Keywords: thermo-elasticity, thermo-plasticity, positional finite element method

No documento UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Reitor: Profa. Titular SUELY VILELA SAMPAIO. Vice-Reitor: Prof. Titular FRANCO MARIA LAJOLO (páginas 173-177)

Linha de Pesquisa: Métodos Numéricos.

1 Doutorando em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, rogcrzd@sc.usp.br

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, hbcoda@sc.usp.br

Rogério Carrazedo & Humberto Breves Coda 162

1 INTRODUÇÃO

Tensões de origem térmica são geradas em situações não isotérmicas e em situações que venham a restringir o movimento da estrutura. Ao mesmo tempo, variações de temperatura ocorrem em situações de dissipação mecânica (plastificação, por exemplo). A termo-elasticidade e termo-plasticidade descrevem o comportamento de materiais sujeitos a tais situações, sendo assim generalizações da teoria da elasticidade e da elasto-plasticidade.

Além da consideração do comportamento termo-mecânico do material constituinte das estruturas, o comportamento geométrico das mesmas é de extrema importância para uma boa simulação de aplicações avançadas. Assim, o estudo sobre não linearidade geométrica deverá seguir teoria Lagrangeana total exata, baseado na metodologia posicional estabelecida pelo orientador (H. B. Coda, 2003).

2 METODOLOGIA

A formulação da termo-elasticidade é baseada nos princípios da termodinâmica junto aos princípios da elasticidade para construir uma formulação acoplada entre os campos térmico e mecânico.

Em primeiro lugar, a formulação se utiliza da lei da conservação de energia para estabelecer uma relação entre o calor gerado, a energia do sistema e o trabalho mecânico realizado. Então, o princípio da taxa de trabalho é aplicado para estabelecer uma relação que contenha a energia interna. Com isso e com os conceitos de entropia e energia livre de Helmholtz, define-se uma forma da equação de condução de calor. Por último, utilize-se a relação constitutiva termo-elástica para estabelecer uma equação de equilíbrio para determinar o comportamento mecânico da estrutura.

Com relação à metodologia posicional para simulação do comportamento geométrico das estruturas, a formulação constrói o gradiente da função mudança de configuração a partir das configurações inicial e final escritas em função de espaço adimensional auxiliar. Neste procedimento a geração de uma medida de deformação objetiva (invariante a movimentos de corpo rígido) chamada de deformação não linear de engenharia possibilita a criação de funcional de energia de deformação simples e de fácil assimilação. A partir desse funcional o teorema da mínima energia potencial total é aplicado e o método de Newton Raphson é utilizado para se solucionar o sistema não linear de equações resultante (H. B. Coda, 2003).

3 DESENVOLVIMENTO

A termo-elasticidade se utiliza do conceito do potencial termo-elástico, que nada mais é do que uma forma de definir as propriedades elásticas de um corpo, para modificar as equações da termodinâmica e da elasticidade para criar uma formulação que tem termos que acoplam ambas as teorias. A teoria utilizada foi desenvolvida por Biot (1956) e está apresentada de forma mais elucidativa em Parkus (1976) e em Holzapfel (2004).

Estudo e desenvolvimento de código computacional para análise de impacto entre...

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 32, p. 161-164, 2006 163

3.1 Equação de condução de calor

A equação de condução de calor termo-elástica, em sua forma mais conhecida, resulta em:

(1) onde k é a condutividade térmica, θ é a variação de temperatura a partir de uma referência, G é o Módulo de Elasticidade Transversal, ν é o módulo de Poisson, α é o coeficiente de expansão térmica,

T

0é a temperatura de referência,

ε

&ii é o traço do tensor de taxa de deformação,

ρ

é a densidade do material, c é o calor específico,

R

é o calor gerado e

θ

& é o fluxo de calor.

3.2 Equação de equilíbrio termo-elástica

A equação de equilíbrio termo-elástica resulta em

(2) Onde

ε

ij é o tensor de deformação,

ε

kké o traço do tensor de deformação,

δ

ij é o delta de Kronecker,

F

i é o vetor de forças externas e

y

&&i é a aceleração.

4 RESULTADOS OBTIDOS OU ESPERADOS

O programa foi elaborado em Fortran, sendo que, para a resolução do sistema não linear foi utilizado o método de Newton-Raphson, e para a resolução do problema dinâmico foi utilizado o método de Newmark, aplicando a regra do trapézio, e o método alfa de aproximação temporal. O programa foi validado através de exemplos apresentados na qualificação do autor (Carrazedo, Rog., 2006).

4.1 Exemplo de Aplicação – Treliça Bidimensional Dinâmica

O exemplo consiste em uma treliça bidimensional, formada por 48 elementos de barra, em um total de 26 nós, com apenas uma carga vertical, conforme a figura 1.

No caso, não foram desprezados os efeitos de inércia. O termo de acoplamento foi mantido para poder comprovar a geração de calor a partir da taxa de deformação da estrutura.

Figura 1 – Treliça bidimensional.

A figura mostra as condições de contorno mecânicas. Com relação às condições de contorno para o problema térmico, não foram especificadas temperaturas nos nós, tampouco foram especificados fluxos nos nós. Apenas condições iniciais foram estabelecidas, de equilíbrio térmico.

Rogério Carrazedo & Humberto Breves Coda 164

Com relação à discretização temporal, foram utilizados 500 passos de tempo de 0.001 segundo. Foi adotado

k

=0.011

kcal

/o

C m s

,

c

=450

J

/o

C kg

,

/ 3

7850

kg m

ρ

= ,

α

=0.000011

m

/o

C m

e

E

=21

e

9

kgf

/

m

2.

O efeito de Gough-Joule pode ser visto na figura 2, em que as barras que tem taxa de deformação negativa estão aquecendo e as que têm taxa de deformação positiva estão resfriando. Não foi utilizada uma escala fixa para a temperatura.

Figura 2 – Evolução da temperatura na treliça.

5 CONCLUSÕES PARCIAIS

Pretende-se utilizar os conceitos desenvolvidos até o momento para incluir a parte térmica no aplicativo maior desenvolvido pelo orientador, Prof. Humberto Breves Coda, que contém elementos mais elaborados (como elemento de pórtico e casca).

Na seqüência, será estudada a teoria da termo-plasticidade, através de potenciais dissipativos apresentados por Lanczos (1986) e o impacto termo-mecânico.

6 REFERÊNCIAS

BIOT, M. (1956) Thermoelasticity and irreversible thermo-dynamics. Journal of Applied Physics, v. 27, n. 3, p. 240-253.

CARRAZEDO, R. (2006). Estudo e desenvolvimento de código computacional para análise de impacto entre estruturas tridimensionais levando em consideração efeitos térmicos. São Carlos. Projeto (Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo.

CODA, H. B. (2003). Análise não linear geométrica de sólidos e estruturas: uma formulação posicional baseada no MEF. Texto complementar para concurso de professor titular. São Carlos: Escola de Engenharia de São Carlos.

HOLZAPFEL, G. A. (2004). Nonlinear solid mechanics: a continuum approach for engineering. 2. ed. Chichester, Inglaterra: John Wiley & Sons.

LANCZOS, C. (1986). The variational principles of mechanics. Nova York: Dover Publications, Inc.

PARKUS, H. (1976). Thermoelasticity. 2. ed. Austria: Springer-Verlag.

ISSN 1809-5860

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 32, p. 165-168, 2006

ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS DE TENSÃO COM

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