Seja G um grupo. Se H G é um subgrupo então H age à direita em G. Essa ação é livre, as órbitas são as classes laterais gH e o espaço das órbitas
4.5. EXERCÍCIOS 133 é G=H. No caso em que G é grupo de Lie e H é um subgrupo fechado então a partir da construção feita anteriormente da estrutura de variedade diferenciável em G=H, prova-se que a projeção canônica : G! G=H de…ne um …brado principal diferenciável.
Proposição 4.25 Sejam G um grupo de Lie e H Gum subgrupo fechado. Então, G ! G=H é um …brado principal com grupo estrutural H.
Demonstração: Falta apenas veri…car a condição de trivialidade local. Para isso serão usadas as notações envolvidas no teorema 4.6. Foram con- struídas cartas locais em G=H como a restrição de aos conjuntos da forma geV. Se Vgdenota a imagem de uma carta dessas então os elementos de Vg
são da forma lH com l = geY
, Y 2 V . Então, a aplicação lH 7! geY é uma
seção diferenciável de G ! G=H, concluíndo a demonstração. 2 Sejam G um grupo e H1 H2 subgrupos de G. Então, existe uma
aplicação sobrejetora natural G=H1 ! G=H2, que associa à classe lateral gH1
a classe lateral gH2, que contém gH1. Essa aplicação é de fato a projeção de
um …brado associado, como mostra a seguinte construção.
Proposição 4.26 Sejam G um grupo de Lie e H1 H2 subgrupos fecha-
dos de G. Então G=H1 é um …brado sobre G=H2 com a projeção canônica
G=H1 ! G=H2, dada por gH1 7! gH2. Se H1 é normal em H2 então
G=H1 ! G=H2 é um …brado principal.
Demonstração: Pela proposição 4.23 o …brado associado G H2 H2=H1
se identi…ca ao quociente da ação à direita de H1 em G, isto é, se identi…ca
a G=H1. Ainda pela proposição 4.23 a projeção : G=H1 ! G=H2 leva
a classe lateral à direita gH1 em G=H1 na projeção de g em G=H2, isto é,
(gH1) = gH2. Por …m, se H1 é normal em H2 então a ação de H2 em
H2=H1 provém do homomor…smo canônico H2 ! H2=H1. Portanto, a úl-
tima a…rmação segue da proposição 4.24. 2
4.5
Exercícios
134 CAPÍTULO 4. GRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES 1. Sejam G um grupo de Lie conexo e H um subgrupo fechado. Seja tam- bém K um subgrupo compacto e suponha que dim K dim (K\ H) = dim G=H. Mostre que K age transitivamente em G=H.
2. Dados um grupo de Lie G e dois subgrupos H; L Gcom H fechado, mostre que L tem uma órbita aberta em G=H e, se só se, existe g 2 G tal queg = h + Ad (g) l, onde g, h e l são as álgebras de Lie de G, H e L, respectivamente.
3. Sejam G um grupo de Lie conexo e H; K G dois subgrupos tais que H é fechado e K é compacto. Denote porg, h e k as álgebras de Lie de G, H e K respectivamente. Mostre que se g = h + k então G = HK. Faça o mesmo assumindo que g = h + Ad (g) k, para algum g 2 G. 4. Com as notações do exercício anterior, suponha que H \ K = f1g
e que g = h Ad (g)k para todo g 2 G. Mostre que a aplicação (h; k)2 H K 7! hk 2 G é um difeomor…smo.
5. Use o exercício anterior para mostrar que Sl (n; R) = T SO (n) = SO (n) T onde T é o subgrupo das matrizes triangulares superiores cujas entradas diagonais são > 0. Interprete a decomposição Sl (n; R) = SO (n) T , aplicando o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt às colunas de uma matriz.
6. Prove que gé integrável, mostrando que a aplicação x : G=Hx ! M,
de…nida por x(gHx) = gx é uma imersão, que de…ne uma variedade
integral de g, que passa por x.
7. Sejam G um grupo de Lie e H Gum subgrupo fechado. Mostre que se f : G=H ! M é uma submersão então f : G ! M também é submersão, onde : G! G=H é a projeção canônica.
