Nesta seção serão demonstrados dois resultados que são bastante utilizados para veri…car, via espaços quocientes, que certos grupos topológicos são com- pactos ou conexos.
Teorema 2.29 Seja G um grupo topológico e H G um subgrupo. Se H e G=H são compactos então G é compacto.
Demonstração: Para a demonstração será utilizada a propriedade de interseção …nita, que caracteriza os espaços compactos: um espaço topológico Ké compacto se, e só se, para uma família F de fechados valeTF 2FF 6= ; se ela satis…zer a propriedade de interseção …nita, isto é, se toda interseção …nita F1\ \ Fk elementos de F for não vazia. Nesse caso pode-se assumir, sem
perda de generalidade, que F é completa, isto é, fechada por interseção …nita de seus elementos, pois a família de todas as interseções …nitas de elementos de F também satisfaz a propriedade da inteseção …nita.
Seja então F uma família de fechados em G satisfazendo a propriedade da interseção …nita. As projeções (F ), F 2 F, não são necessariamente conjuntos fechados em G=H, mas a família f (F )gF 2F satisfaz a propriedade
de interseção …nita, já que
(F1\ \ Fk) (F1)\ \ (Fk) :
Portanto, os fechos (F ), F 2 F, formam uma família de fechados em G=H satisfazendo a propriedade da interseção …nita. Como G=H é compacto,
2.6. GRUPOS COMPACTOS E CONEXOS 43 existe g 2 G tal que
gH 2 \
F 2F
(F ): Isto é, gH 2 (F ) para todo F 2 F.
Seja U 2 V (1) uma vizinhança da identidade em G. Então, Ug é um aberto que contém g e como é uma aplicação aberta, segue que (U g) é aberto que contém gH. Como gH 2 (F ) conclui-se que para todo F 2 F vale (U g)\ (F ) 6= ;, isto é, UgH \ F 6= ;. Em resumo, para todo U 2 V (1) e todo F 2 F, vale UgH \ F 6= ;, isto é, gH \ U 1F
6= ;. Em particular,
(F1\ \ Fs)\ UgH 6= ; (2.1)
para todo em U 2 V (1) e F1; : : : ; Fs 2 F, pois F é uma família completa.
Agora será usada a compacidade de H (ou melhor de gH) para mostrar a existência de h 2 H tal que para toda vizinhança U 2 V (1), o aberto Ugh intercepta todos os fechados Fi. Considere a família dos subconjuntos de gH
que são da forma E = U 1F \ gH com F 2 F e U 2 V (1). Essa família satisfaz a propriedade da interseção …nita. De fato, dado um número …nito de elementos nessa família, tem-se
U11F1\ gH \ \ Us1Fs\ gH = U1 1F1\ \ Us 1Fs \ gH: (2.2)
De…na W = Tsi=1Ui 1 2 V (1). Então, o segundo membro de (2.2) contém o conjunto
(W F1\ \ W Fs)\ gH
que por sua vez contém o conjunto (W (F1 \ \ Fs)) \ gH. Mas, este
conjunto é não vazio por (2.1). Portanto, a família de fechados (U 1F
\ gH) em gH satisfaz a propriedade de interseção …nita. Como gH é compacto (pois H é compacto) conclui-se que
\
U 2V(1);F 2F
U 1F \ gH 6= ;:
Por …m tome h 2 H tal que gh pertence a esta interseção. Para este h pode-se mostrar que gh 2TF 2FF.
De fato, …xe F 2 F, tome U 2 V (1) e escolha V 2 V (1) tal que V2 U.
Então, V gh é uma vizinhança de gh e, portanto, V gh\ V 1F \ gH 6= ;:
44 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS Em particular, V gh \ V 1F
6= ; o que implica que ; 6= (V2gh)
\ F (U gh)\ F . Como U é arbitrário isso garante que gh 2 F = F , concluindo a
demonstração. 2
É claro que se G é compacto então G=H também é compacto, uma vez que a projeção canônica : G ! G=H é contínua e sobrejetora. Por outro lado, se H é fechado e G compacto então H também é compacto. Portanto, a recíproca ao teorema acima é verdadeira com a hipótese adicional de que H é fechado.
