5.5
Exercícios
1. Seja : G! H um homomor…smo contínuo e inversível entre grupos de Lie. Mostre que é um isomor…smo, isto é, 1 é homomor…smo diferenciável.
2. Sejam G e H grupos de Lie conexos e denote por eG e eH seus reco- brimentos simplesmente conexos. Mostre que eG He é o recobrimento universal de G H. Generalize para um produto com mais de dois fatores.
3. Mostre que, a menos de isomor…smo, existem exatamente dois grupos de Lie conexos com álgebra de Lieso (3).
4. Seja g uma álgebra de Lie de dimensão …nita tal que [X; [Y; Z]] = 0 para todo X; Y; Z 2 g. Encontre o grupo de Lie conexo e simplesmente conexo associado ag.
5. Seja g uma álgebra de Lie com dim g = 2. Mostre que se g não é abeliana então existe uma base fX; Y g de g tal que [X; Y ] = Y . Seja G o grupo a…m da reta, isto é, G = (R n f0g) R com o produto (a; x) (b; z) = (ab; az + x). Mostre que a álgebra de Lieg de G (dim g = 2) é não abeliana e encontre uma base deg como acima. Descreva todos os grupos de Lie conexos de dimensão 2.
6. Sejam G um grupo de Lie conexo com dim G = 2 e exp : g ! G sua aplicação exponencial. Mostre que exp é uma aplicação de recobri- mento.
7. Seja K um grupo de Lie abeliano compacto. Mostre que o conjunto dos elementos x 2 K de ordem …nita (isto é, xk = 1, para algum k 2 N) é denso em K.
8. Dado o grupo G = Sl (2; R) considere os subgrupos K = SO (2) e T o subgrupo das matrizes
x
5.5. EXERCÍCIOS 161 De…na a aplicação : K T ! G por (k; t) = kt. Mostre que é difeomor…smo. (Sugestões: para a sobrejetividade use o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt. Para a injetividade mostre que K \ T = f1g. Por …m mostre que é um difeomor…smo local.) (Compare com o exercício 5 do capítulo 4.)
9. Use o exercício anterior para mostrar que Sl (2; R) é difeomorfo a S1
R2, tem grupo fundamental Z e o seu recobrimento universal ^Sl (2; R) é difeomorfo a R3. Mostre também que o centro de ^
Sl (2; R) é isomorfo a Z.
10. Mostre que o grupo fundamental de Sl (n; R) coincide com o grupo fundamental de SO (n). (Sugestão: use o exercício 5 do capítulo 4.) O que se pode dizer sobre os grupos fundamentais de Gl (n; R), Sl (n; C) e Gl (n; C)?
11. Descreva todos os grupos de Lie conexos cuja álgebra de Lie ésl (2; R). 12. Sejam G o grupo das matrizes
0 @ 1 x z 0 1 y 0 0 1 1 A
com x; y; z 2 R e G o subgrupo das matrizes com entradas em Z. Mostre que a variedade G= não admite uma estrutura de grupo que a transforma num grupo de Lie.
13. Denote por Sl (2; Z) o conjunto das matrizes 2 2 com entradas in- teiras e determinante 1. Veri…que que Sl (2; Z) é um subgrupo fechado de Sl (2; R). Mostre que não existe nenhuma estrutura de grupo na variedade Sl (2; R) =Sl (2; Z), que a torna um grupo de Lie.
14. Seja G um grupo de Lie conexo e : G ! G um homomor…smo tal que d 1 = id. Mostre que = id. Dê um exemplo para mostrar que
este resultado não vale se G não é conexo.
15. Mostre que se G é grupo de Lie conexo então dois homomor…smos contínuos ; : G ! H são iguais se suas diferenciais coincidem em algum ponto.
162 CAPÍTULO 5. HOMOMORFISMOS E RECOBRIMENTOS 16. Seja g uma álgebra de Lie e denote por eG o grupo de Lie conexo e simplesmente conexo cuja álgebra de Lie é g. Mostre que o grupo dos automor…smos de eG é isomorfo a Aut (g).
17. Dados os grupo de Lie conexos G e H denote por : eG! G e : eH ! H os recobrimentos universais. Seja : G ! H um homomor…smo diferenciável. Mostre que existe um único homomor…smo e : eG ! eH tal que e = .