8. Sejam G um grupo de Lie e H G um subgrupo fechado. Suponha que H contenha um subgrupo L, que é fechado e normal em G. Mostre que existe um difeomor…smo : G=H ! (G=L) =L tal que para todo g 2 G e x 2 G=H, vale (gx) = (g) (x), onde : G ! G=L é a projeção canônica.
9. Um “‡ag” de subespaços de Rn é uma família de subespaços f =
4.5. EXERCÍCIOS 135 fr1; : : : ; rkg com 0 < r1 rk n, denote por Fn(r) o conjunto
de todos os ‡ags f = (V1 Vk)com dim Vi = ri.
Mostre que Gl (n; R) age transitivamente em Fn(r), estabelecendo uma
bijeção entre Fn(r)
com o espaço homogêneo Gl (n; R) =Q, onde Q é algum grupo de isotropia. Determine Q e mostre que Q é fechado. Conclua que Fn(r)é uma variedade diferenciável.
Mostre que os subgrupos Sl (n; R) e SO (n) agem transitivamente em Fn(r)
e escreva Fn(r)
como espaços homogêneos Sl (n; R) =P e SO (n) =M. Conclua que Fn(r)é compacto. (Sugestão: para SO (n) use o exercício 1.)
10. Faça o mesmo que o exercício anterior para o caso dos ‡ags com- plexos, isto é, formados por subespaços de Cn
. Substitua Gl (n; R) por Gl (n; C), Sl (n; R) por Sl (n; C) e SO (n) por SU (n).
11. Seja uma base ordenada de Cn. A subálgebra de Borel de
sl (n; C) de…nida por é a subálgebrab cujos elementos são as transformações lineares, que escritas na base são triangulares superiores. Denote por B = fb : é baseg o conjunto das subálgebras de Borel. Mostre que Sl (n; C) age transitivamente em B e veri…que que, como espaço homogêneo, B coincide com Fn
C(r) onde r = (1; 2; : : : ; n 1).
12. Use ações transitivas de gupos para construir topologias e estruturas diferenciáveis nos seguintes conjuntos:
(a) Conjunto das bases de Rn.
(b) Conjunto das bases ordenadas de Rn.
(c) Conjunto das bases ortonormais de Rn (em relação a um produto
interno …xado).
(d) Conjunto dos produtos internos de Rn.
(e) Conjunto das estruturas complexas em R2n (isto é, aplicações li-
neares J : R2n ! R2n tais que J2 = id).
(f) Conjunto das formas simpléticas em R2n (isto é, formas bilineares
anti-simétricas e não degeneradas).
136 CAPÍTULO 4. GRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES (h) Conjunto dos elementos conjugados a um elemento x de um grupo
de Lie G (isto é, fgxg 1 : g
2 Gg).
13. Sejam G um grupo de Lie e H Gum subgrupo fechado. Mostre que se G=H é simplesmente conexo então H é conexo.
14. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Duas subálgebras h1;h2 g são ditas G-conjugadas se existe g 2 G tal que Ad (g) h1 =h2.
Construa uma estrutura diferenciável no conjunto das subálgebras G- conjugadas a uma subálgebra de Lieh g dada.
15. Dados um grupo de Lie G e H Gum subgrupo fechado, suponha que G=H seja compacto. Denote porh a álgebra de Lie de H e mostre que o conjunto das subálgebras G-conjugadas ah (veja o exercício anterior) é compacto.
16. Seja K um grupo compacto e K M ! M uma ação diferenciável de K na variedade conexa M . Dado x0 2 M suponha que a órbita
K x0 tenha dimensão > 0. Mostre que se a representação isotrópica
em Tx0M é irredutível então M é compacta.
17. Este exercício apresenta um caso em que a decomposição do lema 4.1 é global. Seja G = Gl (n; R) e K = O (n). Denote por e o espaço das matrizes simétricas n n. Mostre que a aplicação : e K ! G dada por (X; k) = eXk é um difeomor…smo. Faça o mesmo com G = Sl (n; R) e K = SO (n).
