O produto semi-direto de dois grupos é uma construção que generaliza o produto direto e é bastante utilizada na descrição dos grupos de Lie simples- mente conexos. Os ingredientes dessa construção são dois grupos G e H e um homomor…smo diferenciável : G! Aut (H). Cada par (g; h) 2 G H de…ne duas aplicações a…ns de H uma à esquerda e outra à direita, dadas por h (g) (x) e (g) (x) h, x 2 H. Através da composta dessas aplicações a…ns se obtém duas estruturas de grupo em G H, que se denomina de produto semi-direto (à esquerda ou à direita) de G e H de…nido por . Os produtos são dados explicitamente por
1. (g1; h1) (g2; h2) = (g1g2; h1 (g1) (h2)).
2. (g1; h1) (g2; h2) = (g1g2; (g1) (h2) h1).
Em ambos os casos o elemento neutro é (1; 1) e a inversa é (g; h) 1 = g 1; g 1 h 1 :
O produto semi-direto é denotado por G H (ou por G e H e G dH se
for necessário distinguir o produto à esquerda e à direita, respectivamente). Como é um homomor…smo diferenciável, os produtos dados acima são diferenciáveis e, portanto, o produto semi-direto de grupos de Lie é grupo de Lie.
Um caso particular do produto semi-direto é evidentemente o grupo a…m de AfH, que é o produto semi-direto AutH id H. Outro caso particular
se obtém quando é constante igual a id. O produto semi-direto se reduz então ao produto direto G H dos grupos G e H (isso se for considerado o
6.3. PRODUTO SEMI-DIRETO 173 produto à esquerda, pois no produto a diretia aparece G H_, onde H_ é o
grupo de…nido pela multiplicação (h1; h2)7! h2h1.
Qualquer produto semi-direto G Hcontém cópias de suas componentes: o subconjunto G f1g G H é um subgrupo isomorfo a G enquanto que f1g H é um subgrupo isomorfo a H, que é normal em G H. Em geral, G f1g não é normal. Aliás, um cálculo simples com conjugações mostra que G f1g é normal no produto semi-direto se, e só se, 6= id, isto é, o produto é direto. Os subgrupos G f1g e f1g H são denotados apenas por G e H, respectivamente. Eles são subgrupos de Lie por serem fechados. A álgebra de Lie de um produto semi-direto G H é dado pelo produto semi-direto de suas álgebras de Lie, como é de…nido a seguir.
De…nição 6.10 Sejam g e h álgebras de Lie e : g ! Der (h) um homo- mor…smo de álgebras de Lie. O produto semi-direto g h é a álgebra de Lie em g h dada pelo colchete
[(X1; Y1) ; (X2; Y2)] = ([X1; X2]; (X1) Y2 (X2) Y1 + [Y1; Y2]) :
Dado um produto semi-direto G H sejamg e h as álgebras de Lie de G e H, respectivamente. O homomor…smo : G! AutH é diferenciável e sua diferencial = d 1 no elemento neutro é um homormor…smo :g ! aut (H)
das álgebras de Lie correspondentes. Porém, aut (H) é uma subálgebra da álgebra das derivações Der (h). Faz sentido então escrever o produto semi- direto g h com = d 1.
Proposição 6.11 A álgebra de Lie G H é g h onde = d 1.
Demonstração: A demonstração é análoga ao cálculo, feito acima, do colchete na álgebra de Lie do grupo a…m AfG: g e h são subálgebras de Lie e para determinar um colchete do tipo [(X; 0) ; (0; Y )] deve-se derivar a conjugação
Cexp t(X;0) es(0;Y ) = 1; etX esY :
Essa derivada faz aparecer o homomor…smo e a fórmula do colchete no
produto semi-direto. 2
A construção do produto semi-direto é muito útil para obter os grupos de Lie simplesmente conexos associados a uma determinada álgebra de Lie. Isso porque o grupo simplesmente conexo de um produto g h é o produto
174 CAPÍTULO 6. GRUPOS DE AUTOMORFISMOS semi-direto dos grupos correspondentes. De fato, sejam eGe eHos grupos sim- plesmente conexos com álgebra de Lieg e h respectivamente. O grupo Aut eH é isomorfo a Auth, cuja álgebra de Lie é Der (h). Como eG é simplesmente conexo, o homomor…smo : g ! Der (h) se estende a um homomor…smo : eG! Aut eH, o que permite construir eG H, cuja álgebra de Lie ée g h.
