distribuições lineares, superficiais e volumétricas de carga O potencial definido na Eq.4.13 é nulo para pontos infinitamente
4.8 O Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial Elétrico
Já discutimos nas seções acima que podemos calcular o potencial se conhecemos o campo elétrico em qualquer ponto P do espaço. Nesta seção mostraremos que podemos determinar se conhecemos . Considere V em coordenadas cartesianas, V=V(x,y,z) em qualquer ponto do espaço. Da Eq.4.10 temos
· . (4.20) A igualdade entre estas duas integrais leva à igualdade entre os integrandos para os limites dados: · . (4.21) Escrevendo e encontramos que .
Suponha que o deslocamento se dá paralelamente ao eixo x
(dy=dz=0) teremos – ou / , .
Como V=V(x,y,z) devemos tratar as derivadas como derivadas parciais.
, , , (4.22)
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que são as componentes de em termos de . Podemosescrever o campo elétrico como
V, (4.23)
onde dizemos que o campo elétrico é o gradiente do potencial elétrico. O gradiente do potencial ( V) aponta na direção de maior crescimento do potencial com a posição. Dessa maneira o sentido de é oposta ao do gradiente.
4.9 – Superfície Equipotencial
Linha de campo ajuda‐nos na visualização dos campos elétricos. Semelhantemente, o potencial em vários pontos de um campo elétrico pode ser visualizado por superfícies equipotenciais. Este conceito é análogo ao conceito de curva de nível usado em topografia. Em um mapa topográfico, uma superfície equipotencial é uma superfície tridimensional em que o potencial elétrico, V, tem o mesmo valor em qualquer ponto desta. Se uma carga de prova q0 é deslocada de um ponto para outra desta superfície equipotencial sua energia potencial permanecerá a mesma, ou seja, a força elétrica que atua em q0 devido ao campo (fonte do potencial) não realiza trabalho líquido na mesma superfície equipotencial. Conclui‐se então que o campo eletrostático
é sempre perpendicular à superfície de uma equipotencial. Além
disso, duas superfícies equipotenciais não se cruzam, pois significaria que podemos associar dois campos elétricos resultantes a este ponto de cruzamento, situação não física. As linhas de campo são curvas, enquanto as equipotenciais são superfícies curvadas. No caso especial do campo elétrico uniforme as linhas de campo são linhas retas, paralelas igualmente espaçadas, enquanto as equipotenciais são superfícies planas perpendiculares às linhas de campo.
A Fig.4.8 mostra três arranjos de cargas elétricas. As linhas de campo possuem setas orientadas no plano. As curvas que interceptam as linhas de campo são as seções transversais das superfícies equipotenciais tridimensionais. Nas regiões onde o módulo de é
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Figura 4.8 :Esta conclusão pode ser tirada da relação entre o campo e o potencial: V. Uma outra observação importante é a de que não
precisa ser constante para todos os pontos de uma superfície equipotencial; o caso em que isto acontece é o do capacitor de placas paralelas.
• Superfície Equipotencial e Condutores
Um importante teorema acerca de superfícies equipotenciais é:
No equilíbrio eletrostático a superfície de um condutor é uma equipotencial. Como é sempre perpendicular a uma equipotencial
e nulo dentro do condutor em equilíbrio eletrostático, nós podemos provar este teorema argumentando que quando todas as cargas estão em repouso, o campo elétrico fora deve ser perpendicular em cada ponto da superfície do condutor pois do contrário existiriam cargas se movendo sobre sua superfície, o que violaria a condição de equilíbrio. Outro teorema acerca de condutores, que pode ser provado com o uso da lei de Gauss é: No equilíbrio eletrostático, se um condutor possui
uma cavidade interna e se nenhuma carga está presente dentro do condutor, então não pode existir carga em nenhum ponto dessa superfície interna desta cavidade.