Proposição 2.30 Suponha que H e G=H são conexos. Então, G é conexo. Demonstração: Suponha por absurdo que A; B G são abertos não vazios, disjuntos e tais que A [ B = G. Então, (A) e (B) são abertos não vazios tais que (A)[ (B) = G=H. Como G=H é conexo, (A)\ (B) 6= ;. Isso signi…ca que existe uma classe lateral gH que intercepta ambos os con- juntos A e B. Então, A \ gH e B \ gH são abertos disjuntos, não vazios e tais que (A)[ (B) = gH, contradizendo o fato de que H é conexo, já que
gH é homeomorfo a H. 2
Quanto à reciproca da proposição anterior, é claro que G=H é conexo se G for conexo. No entanto, pode ocorrer que tanto G quanto G=H sejam conexos, mas H não seja conexo.
Os dois resultados desta seção fornecem um método útil para descrever a topologia de diversos grupos conhecidos, como mostram os exemplos a seguir. Exemplos:
1. O grupo G = Gl (n; R) age em Rn de maneira canônica: (g; x) = gx,
g 2 Gl (n; R), x 2 Rn. Essa ação é contínua pois é restrição de uma aplicação polinômial (de grau 2) Mn(R) Rn ! Rn. Existem
exatamente duas órbitas, a origem f0g e o seu complementar Rn
n f0g. É evidente que a origem é uma órbita. Para ver que o seu comple- mentar também é uma órbita, tome e1 = (1; 0; : : : ; 0) 2 Rn n f0g e
x = (x1; : : : ; xn) 6= 0. Então existe uma matriz g 2 Gl (n; R) tal que
ge1 = x. De fato, é possível estender x a uma base fx; v2; : : : ; vn 1g de
Rn
. Denote por fe1; : : : ; eng a base canônica de Rn. Então, g de…nida
por ge1 = x e gei = vi, i = 2; : : : ; n é um elemento de Gl (n; R) que
2.6. GRUPOS COMPACTOS E CONEXOS 45 O subgrupo de isotropia em 0 é todo Gl (n; R). Já o subgrupo de isotropia Ge1 em e1é formado pelas matrizes (em relação à base canônica)
da forma
1 b
0 C (2.3)
com b uma matriz linha 1 (n 1)e C 2 Gl (n 1; R). Os grupos de isotropia em x 6= 0 são conjugados de Ge1. Em todo caso, o quociente
Gl (n; R) =Ge1 é homeomorfo ao cilindro R
n
n f0g.
A ação de canônica Gl (n; R) em Rn induz, por restrição, ações de seus
subgrupos. Essas ações são todas contínuas, no entanto a estrutura das órbitas varia de acôrdo com o subgrupo. Eis alguns exemplos:
(a) Seja O (n) Gl (n; R). As órbitas são as esferas Sr =fx 2 Rn:jxj = rg r 0:
(A norma j j utilizada aqui é a proveniente do produto interno canônico, lembrando que esse produto interno está implícito na de…nição de O (n).) O argumento para mostrar que as esferas são as órbitas é semelhante ao utilizado acima, estendendo vetores não nulos a bases, tomando o cuidado agora de escolher bases ortogonais. O subgrupo de isotropia em e1 (ou em e1, 6= 0) é
formado pelas matrizes ortogonais que têm a forma de (2.3), isto é, pelas matrizes da forma
1 0 0 C
com C 2 O (n 1). Esse grupo é isomorfo a O (n 1). Portanto, o quociente O (n) =O (n) é homeomorfo à esfera de dimensão n 1. (b) Os mesmos argumentos do item anterior permitem mostrar que as órbitas de SO (n) = fg 2 O (n) : det g = 1g também são as esferas. Nesse caso o grupo de isotropia em e1 é isomorfo a SO (n 1).
(c) O grupo Sl (n; R) = fg 2 Gl (n; R) : det g = 1g age transitiva- mente em Rn
n f0g, como pode ser veri…cado através do argu- mento de construção de bases. Assim, Sl (n; R) tem exatamente duas órbitas em sua ação canônica em Rn.