18. Mostre que o grupo dos automor…smos de um grupo de Lie conexo tem estrutura de grupo de Lie. (Use os exercícios anteriores.)
19. Sejam G um grupo de Lie conexo e H um subgrupo fechado e conexo. Mostre que G é simplesmente conexo se H e G=H são simplesmente conexos. (Sugestão: escreva G = eG=D, veri…que que G=H G=He 0 onde H0 = 1(H) e : eG
! G é a projeção canônica. Veri…que que H = H0= (H0\ D) e mostre que H0 não é conexo. Por …m con- sidere o recobrimento eG=H0
0 ! eG=H0 G=H.) (Outra sugestão: use
Capítulo 6
Grupos de Automor…smos
6.1
Automor…smos de grupos de Lie
Os grupos de automor…smos dos grupos de Lie são estudados através dos grupos de automor…smos de suas álgebras de Lie. Sejag uma álgebra de Lie real de dimensão …nita. Conforme foi visto no capítulo 3.7 o grupo Aut (g) dos automor…smos de g é um subgrupo fechado do grupo linear Gl (g) (veja um dos exemplos ao …nal da seção 3.12).
Portanto, Aut (g) é um grupo de Lie. Sua álgebra de Lie é formada pelas derivações de g. Deve-se lembrar que uma derivação de uma álgebra de Lie g é uma aplicação linear D : g ! g que satisfaz
D[X; Y ] = [DX; Y ] + [X; DY ] para todo X; Y 2 g:
O conjunto de todas as derivações de g é denotado por Der (g). Não é difí- cil veri…car Der (g) é um álgebra de Lie (subálgebra da álgebra de Lie das transformações lineares de g). Para ver que Der (g) é a álgebra de Lie de Aut (g) basta veri…car que D é uma derivação de g se, e somente se, para todo t 2 R, etD é automor…smo de g. Mas, se X; Y 2 g então a derivada da igualdade etD[X; Y ] = [etDX; etDY ] em t = 0 mostra que D é derivação se
etD é automor…smo. Reciprocamente, se D é derivação então as curvas
(t) = etD[X; Y ] e (t) = [etDX; etDY ]
satisfazem a equação diferencial linear 0 = D , 2 g, e têm a mesma
condição inicial (0) = [X; Y ] = (0). Portanto, = o que mostra que etD é automor…smo, para todo t 2 R.
164 CAPÍTULO 6. GRUPOS DE AUTOMORFISMOS Dado X 2 g sua adjunta ad (X) é uma derivação de g, como segue da identidade de Jacobi. As derivações do tipo ad (X) são as chamadas deriva- ções internas de g. O conjunto das derivações internas é ad (g), a imagem da representação adjunta deg. Portanto, ad (g) uma subálgebra de Der (g). Se D é uma derivação e X 2 g então a de…nição de derivação é equivalente a
[D; ad (X)] = ad (DX) :
Essa igualdade mostra que ad (g) é, na verdade, um ideal de Der (g). Em geral a inclusão ad (g) Der (g) é própria, como mostra o exemplo das álgebras abelianas em que toda aplicação linear é derivação e, no entanto, ad (g) = f0g.
Como a álgebra de Lie de Aut (g) é Der (g) é claro que ad (g) integrável a um subgrupo conexo de Aut (g). Esse subgrupo é denotado por Int (g) e seus elementos são denominados de automor…smos internos de g. A razão desse nome é que Int (g) está relacionado com os grupos dos automor…smos internos de um grupo de Lie G, cuja álgebra de Lie é g. Os elementos de Int (g) são produtos de exponenciais de sua álgebra de Lie ad (g), isto é, se g 2 Int (g) então
g = ead(X1) ead(Xn)
com Xi 2 g.
Passando agora aos grupos de Lie serão considerados apenas os automor- …smos contínuos e, portanto, diferenciáveis. Dessa forma, na discussão a seguir subentende-se que um automor…smo de um grupo de Lie é diferen- ciável. O grupo dos automor…smos de G é denotado por AutG.
