6.5
Resultados adicionais
Serão apresentados aqui alguns resultados sobre subgrupos e espaços homogê- neos de grupos de Lie simplesmente conexos. Esses resultados não valem em grupos gerais, mas servem
Proposição 6.12 Seja G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo e H G um subgrupo de Lie normal e conexo. Então, H é fechado.
Demonstração: A álgebra de Lie h de H é um ideal de g, o que permite formar a álgebra quocienteq = g=h. Seja Q o grupo de Lie conexo e simples- mente conexo cuja álgebra de Lie éq. O homomor…smo canônico :g ! g=h induz um homomor…smo : G ! Q tal que = d 1. A álgebra de Lie do núcleo ker coincide com ker , isto é, com h. Como H e a componente conexa da identidade de ker têm a mesma álgebra de Lie esses grupos são iguais. Por outro lado, ker é um subgrupo fechado e daí que H = (ker )0
também é fechado. 2
— H e G=H são simplesmente conexos (Varadarajan pag 238).
O próximo resultado assegura que os grupos derivados de um grupo de Lie simplesmente conexo são subgrupos de Lie conexos e fechados. Em geral, se Gé um grupo então seu grupo derivado G0 é de…nido como sendo o subgrupo gerado pelos comutadores [x; y] = xyx 1y 1
, x; y 2 G. Os grupos derivados sucessivos G(k) são de…nidos indutivamente por G(k) = G(k 1) 0, onde se coloca G = G(0). Esses subgrupos são normais em G e para cada k 0,
G(k)=G(k+1) é um grupo abeliano.
De maneira análoga, se de…ne indutivamente as álgebras derivadas de uma álgebra de Lie pondo g(0) = g, g0 o subespaço gerado pelos colchetes
[X; Y ], X; Y 2 g e g(k+1) = g(k) 0. Essas álgebras derivadas são ideais de g
e para cada k 0o quociente : g(k)=g(k+1) é uma álgebra de Lie abeliana.
Como consequência da proposição 6.12 pode-se provar que os grupos derivados são conexos e fechados.
Proposição 6.13 Seja G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo. Então, cada grupo derivado G(k) é subgrupo de Lie fechado e conexo. De fato, G(k) =
hexp g(k)
i e g(k) é a álgebra de Lie de G(k).
178 CAPÍTULO 6. GRUPOS DE AUTOMORFISMOS Em geral é possível mostrar que os grupos derivados são de Lie, apesar de não serem fechados.
Corolário 6.14 Seja G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo. Então, cada grupo derivado G(k) é subgrupo de Lie conexo com álgebra de
Lieg(k), isto é, G(k)= hexp g(k) i. Demonstração: ???? 2 — Gk = hexp gk i
Passando aos espaços homogêneos G=H com H subgrupo fechado, a primeira observação é que se G é conexo e G=H é simplesmente conexo então H é conexo. Isso porque a …brado G=H0 ! G=H é uma aplicação
de recobrimento e, portanto, G=H deve coincidir com G=H0, mostrando que
H = H0. A seguinte a…rmação é uma recíproca a isso.
Proposição 6.15 Seja G um grupo de Lie simplesmente conexo e H G um subgrupo fechado e conexo. Então, G=H é simplesmente conexo.
Demonstração: ??? Uma demonstração fácil usa a sequência exata de …bração:
1(H)! 1(G)! 1(G=H) ! 0(H) :
Como 1(G) = 0(H) =f0g segue que 1(G=H) =f0g, já que 1(G=H) ! 0(H) é injetora pois seu núcleo é a imagem de 1(G) ! 1(G=H). ???
Tem outra demonstração direta??? 2 dec. Levi???? grupos de automor…smos
Capítulo 7
Expansões em séries
— Álgebra universal (junto com Campbell-Hausdor¤, depois de fazer para grupos lineares).— álgebra universal e operadores diferenciais invariantes.
— série de Taylor num grupo de Lie
— Fórmula de Campbell-Hausdor¤. estrutura analítica única num grupo de Lie (C-H)
7.1
Série de Taylor e álgebra envelopante
???????
