oficinas – cenário da pesquisa –, observamos que os monitores e pesquisadores estimularam os atores a falarem, de forma que as incertezas produzidas pudessem ser discutidas, e, assim, novos significados e conhecimentos fossem produzidos pelos atores; há liberdade de expressão. Quando diante dos problemas propostos, os atores buscaram compartilhar legitimidades a respeito das ideias matemáticas necessárias à resolução dos problemas, não havendo uma prática expositivista quanto às ideias e conceitos tratados.

Ao longo do desenvolvimento das tarefas, os participantes dos grupos trabalhavam em conjunto, de forma que o grupo, “como um todo”, compartilhasse um espaço comunicativo. Os monitores e pesquisadores escutaram os grupos buscando compreender o “lugar” de onde falavam, no sentido de compartilhar legitimidades. Não há verdades pré-estabelecidas, trata-se de um trabalho colaborativo, cujas práticas educativas apresentadas estão alinhadas com os pressupostos teóricos da PEI, propostos em Chaves (2005, 2004).

Dutra (2020) explica que uma das bases da pesquisa “[...] foi trabalhar em processos de formação de professores utilizando padrões, sobretudo numéricos e geométricos, a partir de sequências de números figurados, advindos da escola pitagórica [...]” (DUTRA, 2020, p. 19), e que a proposta para as oficinas e curso de extensão inclui “[...] a determinação dos respectivos termos gerais de sequências de números figurados sem a utilização de fórmulas prontas, mas analisando padrões aritméticos-geométricos por técnicas de recorrência [...] ” (DUTRA, 2020, p. 91, destaques do autor). Assim como o texto em questão, propusemos a determinação de termos gerais para diferentes sequências utilizando técnicas de recursividade, inclusive sequências de números figurados planos e espaciais.

A realização das tarefas envolveu o preenchimento das tabelas, que foram disponibilizadas aos atores. Pensamos que o uso do MDP viabilizou a aplicação da técnica de recursividade e, por conseguinte, a determinação dos termos gerais, e que esse procedimento foi essencial à constituição do núcleo aritmético. Dutra (2020) observa que os grupos que efetuaram o trânsito entre o MPS geométrico e o MPS algébrico, sem passar pelo MPS aritmético, não conseguiram obter o termo geral, para esses atores “[...] a utilização da recursividade para obtenção do termo geral não se constituiu como legitimidade” (DUTRA, 2020, p. 111).

Incorporamos à revisão de literatura o texto Novais (2017), dissertação de mestrado vinculada ao Gepemem que utilizou a TA para elaborar e aplicar a suas práticas e o MCS como referencial teórico.

No texto supracitado, intitulado “Dinâmica da produção de significado de construções pataxó por alunos de ensino médio em aula de campo” a atividade de campo, “Viagem de Estudos”, possibilitou o contato dos alunos com as construções indígenas servindo de estímulo ao estudo dos componentes curriculares necessários à construção das réplicas apresentadas na segunda atividade proposta pela pesquisa, “Mostra Científica-Cultural”. Sobre a mudança de motivos, o texto afirma:

No que se refere aos atores de nossa pesquisa, mesmo os que inicialmente mantiveram como motivo compreendido, “tirar uma boa nota”, passaram por uma mudança de motivo, passando a ser então o de “ter condições de construir suas maquetes”

(NOVAIS, 2017, p. 57, destaques do autor).

Novais (2017) explica que a atividade “propriamente dita”, à luz da TA, consiste na construção das maquetes para exposição na “Mostra Científica-Cultural” e que a escolha dos componentes curriculares matemáticos é tratada na aplicação das ações e operações, estando diretamente

ligada à construção das maquetes. O texto em questão evidencia que essa escolha ficou a cargo dos alunos, pois foram eles que elencaram as abordagens matemáticas que trariam para ler e tentar resolver o problema. Observamos que a escolha dos componentes curriculares, na atividade, não foi um fim, mas um meio; isto é, estiveram presentes na forma de ações e operações, o segundo e terceiro níveis de funcionamento da atividade humana, conforme posto por Leontiev.