18. Use a fórmula g eX =(Ad (g) X)^ para mostrar, diretamente a partir da de…nição de colchete de Lie, que a aplicação X 7! eX é um homomor- …smo de álgebras de Lie, isto é, ^[X; Y ] = [ eX; eY ].
19. Seja G M ! M uma ação diferenciável do grupo de Lie na variedade M. Denote por g a álgebra de Lie de G e tome uma curva contínua A : (a; b) R ! g. Essa curva de…ne a equação diferencial, dependente do tempo, _x = ]A (t) (x) em M . Mostre que as soluções dessa equação diferencial são dadas por (t; s) (x) onde (t; s) 2 G é a solução de
4.5. EXERCÍCIOS 137 20. Descreva as órbitas das representações adjunta e co-adjunta do grupo
de Heisenberg, isto é, o grupo das matrizes 3 3 da forma 0 @ 1 x z 0 1 y 0 0 1 1 A :
21. Descreva as órbitas da representação adjunta do grupo Sl (2; R). 22. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e denote por g o dual
de g. Considere a representação co-adjunta de G em g . Tome 2 g e veri…que que a álgebra de isotropia da órbita G de é dada por
g = fX 2 g : ad (X) = 0g:
Fixando 2 g de…na a forma bilinear anti-simétrica ! (X; Y ) = [X; Y ], X; Y 2 g. Mostre que se e g é um subespaço complementar a g , isto é, g = e g , então a restrição de ! a e é não degenerada (isto é, se ! (X; Y ) = 0 para todo Y 2 e então X = 0). Conclua que as órbitas da representação co-adjunta têm dimensão par.
23. Sejam G um grupo de Lie e : G! G um automor…smo de G. Mostre que o conjunto dos pontos …xos H = fx 2 G : (x) = xg é um subgrupo de Lie de G.
Suponha, por outro lado, que é involutiva, isto é, 2 = id e considere a aplicação xH 2 G=H 7! x (x 1)2 G. Mostre que essa aplicação é uma imersão injetora.
24. Seja G M ! M uma ação analítica do grupo de Lie G (analítico) na variedade analítica conexa M . Denote por k o máximo das dimensões das órbitas de G. Mostre que o conjunto dos pontos x 2 M tais que dim (G x) = k é um conjunto aberto e denso de M .
25. Mostre que se G M ! M é uma ação diferenciável do grupo de Lie Gna variedade diferenciável M então a função x 7! dim (G x) é semi- contínua inferiormente, isto é, para todo b 2 R o conjunto fx 2 M : dim (G x) > bg é aberto.
26. Dada uma ação diferenciável G M ! M do grupo de Lie G na variedade diferenciável M , seja G x uma órbita de G. Veri…que que
138 CAPÍTULO 4. GRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES o fecho G x é um conjunto G-invariante e, portanto, uma união de G-órbitas. Mostre que, para todo y 2 G x, sua órbita G y satisfaz dim (G y) dim (G x). Dê exemplos de ações em que dim (G y) = dim (G x) para algum y 2 G x. Dê também exemplos de ações em que dim (G y) < dim (G x) para todo y 2 G x.
27. Seja G M ! M uma ação diferenciável do grupo de Lie G na var- iedade diferenciável M . De…na em M a relação de equivalência dada pelas G-órbitas: x y se, e só se, y = gx para algum g 2 G. As- suma que a ação de G é livre e construa, no espaço das órbitas M= , uma estrutura de variedade diferenciável, cuja topologia é a topologia quociente e tal que a projeção canônica M ! M= é uma submersão. 28. Dada uma ação diferenciável G M ! M tome x 2 M e seja Gx o
grupo de isotropia. Mostre que a aplicação g 2 Gx 7! (dg)x é uma rep-
resentação de Gx em TxM. Encontre sua representação in…nitesimal,
em termos dos campos eX (para isso use o exercício 3 do apêndice A). 29. Sejam G um grupo de Lie e H1 H2 subgrupos fechados. Mostre
que se G=H2 e H2=H1 são compactos então G=H1 é compacto. Faça o
mesmo substituindo “compacto” por “conexo”.
30. Dados um grupo de Lie G e G um subgrupo discreto e normal considere o grupo quociente G= e a projeção canônica : G ! G= . Mostre que se 1 G= é um sugrupo discreto de G= então 1( 1)
é um sugrupo discreto de G.