Se é um automor…smo de G então pela proposição 3.16 do capítulo 3 sua diferencial na origem d 1 é um automor…smo da álgebra de Lie g. Isso
de…ne a aplicação : AutG! Autg por ( ) = (d )1. Pela regra da cadeia essa aplicação é um homomor…smo diferenciável de grupos.
Proposição 6.1 Se G é conexo então é injetora.
Demonstração: Deve-se mostrar que dois automor…smos e coincidem se d 1 = d 1. Assumindo a igualdade das diferenciais, a fórmula (exp X) =
exp (d 1(X)) (veja proposição 3.14) mostra que (exp X) = (exp X) para
todo X 2 g. Pelo fato de e serem homomor…smos isso implica que eles coincidem nos elementos que são produtos de exponenciais. Mas, G é conexo, portanto seus elementos são produtos exponenciais, mostrando que = . 2
6.1. AUTOMORFISMOS DE GRUPOS DE LIE 165 Deve-se observar que pode não ser injetora se G não é conexo. Por exemplo, se G é um grupo discreto então é constante, mas em geral existem automor…smos diferentes da identidade (como os automor…smos internos Cg
se g =2 Z (G)).
Já a sobrejetividade de vem do teorema 5.15, que garante que todo automor…smo de g se estende a um automor…smo de G desde que o grupo seja simplesmente conexo.
Proposição 6.2 Se G é conexo e simplesmente conexo então é sobrejetora. Novamente, a condição de que G é simplesmente conexo é essencial, como vai …car claro adiante, quando forem determinados alguns grupos de auto- mor…smos de grupos não simplesmente conexos.
As proposições anteriores juntas fornecem o grupo de automor…smos de um grupo simplesmente conexo.
Proposição 6.3 Se G é conexo e simplesmente conexo então Aut(G) é iso- morfo a Aut (g). Um isomor…smo é dado por : Aut (G) ! Aut (g), ( ) = d 1. Além do mais Aut (G) é um grupo de Lie, cuja ação em G
é diferenciável.
Demonstração: A estrutura diferenciável em Aut (G) é dada por sua bijeção com Aut(g). A diferenciailidade da ação se veri…ca em primeiro lugar nos elementos neutros (ou melhor ao redor dos elementos neutros). Nesse caso existe um sistema de coordenadas de primeira espécie exp : V ! U em G e uma vizinhança da identidade W Aut (G) = Aut (g) tal que a restrição a W U da ação Aut (G) G! G é equivalente, via a exponencial, à restrição a W V da ação de Aut (g) em g. Isso porque um automor…smo satisfaz a igualdade
(exp X) = exp (d )1(X) :
Evidentemente, a ação de Aut (g) em g é diferenciável, o que acarreta a difer- enciabilidade em W U da ação de Aut (G) G! G. A diferenciabilidade da ação se obtém agora por translação. 2 Em geral o grupo de automor…smos Aut (G) de um grupo de Lie G pode ser bem diferente do grupo de automor…smos de sua álgebra de Lie g. De qualquer forma, no caso em que G é conexo o grupo AutG é isomorfo à imagem de já que é injetora pela proposição 6.1. Em outras palavras,
166 CAPÍTULO 6. GRUPOS DE AUTOMORFISMOS Aut (G) se identi…ca a um subgrupo de Aut (g), que por sua vez é isomorfo a Aut eG, onde eG é o recobrimento simplesmente conexo de G. Isto é, AutG se identi…ca a um subgrupo de Aut eG. Esse subgrupo é a imagem do ho- momor…smo AutG ! Aut eG, que a 2 AutG associa o único automor…smo e 2 Aut eG que satisfaz de1 = d 1.
Para descrever a imagem desse homomor…smo, seja D Ge o subgrupo discreto central tal que G = eG=D e denote por : eG! G = eG=D a projeção canônica. Essa projeção satisfaz (d )1 = idg (já que as álgebras de Lie de G
e eG são identi…cadas entre si). Lema 6.4 e = .
Demonstração: Basta mostrar que os homomor…smos e e co- incidem nas exponenciais dos elementos de g, já que os grupos eG e G são conexos e, portanto, seus elementos são produtos de exponenciais.
