Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Dada curva A : (a; b) ! g de…nida no intervalo (a; b) R pode-se de…nir em G a equação diferencial ordinária, dependente do tempo, por translação à direita como
dg
dt = dDg(A (t)) ; (3.7) Em notação mais compacta a equação acima pode ser escrita como _g = A (t) g. Da mesma forma, pode-se escrever a equação obtida por translação à esquerda
dg
dt = dEg(A (t)) = gA (t) : (3.8) Os teoremas de existência e unicidade de soluções se aplicam a essas equações sob condições bastante gerais para A. Isso porque as equações dependem diferenciavelmente de g. Quanto à dependência em relação a t, que provém de A, deve-se assumir que A é mensurável e localmente integrável (em relação à medida de Lebesgue restrita ao intervalo (a; b)), no sentido em que para todo t 2 (a; b) existe " > 0 tal que A ( ) restrita a (t "; t + ") é integrável. Essa condição é satisfeita, por exemplo, no caso em que A é contínua ou contínua por pedaços.
Nessas condições a teoria de existência e unicidade de soluções de equações diferenciais ordinárias garante que, dada uma condição inicial (t0; g0)
(a; b) G existe > 0 e uma única solução : (t0 ; t0+ ) ! G com
(t0) = g0. Essa solução é uma função absolutamente contínua, que tem de-
rivada em quase todos os pontos de (t0 ; t0+ )e nesses pontos a equação é
satisfeita. Além do mais, pela dependência contínua em relação às condições iniciais, pode ser escolhido de tal forma que para todo (t; g) nas vizin- hanças de (t0; g0) a solução com condição inicial (t; g) está de…nida em todo
o intervalo (t0 ; t0+ ).
As equações diferenciais invariantes generalizam as equações de…nidas pe- los campos invariantes à direita e à esquerda e têm propriedades muito semel- hantes às mesmas. Por exemplo, uma translação à direita de uma solução de (3.7) também é solução. De fato, dados (t)com 0(t) = A (t) (t)e g 2 G, de…na (t) = Dg( (t)). Então,
0(t) = dD
3.5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS INVARIANTES 79 isto é, também é solução de (3.7). Da mesma forma, a equação (3.8) é invariante à esquerda.
Em particular, as soluções de ambas equações são obtidas transladando (à direita ou à esquerda, respectivamente) as soluções que passam pelo elemento neutro.
Sendo assim, para cada s 2 (a; b) denote por d(s; t)a solução da equação invariante à direita (3.7) com condição inicial d(s; s) = 1, de…nida num intervalo aberto I (a; b) que contém s. Então, a solução com condição inicial (s; g), g 2 G, é a translação à direita por g: d(s; t) g. Em particular, se g = d(u; s) então, como função de t o produto d(s; t) d(u; s) é uma solução com condição inicial (u; 1). Daí que vale a fórmula
d
(u; t) = d(s; t) d(u; s) : (3.9) Para a equação invariante à esquerda (3.8) a situação é semelhante: se
e
(s; t)é a solução com condição inicial (s; 1) então g e(s; t)é a solução com condição inicial (s; g) e vale a igualdade
e
(u; t) = e(u; s) e(s; t) : (3.10) Note que em particular, qualquer solução com condição inicial (s; g), g 2 G, tem o mesmo intervalo maximal de de…nição. O objetivo agora é provar que esse intervalo maximal coincide com o intervalo (a; b) aonde A está de…nido. Isso generaliza a proposição 3.7.
Proposição 3.22 Seja A : (a; b) ! g uma curva mensurável e localmente integrável. Então, para todo t0 2 (a; b) e g0 2 G, existe uma única solução
: (a; b)! G de (3.7), de…nida em todo o intervalo (a; b), tal que (t0) = g0.
O mesmo resultado vale para (3.8).
Demonstração: Tome c 2 (a; b) e suponha, para …xar as idéias que t0 < c.
Deve-se mostrar que a solução t 7! d(t0; t) se prolonga até c. Para isso,
observe que para cada s 2 [t0; c]existe s > 0 tal que a solução com condição
inicial (s; 1) está de…nida no intervalo (s s; s + s). Por compacidade exis-
tem …nitos elementos s1 < < sk tal que t0 = s1, c = sk e para cada i a
solução d(si; t) se prolonga até si+1. Aplicando, reitradamente, a fórmula
(3.9) obtém-se então que
d(t
0; c) = d(sk 1; c) d(s1; s2) d(t0; s1)
80 CAPÍTULO 3. GRUPOS DE LIE E SUAS ÁLGEBRAS DE LIE
3.6
Exercícios
1. Mostre que um campo de vetores invariante à direita X no grupo de Lie G também é invariante à esquerda se, e só se, Ad (g) X = X para todo g 2 G. Mostre também que se G é conexo então isso ocorre se, e só se, exp tX 2 Z (G) para todo t 2 R.
2. Num grupo de Lie G considere um novo produto g h = hg. Denote por G o grupo com esse produto. Mostre que G ainda é um grupo de Lie, isomorfo a G. Como se relacionam os campos invariantes em G e G ?
3. Dê exemplo de um grupo de Lie cuja variedade subjacente é difeomorfa a algum Rn, mas o produto não é abeliano.
4. Uma aplicação a…m de um espaço vetorial V real é uma aplicação da forma g (x) = P x + v com P : V ! V linear e v 2 V . Veri…que que g é inversível se, e só se, P é inversível. Mostre que o grupo Af (V ) das aplicações a…ns inversíveis é um grupo de Lie se dim V < 1. Descreva os campos invariantes em Af (V ) e a álgebra de Lieaf (V ) de Af (V ). 5. Descreva as conjugações e as adjuntas no grupo a…m Af (n) = Af (Rn)
e na álgebra de Lie correspondenteaf (n).