31. Dados um grupo de Lie G e um subgrupo fechado Gsuponha que : ! H seja um homomor…smo diferenciável no grupo de Lie H. A partir do …brado principal G ! G= , construa, como na proposição 4.24, o …brado principal G H sobre G= . Mostre que se se estende a um homomor…smo diferenciável G ! H então G H é um …brado trivial.
32. Seja : Q ! X um …brado principal com grupo estrutural G. Um endomor…smo de Q é uma applicação : Q! Q que satisfaz (p g) = (p) g, p 2 Q, g 2 G. Veri…que que leva …bras em …bras e, portanto, de…ne uma aplicação [ : X ! X por [( (p)) = p ( [(p)). Mostre
4.5. EXERCÍCIOS 139 p f (p) e f (p g) = g 1f (p) g (isto é, f de…ne uma seção do …brado
Capítulo 5
Homomor…smos e
Recobrimentos
Os resultados sobre subgrupos de Lie demonstrados anteriormente permitem obter diversas informações sobre homomor…smos entre grupos de Lie. A idéia aqui é que o grá…co de um homomor…smo : G! H é um subgrupo do grupo produto G H isomorfo a G através da projeção 1 : G H ! G, 1(x; y) =
x, e vice-versa, se o grá…co de uma aplicação é um subgrupo então é homomor…smo. Caso o homomor…smo seja contínuo ou diferenciável, o seu grá…co tem propriedades topológicas ou diferenciáveis. Uma das aplicações obtidas é a demonstração de que qualquer homomor…smo entre as álgebras de Lie se “estende” aos grupos caso o domínio seja simplesmente conexo. Juntando essas extensões com a construção de uma estrutura de grupo de Lie no recobrimento universal de um grupo dado se obtém uma descrição dos grupos de Lie conexos a partir dos simplesmente conexos. As classes de isomor…smos dos grupos conexos e simplesmente conexos estão em bijeção com as classes de isomor…smos das álgebras de Lie de dimensão …nita.
5.1
Homomor…smos
5.1.1
Imersões e submersões
Seja : G ! H um homomor…smo diferenciável. Então, é de posto constante, pois para todo g 2 G, vale Eg = E (g) o que acarreta
d g = d E (g) 1 (d )1 d (Eg 1)
g:
142 CAPÍTULO 5. HOMOMORFISMOS E RECOBRIMENTOS Por outro lado, ker é um subgrupo de Lie (fechado).
Proposição 5.1 A álgebra de Lie de ker é o ideal ker (d )1.
Demonstração: Seja g a álgebra de Lie de G e denote por k a álgebra de Lie de ker . Tome X 2 g. Como para todo t 2 R, vale (exp tX) = exp (d )1(tX) = 1, segue que (exp tX) = 1se, e só se, (d )1(tX) = 0. Isto é, X 2 ker se, e só se, X 2 k. 2 Pelo fato de ter posto constante é uma imersão se d 1 é injetora, isto é, se ker =f0g. Nesse caso, ker é um subgrupo discreto. Vice-versa se ker é um subgrupo discreto então é uma imersão pois, nesse caso, ker =f0g. Em particular, se ker =f1g então é uma imersão.
Corolário 5.2 Seja : G ! H um homomor…smo diferenciável e injetor entre grupos de Lie. Então, é uma imersão e sua imagem é um subgrupo de Lie de H.
(Para a última a…rmação deste corolário veja a proposição 3.24.)
Em geral, para homomor…smos não necessariamente injetores, vale o se- guinte teorema de isomor…smo.
Proposição 5.3 Sejam G e H grupos de Lie e : G ! H um homomor- …smo diferenciável. Então, G= ker é um grupo de Lie. Seja e (g ker ) =
(g) o homomor…smo que torna o diagrama G ! im H # e%
G= ker
comutativo (onde : G ! G= ker é o homomor…smo canônico). Então, e é uma imersão injetora em H, o que implica que im é um subgrupo de Lie de H isomorfo a G= ker .