46 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS 2. Novamente, seja G = Gl (n; R) e seja X = Pn 1 o espaço projetivo
dos subespaços de dimensão um de Rn
. Se V 2 Pn 1
e g 2 Gl (n; R) gV = fgx : x 2 V g é um subespaço de Rn de dimensão 1, e daí que
gV 2 Pn 1
. A aplicação V 7! gV de…ne uma ação de Gl (n; R) ém Pn 1. Esta ação é contínua em relação à seguinte topologia quociente em Pn 1
. Dado v 2 Rn, denote por [v] o subespaço gerado por v. Se
v 6= 0, [v] 2 Pn 1. Existe portanto uma aplicação sobrejetora : v
2 Rnn f0g 7! [v] 2 Pn 1
. Os abertos de Pn 1 são os conjuntos A
Pn 1 tais que 1(A)
é aberto, isto é, a topologia em Pn 1 é a topologia
quociente pela relação de equivalência v w se v = aw, a 6= 0, em Rnn f0g. Com essa topologia a ação de Gl (n; R) é contínua. Essa ação é transitiva e a isotropia em [e1] é o subgrupo formado pelas matrizes
do tipo
a b 0 C
com a 2 R, b uma matriz linha (n 1) (n 1) e C 2 Gl (n 1; R). A projeção é equivariante em relação às ações de G em Rn
n f0g e Pn 1. Como no caso da ação em Rn, essa ação induz ações de todos os grupos lineares, isto é, dos subgrupos de Gl (n; R). Essas ações são denominadas de ações projetivas.
3. Analogamente às ações projetivas, o grupo Gl (n; R) age na Grassman- niana Grk(n), formada pelos subespaços de Rn de dimensão k. A ação
é dada por (g; V ) 7! gV onde gV é a imagem do subespaço V pela apli- cação linear g. Essa ação de Gl (n; R) também é transitiva e é contínua em relação à seguinte topologia em Grk(n): denote por Bk(n) o con-
junto das matrizes n k de posto k, munido da topologia induzida pela topologia do espaço vetorial de todas as matrizes n k. Existe uma aplicação sobrejetora : Bk(n) ! Grk(n) que associa a uma matriz
p2 Bk(n) o espaço vetorial gerado pelas colunas de p. De…nindo em
Bk(n) a relação de equivalência p q se existe a 2 Gl (k; R) tal que
p = qa. Então, Grk(n) se identi…ca ao conjunto das classes de equiv-
alência Bk(n) = e : Bk(n) ! Grk(n) com a projeção canônica
Bk(n)! Bk(n) = . Isso de…ne a topologia quociente em Grk(n) cu-
jos abertos são os conjuntos A Grk(n) tais que 1(A)é aberto em
Bk(n).
Seja V0 2 Grk(n) o subespaço gerado pelos primeiros k vetores da
2.7. EXERCÍCIOS 47 matrizes do tipo
P Q 0 R com P 2 Gl (k; R) e Q 2 Gl (n k; R).
4. Seja Z um campo de vetores em uma variedade diferenciável M de classe C1 e suponha que Z seja completo, isto é, as soluções maximais
de Z se estendem ao intervalo ( 1; +1). O ‡uxo de Z denotado Zt,
t 2 R, é de…nido a partir das trajetórias t 7! Zt(x)é a trajetória de Z
que em t = 0 passa por x. O ‡uxo satisfaz as propriedades Z0(x) = x
e Zt+s(x) = Zt(Zs(x)). Portanto, (t; x) 7! Zt(x) de…ne uma ação
de R em M. Os teoremas de dependência de soluções em relação às condições iniciais garantem que essa ação é contínua. As órbitas dessa ação são as trajetórias do campo. Já os subgrupos de isotropia em x são descritos como: 1) Gx = R se x é uma singularidade do campo de
vetores, isto é, Z (x) = 0; 2) Gx = f0g se a trajetória x não é uma
curva fechada e 3) Gx = !Z se a trajetória que passa por x é periódica
de período !.
2 O teorema 2.29 e a proposição 2.30 são úteis para mostrar que deter- minados grupos topológicos são compactos ou conexos. As ações descritas acima ilustram bem essa aplicações. Tome, por exemplo, o caso da ação transitiva de O (n) na esfera Sncom grupo de isotropia SO (n 1). Se n = 1
então Sn 1 =
f 1g e SO (n 1)é trivial. Isso signi…ca que tanto o quociente O (1) =SO (0)quanto o subgrupo de isotropia são compactos. Portanto, o teo- rema 2.29 garante que O (1) é compacto. Procedendo por indução e usando o fato de que as esferas são compactas, se veri…ca que os grupos O (n) são com- pactos. Da mesma forma, pode-se aplicar sucessivamente a proposição 2.30 para veri…car que os grupos SO (n), Sl (n; R), Gl+(n; R), etc. são conexos.