Denote porgexpa exponencial em eGe por exp a exponencial em G. Como d 1 = idg, vale
(gexpX) = exp X:
Aplicando a ambos os membros, e usando a igualdade (exp X) = exp (d 1X),
obtém-se
(expX) = exp (dg 1X) :
Por outro lado, e (gexpX) = exp (dg e1X). Aplicando a essa igualdade e
usando o fato que d 1 = idg, chega-se a
e (gexpX) = exp (d 1X) ;
uma vez que exp de1 = d 1. Portanto, e e coincidem nas exponen-
ciais, concluindo a demonstração. 2 Agora, seja
AutDG =e f 2 Aut eG : (D) = Dg (6.1)
o subgrupo de Aut eG que deixa invariante o núcleo de .
Proposição 6.5 Seja G um grupo conexo. Então AutG é isomorfo a AutDGe
onde G = eG=D. O isomor…smo é dado por ` : 7! e onde 2 Aut (G) e e é o único automor…smo de eG tal que de1 = d 1.
6.1. AUTOMORFISMOS DE GRUPOS DE LIE 167 Demonstração: Antes de mais nada observe que ` é de fato um homomor- …smo de grupos pois é a composta dos homomor…smos : AutG ! Autg, dado pela diferencial, com a extensão Autg ! Aut eG.
Pela proposição 6.1, o homomor…smo é injetor e como Autg e Aut eG são isomorfos, segue que ` é injetora. Isso implica que AutG é isomorfo à imagem de ` em Aut eG. Deve-se mostrar então que AutDGe coincide com a
imagem de `.
Para isso tome x 2 D. Então, pelo lema 6.4, e (x) = (x) = (1) = 1, o que signi…ca que e (x) 2 D. Como x 2 D é arbitrário, isso mostra quee (D) D. Aplicando o mesmo raciocinio ae 1 = g1 segue que
e 1
(D) D e daí que e (D) = D, isto é, e 2 AutDG. Portanto a imageme
de ` está contida em AutDG.e
Por outro lado, tome 2 AutDG. Então,e passa ao quociente, de…nindo
um homomor…smo 0 : G ! G tal que 0 = . Este homomor…smo é dado por 0(xD) = (x) D, que é bem de…nido pois (D) = D. Como
: eG! G = eG=Dsatisfaz d 1 = idge 0 = se conclui que d 1 = d 01,
isto é, = ` ( 0)o que mostra que AutDGe está contido na imagem de `, con-
cluindo a demonstração. 2
Corolário 6.6 Se G é conexo então AutG é grupo de Lie e sua ação em G é diferenciável.
Demonstração: De fato, o grupo AutDGe que é isomorfo a Aut (G) é um
subgrupo fechado de Aut eG, pois é o subgrupo dos elementos que deixam in- variante o conjunto fechado D Ge e a ação de Aut eGem eG é contínua (veja o exercício 13 do capítulo 2). 2 Um automor…smo 2 AutD Ge satisfaz a condição da de…nição em
(6.1), isto é, (D) = D se, e só se, tanto quanto 1 deixam D invariante:
(D) D e 1(D) D. Uma dessas inclusões não implica a outra a não ser em casos especiais, como, por exemplo, quando D é …nito. De fato, se (D) Dentão a aplicação jD : D ! D é injetora, pois é injetora. Sendo D …nito, a aplicação injetora jD é também sobrejetora, que por sua vez é equivalente a 1(D) D. Em geral, existem automor…smos de eGtal que