Demonstração: O fato de que G= ker é grupo de Lie foi provado no capítulo 4 ( veja a proposição 4.8). A diferenciabilidade de e (em relação à estrutura quociente) é consequência da proposição 4.7, já e = é difer- enciável. Por …m, por de…nição e é aplicação injetora, o que implica que sua
5.1. HOMOMORFISMOS 143 imagem é subgrupo de Lie isomorfo a G= ker . 2 Já a sobrejetividade de um homomor…smo diferenciável ocorre, essenci- almente, só nos casos em que o homomor…smo for uma submersão, como mostram as proposições a seguir.
Proposição 5.4 Seja : G! H um homomor…smo diferenciável e suponha que a componente da identidade H0 de H está na imagem de . Suponha
também que G tem no máximo uma quantidade enumerável de componentes conexas (ou que G é completamente separável). Então, (d )1 é sobrejetora, o que implica que é uma submersão.
Demonstração: Seja G0 a componente da identidade de G. Então,
H0
S
g2G (gG0) =
S
g2G (g) (G0). Pelo teorema de Baire pelo menos
um dos conjuntos (g) (G0)\ H0 tem interior não vazio. Como essas com-
ponentes são isomorfas, todas as que interceptam H0 têm interior não vazio.
Em particualar, (G0) é um subgrupo de interior não vazio em H0 e, por-
tanto, (G0) = H0. Portanto, pela proposição anterior, H0 é isomorfo a
G0= ker \ G0, através do isomor…smo e. Isso implica que de
1 é subreje-
tora e, portanto, que (d )1 é sobrejetora, concluíndo a demonstração. 2 A reciproca da proposição anterior é uma consequência imediata do teo- rema da aplicação aberta.
Proposição 5.5 Seja : G ! H um homomor…smo diferenciável entre grupos de Lie. Suponha que d 1 é sobrejetora. Então, é uma aplicação
aberta e H0 im .
Demonstração: O teorema da aplicação aberta garante que se d 1 é
sobrejetora então existe uma vizinhança aberta U da identidade tal que a restrição de a U é uma aplicação aberta. Em particular, (U ) é aberto e, portanto, a imagem de é um subgrupo de interior não vazio. Mas, por hipótese H é conexo e daí que a imagem de coincide com H.
Seja V G um aberto e tome x 2 V . Então, existe um aberto W U tal que xW V. Como é homomor…smo, (xW ) = (x) (W ). Mas, por construção de U , (W )é aberto e daí que (x) (W )é um aberto contendo (x) e contido em (V ), mostrando que (V ) é aberto e, portanto, é
144 CAPÍTULO 5. HOMOMORFISMOS E RECOBRIMENTOS
aplicação aberta. 2
Quando o homomor…smo é tanto uma imersão quanto uma submersão, ele apresenta a propriedade topológica interessante de ser uma aplicação de recobrimento.
Uma aplicação f : A ! B é um recobrimento se para todo x 2 B existe uma vizinhança V 3 x tal que a restrição de f a cada componente conexa C de f 1(V )é um homeomor…smo entre C e V .
Proposição 5.6 Sejam G e H grupos de Lie, com álgebras de Lie g e h respectivamente. Seja : G ! H um homomor…smo sobrejetor e suponha que é um difeomor…smo local, isto é, (d )1 g ! h é um isomor…smo de álgebras de Lie. Então, é uma aplicação de recobrimento.
Demonstração: Sejam U0 G e V0 H vizinhanças conexas das identi-
dades tal que a restrição : U0 ! V0 é difeomor…smo. Tome uma vizinhança
U U0 tal que U 1 = U e U2 U0. Então,
1(V ) = (ker ) U:
De fato, seja g 2 1(V ), isto é, (g)2 V . Como é uma bijeção entre U e V , existe g1 2 U tal que (g1) = (g). Portanto,
gg11 = (g) (g1) 1 = 1;
isto é, x = gg11 2 ker . Daí que g = xg1 2 (ker ) U e 1(V ) (ker ) U.
