racionais decorrem necessariamente. A pedagogia das matemáticas não deve, portanto, trair a
natureza daquilo que ensina. Parte dos postulados, dos axiomas e das definições que coloca de
saída como evidências racionais e tira disto as conseqüências distanciadas pela adequação
abstrata. Sem dúvida, o pedagogo matemático não chega a afirmar a natureza das “verdades
eternas” dos postulados, dos axiomas e das definições sobre os quais se apóia: é que raramente
ele é também um filósofo. Se o fosse, seu comportamento o comprova, seria discípulo de Platão
ou de Descartes. É o que explica o caráter abstrato e gratuito do ensino das matemáticas que nós
mesmos ou os nossos filhos recebemos como herança até aqui (Legrand, 1973: 102).
A contextualização que se faz necessária ao processo de ensino para que a aprendizagem ocorra (e ocorrer é ocorrer de forma significativa para aquele que aprende) diz respeito a vários aspectos, intrínsecos e extrínsecos, do ato de ensinar e do processo de aprender. Com isso, falar de ensino-aprendizagem como de um processo, não sabemos se é adequado. Porque ensinar, pensamos, é uma ação. Aprender, é um processo. E isso não elimina a existência de processos no ensino nem a existência de ações na aprendizagem. Mas não é fácil descrever de forma precisa esses fenômenos que ocorrem nos processos cognoscitivos.
A criação do conhecimento tem características próprias, assim como a ação no ensino. E este tem que dar conta das dimensões do ser cognoscente. Há, pois, a dimensão biológica, a dimensão afetiva e a dimensão cognitiva, a dimensão mística e outras que quisermos elencar. Mas quanto ao viver, sentir e pensar não há dúvida. E no processo de ensino nenhum desses aspectos do ser cognoscente deve ser esquecido.
O nosso modelo de ciência, originário da Grécia antiga, priorizou o domínio do racional, do cognitivo, em detrimento de outros aspectos da totalidade do ser. Somos, portanto, seres como que cindidos ao meio. A tradição judaico-cristã acirrou mais a nossa dicotomia. E com a predominância do nosso modo peculiar de fazer ciência, somos seres profundamente partidos. De modo que o que sabemos acerca do domínio afetivo no processo de aprendizagem ainda não tem um papel significativo no ensino em geral e muito menos no ensino da matemática.
Acreditamos que não seja conveniente ensinar matemática do mesmo modo como se apresentam os resultados da criação matemática − logicamente, de forma asséptica, abstrata, isenta, racional. Como se o que sustentasse o ato criador não fosse uma grande paixão; como se o que sustentasse todo o ato de ensino não fosse um grande sentimento. Com isso não estamos a negar que não haja algum um tipo de paixão na ordem lógica. Mas esse tipo é acessível só aos profundamente vocacionados. De fato, o que está em nossa perspectiva, nesse caso, é o
Se as dimensões do ser, presentes no ato criador, elididas do texto final, não forem resgatadas no ato de ensino e se fizerem presentes de alguma forma no processo de aprendizagem, o que poderá ocorrer será tudo, menos aprender. Isso porque, com a padronização do texto científico aumentou sobremaneira o papel do ensino no proporcionar o contexto da criação nos processos de aprendizagem, uma vez que tal contexto tem uma função muito significativa na composição de um ambiente, no ato de ensino, que seja favorável ao processo de aprendizagem.
Aprender é um fato subjetivo na sua consumação. Mas sabemos das condições que favorecem e das condições que desfavorecem a uma aprendizagem autêntica. E há condições objetivas e condições subjetivas que podem favorecer ou desfavorecer ao processo de aprendizagem.
É claro que a história nunca ocorre como se escreve. O papel diretor das concepções do historiador é marcante. Mas há que se compreender que lidar com o passado tem suas singularidades. E há muitas histórias da matemática, com características relativas ao referencial do historiador. Porém, a menos disso, na história se reencontra todo o trabalho artesanal dos criadores de determinados conceitos, o papel dos contextos e de determinadas relações e conexões na configuração do trabalho criador humano. Os erros, as dúvidas, e as limitações, da época ou dos criadores da ciência em questão.
No contexto histórico, ou melhor, na dimensão histórica da criação dos conceitos matemáticos reencontramos os elos perdidos da cadeia criadora, elididos do texto final, acabado. Tais elos nos permitem uma recomposição do contexto, nos possibilitando percorrer os liames do conceito criado com os demais componentes da cultura em questão. E nesse caso, a dimensão ou ordem histórica, não explícita no texto, ocupa o seu lugar singular junto à dimensão lógica e relacionada com as outras dimensões do conhecimento, no processo de ensino, tendo o seu real sentido estabelecido.
Elidir a história no texto técnico, por razões de economia, é algo plausível. Mas a elisão da dimensão histórica do conhecimento, seja no ensino ou no discurso filosófico, não costuma conduzir a bons resultados.