As ações, operações e atividade são explicitadas no texto, “Assim, foram necessárias nove aulas para desenvolvermos operações e ações que levariam à atividade propriamente dita [...]”

(NOVAIS, 2017, p. 59), o que nos permitiu compreender a articulação entre o desenvolvimento da pesquisa e a TA.

Além de Dutra (2020) e Novais (2017), selecionamos o texto Duarte (2018), dissertação de mestrado que trata do tema recursividade, disponível no Catálogo de Teses e Dissertações da Capes.

Duarte (2018), pesquisa intitulada “As recorrências como ferramentas didáticas para o desenvolvimento do raciocínio recursivo”, apresenta problemas matemáticos que, à primeira vista, nos “tentam” a utilizar teorias da Análise Combinatória na resolução. No entanto, o texto mostra que os mesmos problemas envolvem sequências e que podem ser abordados utilizando recursividade, uma abordagem menos teórica e mais “natural”. O texto em questão enuncia e, posteriormente, soluciona três problemas, intitulados “Problemas Chaves”, que:

[...] tratam de recorrências de uma forma elucidativa, didática, intuitiva e extremamente abrangente. Esses problemas podem ser tidos como uma das principais fontes de motivação para o desenvolvimento deste trabalho, pois é de extrema dificuldade encontrar na literatura problemas que tratem de forma indutiva as recorrências, juntamente de uma didática capaz de ser compreendida por alunos do ensino médio (DUARTE, 2018, p. 51).

O primeiro problema proposto por Duarte (2018), “O Problema da escada”, embora tenha um enunciado simples, é explorado em vários níveis de complexidade, que possibilitam o entendimento de que há uma relação definida entre os termos da sequência. Para compreender as soluções do problema e de suas variações é bom que o leitor, ao menos, produza conhecimento a respeito do diagrama de árvore. Vejamos, então, o enunciado: “O grilo filhote e a escada de 8 degraus: Suponha que um grilo tivesse que subir uma escada de exatamente oito degraus. De quantas maneiras distintas poderá subir essa tal escada se a cada 1 pulo ele pode subir 1 ou 2 degraus” (DUARTE, 2018, p. 52).

O segundo problema proposto pelo texto em questão, “Senhas Alfanuméricas”, também é explorado em vários níveis de complexidade e, a princípio, parece demandar conhecimento prévio sobre análise combinatória. No entanto, as soluções propostas para o número de senhas possíveis utilizam a técnica de recorrência e a ideia de agrupamento – é necessário organizar e dispor os caracteres de acordo com o que é proposto pelo problema em cada nível.

O terceiro problema proposto por Duarte (2018), “Permutação Caótica em Sequências Finitas”, demanda que o leitor produza conhecimento acerca do assunto permutação. Um “Problema-Base” é proposto. Vejamos o enunciado do problema em questão: “De quantas maneiras podemos formar uma sequência com as α primeiras letras do nosso alfabeto, de modo que nenhuma letra esteja na sua posição original? Com 1 ≤ α ≤ 26 e natural” (DUARTE, 2018, p.

72).

Inicialmente, esse problema é apresentado com apenas uma letra do alfabeto, (a), e, gradativamente, é proposto com sequências alfabéticas maiores: (a, b), (a, b, c), e (a, b, c, d).

As soluções evidenciam a relação de recorrência entre os termos da sequência alfabética que é apresentada por uma fórmula de recorrência. O texto, então, propõe vários exercícios de permutação caótica que podem ser resolvidos utilizando a fórmula em questão.

Duarte (2018) apresenta métodos para transformar uma sequência descrita a partir da regra em uma sequência descrita a partir do termo geral. Essas transformações dependem de características como a quantidade mínima de termos conhecidos (ordem), a dependência de termos “fora” da sequência (homogeneidade) e o tipo de função que relaciona o termo aos termos anteriores (linear ou não-linear).