Reciprocamente, (xg) = (g)2 V se g 2 U e x 2 ker . De maneira mais geral, para todo h 2 H,
1(hV ) = 1
fhg (ker ) U: (5.1) De fato, dado g 2 1(hV ), tome a 2 1fhg. Então,
a 1g = a 1 (g) = h 1 (g)2 V; e daí que a 1g
2 U ker , isto é, g 2 1fhgU ker . Por outro lado, dados a2 1(h), b 2 U e c 2 (ker ),
5.1. HOMOMORFISMOS 145 estabelecendo a igualdade (5.1). O segundo membro dessa igualdade pode ser escrito da seguinte maneira: para todo a 2 1fhg, 1fhg (ker ) = a ker . De fato, se b 2 1fhg então (ba 1) = (b) (a) 1
= 1, isto é, b 2 a ker . Portanto, para qualquer a 2 1fhg,
1(hV ) = a (ker ) U = [ g2ker
agU:
Cada aberto agU que aparece nessa união é homeomorfo a U e, portanto, a V e hV . Esses conjuntos são conexos, assim para demonstrar a propriedade de recobrimento de basta mostrar que eles são dois a dois disjuntos. Suponha que z 2 ag1U\ ag2U com g1; g2 2 ker . Então,
z = ag1u1 = ag2u2
com u1; u2 2 U, isto é, g21g1 = u2u11. Mas U 1 = U e U2 U0. Portanto
u2u11 2 U0 \ ker . Como a restrição de a U0 é uma bijeção, segue que
g2 = g1 e os abertos coincidem se eles tem intersecção não vazia. Portanto, 1(hV ) é união disjunta de abertos conexos cada um deles homeomorfo a
hV, mostrando que é uma aplicação de recobrimento. 2
Corolário 5.7 Suponha que o homomor…smo diferenciável : G ! H é uma imersão. Então, : G! im é uma aplicação de recobrimento.
Como complemento à proposição deve-se observar que nem todo difeo- mor…smo local é uma aplicação de recobrimento. Pro exemplo,
5.1.2
Grá…cos e diferenciabilidade
Dados os grupos G e H o produto cartesiano G H é um grupo com o produto de…nido componente a componente: (g; x) (h; y) = (gh; xy), g; h 2 G e x; y 2 H. As projeções 1 : G H ! G e 2 : G H ! H são
homomor…smos.
O grá…co graf de uma aplicação : G! H é o conjunto dos elementos da forma (x; (x)) com x 2 G. Como (x; (x)) (y; (y)) = (xy; (x) (y)), a aplicação é um homomor…smo de grupos se, e só se, o seu grá…co é um subgrupo de G H.
146 CAPÍTULO 5. HOMOMORFISMOS E RECOBRIMENTOS Quando isso ocorre, os grupos G e graf são isomorfos, já que a aplicação
l : x 2 G 7! (x; (x)) 2 graf
é um isomor…smo. A inversa de l é a projeção p : graf ! G, p (x; (x)) = x, que é a restrição ao grá…co da projeção 1 na primeira coordenada.
Reciprocamente, um subgrupo G H é o grá…co de um homomor- …smo : G ! H se, e só se, a restrição de 1 a é um isomor…smo. Nesse
caso = 2 l.
No contexto topológico os grá…cos dos homomor…smos contínuos são ca- racterizados através dos subgrupos fechados.
Proposição 5.8 Sejam G e H grupos topológicos tal que H é de Hausdor¤. Uma aplicação : G! H é um homomor…smo contínuo se, e só se, o seu grá…co
graf =f(x; (x)) 2 G H : x2 Gg
é um subgrupo fechado de G H homeomorfo a G, pela projeção p (x; (x)) = x.
Demonstração: Pelos comentários acima só falta veri…car que a con- tinuidade é equivalente a que o grá…co seja fechado e homeomorfo a G. Mas, isso vale para aplicações em geral. (Se é contínua então l (x) = (x; (x)) é um homeomor…smo cuja inversa é p (x; (x)) = x. Além do mais, seja : G H ! H H a aplicação dada por (x; y) = ( (x) ; y). Então graf = 1( H), onde H = f(y; y) 2 H H : y 2 Hg é a diagonal de
H H. Essa diagonal é fechada se, e só se H é de Hausdor¤. Portanto, graf é fechado. Reciprocamente, se o grá…co é fechado e homeomorfo ao domínio então (F G)\ graf é um fechado de graf para todo fechado F H. Segue que 1(F ) = 1((F G)\ graf ) é fechado em G e, portanto, é
contíua.) 2
Um critério semelhante vale para os homomor…smos diferenciáveis. Proposição 5.9 Sejam G e H grupos de Lie. Uma aplicação : G! H é um homomor…smo diferenciável se, e só se, o seu grá…co
graf =f(x; (x)) 2 G H : x2 Gg
é um subgrupo de Lie fechado de G H difeomorfo a G, pela projeção p (x; (x)) = x.