2.7
Exercícios
1. Seja G X ! X uma ação contínua do grupo topológico G no espaço topológico X. Seja A X um subconjunto G-invariante. Mostre que a restrição G A! A da ação a A também é contínua, com a topologia induzida em A.
48 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS 2. Mostre que num grupo topológico o fecho de um subgrupo abeliano é
abeliano.
3. Seja H Gum subgrupo e denote por N (H) = fg 2 G : gHg 1 H
g o seu normalizador. Mostre que se H é fechado então N (H) é fechado. 4. Seja G um grupo topológico de Hausdor¤. Mostre que o centralizador
fg 2 G : 8x 2 M; gx = xgg do conjunto M é um subgrupo fechado. 5. Sejam G um grupo topológico e K; F G fechados com K compacto.
Mostre que KF é fechado.
6. Seja G um grupo topológico conexo e não compacto. Seja também V G uma vizinhança compacta do elemento neutro. Veri…que que para todo k 1, Vk é compacto. Use isso para provar que para todo
k 1, Vk+1 contém propriamente Vk.
7. Um subgrupo D de um grupo topológico G é discreto se existe uma vizinhança V da identidade tal que V \ D = f1g. Mostre que se D é discreto, com vizinhança V , então gV \ D = fgg para todo g 2 D. Mostre também que D é fechado.
8. Seja G um grupo topológico. Mostre que se D Gé um subgrupo dis- creto então a projeção : G! G=D é uma aplicação de recobrimento. 9. Sejam G um grupo topológico e D G um subgrupo discreto. Mostre que se G é conexo e D é subgrupo normal então D está contido no centro Z (G) de G. (Sugestão: para x 2 D considere a aplicação g 2 G7! gxg 1
2 D.)
10. Sejam G um grupo topológico e H Gum subgrupo fechado. Suponha que D Gé um subgrupo discreto. Mostre que D \ H é um subgrupo discreto de H.
11. Seja G um grupo (não necessariamente topológico) agindo no espaço topológico X. De…na a relação de equivalência em X por x y se x e y pertencem à mesma G-órbita. Mostre que a projeção canônica X ! X= é uma aplicação aberta sobre a topologia quociente. 12. Seja X um espaço topológico e x y uma relação de equivalência em
2.7. EXERCÍCIOS 49 da topologia quociente, é de Hausdor¤ se, e só se, a relação é um subconjunto fechado de X X.
13. Dada uma ação contínua G X ! X do grupo topológico G no espaço X, seja F X um subconjunto fechado. Mostre que o semigupo SF = fg 2 G : g (F ) Fg é fechado. Conclua que o subgrupo
GF =fg 2 G : g (F ) = F g também é fechados.
14. Seja G um grupo topológico e H um subgrupo fechado. Mostre que se H e G=H são localmente compactos então G também é localmente compacto. (Sugestão: adapte a demonstração do teorema 2.29.)
15. Seja G um grupo compacto e tome x 2 G. Mostre que o fecho fxn : n 1g
do conjunto das potências de x é um subgrupo.
16. Um subsemigrupo S de um grupo é um conjunto fechado pelo produto: se x; y 2 S então xy 2 S (não necessariamente x 1 2 S). Mostre que um subsemigrupo fechado de um grupo compacto é um grupo (use o exercício anterior).
17. Sejam G um grupo topológico e H1 H2 G subgrupos. De…na
: G=H1 ! G=H2 por (gH1) = gH2. Veri…que que esta aplicação
é bem de…nida e mostre que ela é contínua e aberta (em relação às topologias quocientes). Mostre também que é equivariante, isto é, g (x) = (gx), x 2 G=H1.
18. Seja G um grupo topológico localmente conexo e H G subgrupo fechado localmente conexo. Mostre que se H não é conexo então G=H não é simplesmente conexo. (Sugestão: considere a componente da identidade H0 de H.)
19. Seja G um grupo topológico compacto e : G! R um homomor…smo contínuo. Mostre que 0.
20. Use o exercício anterior para mostrar que se G Gl (n; R) é um grupo compacto então para todo g 2 G, det g = 1 ou 1.
21. Seja G um grupo topológico e suponha que o o grupo comutador [G; G] (isto é, o subgrupo de G gerado pelos comutadores xyx 1y 1
, x; y 2 G) seja denso. Mostre que se H é um grupo abeliano e : G ! H é um homomor…smo, então é trivial, isto é, (x) = 1 para todo x 2 G.