(D) D mas D não é invariante por 1. Quando isso ocorre, passa
168 CAPÍTULO 6. GRUPOS DE AUTOMORFISMOS Esse homomor…smo deixa de ser injetor. De fato, se 1(D)não está contido
em D então existem x 2 eG e d 2 D com x = 1(d)e tal que x =
2 D. Nesse caso, (x) = d o que implica que as classes laterais (x) D e D coincidem, mas xD 6= D.
Exemplo: Considere o toro Tn
= Rn
=Zn. O grupo dos automor…smos
de Rn é Gl (n; R), portanto, de acôrdo com a proposição 6.5, o grupo dos automor…smos de Tn é dado por
AutZnRn=fg 2 Gl (n; R) : g (Zn) = Zng:
Uma transformação linear inversível g 2 Gl (n; R) deixa Zn invariante, isto é,
satisfaz g (Zn) Znse, e só, se a matriz de g, na base canônica, tem entradas inteiras. Portanto, a condição para que g 2 AutZnRn é que tanto g quanto
g 1 sejam matrizes com entradas inteiras. Isso força (pela regra de Cramer)
que det g = 1. Reciprocamente, se g 2 Gl (n; R) tem entradas inteiras e det g = 1 então sua inversa também tem entradas inteiras. Portanto, o grupo dos automor…smos de Tn é (isomorfo a) o grupo discreto
Sl (n; Z) = fg = (xij)2 Gl (n; R) : det g = 1; xij 2 Zg:
2 Um automor…smo interno de um grupo G é uma conjugação da forma Cx :
G ! G da forma Cx(z) = xzx 1, com x 2 G …xado. Esses automor…smos
satisfazem as igualdades Cx Cy = Cxy e Cx1 = Cx 1 o que implica que o
conjunto dos automor…smos internos é um subgrupo de AutG. Esse subgrupo será denotado por IntG. Se é um automor…smo qualquer de G então vale a igualdade Cx 1 = C (x), que mostra, de imediato, que IntG é um
subgrupo normal de AutG.
A estrutura de grupo de IntG é descrita observando que a aplicação x 2 G7! Cx 2 IntG é um homomor…smo de grupos. O núcleo dessa aplicação é
o centro Z (G) de G e sua imagem, é claro, é todo grupo IntG. Dessa forma, IntGé isomorfo a G=Z (G). Esse grupo é também isomorfo à imagem Ad (G) da representação adjunta de G, que é um subgrupo de Aut (g).
No caso em que G é conexo os seus elementos são produtos de exponenciais e a fórmula
6.1. AUTOMORFISMOS DE GRUPOS DE LIE 169 mostra que Ad (G) é formado por produtos de exponenciais do tipo ead(X).
Em outras palavras, Ad (G) é um subgrupo do grupo Int (g) dos automor- …smos internos de g. Por outro lado, a mesma fórmula acima mostra que todo automor…smo interno de g se estende a um automor…smo interno de G (mesmo que G não seja simplesmente conexo). Portanto, vale a seguinte caracterização de IntG.
Proposição 6.7 Seja G um grupo de Lie conexo. Então, Int (G) é isomorfo a Int (g). Em particular, grupos de Lie conexos, localmente isomorfos têm grupos de automor…smos interiores isomorfos.
A questão agora é descrever a álgebra de Lie de AutG (para G conexo), que é denotada por aut (G). Foi mencionado acima que se G é simplesmente conexo então aut (G) é isomorfa à álgebra das derivações Der (g). Por esse isomor…smo aut (G) é vista como uma álgebra de Lie de transformações line- ares deg. Numa outra realização aut (G) pode ser vista como uma subálgebra de Lie da álgebra de Lie (G) dos campos de vetores em G. Isso porque o grupo de Lie AutG age diferenciavelmente em G e, portanto, induz uma ação in…nitesimal, que associa a X 2 aut (G) o campo de vetores eX em G dado por
e
X (x) = d
dt(exp (tX) x)jt=0 x2 G:
(veja o capítulo 4). O campo eX é chamado de automor…smo in…nitesimal de G. Essa ação in…nitesimal X ! eX é …el (isto é, injetora), pois se eX = 0 então exp tX = id para todo t 2 R o que implica que X = 0 em aut (G). (Aliás, sempre que ação de um grupo for efetiva sua ação in…nitesimal cor- respondente é …el.) Daí que aut (G) é identi…cada com a álgebra de Lie dos automor…smos in…nitesimais de G.
Coforme foi visto acima o grupo de Lie AutG do grupo conexo G é um subgrupo de Aut eG do recobrimento universal de G. Dessa forma aut (G) é uma subálgebra deaut eG . Através dos automor…smos in…nitesimais é fácil identi…car essa subálgebra. De fato, se G = eG=D então AutG é o subgrupo dos elementos que deixam D invariante. Daí que
170 CAPÍTULO 6. GRUPOS DE AUTOMORFISMOS