5.1. HOMOMORFISMOS 147 Demonstração: Assim como no caso contínuo basta considerar a questão da diferenciabilidade. Por um resultado geral sobre aplicações entre var- iedades, é diferenciável se, e só se, seu grá…co é uma subvariedade mergul- hada e fechada, difeomorfa ao domínio (pela projeção na primeira coorde- nada). Por isso se é diferenciável então graf é subgrupo de Lie. 2 No caso de um homomor…smo diferenciável a álgebra de Lie de seu grá…co graf é o grá…co graf (d )1 de (d )1, que é o espaço tangente a graf no elemento neutro (1; 1). Esse grá…co é uma subálgebra por ser o grá…co de um homomor…smo de álgebras de Lie.
As proposições acima, combinadas com o teorema do subgrupo fechado, fornecem o fato, bastante relevante, de que os homomor…smos contínuos entre grupos de Lie são, na verdade, diferenciáveis.
Teorema 5.10 Sejam G e H grupos de Lie e : G! H um homomor…smo contínuo. Então, é diferenciável.
Demonstração: Como é continuo, seu grá…co graf é um subgrupo fe- chado de G H homeomorfo a G (pela proposição 5.8). Portanto, graf é um subgrupo de Lie de G H, e daí que é uma subvariedade mergulhada. Seja p : graf ! G a projeção. Então, p é um isomor…smo de grupos e é diferenciável, por ser a restrição a uma subvariedade de uma aplicação diferenciável. Pelo corolário 5.2, p é uma imersão e graf é isomorfo à sua imagem G. Portanto, é diferenciável pelo critério da proposição anterior. 2
Exemplo: O teorema acima é uma generalização ampla do fato de que os homomor…smos contínuos do grupo aditivo R são diferenciáveis. Para esse caso pode-se dar a seguinte demonstração elementar: se : R ! R é um ho- momor…smo então para todo inteiro n 2 Z, (n) = n (1) e (1) = n (1=n), isto é, (1=n) = 1=n (1). Isso implica que é linear quando R é visto como espaço vetorial sobre Q, isto é, (p=q) = p=q (1). Se além do mais é con- tínuo então ele é linear também sobre R. Em particular, é diferenciável. 2
5.1.3
Extensões
O teorema 5.10 explorou a propriedade de subgrupo do grá…co de um ho- momor…smos, juntamente com o teorema do subgrupo fechado. O próximo
148 CAPÍTULO 5. HOMOMORFISMOS E RECOBRIMENTOS passo é explorar a mesma propriedade, levando em conta agora construção de subgrupos conexos a partir das subálgebras de Lie. O que se obtém daí são “extensões” de homomor…smos de álgebras de Lie a homomor…smos de grupos de Lie. Em geral essas extensões só podem ser feitas localmente. O caso global só funciona com a hipótese de que o domínio é simplesmente conexo.
Sejamg e h álgebras de Lie. Da mesma forma que para aplicações entre grupos, uma aplicação : g ! h é um homomor…smo se, e só se, o seu grá…co é uma subálgebra da álgebra produto g h. Reciprocamente, um subespaçov de g h é o grá…co de um homomor…smo :g ! h se, e só se, v é uma subálgebra isomorfa a g pela projeção g h, restrita a v. O grá…co do homomor…smo será denotado por g ( ).
Suponha agora que g e h são as álgebras de Lie dos grupos de Lie G e H, respectivamente. Entãog h é a álgebra de Lie de G H. Seja G ( ) = hexp g ( )i o único subgrupo de Lie conexo de G H cuja álgebra de Lie é