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4.10 – Problemas Propostos
Problema 1‐ No movimento de A para B (figura 4.4) ao longo de uma
linha de campo elétrico, o campo realiza 3,94 x 10‐19 J de trabalho sobre um elétron. Quais são as diferenças de potencial elétrico: (a) VB ‐ VA; (b) VC –VA; (c) VC – VB? R.: 2,46 Volts; 2,46 Volts; zero Problema 2 ‐A densidade de carga de um plano infinito é σ=0,10 mC/m2. Qual é a distância entre as superfícies eqüipotenciais cuja diferença de potencial é de 50 V? R.: 8,85 mm
Problema 3‐ Duas grandes placas condutoras, paralelas entre si e
afastadas por uma distância de 12 cm, têm cargas iguais e sinais opostos nos faces que se confrontam. Um elétron colocado no meio da distância entre as duas placas experimenta uma força de 3,9 x 10‐15 N. (a) Determine o campo elétrico na posição do elétron; (b) qual é a diferença de potencial entre as placas? R.: 2,44 x 104 N/C; 2928 Volts Figura 4.9
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Problema 4 ‐ Um anel de raio R, carregado positiva e uniformemente, é
colocado no plano yz, com seu centro na origem do sistema de coordenadas. (a) Construa um gráfico do potencial V em pontos do eixo x, em função de x. (b) Construa, no mesmo diagrama, um gráfico da intensidade do campo elétrico E.
Problema 5 ‐ Uma esfera metálica de raio Ra apóia‐se sobre um pedestal isolante, no centro de uma esfera metálica oca de raio interno Rb. Existe uma carga +q sobre a esfera interna e uma carga –q sobre a externa. (a) Mostre que a ddp entre as esferas é 4 1 1 (c) Mostre que a intensidade do campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas é 1 1 1
Problema 6 ‐ (a) Mostre que 1 N/C = 1 V/m. (b) Estabelece‐se uma
diferença de potencial de 2000 V entre duas placas paralelas no ar. Supondo que o ar se torna eletricamente condutor quando a intensidade do campo elétrico ultrapassa 3 x 106 N/C, qual a menor separação possível entre as placas?
Problema 7 – Um campo elétrico uniforme aponta na direção positiva do eixo y. Considere dois pontos no eixo y, A e B, nas posições y=2 m e y=6 m, respectivamente. (a) A diferença de potencial Vb‐Va é positiva ou negativa? (b) Se Vb‐Va=2x104V qual é a intensidade do campo elétrico? 4.11.‐Referências bibliográficas Livro Texto HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S. Física. V. 3, 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996.
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Bibliografia complementar HEWITT, Paul G. Física conceitual. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2002. TIPLER, P. Física 3. 4. ed. Rio da Janeiro: Guanabara Dois, 1999. NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 3: mecânica. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros: com Física Moderna. V. 3. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 4.12‐Web‐bibliografia http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.ht ml
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UNIDADE 5
CAPACITÂNCIA E CAPACITORES
RESUMONesta unidade apresentaremos o conceito de capacitância e a importância dos capacitores como dispositivos de armazenamento de energia. Discutiremos o processo de carga e suas associações.
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Sumário 5 Capacitância e Capacitores Paulo Henrique Ribeiro Barbosa 5.1 Definindo Capacitor 75 5.2 Energia Armazenada em um Capacitor 78 5.3 Associação de Capacitores 81 5.4 Capacitores com Dielétricos 84 5.5 Problemas Propostos 85 5.6 Referências bibliográficas 87 5.7 Web‐bibliografia 87
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Figura 5.1: Conjunto de duas placas condutoras formando um capacitor.
5.1‐ Definindo Capacitor
Um capacitor em sua forma mais simples é compreendido de dois condutores, normalmente chamados de “placas”; quando o capacitor está carregado, as placas têm carga de mesmo módulo, mas de sinais opostos como mostrado na Fig. 5.1(a). Esta configuração é facilmente produzida aterrando uma das placas (potencial zero) e carregando a outra; isto tem o efeito de induzir uma carga de sinal oposto na placa aterrada (ver Fig. 5.1(b)). O processo de carregamento também pode ser realizado ligando cada uma das placas aos terminais de uma bateria e depois de carregada desconectando‐as, as placas ficarão carregadas com cargas de sinais opostos, mas de mesmo módulo. Em diagramas de circuitos representaremos um capacitor pelo símbolo .