6. Mostre que num grupo de Lie os campos de vetores invariantes à direita comutam com os campos invariantes à esquerda. Mostre que se G é conexo então um campo de vetores X é invariante à direita se, e só se, [X; Y ] = 0 para todo campo de vetores Y invariante à esquerda. (Use o fato de que todo elemento de um grupo de Lie conexo é produto de exponenciais.)
7. Sejag uma álgebra de Lie real de dimensão …nita. Uma derivação de g é uma transformação linear D :g ! g que satisfaz D[X; Y ] = [DX; Y ] + [X; DY ]para quaisquer X; Y 2 g. Mostre que D é derivação se, e só se, exp (tD) é automor…smo de g, para todo t 2 R. (Sugestão: considere as equações diferenciais satisfeitas por etD[X; Y ]e [etDX; etDY ].)
8. Mostre que os homomor…smos contínuos (R; +) ! (R; +) são apli- cações analíticas.
3.6. EXERCÍCIOS 81 9. Seja G um grupo de Lie. Mostre que existe uma vizinhança U da identidade que não contém nenhum subgrupo de G, exceto o trivial f1g.
10. Mostre que um grupo de Lie G conexo é comutativo se sua álgebra de Lie é abeliana. (Uma álgebra de Lie é dita abeliana se [ ; ] 0.) A a…rmação vale sem a hipótese de G ser conexo?
11. Encontre os homomor…smos diferenciáveis Gl (n; R) ! R. (Sugestão: restrinja aos subgrupos a 1-parâmetros).
12. Mostre que todo subgrupo a 1-parâmetro de O (3) é fechado. Essa a…rmação é verdadeira em O (n), n > 3?
13. Mostre que exp :sl (2; R) ! Sl (2; R) não é sobrejetora.
14. Mostre que todo elemento de Sl (2; R) pode ser escrito como um produto eXeY, X; Y 2 sl (2; R). (Sugestão: use o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt para escrever uma matriz g = kt com k matriz orto- gonal e t triangular superior.)
15. Mostre que toda matriz complexa n n é exponencial de alguma matriz. 16. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lieg. Mostre que se : R ! G é um homomor…smo diferenciável então (t) = exp (tX) para algum X 2 g.
17. Seja G um grupo de Lie e _g = A (t) g uma equação diferencial ordinária invariante à direita em G. Denote por gt uma solução dessa equação.
Mostre que ht= Ad (gt)satisfaz a equação diferencial _h = ad (A (t)) h.
18. A forma de Cartan-Killing de uma álgebra de Lie g é a forma bilin- ear simétrica h ; i de…nida por hX; Y i = tr (ad (X) ad (Y )), X; Y 2 g. Mostre que toda derivação D de g é anti-simétrica em relação à forma de Cartan-Killing, isto é, hDX; Y i+ hX; DY i = 0 para todo X; Y 2 g. Mostre também que um automor…smo de g é uma “isometria” da forma de Cartan-Killing, isto é, h X; Y i = hX; Y i, para todo X; Y 2 g.
19. Seja G um grupo de Lie compacto com álgebra de Lie g. Mostre que os auto-valores de ad (X), X 2 g, são puramente imaginários e conclua
82 CAPÍTULO 3. GRUPOS DE LIE E SUAS ÁLGEBRAS DE LIE que a forma de Cartan-Killing deg é negativa semi-de…nida (hX; Xi 0 para todo X 2 g).
20. Seja G um grupo de Lie conexo e : G ! Gl (V ) uma representação de G no espaço vetorial V , com dim V < 1. Seja uma forma bi- linear em V . Mostre que os elementos de (G) são isometrias de ( ( (g) u; (g) v) = (u; v)) se, e só se, os elementos da representação in…nitesimal são transformações lineares anti-simétricas em relação a
.
21. Dado um grupo de Lie conexo G com álgebra de Lie g, sejam z (g) = fX 2 g : 8Y 2 g; [X; Y ] = 0g o centro de g e Z (G) = fg 2 G : 8h 2 G; gh = hgg o centro de G. Mostre que para todo X 2 z (g), exp X 2 Z (G). Reciprocamente, X 2 z (g) se para todo t 2 R, exp (tX) 2 Z (G).
22. Sejag uma álgebra de Lie tal que [X; [Y; Z]] = 0 para todo X; Y; Z 2 g. Mostre que o produto , dado por
X Y = X + Y + 1 2[X; Y ]
de…ne em g uma estrutura de grupo. Mostre também que esse grupo é de Lie se g é uma álgebra de Lie de dimensão …nita sobre R, de tal forma que sua álgebra de Lie coincide comg.
23. No exercício anterior suponha que g é de dimensão …nita, de tal forma que tornag um grupo de Lie, com álgebra de Lie isomorfa a g. Dados X; Y 2 g, considere a curva (t) = etXetYe tXe tY e calcule 0(0) e
00(0).
24. Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lieg e h, respectivamente, e : G! H um homomor…smo diferenciável tal que d 1 é isomor…smo. Mostre que ker é um subgrupo discreto. Mostre também que se G e H são conexos então é uma aplicação de recobrimento. Conclua que se H é simplesmente conexo, então é isomor…smo.
— álgebra de Lie SO (n) e outras formas bilineares, derivando a exponen- cial (exemplo) (usar subgrupo fechado).