50 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS 22. Mostre que os únicos subgrupos fechados de (R; +) são o próprio R e
os subgrupos da forma Zx, x 2 R.
23. Mostre que O (n) é compacto e que Sl (n; R) não é compacto.
24. Sejam O (n) o grupo das matrizes n n ortogonais (ggT = gTg = 1) e SO (n) = fg 2 O (n) : det g = 1g. Mostre que SO (n) é conexo por caminhos, sem usar a proposição 2.30. (Sugestão: escreva a forma canônica de Jordan de uma matriz ortogonal). Conclua que O (n) tem duas componentes conexas.
25. Mostre que Gl (n; R) tem duas componentes conexas: fg : det g > 0g e fg : det g < 0g. (Use o fato de que qualquer matriz g pode ser escrita como g = ks com k 2 O (n) e s positiva de…nida.)
26. Considere a ação de Sl (n; R) no espaço projetivo real Pn 1, dada por
g[v] = [gv], onde [v] denota subespaço gerado por 0 6= v 2 Rn. Mostre que essa ação é transitiva. Mostre que a restrição dessa ação a SO (n) também é transitiva.
27. Dê exemplo de um subgrupo G Gl (n; R), não compacto, cuja ação em Pn 1 não é transitiva.
28. Substitua, nos exercícios anteriores, Pn 1 pela Grassmanniana Gr k(n)
dos subespaços de dimensão k de Rn.
29. Mostre que um grupo compacto admite uma distância bi-invariante. 30. Denote por S (1) o grupo de todas as bijeções (permutações) de N.
Para cada n 2 N seja Sn(1) o subgrupo de Sn(1) formado pelos
elementos que …xam cada um dos inteiros de f1; : : : ; ng. Mostre que o conjunto Sn(1), n 1, forma um sistema de vizinhanças da identi-
dade de S (1), dando origem a uma topologia em S (1), que o torna grupo topológico. Mostre que essa topologia é totalmente desconexa.
Capítulo 3
Grupos de Lie e suas álgebras
de Lie
O objetivo deste capítulo é introduzir os conceitos de grupos de Lie e suas álgebras de Lie. A álgebra de Lie g de um grupo de Lie G é de…nida como o espaço dos campos invariantes (à esquerda ou à direita), com o colchete dado pelo colchete de Lie de campos de vetores. Os ‡uxos dos campos invariantes estabelecem a aplicação exponencial exp : g ! G, que é o principal elo de ligação entre g e G. Essas construções utilizam exaustivamente resultados sobre campos de vetores em variedades e seus colchete de Lie. Um apanhado desses resultados pode ser encontrado no apêndice A.
Outro instrumento de ligação entre os grupos de Lie e suas álgebras de Lie são as representações adjuntas. As fórmulas envolvendo essas representações são desenvolvidas neste capítulo. Essas fórmulas são utilizadas ao longo de toda a teoria.
Ao …nal do capítulo está incluída uma seção sobre equações diferenci- ais ordinárias invariantes (dependentes do tempo) em grupos de Lie. Essas equações generalizam as equações de…nidas pelos campos invariantes.
3.1
De…nição
Um grupo de Lie é um grupo cujo conjunto subjacente tem uma estrutura de variedade diferenciável, de tal forma que a aplicação produto
p : (g; h)2 G G7 ! gh 2 G 51
52 CAPÍTULO 3. GRUPOS DE LIE E SUAS ÁLGEBRAS DE LIE é diferenciável.
Tanto a estrutura de variedade diferenciável de G, quanto a diferencia- blidade de p, pressupõem um grau de diferenciabilidade Ck, 1 k !.
Para desenvolver boa parte da teoria, é necessário tomar apenas derivadas de primeira ordem em G e no …brado tangente T G, e assim supor que G e p são de classe C2. No entanto, não existe perda de generalidade em assumir
que G e p são analíticas (C!
), pois é possível provar que se p é classe C1
então p é analítica em relação à estrutura de variedade analítica contida na estrutura Ck, 1 k
1.
De qualquer maneira será assumido que G é de classe C1 assim como o
produto p.