Diferentemente de Duarte (2018), nosso foco é investigar as estratégias ou técnicas de recursividade. Para constituir a revisão de literatura relativa à formação de professores na perspectiva do MCS, escolhemos o texto Ferreira (2016), dissertação de mestrado disponibilizada pela Rede Sigma-t.

O texto em questão, pesquisa de mestrado intitulada “Brincando de gangorra: uma discussão sobre formação de professores e uso de tecnologias”, trata do processo de formação de professores relacionado ao Curso de GeoGebra¹². A pesquisa parte do seguinte questionamento:

12 Curso desenvolvido por universidades brasileiras que objetiva fornecer capacitação técnica quanto ao uso do software GeoGebra (cf. link: https://ogeogebra.com.br/site/apresentacao.php).

após sete edições, que formação o curso possibilita? O curso começou em 2012 com a iniciativa do professor Sérgio Carrazedo Dantas a fim de atender a demanda dos professores da Educação Básica que participavam do projeto Gestão de Aprendizagem Escolar, coordenado pelo Prof.

Dr. Romulo Campos Lins.

Ferreira (2016) observa que em todas as edições do curso se utilizou videoaulas e fóruns de discussão e que, a partir da sexta edição, o curso passou a ser ministrado para professores do Ensino Básico, professores do Ensino Superior e estudantes. O texto descreve as escolhas relacionadas à organização do curso – objeto matemático, material escrito, módulos, comandos e recursos do software, construções, tarefas, avaliação etc. – e apresenta, em sua perspectiva, as possibilidades formativas oportunizadas a partir delas. A citação a seguir ilustra essa dinâmica.

Acredito que propor tarefas com enunciados abertos, nesse formato de temáticas, oferece mais possibilidades de o cursista fazer postagens com construções e propostas que sejam úteis e relevantes às discussões que ele se insere no seu dia a dia, discussões que partem do interesse dele. Se idealizássemos determinada construção, a ser realizada de acordo com determinada sequência de comandos, poderíamos não dar espaço para essa possibilidade (FERREIRA, 2016, p. 76).

O texto em voga explica que, ao acessar as videoaulas e o material do curso, o cursista pode se deparar com possibilidades diferentes das quais ele pensava para o uso do software. Caso o cursista busque compreensão “[...] o acesso a esses materiais se constitui como uma oportunidade para o cursista construir um repertório de experiências” (FERREIRA, 2016, p.

72). Entendemos que o texto se importou com aspecto repertório da formação de professores na perspectiva do MCS. Como ex-cursistas podemos afirmar que a realização do Curso GeoGebra contribuiu com o nosso repertório.

Outro aspecto da formação de professores na perspectiva do MCS que nos chamou a atenção no texto em voga é a confiança. Ferreira (2016) afirma:

Enquanto elaborávamos a 6ª edição do curso, encontramos, no Youtube¹³, o canal do Daniel Mentrard¹⁴. Em alguns de seus vídeos, Mentrard simula efeitos tridimensionais na versão 4 do GeoGebra, sendo que, nessa versão, o aplicativo ainda não disponibiliza a janela de visualização 3D e nem ferramentas próprias à realização de

13 Youtube.com é um repositório de vídeos on-line que permite que seus usuários acessem e compartilhem vídeos em formato digital.

14 Endereço do canal de Daniel Mentrard: http://www.youtube.com/user/DMENT37.

construções que simulam objetos tridimensionais¹⁵ (FERREIRA, 2016, p. 73, notas do autor).

Ao observar as construções feitas por Mentrard, que “[...] não apresenta tutoriais, mostrando modos de como construir os objetos [...]” (FERREIRA, 2016, p. 74), os organizadores do curso cogitaram a realização dessas construções no GeoGebra. A confiança matemática e a confiança em relação ao GeoGebra não “permitiu” que eles “fugissem” ou naturalizassem o desconhecido.

Ferreira (2016) afirma: “[...] mobilizamos conhecimentos de matemática e de GeoGebra, formamo-nos, ampliamos nossos horizontes culturais, constituímos novas legitimidades que nos permitiram realizar novas construções [...]” (FERREIRA, 2016, p. 74).

