3.4 Homomor…smos
3.4.2 Representações adjuntas
Existe uma representação natural de um grupo de Lie G em sua álgebra de Lie. Essa representação é construida da seguinte forma: um elemento g 2 G de…ne o automor…smo interno Cg(x) = gxg 1. É claro que Cg(1) = 1,
portanto d (Cg)1 é uma aplicação linear g ! g. Dados g; h 2 G,
Cg Ch(x) = g hxh 1 g 1 = Cgh(x) ;
o que implica que d (Cg)1 d (Ch)1 = d (Ggh)1. Daí que a aplicação g 7!
d (Cg)1 é uma representação de G em g, isto é, um homomor…smo de G em
Gl (g).
De…nição 3.17 A representação adjunta Ad : G ! Gl (g), de G em sua álgebra de Lie g é de…nida por
Ad (g) = d (Cg)1 = d (Eg Dg 1)
74 CAPÍTULO 3. GRUPOS DE LIE E SUAS ÁLGEBRAS DE LIE A representação Ad é uma aplicação diferenciável pois a aplicação J (g; h) é diferenciável (C1) e, portanto, sua diferencial parcial em relação a h é
diferenciável como função de g.
De acôrdo com a proposição 3.16, para qualquer g 2 G, Ad (g) = d (Cg)1 é
um homomor…smo deg (na verdade um automor…smo, uma vez que Ad (g) 1 = Ad (g 1)). Isso signi…ca que a imagem de Ad está contida no grupo dos au-
tomor…smos Aut (g) de g (que é um grupo de Lie como será veri…cado no próximo capítulo).
Uma fórmula bastante utilizada em relações envolvendo a representação adjunta é obtida aplicando a proposição 3.14 a = Cg. Dessa proposição se
obtém que Cg(exp X) = exp (dCg)1(X) , isto é,
g exp (X) g 1 = exp (Ad (g) X) : (3.6) Como Ad é uma representação diferenciável, pode-se considerar sua rep- resentação in…nitesimal, que é uma representação da álgebra de Lie g em si mesma, isto é, um homomor…smo de álgebras de Lieg ! gl (g). Como será demonstrado a seguir, a representação in…nitesimal é nada mais nada menos que a representação adjunta de g, que é de…nida a seguir.
De…nição 3.18 Seja g uma álgebra de Lie. Sua representação adjunta, é a aplicação ad :g ! gl (g) de…nida por
ad (X) (Y ) = [X; Y ]:
A identidade de Jacobi garante que a aplicação ad é de fato um homomor- …smo de álgebras de Lie, onde o colchete emgl (g) é dado pelo comutador.
Uma aplicação linear D :g ! g é denominada derivação, se D[X; Y ] = [DX; Y ] + [X; DY ]:
A propriedade de Jacobi para colchetes em álgebras de Lie garante que as aplicações ad (X), X 2 g, são derivações de g. Elas são denominadas de derivações internas deg.
Proposição 3.19 Seja G um grupo de Lie, com álgebra de Lie g, com o colchete dado pelos campos invariantes à esquerda. Então, a representação in…nitesimal associada à sua representação adjunta Ad é a representação adjunta ad deg. Em outras palavras, valem as fórmulas:
3.4. HOMOMORFISMOS 75 1. d (Ad)1(X) = ade(X), X 2 g.
2. Ad (exp X) = exp (ade(X)).
(O subíndice “e” foi colocado para enfatizar que o colchete é dado pelos campos invariantes à esquerda).
Demonstração: Seja X um campo invariante à esquerda. Então, d (Ad)1(X) é uma aplicação linearg ! g. Para calculá-la, seja Y outro campo invariante à esquerda. Para t 2 R vale
Ad (exp (tX)) (Y ) = d Eexp(tX) Dexp( tX) 1(Y )
= d Dexp( tX) exp(tX) d Eexp(tX) 1(Y ) : Como Y é invariante por translações à esquerda,
d Eexp(tX) 1(Y ) = Y (exp (tX)) :
Agora, o ‡uxo Xt de X é dado por Xt = Dexp(tX). Usando esse ‡uxo a
igualdade acima se reescreve como
Ad (exp (tX)) (Y ) = d (X t)Xt(1)(Y (Xt(1))) :
Derivando esta igualdade em relação a t e usando a fórmula que de…ne o colchete de Lie de campos de vetores chega-se a
d
dt (Ad (exp (tX)) (Y ))jt=0 = [X; Y ] (1) :
Como X e Y são campos invariantes à esquerda, a última igualdade signi…ca que
d
dt(Ad (exp (tX)))jt=0 = ade(X) ;
mostrando que ad é a representação in…nitesimal associada a Ad. A segunda fórmula do enunciado é um caso particular de (3.5), que vale para represen-
tações em geral. 2
Proposição 3.20 Se na proposição anterior forem tomados campos invari- antes à direita então as fórmulas que relacionam as representações adjuntas Ad e ad são dadas por
76 CAPÍTULO 3. GRUPOS DE LIE E SUAS ÁLGEBRAS DE LIE 1. d (Ad)1(X) = add(X), X 2 g e
2. Ad (exp X) = exp ( add(X)).
De fato, [X; Y ]e = [X; Y ]d e, portanto, ade(X) = add(X), X 2 g.