Dado g 2 G, as translações à esquerda e à direita Eg : G ! G e Dg :
G ! G, são de…nidas respectivamente por Eg(h) = gh e Dg(h) = hg.
Essas aplicações são diferenciáveis pois Eg = p sg;1 e Dg = p sg;2 onde
sg;1(h) = (g; h) e sg;2(h) = (h; g) são aplicações diferenciáveis G ! G G.
Na verdade, ambas as translações, à esquerda e à direita, são difeomor…smos, já que Eg Eg 1 = Dg Dg 1 = id. Da mesma forma, os automor…smos
internos Cg = Eg Dg 1, g 2 G, são difeomor…smos.
Ao contrário dos grupos topológicos a de…nição de grupo de Lie não exige a priori que a inversa (g) = g 1 seja diferenciável ou sequer contínua. A
razão para isso é que a diferenciabilidade de p implica a de através do teorema da função implícita, como será demonstrado a seguir.
A seguir a diferencial de uma aplicação no ponto x será denotada por d ( )x.
Proposição 3.1 Num grupo de Lie G a aplicação : g 2 G 7! g 1 2 G é um difeomor…smo. A diferencial de é dada por
d g = (dEg 1)
1 (dDg 1)g:
Em particular, (d )1 = id.
Demonstração: Dado (g; h) 2 G G, a diferencial parcial do produto p em relação à segunda variável é
@2p (g; h) = d (Eg)h:
Como Eg é difeomor…smo, segue que d (Eg)h é bijetora e, em particular,
3.1. DEFINIÇÃO 53 …xo a equação p (g; h) = c tem uma solução diferenciável local h = c(g)
explicitando h como função de g, isto é, p (g; c(g)) = c. Quando c = 1,
1 = , mostrando que é diferenciável. Daí segue que é difeomor…smo,
pois sua inversa 1 coincide com , isto é, = id.
Ainda pelo teorema da função implícita, a diferencial d g é dada por
d g = (@2p)(g;g1 1) (@1p)(g;g 1)
onde (@jp)(x;y) denota a diferencial de p em relação à variável j = 1; 2, no
ponto (x; y). Essas diferenciais parciais são dadas por (@2p)(x;y) = d (Ex)y
e (@1p)(x;y) = d (Dy)x. Portanto, (@1p)(g;g 1) = d (Dg 1) g e (@2p) 1 (g;g 1) = d (Eg)g 1 1 = d (Eg 1)
1, de onde segue a fórmula do enunciado.
Por …m, no caso em que g = 1, D1(g) = g é a aplicação identidade, por-
tanto, (dD1)1 é a aplicação identidade do espaço tangente T1G. Da mesma
forma, (dE1)1 = id e daí que d 1 : T1G! T1G é id. 2
A proposição acima mostra que todo grupo de Lie é um grupo topológico, conforme de…nido no capítulo 2.
Muitas vezes é conveniente usar a seguinte notação simpli…cada para as diferenciais das translações em um grupo de Lie G. Seja t 7! gt uma curva
diferenciável em G e tome h 2 G. Usando as seguintes notações hgt0 = d (Eh)gt(gt0) g0th = d (Dh)gt(gt0) ;
os cálculos de derivadas em G podem ser feitos como se fossem no grupo de matrizes. Por exemplo, (g2
t) 0 = g0 tgt+ gtgt0 ou ainda de gtgt1 = 1 obtém-se gtgt1 0 = g0tgt1+ gt gt 1 0 = 0. Portanto, gt 1 0 = gt 1g0gt1; que é a fórmula para d g da proposição acima.
Sejam G e H grupos de Lie. Então, o produto cartesiano G H admite a estrutura de variedade produto e a estrutura de grupo produto (g1; h1) (g2; h2) =
(g1g2; h1h2), tornando G H um grupo de Lie. De fato, a diferenciabili-
dade do produto é consequência de que cada coordenada é diferenciável. De maneira mais geral, se Gi, i = 1; : : : ; k, é um número …nito de grupos de Lie
então o produto direto G1 Gk é um grupo de Lie com as estruturas
54 CAPÍTULO 3. GRUPOS DE LIE E SUAS ÁLGEBRAS DE LIE Posteriormente serão feitas outras construções com grupos de Lie, tais como o produto semi-direto e o quociente de um grupo por um subgrupo. Exemplos:
1. Seja G um grupo qualquer munido da topologia discreta. Com esta topologia G tem uma estrutura de variedade diferenciável de dimensão 0 em que o produto é diferenciável. Portanto, todo grupo G pode ser visto como um grupo de Lie. Um grupo de Lie desses é denominado de grupo de Lie discreto (Este exemplo é puramente formal, já que a estrutura diferenciável discreta não acrescenta informação alguma à estrutura algébrica do grupo G.)