No devenir humano as coisas jamais são. Elas se formam, no processo histórico. De modo que, por trás de cada quadro presente, há uma cadeia genealógica de transformações sucessivas. Contínuas para uns. Descontínuas para outros. A perspectiva dessa cadeia é fundamental no entendimento do quadro atual, ainda que este seja um quadro composto só com relações lógicas, como é o caso do conhecimento matemático em formas usuais de apresentação.
Podemos entender qualquer conteúdo matemático sem nenhum recurso ao contexto histórico de sua criação? Podemos, e isso durante uma certa época foi a regra. Contudo, aprender qualquer conteúdo matemático imerso no contexto de criação do mesmo nos possibilita a percepção de que estamos entrando em contato com um conhecimento que, numa dada época, era a expressão máxima do pensamento racional na cultura ocidental e custara muita energia mental para a sua consumação. E fora o resultado das pressões internas que se estabeleceram no mundo matemático, articuladas com as pressões externas de uma determinada configuração social na época dominante cujo projeto de expansão dependia da ferramenta matemática para produzir os instrumentos que ampliassem o seu alcance.
dinâmica das relações nas várias dimensões da vida em grupo no interior das formas de vida das civilizações. A elisão da dimensão histórica do conceito de verdade, aliada à força da evidência da lógica aristotélica, influenciou, por um tempo longo em matemática, a partir da marcante influência de Os Elementos de Euclides, o conceito de ciência. Contudo, a expressão racional da ciência grega não significa que o grego era só razão. Se perscrutarmos a arte grega, perceberemos que o grego era muito mais, ou tanto quanto, um feixe de emoções.
Se tomarmos qualquer texto acerca da origem primitiva dos números nas civilizações antigas, vamos nos defrontar com vários tipos de explicações, plausíveis mas especulativas, acerca do princípio desses entes cuja gênese se perde no passado.
Mas encontraremos nessas explicações algo bem característico − o número sendo produzido nas relações do homem com o seu meio. O número sendo produzido nas relações, nas interações sociais, presentes nas atividades de moldagem do mundo às conveniências dos grupos.
Nesse contexto, a dimensão histórica desse conceito bastante abstrato se configura de forma impressionante. O número está presente nas primeiras percepções da mente cognoscente no seu papel de delimitação entre o eu e o outro. Entre o eu e o que não se identifica com o eu, o diferente. O número emerge, pois, na diferença, ou melhor, na tomada de consciência pela mente cognoscente, do que não é ela mesma.
A origem primitiva do número é tão simbiotizada no dia-a-dia das civilizações antigas que está presente de forma marcante nas línguas, indicando assim, até o tipo de sistema de numeração usado por determinados povos. De modo que a língua, e nesta, a linguagem numérica, dá conta de forma razoável do nível de relações que se estabeleciam no âmago das culturas, conforme Boyer (1974, cap.I).
Existem várias construções formais dos números. E é claro que, nessas construções, os aspectos histórico- sociais que geraram nas civilizações a necessidade de construção dessa ferramenta não aparecem de forma alguma. Isso porque, na construção de um determinado mundo da ciência matemática, importa somente as relações lógicas que dão sentido e coerência a esse mundo. De modo que aqueles aspectos da dimensão histórica, da dimensão social, não têm, ao menos nessa construção, nenhuma relevância.
A dimensão social e histórica de um determinado conteúdo matemático tem a sua relevância sobretudo em ações educativas, num modelo de ensino em que a dimensão histórica e social do conhecimento é vista como parte constituinte do saber humano no devir das civilizações. Ou quando se quer contextualizar determinado conteúdo na sua origem e desenvolvimento relacionando-o com outras áreas do conhecimento e aspectos sociais, de forma a tornar claros certos aspectos atuais da dinâmica do conhecimento, seja na sua produção, seja na sua apropriação.
A educação matemática surge, nos parece, como um movimento de dissidência dentro da matemática. Pensamos que os educadores matemáticos poderiam fazer algo para mudar esse quadro. Isso porque, além de terem um conhecimento de matemática, campo em que se deu sua formação, têm procurado também apropriar-se de conhecimentos relativos à história e à filosofia que poucos matemáticos se preocuparam em adquirir, talvez devido ao fato de a matemática pura exigir dedicação exclusiva de seus praticantes. A educação matemática pode fazer isso tomando para si muitas reflexões sobre a filosofia da matemática.
nos convidaram a abordar essa construção com um certo distanciamento, necessário a uma análise crítica. E foi isso o que buscamos fazer num segundo momento, mas estamos cientes da probabilidade de não termos sido convincentes. Fizemos o que nos fora possível e estamos plenamente conscientes de que não esgotamos todos os flancos abertos da construção de Ernest. A riqueza do pensamento de Wittgenstein, nas diversas interpretações dos vários autores que o abordaram, favoráveis ou contrários a ele, nos pareceu um campo riquíssimo e extremamente vasto.