O que se entende por uma álgebra universal envelopante da álgebra de Lie g é uma álgebra associativa U (g) que “contém”g e tal que toda representação deg se “estende” a uma representação de U (g). De maneira mais formal, uma álgebra associativa U é uma álgebra universal envelopante deg se existe um homomor…smo injetor
i :g ! U
de g a valores na álgebra de Lie cujo colchete é o comutador em U , que satisfaz
i) a imagem i(g) gera U como álgebra associativa e
ii) se : g ! gl(V ) é uma representação de g em V , então existe uma representação ~ : U ! gl(V ) que satisfaz
~ i(X) = (X); 179
180 CAPÍTULO 7. EXPANSÕES EM SÉRIES para todo X 2 g. Aqui, ~ é uma representação de uma álgebra asso- ciativa, isto é, satisfaz
~(XY ) = ~(X)~(Y );
onde o produto do primeiro membro é o produto da álgebra e o do segundo membro é a composta usual de transformações lineares em V . Em outras palavras, U é uma álgebra universal envelopante se para toda representação de g existe uma representação ~ tal que o diagrama
g 6 U (g) - HH HH HHHH j gl(V ) i ~ comuta. ?????
Duas álgebras universais envelopantes são isomorfas como álgebras asso- ciativas. Para ver isso, a primeira coisa que se observa é que o homomor…smo i :g ! U de…ne uma representação de g em U por multiplicação à esquerda:
(X)(a) = i(X)a X 2 g; a 2 U:
O fato de ser uma representação é conseqüência imediata de que i é um homomor…smo. Dessa forma, se i1 : g ! U1 é uma outra álgebra universal
envelopante, então existe uma representação 1 deg em U1que de…ne por sua
vez uma representação ~1 de U em U1. Como 1(g) gera ~1(U ), os elementos
de ~1(U ) são também dados por multiplicação à esquerda em U1. Assim, se
12 U1 denota a unidade de U1, então a aplicação 1 : a2 U 7 ! ~1(a)1
de…ne um homomor…smo de U a valores em U1. Da mesma forma existe
um homomor…smo : U1 ! U. Compondo esses homomor…smos, obtém-se
o homomor…smo 1 de U , que restrito a i(g), é a identidade. Por essa razão, 1 é a identidade mostrando que esses homomor…smos de…nem
7.1. SÉRIE DE TAYLOR E ÁLGEBRA ENVELOPANTE 181 ????
Essa discussão permite considerar como álgebra universal envelopante de g qualquer uma das álgebras envelopantes isomorfas entre si. Uma tal álgebra será denotada genericamente por U (g). Existe, no entanto, uma realização canônica de U (g), que é, na verdade, a utilizada como álgebra universal envelopante de g. Para a construção dessa realização canônica, é conveniente que se façam antes as seguintes considerações sobre ideais e quocientes de álgebras associativas.
Dada uma álgebra associativa A, um ideal à esquerda é uma subálgebra I tal que
ab2 I
se b 2 I e a 2 A. Mesmo que A seja uma álgebra com unidade, não se pede que I contenha a unidade. De maneira semelhante, de…ne-se o que vem a ser um ideal à direita e um ideal bilateral . Este último é um ideal invariante por multiplicações à direita e à esquerda. Como um ideal I é em particular um subespaço de A, é possível formar o espaço quociente A=I. No caso em que I é um ideal bilateral, o produto em A passa ao quociente, de…nindo em A=I o produto
(a + I) (b + I) = ab + I
para a; b 2 A. Esse produto é bem de…nido, pois se a0 e b0 são equivalentes a
a e b, respectivamente, então
ab a0b0 = a(b b0) + (a a0)b0
e como I é um ideal bilateral, o segundo membro dessa expressão está em I. Esse produto de…ne em A=I uma álgebra associativa tal que a projeção canônica
:A ! A=I
é um homomor…smo. Essa de…nição de álgebra quociente requer que I seja bilateral. Em geral, se I é um ideal à esquerda ou à direita mas não bilateral, o produto em A não passa ao quociente. Um exemplo disso pode ser visto na álgebra associativa gl (2) das matrizes 2 2. O subespaço I das matrizes da forma
0 0
182 CAPÍTULO 7. EXPANSÕES EM SÉRIES é um ideal à esquerda, já que essas são as matrizes que anulam o primeiro vetor da base. As matrizes
X = 1 0
0 0 e X
0 = 1 1
0 0 são equivalentes módulo I. No entanto, tomando
Y = 0 0 1 0 ; XY = 0 e X0Y = X e X + I 6= I, já que X =2 I.
Dado um subconjunto C A, o ideal bilateral gerado por C é o menor ideal I desse tipo que contém C. No caso em que A contém elemento unidade, esse ideal coincide com o subespaço gerado por todos os produtos da forma
azb
com a; b 2 A e z 2 C. De fato, I contém todos os produtos desse tipo e, portanto, o subespaço gerado pelos mesmos. Reciprocamente, o subespaço gerado por esses produtos é claramente um ideal bilateral que contém C, pois A é uma álgebra com unidade.