Por causa da interação mútua entre as cargas de sinais opostos das placas, as cargas se distribuem nas superfícies dos condutores de tal forma que elas ficam confinadas àquelas regiões dos condutores mais próximas entre si. Dessa forma o fluxo elétrico da placa positiva para a placa negativa fica confinado principalmente ao espaço entre as placas. O campo elétrico entre as placas deve ser tal que cada uma é uma superfície equipotencial e, portanto, as linhas de campo próximas às superfícies do condutor são perpendiculares à superfície.
Suponha que as cargas nas placas do capacitor sejam +Q e –Q e que a correspondente diferença de potencial entre as placas seja V. Suponha que a magnitude das cargas nas placas está aumentando por um fator k,
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Figura 5.2: Processo de carga de um capacitor por uma bateria
Istoé +kQ e –kQ, e que portanto cada elemento de superfície do condutor tem sua carga aumentada de δq para k(δq). Como o potencial elétrico em qualquer ponto devido a um elemento de carga é diretamente proporcional a δq, o potencial elétrico em qualquer ponto deve aumentar por um fator k também. Isto mostra que a diferença de potencial entre as placas de um capacitor é diretamente proporcional á quantidade de carga em cada placa do capacitor, isto é, ou A constante de proporcionalidade, que é uma propriedade do capacitor particular envolvido, é chamada de capacitância do capacitor e é definida como
. (5.1) A unidade de capacitância no Sistema Internacional é o coulomb por volt : 1C/V é chamado de 1 farad=1F.
Vamos agora olhar com mais detalhe o processo de carregamento do capacitor. A Fig.5.2 mostra as duas placas de um capacitor conectadas por meio de um fio condutor aos terminais de uma bateria. Como acontece o processo de carregamento? E como estão relacionadas a diferença de potencial da bateria, ΔVbat, com a diferença de potencial, ΔV, entre as placas do condutor? A Fig.5.2(a) mostra o
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capacitor pouco depois que este é ligado à bateria e antes que o mesmo esteja totalmente carregado. A “escada rolante de cargas” da bateria está movendo cargas de uma placa para outra, e é este trabalho feito pela bateria que carrega o capacitor. A diferença de potencial entre as placas do capacitor, ΔV, está constantemente crescendo à medida que ocorre a separação contínua de cargas.Mas este processo não pode continuar para sempre. O crescimento de cargas positivas na placa superior exerce força repulsiva nas novas cargas positivas que estão chegando pela escada rolante de
cargas e a carga na placa superior atinge um limite e nenhuma carga
será mais aceita na placa. Neste instante a diferença de potencial na bateria se iguala a diferença de potencial entre as placas do capacitor, ΔVbat= ΔV (ver Fig5.2b).
5.2 ‐ Energia Armazenada em um Capacitor
Se as placas de um capacitor são ligadas por um fio de determinada resistência, uma corrente é estabelecida e o capacitor é descarregado. Obviamente, a energia está armazenada no capacitor carregado – a energia armazenada é liberada e aparece na forma de calor no fio à medida que o capacitor vai sendo descarregado. A energia armazenada é igual ao trabalho realizado para carregá‐lo.
Seja o trabalho para mudar a carga do capacitor de q para (q+dq), isto é, a energia no capacitor aumentará de , onde V é a diferença de potencial entre as placas do capacitor quando as placas têm carga q. Assim a energia armazenada no capacitor, isto é, o trabalho feito para carregar o capacitor de zero a uma carga Q, é dada por
, (5.2) ou, em termos da diferença de potencial entre as placas, ,
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Figura 5.3: Capacitor de placas paralelas de área A e separação d
entre as placas.
O valor de C para um capacitor particular depende da forma geométrica e da disposição das placas, bem como das propriedades elétricas do meio isolante em que as placas estão imersas. Quando a geometria das placas exibe um grau suficiente de simetria é relativamente simples obter uma expressão para a capacitância do sistema. Vejamos alguns exemplos.
( a) Capacitor de Placas Paralelas
Os condutores de um capacitor de placas paralelas são placas planas uniformemente separadas como indicado na Figura 5.3. Seja A a área de cada placa e d a separação entre elas. Se a área das placas é suficientemente grande (dimensões da placa >>d), a carga Q será uniformemente distribuída sobre as superfícies das placas e, portanto, o campo elétrico entre as mesmas será uniforme (efeitos de bordas desprezíveis). Se o campo elétrico (constante) entre as placas do capacitor é E, o módulo da diferença de potencial entre as placas é dado por
e portanto
5.4
Mas o campo elétrico entre as placas de um capacitor de placas paralelas é . Substituindo este valor do campo elétrico na Eq.(5.4) temos,
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O capacitor de placas é importante porque a sua análise é direta eporque este produz um campo elétrico uniforme. Entretanto capacitores e capacitâncias não estão restritos a condutores planos e paralelos. Quaisquer dois eletrodos, independente da sua forma, podem formar um capacitor.
(a) Capacitor Cilíndrico
Capacitores são usados em qualquer circuito eletrônico e a forma mais comum é a cilíndrica. A Figura 5.4 mostra um capacitor cilíndrico que consiste de dois cilindros coaxiais, de raios a e b e comprimento L. Considere que o espaço entre os cilindros é vazio (ε0) e que os cilindros sejam suficientemente longos de forma que o campo elétrico entre os mesmos é radial. Suponha que o cilindro interno tem uma carga +Q e o externo uma carga –Q. Do capítulo anterior temos que o campo elétrico entre as placas de um capacitor cilíndrico é . A diferença de potencial entre os cilindros é dada por · ln . Portanto a capacitância é dada por . (5.6). (b) Capacitor Esférico Figura 5.4: Capacitor cilíndrico.
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Uma esfera metálica de raio R1 que está dentro de uma esferametálica oca de raio R2 e concêntrica a esta, constitui um capacitor. Para calcular a capacitância necessitamos da diferença de potencial entre as esferas, que pode ser obtida conhecendo‐se o campo elétrico entre as esferas,
̂ e substituindo na expressão: ̂ · ̂ (5.7) A capacitância é então dada por 4 , (5.8) mostrando mais uma vez que a capacitância independe da carga armazenada no capacitor. 5.3–Associação de Capacitores
Em muitas aplicações práticas em virtude da não disponibilidade, dois ou mais capacitores precisam ser associados (combinados) para produzir uma determinada capacitância com o fim de atender a uma determinada especificação ou necessidade. Muitas combinações são possíveis, mas as combinações mais básicas são a associação em série e a associação em paralelo, que descreveremos abaixo. Antes disso é
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importante não confundir os termos distintos “capacitores paralelos” e“capacitor de placas paralelas”. O primeiro se refere a como dois ou mais capacitores podem se conectar, enquanto o último se refere a como um capacito é construído.
(a) Associação em Paralelo
Na Figura 5.6 mostramos um arranjo de dois capacitores em paralelo ( as duas placas positivas estão conectadas entre si formando uma equipotencial e as placas negativas formando outra equipotencial). Dessa forma observa‐se que todos capacitores (ou elementos de um circuito) estão submetidos a uma mesma diferença de potencial, V, estes estão associados em paralelo. As cargas Q1 e Q2 nas placas não precisam ter o mesmo valor e devem seguir para os respectivos capacitores independentemente umas das outras “bombeadas” por uma bateria, cujos valores são: . A carga total da combinação ou a carga equivalente do capacitor é dada por .