As fórmulas das proposições 3.19 e 3.20 relacionam as representações ad- juntas do grupo e da álgebra de Lie, através da aplicação exponencial. A proposição a seguir segue o mesmo espírito, estabelecendo uma relação entre as conjugações e as adjuntas.
Como foi observado acima, cada Ad (g), g 2 G, é um homomor…smo da álgebra de Lie g. Esses homomor…smos são de fato automor…smos pois Ad (g) 1 = Ad (g 1)
, g 2 G. Portanto, é natural considerar Ad como um homomor…smo de grupos Ad : G ! Aut (g), onde Aut (g) denota o grupo dos automor…smos de g. A imagem de Ad é então um subgrupo de Aut (g). Posteriormente será demonstrado que Aut (g) é um grupo de Lie e que Ad é diferenciável quando considerada como um homomor…smo a valores nesse grupo de Lie.
Já o núcleo ker Ad é um subgrupo fechado de G, pois o Ad é uma aplicação diferenciável e, em particular, contínua, a valores no grupo Gl (g). Em geral, não é possível dizer nada sobre a natureza de ker Ad. Por exemplo, num grupo de Lie é discreto (isto é, dim G = 0), ker Ad = G, isto é, não existe nenhuma restrição para os elementos de ker Ad. No entanto, se G é conexo as fórmulas desenvolvidas acima permitem caracterizar ker Ad.
Proposição 3.21 Seja
Z (G) = fg 2 G : 8h 2 G; gh = hgg
o centro de G. Então, Z (G) ker Ad. Suponha que o grupo de Lie G é conexo. Então ker Ad = Z (G).
Demonstração: É consequência da fórmula
exp (Ad (g) X) = g (exp X) g 1 e do corolário 3.12. Em primeiro lugar, se g 2 Z (G) então
exp (Ad (g) X) = exp X
para todo X 2 g. Mas, exp é um difeomor…smo ao redor da origem, isto é, existe uma vizinhança V g de 0 tal que exp é injetora nessa vizinhança.
3.4. HOMOMORFISMOS 77 Portanto, Ad (g) X = X para todo X 2 V . Isso ímplica que Ad (g) = id pois para todo Y 2 g existe r 2 R tal que rY 2 V e como Ad (g) é linear, segue que Ad (g) Y = Y . Isso mostra que Z (G) ker Ad.
Por outro lado, suponha que G é conexo e seja g 2 ker Ad. Então, Ad (g) X = X para todo X 2 g e daí que
exp (X) = g (exp X) g 1:
Isto signi…ca que g comuta com todos os elementos da forma exp X, X 2 g. Portanto, g comuta com produtos de exponenciais exp (X1) exp (Xs).
Como G é conexo todo elemento de G é um produto de exponenciais, con-
cluindo que ker Ad Z (G). 2
Esta proposição está em concordância com o fato de que o núcleo ker ad da representação adjunta de g é o seu centro
z (g) = fX 2 g : 8Y 2 g; [X; Y ] = 0g:
Será mostrado posteriormente que o centro Z (G) é um subgrupo de Lie de G, cuja subálgebra de Lie é o centro z (g) de g.
Exemplos:
1. Em Gl(n; R), Ad (g) coincide com a conjugação Cg, pois Cg se estende
a uma transformação linear no espaço das matrizes, portando coincide com Ad (g) que é sua diferencial na identidade. Em outras palavras, se X 2 gl (n; R) e g 2 Gl (n; R) então
Ad (g) X = gXg 1:
O centro de Gl (n; R) é o subgrupo das matrizes escalares a 1, 0 6= a 2 R. Apesar de Gl (n; R) ter duas componentes conexas a expressão para Ad (g) con…rma de imediato que Z (Gl (n; R)) = ker Ad.
2. Num grupo abeliano G a representação adjunta é trivial: Ad (g) = id para todo g 2 G, pois Cg = id.
2 A representação dual Ad da representação adjunta Ad é denominada de representação co-adjunta.
78 CAPÍTULO 3. GRUPOS DE LIE E SUAS ÁLGEBRAS DE LIE