Ferreira (2016) explica que, ao final de cada edição, os cursistas realizavam uma avaliação do curso e que

Nessas avaliações nós solicitamos aos cursistas que nos informassem sobre suas impressões, na forma de sugestões ou críticas, em relação a diversos aspectos do curso: sobre os materiais didáticos, sobre a organização e o modo como abordamos os conteúdos, sobre as tarefas serem realizadas em fóruns, sobre a interação com os moderadores e os demais cursistas. (FERREIRA, 2016, p. 70).

A respeito da impressão de uma aluna, Ferreira (2016) afirma “[...] Alisson aponta sobre a possibilidade de trabalhar os conteúdos, abordados nos materiais, em sala de aula [...]”.

Notamos que há um interesse genuíno pelo aluno, aquilo que o cursista pensa é levado em consideração pelos organizadores, como podemos observar na elaboração dos materiais para o curso: “[...] foram sendo construídos no decorrer das edições, a partir do que observávamos e do que os cursistas nos indicavam na avaliação final de cada uma das edições” (FERREIRA, 2016, p. 69).

Por fim, mais um aspecto tratado no Curso de GeoGebra em Ferreira (2016), que pensamos contribuir com a formação do professor de matemática na perspectiva do MCS, é o desenvolvimento de um ambiente coletivo. O texto apresenta o seguinte diálogo estabelecido em um dos fóruns de discussões do curso:

Construção da figura 3

GUSTAVO - quarta, 17 setembro 2014, 00:13

Com um único comando podemos desenhar a figura 2. Portanto, não vou nem anexar o arquivo.

15 Em sua 5ª versão, o GeoGebra passou a disponibilizar, em seu conjunto de ferramentas-padrão, a possibilidade de simular efeitos tridimensionais.

Sequência[Girar[Polígono[(0,0),(4,-1),(4,1)],pi*n/3],n,0,5]

Saudações.

MOACIR - quinta, 18 setembro 2014

Olá amigo. Ficou legal, mas não gerou exatamente e figura proposta.

GABRIEL - sexta, 19 setembro 2014

Você precisa modificar as coordenadas dos vértices do polígono para produzir exatamente a figura 2. Uma sugestão são os pontos (0, 0), (0,4) e (2,2√3).

HELENA - sábado, 20 setembro 2014, 10:19 Olá Gustavo!

Eu também construí esta figura apesar de não a ter postado aqui. Contudo, primeiro construí o triângulo e só depois digitei o comando sequência de rotações. Penso que a minha construção ficou igual ao que se pretendia. O meu problema é que estou a contactar com isto dos comandos pela primeira vez.

Contudo, vou tentar obter a minha construção numa única linha. Parabéns!

HELENA - sábado, 20 setembro 2014, 10:48 Olá Gabriel (outra vez)!

Estou feliz. Inspirada na sua postagem acabei de criar a figura dois numa só linha. APÊNDICE os 2 ficheiros que criei. O meu primeiro e o adaptado à sua ideia. Abraço.

GUSTAVO - sábado, 20 setembro 2014, 19:02 Olá Helena!

Acabei de ver os seus ficheiros. Na sua primeira tentativa você fez o desenho MELHOR do que o meu. Conforme o Moacir e o Gabriel disseram, a minha figura não está igual à proposta. Eu deveria ter feito

Sequência[Girar[Polígono[(0,0), (0,4),

(2,2*sqrt(3))],pi*n/3],n,0,5]

Ao invés de

Sequência[Girar[Polígono[(0,0),(4,-1),(4,1)],pi*n/3],n,0,5]

Abraços.

(7ª edição do Curso de GeoGebra apud FERREIRA, 2016, p. 78).

Como podemos observar, o ambiente colaborativo constituído possibilitou que, a partir da postagem de Gustavo e da observação de Gabriel, Helena fizesse uma nova construção, com apenas um comando, e que Gustavo, com as interações do grupo, modificasse a sua construção.