Finalmente, pode ser visto como uma outra razão que nos levou a desenvolver este trabalho o nosso sentimento de falta de mais discussões acerca da participação da filosofia da matemática na educação matemática. Temos colegas que vão se dedicar à educação matemática e é como se tivessem esquecido de que se graduaram em matemática, e não se apercebessem que a educação matemática é, em um certo sentido, e ainda que não exclusivamente, uma metateoria da matemática. É lamentável que isso aconteça. Estamos a especializar-nos dentro da educação matemática, campo que ainda está se expandindo, apesar de já instituído, ora como área nos departamentos de educação, ora como área nos departamentos de matemática. Além disso, trata-se de um campo que se confunde, em sua origem, com o do ensino de matemática. É óbvio que são campos diferentes, mas contíguos. Não dá para dizer onde começa a educação matemática e onde termina o ensino de matemática; o que é um não- educador matemático e o que é um não educador matemático. Trata-se, pois, de um campo multifacetado constituído simultaneamente por vários campos disciplinares, tais como a matemática, a educação, a psicologia, a antropologia, a história, a filosofia, dentre outros.
Na nossa discussão sobre a participação da filosofia da matemática na educação matemática (Capítulo V ), procuramos fazer uma reflexão ampla centrada na importância, ou melhor, no papel crucial desempenhado pela filosofia e, particularmente, pela epistemologia no terreno da educação matemática. Para isso, nos ativemos a alguns autores que consideramos satisfatórios para esse nosso início de discussão, cujo foco é o papel fundamental da filosofia da matemática nas práticas pedagógicas da matemática. Finalizamos esse capítulo com sucintas considerações finais que apontam mais para nossa necessidade de aprofundamento do nosso processo de reflexão do que para conclusões. A nossa esperança é que discussões como as que foram evocadas no Capítulo V, possam se tornar comuns nos ambientes de relação entre matemáticos e educadores matemáticos.
O mérito deste trabalho, para nós, está nos muitos caminhos que ele nos aponta no que se refere à importância da filosofia, da história e da educação matemática, não só na prática docente dos educadores matemáticos como também no ambiente dos matemáticos puros. A discussão filosófica acerca da matemática pode ser assentada tanto no seio da comunidade matemática quanto no seio da comunidade de filósofos e educadores matemáticos. Aliás, essa ação já começou a ocorrer. Basta verificarmos o número de educadores matemáticos integrando departamentos de matemática em nossas universidades. A discussão sobre filosofia da matemática raramente encontra espaço entre os matemáticos puros ou aplicados. E levá-la para o centro dos cursos de matemática pode enriquecer em muito a prática docente e, conseqüentemente, a prática discente. Isso porque, consideramos que a discussão filosófica em torno da matemática fortalece os laços do matemático com o seu objeto
mais ampla e permanente acerca da natureza do conhecimento matemático no seio da comunidade de educadores matemáticos. Isso porque, sendo também a educação matemática um metadiscurso em torno da matemática, deve se reportar sempre a aspectos filosóficos da matemática como constituintes de uma eventual filosofia da educação matemática. Sentimos essa falta desde o nosso mestrado em educação matemática.
Resumindo, este trabalho apresenta-se como um resultado de um processo de estudos acerca da filosofia da matemática tendo em perspectiva a educação matemática. Tem uma tendência forte pelo social e busca, sem desconsiderar as contribuições da matemática absolutista, refletir a partir de uma perspectiva histórico-social da matemática. É ainda um início de processo diante de um campo tão amplo quanto é o da filosofia da matemática. De fato, é também, mas não apenas, uma tentativa de reflexão em torno do pensamento de Paul Ernest a propósito do
construtivismo social como uma filosofia da matemática.
Esperamos que as nossas crenças, justificadas ou não, possam contribuir de alguma forma, atraindo o rigor de uns sobre a nossa “liberdade” e a solidariedade de outros para com a nossa deliberada “ingenuidade”. Alea jacta
CAPÍTULO II
A Filosofia da Matemática de Ludwig Wittgenstein
A base wittgensteiniana de Paul Ernest está em duas obras. Uma, é o Tractatus Logico-Philosophicus, publicado em 1921; a outra é Remarks on the Foundation of Mathematics, publicado postumamente, em 1956, pela primeira vez. Ernest acrescenta mais três obras de Wittgenstein à sua bibliografia, mas a grande maioria de suas citações está nas duas obras citadas.
Wittgenstein é visto por Ernest mais a propósito da sua filosofia da matemática. Entretanto, ele foi além de escritos em torno dessa ciência. Suas idéias mudam em muitos aspectos ao longo de sua vida. Por isso, há quem prefira classificá-lo como o primeiro Wittgenstein e o segundo Wittgenstein. O que caracteriza o primeiro Wittgenstein é o seu pensamento expresso no Tractatus Logico-Philosophicus (1921). Este é um dos grandes clássicos da filosofia, sendo a única obra filosófica que Wittgenstein publicou em vida. Segundo Glock: