Descrição algébrica

Uma ação à esquerda de um grupo G num conjunto X é uma função que associa a g 2 G uma aplicação a (g) : X ! X e que satisfaz as propriedades:

1. a (1) = idX, isto é, a (1) (x) = x, para todo x 2 X e

2. a (gh) = a (g) a (h).

Essas propriedades garantem que cada a (g) é uma bijeção, já que a g 1 a (g) = a (1) = a (g) a g 1 = idX:

Visto de outra maneira, uma ação à esquerda é um homomor…smo a : G ! B (X), onde B (X) é o grupo das bijeções de X, com o produto dado pela composta de duas aplicações.

Uma ação à direita é de…nida de maneira análoga substituindo a segunda propriedade por a (gh) = a (h) a (g).

32 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS De forma alternativa, uma ação à esquerda é de…nida como sendo uma aplicação : G X _{! X satisfazendo (1; x) = x e (gh; x) = (g; (h; x)),} g; h_{2 G e x 2 X. A relação entre} e a é a óbvia: (g; x) = a (g) (x), isto é, a (g) é a aplicação parcial g de quando a primeira coordenada é …xada:

g(x) = (g; x).

A outra aplicação parcial associada a _{é obtida …xando x 2 X: x} : G_{! X, x}(g) = (g; x) = a (g) (x).

Normalmente, os símbolos a ou são suprimidos na notação para ações de grupos. Assim uma ação à esquerda escreve-se apenas g (x), g x ou gx ao invés de a (g) (x). Para ações à direita é mais conveniente escrever o valor de a (g) em x como (x) a (g) aparecendo então a notações (x) g, x g ou xg. Com essas notações uma ação à esquerda satisfaz 1x = x e g (hx) = (gh) x, já uma ação à direita satisfaz x1 = x e (xg) h = x (gh).

Se a é uma ação à esquerda de G em X então a aplicação a0 _{de…nida por}

a0_{(g) = a (g} 1_{)é uma ação à direita e vice-versa. No que segue serão tratadas}

apenas a ações à esquerda. As propriedades enunciadas são automaticamente transferidas para as ações à direita substituindo a (g) por a (g 1_).

Dado x 2 X, sua órbita por G denotada por G x ou Gx é de…nida como sendo o conjunto

G x = _{fgx 2 X : g 2 Gg:}

Mais geralmente, se A G _{então Ax = fgx : g 2 Ag. Em outras palavras,} Ax = _x(A). Cada órbita é uma classe de equivalência da relação de equiv- alência x y _{se existe g 2 G tal que y = gx. Por isso, é claro que duas} órbitas ou são disjuntas ou coincidem.

Um subconjunto B X é G-invariante se gB B _{para todo g 2 G. Um} conjunto invariante é união de órbitas de G. Se B é um conjunto invariante então a restrição da ação a G B de…ne uma ação G B _{! B de G em B.} Em particular o grupo G age em suas órbitas.

O conjunto Gx dos elementos de G que …xam x é denominado de subgrupo

de isotropia ou estabilizador de x:

Gx =fg 2 G : gx = xg:

O subgrupo de isotropia é de fato um subgrupo de G, pois (gh) x = g (hx), portanto gh …xa x se gx = hx = x. Além do mais, g 1_{x = x se gx = x, pois}

a (g 1_{) = a (g)} 1_.

2.5. AÇÕES DE GRUPOS E ESPAÇOS QUOCIENTES 33 Proposição 2.15 _{Dados x; y 2 X, suponha que y = gx com g 2 G. Então,} Gy = gGxg 1, onde Gx e Gy denotam os subgrupos de isotropia.

Demonstração: _{Por de…nição h 2 G}y se, e só se, h (gx) = gx. Aplicando

g 1 _{a esta igualdade segue que (g} 1_{hg) x = x, isto é, g} 1_hg

2 Gx. Portanto,

h_{2 G}y se, e só se, h 2 gGxg 1. 2

As ações de um grupo G são distinguidas em classes de acôrdo com as propriedades de suas órbitas e grupos de isotropia.

De…nição 2.16 Seja a uma ação de G em X.

1. A ação é dita efetiva se ker a = fg 2 G : a (g) = idXg = f1g.

2. A ação é dita livre se os subgrupos de isotropia se reduzem ao elemento neutro de G, isto é, se gx = x para algum x 2 X, então g = 1.

3. A ação é dita transitiva se X é uma órbita de G, isto é, para todo par de elementos x; y 2 X existe g 2 G tal que gx = y.

É claro, a partir das de…nições, que ações livres são efetivas, no entanto nem toda ação efetiva é livre. Em termos do homomor…smo a : G ! B (X), uma ação é efetiva se, e só se, ker a = f1g, isto é, se a é injetora. Portanto, numa ação efetiva, G é isomorfo à sua imagem a (G) por a. Por essa razão, uma ação efetiva é também denominada de ação …el .

Deve-se observar que a restrição da ação a uma órbita é uma ação tran- sitiva. Portanto, toda a…rmação sobre ações transitivas se aplica à restrição da ação a uma órbita.

Um caso particular de ação de grupo se dá nos espaços quocientes. Seja H G um subgrupo e denote por G=H o conjunto das classes laterais gH_{, g 2 G. Então a aplicação (g; g}1H) 7! g (g1H) = (gg1) H de…ne uma

ação à esquerda natural de G em G=H. Denotando por : G _{! G=H a} aplicação sobrejetora (projeção) canônica (g) = gH essa ação …ca escrita como g (g1) = (gg1).

Evidentemente a ação de G em G=H é transitiva. Por outro lado toda ação transitiva se identi…ca (ou melhor, está em bijeção) com um espaço quociente de G.

34 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS Proposição 2.17 _{Suponha que a ação de G em X é transitiva e tome x 2} X. Então, aplicação _x : gGx 2 G=Gx 7! gx 2 X é uma bijeção entre

G=Gx e X. A aplicação x é equivariante no sentido em que g x(g1H) = x((gg1) H), g; g1 2 G, isto é, x comuta com as ações de G em G=H e X,

respectivamente. Além do mais, se y = gx então _y = _x Dg.

Demonstração: Em primeiro lugar, a aplicação é bem de…nida pois se g1

e g2 estão na mesma classe lateral, isto é, g1Gx = g2Gx então g21g1 2 Gx, o

que signi…ca que g₂1g1x = x, isto é, g1x = g2x. Por de…nição a aplicação é

sobrejetora se, e só se, a ação é transitiva. Agora, suponha que g1x = g2x.

Então g₂1g1x = x, isto é, g21g1 2 Gx e daí que g1Gx = g2Gx, mostrando a

injetividade da aplicação.

Seja y = (g1H). Então y = g1x, e, portanto, gy = g (g1x) = (gg1) x.

Daí que g (g1H) = ((gg1) H).

Por …m, se y = gx então y(h) = h (gx) = (hg) x = x(hg), mostrando

que _y = _x Dg. 2

A aplicação x da proposição acima está relacionada com a aplicação

parcial _x através do seguinte diagrama comutativo G x

! X

# %

x

G=H

Em virtude dessa identi…cação, um quociente G=H é também chamado de espaço homogêneo, como são chamados normalmente os conjuntos onde os grupos agem transitivamente. O ponto x escolhido para estabelecer a iden- ti…cação entre X e G=Gx é denominado de origem ou base do espaço ho-

mogêneo X. A identi…cação de X com G=Gx depende da escolha da origem.

No entanto, alterando x não muda substancialmente o espaço quociente, pois numa ação transitiva os subgrupos de isotropia são conjugados entre si, como mostra a proposição 2.15. De fato, se H Gé um subgrupo então para todo g _{2 G a aplicação}

hH _{7 ! g (hH) g} 1 = ghg 1 gHg 1 estabelece uma bijeção entre G=H e G=gHg 1.

2.5. AÇÕES DE GRUPOS E ESPAÇOS QUOCIENTES 35 Os fatos descritos acima sobre ações transitivas se aplicam de imediato às órbitas de uma ação qualquer G X _{! X. Nesse caso, a restrição da ação} sobre uma órbita G x é transitiva o que permite identi…car G x com G=Gx.

Toda a discussão acima se estende de forma análoga a ações à direita, onde os espaços homogêneos são os quocientes H n G, formados pelas classes laterais Hg, g 2 G.

Num espaço homogêneo G=H, isto é, na presença de uma ação transitiva, as ações livres são aquelas em que o subgrupo de isotropia H se reduz a f1g. Nesse caso, o espaço homogêneo se identi…ca a G. Já as ações transitivas e efetivas são descritas a seguir pelos subgrupos normais contidos no grupo de isotropia.

Proposição 2.18 Seja G uma ação transitiva em X = G=H. Então, a ação é efetiva se, e somente se, H não contém subgrupos normais de G, além de f1g.

Demonstração: Suponha que N H é um subgrupo normal de G, isto é, gN g 1 _N

para todo g 2 G. É claro que H é o grupo de isotropia da origem. Mas, pela proposição 2.15, os subgrupos de isotropia são conjugados entre si. Portanto, qualquer h 2 N está contido em todos os subgrupos de isotropia. Mas isso signi…ca que hy = y, para todo y 2 X, isto é, h = idX.

Portanto, se a ação é efetiva, N = f1g.

Reciprocamente, o subgrupo normal ker a = fg 2 G : 8y 2 X; gy = yg está contido em H. Portanto, se H não contém subgrupos normais, além do trivial, então ker a = f1g e a ação é efetiva. 2