Daí extrai‐se a capacitância equivalente, C, da associação de dois capacitores em paralelo
. 5.9 Estendendo este raciocínio para uma associação de N capacitores em paralelo têm‐se
84
. 5.10
(b) Associação em Série
A Figura 5.7 mostra dois capacitores combinados em série (um após o outro).Se os capacitores estão inicialmente descarregados, observa‐se que após a aplicação de uma diferença de potencial entre as extremidades da associação as placas dos mesmos adquirem a carga de mesmo módulo(ver Fig.5.7). Resumindo: “Capacitores associados em série têm suas placas carregadas com cargas de mesmo módulo”. Assim ao atravessar cada par de placas identifica‐se as seguintes diferenças de potencial: . A diferença de potencial total, na travessia dos dois capacitores é . Substituindo as expressões de V1 e V2 tem‐se
1 1 . Como / , onde C é a capacitância equivalente temos 1 1 1 . 5.11 Estendendo esta relação para um número N qualquer de capacitores em série temos, 1 1 . 5.12 Foi visto então que para uma associação de capacitores em série todas as placas dos capacitores da associação têm o mesmo módulo de carga, Figura 5.7: Associação de capacitores em série
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porém, a diferença de potencial em cada unidade capacitiva é diferente.A soma das diferenças de potencial em cada capacitor equivale a diferença de potencial total, V.
Exemplo:
5.4 – Capacitores com Dielétricos
Materiais não condutores como o ar, vidro, papel ou a madeira, são chamados de dielétricos ou isolantes. Se o espaço entre as placas de capacitor é preenchido por um dielétrico, a capacitância do capacitor aumenta por um fator k, conforme observação de Michael Faraday em 1837. A justificativa para este fenômeno é que o campo elétrico entre as placas do capacitor é enfraquecido pelo dielétrico, bem como sua voltagem. Como conseqüência, a capacitância do capacitor, Q/V, é aumentada pelo fator k. O fator adimensional k é característico do material dielétrico e é denominada constante dielétrica
A energia armazenada em um capacitor de placas paralelas preenchido com dielétrico é
. (5.12) Podemos expressar a capacitância C em termos da área e separação das placas, e a diferença de potencial V em termos do campo elétrico e separação entre as placas, para obter . A quantidade Ad é o volume entre as placas do capacitor que contém o campo elétrico. Assim, a energia por unidade de volume entre as placas do capacitor é . (5.13)
Exemplo: Dois capacitores de placas paralelas, cada um tendo uma
capacitância C1=C2=2 μF, estão conectados a uma bateria de 12 v. Encontre (a) a cada em cada capacitor e (b) a energia armazenada em cada capacitor.
Os dois capacitores são então desconectados da bateria e um dielétrico de constante κ=2.5 é introduzido entre as placas do capacitor C2. Nesta nova situação, encontre (c) a diferença de potencial entre as placas do capacitor, e a energia total entre as placas do capacitor.
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A carga Q e a energia U podem ser encontradas da capacitância de cadacapacitor C e da voltagem V. Depois que os capacitores são removidos da bateria, a carga total deve permanecer a mesma. Quando o dielétrico é introduzido entre as placas sua capacitância deve mudar. O potencial da combinação deve ser encontrado da carga total e da capacitância equivalente.
(a) A carga em cada capacitor é encontrada de sua capacitância e de sua voltagem: Q=CV=(2μF)(12V)=24 μC.
(b) Energia armazenada em cada capacitor: U= CV2=144 μJ. Nos dois capacitores é 288 μJ.
(c) O potencial da combinação é : V= . A capacitância equivalente a pós a introdução do dielétrico é Ceq=C1+κC2=7μF. Dessa a voltagem total é V= = µ
µ 6.86 V.
(d) A carga em cada capacitor é Q1=C1V=13.7 μC e Q2=C2V=34.3 μC. A energia armazenada em cada capacitor é
U1= C V 47.1µJ e C V 118µJ. A soma das energia é U=U1+U2=165μJ.
5.5 – Problemas Propostos