6.4
Exercícios
1. Suponha que uma álgebra de Lieg seja um produto semi-direto, isto é, existem uma subálgebra h e um ideal n tal que g = h n. Denote por eG o grupo conexo e simplesmente conexo associado a g e seja hexp ni o subgrupo conexo com álgebra de Lie n. Mostre que hexp ni é simplesmente conexo.
2. Seja g a álgebra de Lie de Heisenberg, isto é, a álgebra de Lie das matrizes da forma 0 @ 0 x z 0 0 y 0 0 0 1 A x; y; z 2 R:
Encontre as álgebras Der (g) e ad (g) das derivações e derivações inter- nas, respectivamente.
3. Seja G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo. Suponha que H G seja um subgrupo de Lie conexo e normal. Mostre que H é fechado.
4. Seja G um grupo de Lie e denote por End (G) o semigrupo dos en- domor…smos diferenciáveis de G. Veri…que que se G é simplesmente conexo então End (G) é isomorfo ao semigrupo End (g) dos endomor- …smos de g. Descreva End (G) no caso em que G = eG=D não é sim- plesmente conexo.
5. Seja G um grupo de Lie simplesmente conexo com álgebra de Lie g. Uma derivação D 2 Der (g) de…ne um grupo a 1-parâmetro exp tD 2 Aut (G) e, por consequencia, um ‡uxo t em G. Esse ‡uxo de…ne, por sua vez, o campo de vetores eD (x) = dtd t em G denominado de
6.4. EXERCÍCIOS 175 automor…smo in…nitesimal de G. Mostre que eD é obtido, a partir de D, pela seguinte fórmula
e
D (exp X) = d (exp)X(DX) :
6. Seja eDum automor…smo in…nitesimal de um grupo de Lie. Mostre que se X é campo invariante (à direita ou à esquerda) então [ eD; X]também é campo invariante.
7. Dê exemplo de um grupo de Lie conexo, mas não simplesmente conexo G tal que Aut (G) não é conexo.
8. Dado um produto semi-direto G H, sejam g, h e g h as álgebras de Lie de G, H e G H, respectivamente (com = d 1). Escreva a
expressão da exponencial exp (X; Y ), X 2 g, Y 2 h, em termos de e das exponenciais de G e de H.
9. Sejam G um grupo de Lie e D Gum subgrupo discreto. Seja também 2 Aut (G) um automor…smo tal que (D) = D, de tal forma que passa ao quociente a um difeomor…smo de G=D. Suponha que o único ponto …xo de em G seja o elemento neutro e mostre que os pontos …xos de em G=D são isolados.
Aplique o resultado ao caso em que G=D é o toro Tn e mostre que se
1 não é autovalor de g 2 Sl (n; R) então o número de pontos …xos da aplicação induzida em Tn é …nito.
10. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lieg e …brado tangente T G G g. Seja p : G G! G o produto em G. Mostre que a diferencial dp : T G T G ! T G de…ne uma estrutura de grupo de Lie em T G isomorfo ao produto semi-direto G Ad g (com g visto como grupo
abeliano).
11. Seja G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g. Suponha que os únicos ideais de g são os triviais f0g e g e que o centro do grupo Z (G) = f1g. Mostre as seguintes a…rmações:
(a) G é simples como grupo abstrato, isto é, os únicos subgrupos normais de G são f1g e G.
(b) Todo automor…smo de g se estende a um automor…smo de G e conclua que Aut (G) é isomorfo a Aut (g).
176 CAPÍTULO 6. GRUPOS DE AUTOMORFISMOS 1. ???Seja G H um produto semi-direto de grupos de Lie. Escreva os grupos G e H como quocientes de seus recobrimentos universais G = eG=D e G = eH=E. De…na o produto semi-direto eG e He onde e : eG ! Aut eH é o levantamento de . Mostre que G H = eG e
e
H=D G E.
2. ???
3. ??Dado um produto semi-direto P = G H de grupos de Lie, mostre que P=H é um grupo de Lie isomorfo a G.
4. ???Seja g uma álgebra de Lie e denote por r (g) o seu radical solúvel, isto é,r (g) é um ideal solúvel que contém todos os ideais solúveis de g. Mostre que se g 2 Aut (g) então g (r (g)) = r (g).