Com esses comentários, a realização canônica da álgebra universal enve- lopante é construída a partir deg seguindo a idéia básica de que U (g) é uma álgebra associativa gerada porg (já que a aplicação i : g ! U(g) é injetora) e, portanto, os elementos de U (g) devem ser justaposições associativas de elementos de g. Dessa forma, considera-se a álgebra associativa livre gerada porg. Essa é a álgebra tensorial
T (g) =X
k k
O g
deg. Seus elementos são combinações lineares …nitas de monômios da forma X1 Xk
com o produto indicando o produto tensorial dos elementos Xi 2 g, i =
1; : : : k, (o símbolo de produto tensorial é omitido tanto por razões de economia de notação quanto para enfatizar que o produto é obtido por justaposição –formal –dos elementos de g). A álgebra T (g) é uma álgebra
7.1. SÉRIE DE TAYLOR E ÁLGEBRA ENVELOPANTE 183 associativa que contém e é gerada por g. No entanto, a inclusão g ,! T (g) não é um homomor…smo de g a valores na álgebra de Lie de…nida em T (g) pelo comutador. Isso porque, para X; Y 2 g, XY Y X é diferente de [X; Y ], pois o primeiro é um elemento de ordem dois de T (g), enquanto que o segundo é um elemento deg, isto é, de ordem um. O homomor…smo se con- segue tomando uma álgebra quociente de T (g). Assim, a álgebra universal envelopante pode ser construída como
U (g) = T (g) /I
onde I é o ideal bilateral de T (g) gerado por elementos (não-homogêneos) da forma
XY Y X [X; Y ]2 T (g)
com X; Y 2 g. Os elementos dessa álgebra quociente são representados, da mesma forma, por combinações lineares de monômios do tipo X1 Xk
(representantes em T (g)) com a diferença que em U(g) existem igualdades entre elementos não-homogêneos. Por exemplo,
X1 XY Xk = X1 Y X Xk+ X1 [X; Y ] Xk
em U (g), mas não em T (g). Os produtos em U(g) são, da mesma forma, dados por justaposição de monômios. Passando ao quociente a inclusão de g em T (g), obtém-se uma aplicação de g em U(g) que é, por construção um homomor…smo quando se considera em U (g) o colchete dado pelo comutador. Essa aplicação deg em U (g) é injetora, pois o ideal I tem interseção nula com g, já que os elementos de I são gerados por elementos de ordem dois ou mais da álgebra tensorial. Por …m, uma representação deg no espaço vetorial V se estende a uma representação ~ de U (g) que é de…nida nos monômios por ~(X1 Xk) = (X1) (Xk): (7.1)
O procedimento para ver que ~ é de fato uma representação é o seguinte: em primeiro lugar, estende-se à álgebra tensorial T (g). Isso é possível, pois T (g) é a álgebra associativa livre gerada por g e, portanto, qualquer aplicação de g a valores numa álgebra associativa se estende a um homomor…smo de T (g). Feito isso, o fato de que é uma representação de álgebra de Lie garante que o ideal I de…nido acima está contido no núcleo da representação de T (g). Passando ao quociente, isso de…ne uma representação de U(g), que nos monômios é dada por ~ como acima.
184 CAPÍTULO 7. EXPANSÕES EM SÉRIES Essa realização de U (g) como combinações lineares …nitas de monômios nos elementos de g em que se identi…ca XY Y X com [X; Y ] é a que é utilizada sempre como álgebra universal envelopante deg.
Um resultado central sobre as álgebras universais envelopantes é o teo- rema de Poincaré-Birkho¤-Witt. Esse teorema, de natureza puramente com- binatória, fornece bases de U (g) ordenando os monômios de acordo com ordens em bases de g da mesma forma que nos dois exemplos anteriores. Explicitamente, tem-se
Teorema 7.1 (Poincaré-Birkho¤-Witt) Seja g uma álgebra de Lie (de di- mensão …nita ou não) e fXigi2J uma base de g ordenada por uma ordem no
conjunto dos índices J . Então, os monômios do tipo
Xi1 Xik i1 ik (7.2)
formam uma base de U (g). Em particular, se dim g < 1 e =fX1; : : : ; Xng
é uma base ordenada deg, então os monômios Xm1
1 X mn
n
com mi 0 formam uma base de U (g).