2. Qualquer espaço vetorial de dimensão …nita V sobre R é um grupo de Lie abeliano, com a operação + em V .
3. Seja Gl (n; R) o grupo das transformações lineares inversíveis de Rn, ou
o que é a mesma coisa, o grupo das matrizes n n inversíveis. Esse grupo é um subconjunto aberto do espaço vetorial Mn(R) das matrizes
n n, e portanto é uma variedade diferenciável. O produto no grupo Gl(n; R) é proveniente do produto usual de matrizes. Se X = (xij) e
Y 2 (yij) são matrizes n n, então Z = XY = (zij)é dado por
zij = n
X
k=1
xikykj;
que é um polinômio de grau dois nas variáveis xij; yij e, portanto, é
uma aplicação diferenciável. Por esta razão Gl (n; R) é um grupo de Lie. Se V é um espaço vetorial real de dimensão …nita, denote por Gl (V )o grupos das transformações lineares inversíveis de V . Tomando uma base de V de…ne-se um isomor…smo entre Gl (V ) e Gl (n; R) por h2 Gl (V ) 7! [h] 2 Gl (n; R) onde [h] denota a matriz de h em relação à base …xada. Esse grupo serve de exemplo guia no estudo dos grupos de Lie.
4. Seja A uma álgebra associativa sobre R, isto é, A é um espaço vetorial real munido de um produto : A A ! A, que é bilinear (distributivo) e associativo. Suponha que dim A < 1 e que A tem um elemento neutro multiplicativo 1. Um elemento x 2 A admite inversa (bilateral)
3.1. DEFINIÇÃO 55 se existe y 2 A tal que xy = yx = 1. Nesse caso y = x 1. O conjunto
G (A) dos elementos inversíveis de A
G (A) = fx 2 A : 9x 1g
é um grupo com o produto de A. Por outro lado, G (A) é um conjunto aberto (não vazio) de A (com a topologia de espaço vetorial real). De fato, considere a aplicação E : A ! L (A) que a x 2 A associa a translação à esquerda Ex : A ! A, Ex(y) = x y, que é uma
transformação linear de A. A aplicação E é um homomor…smo de álgebras associativas: é linear e Exy = Ex Ey. O que implica, em
particular, que Ex 1 = (Ex) 1, quando x 2 G (A). Além do mais, a
existência de elemento neutro muliplicativo garante que E é injetora, pois Ex = 0 implica que 0 = Ex(1) = x 1 = x. Portanto, a função
det Ex é um polinômio não nulo em A. Como det Ex 6= 0 se, e só se,
x 2 G (A), segue que G (A) é um aberto não vazio (e além do mais denso). Portanto, G (A) é um grupo de Lie, pois o produto, sendo uma aplicação bilinear, é diferenciável.
É claro que Gl (n; R) é o caso particular em que A é a álgebra associativa das matrizes n n.
5. Seja G o grupo das matrizes n ntriangulares superiores com entradas diagonais iguais a 1: G = 8 > < > : 0 B @ 1 .. . . .. ... 0 1 1 C A 9 > = > ;:
Como conjunto G está em bijeção com o espaço vetorial Rn(n2 1). Por-
tanto, G tem uma estrutura de variedade diferenciável. Em relação a esta estrutura, o produto em G (produto de matrizes) é diferenciável, tornando G um grupo de Lie.
2 Adiante serão demonstrados diversos resultados que garantem que certos subgrupos de grupos de Lie são também grupos de Lie. A partir desses resultados será fácil produzir uma ampla gama de exemplos de grupos de Lie.
56 CAPÍTULO 3. GRUPOS DE LIE E SUAS ÁLGEBRAS DE LIE Os …brados tangente T G e cotangente T G de um grupo de Lie G são facilmente descritos pelas translações (à esquerda ou a direita) em G. De fato, dado g 2 G a diferencial da translação à esquerda d (Eg)1 é um isomor…smo