Quando, em PME, Ernest estabelece os quatro critérios que deveriam ser contemplados por uma filosofia da
matemática a fim de que seja considerada adequada, ele realiza um reexame das escolas de pensamento na filosofia da matemática à luz desses critérios. E, nesse sentido, as escolas absolutistas, o absolutismo progressista, o platonismo, o convencionalismo, o empirismo e o quase-empirismo são revistos e avaliados. As escolas absolutistas são rejeitadas. O absolutismo progressista também. O mesmo ocorre com o platonismo. O empirismo (o empirismo ingênuo, e não o quase-empirismo de Lakatos) tem sob os critérios de Ernest a mesma avaliação das outras escolas. Ainda que essas correntes de pensamento preencham só parcialmente os critérios de Ernest, são rejeitadas. Por isso, ele as vai sucessivamente descartando como filosofias da matemática inadequadas. Quanto ao convencionalismo, este ganha um espaço bem maior do que as outras perspectivas, sob a análise dos critérios. E na página 33 de PME, aduz Ernest: Thus convencionalism is not refuted, and indeed may satisfy many of the adequacy criteria proposed
earlier. Wittgenstein é um convencionalista e um dos pilares do construtivismo social de Paul Ernest. O mesmo
acontece com o quase-empirismo, que é a filosofia da matemática de Lakatos, à qual o autor é favorável. Lakatos, também é uma das duas bases do construtivismo social de Paul Ernest. Ele tem algumas restrições à filosofia da matemática de Lakatos mas a adota como fundamento para o seu construtivismo social como filosofia da matemática.
Além desses seis critérios, Ernest menciona um outro não estabelecido em que diz:
an adequate
philosophy of mathematics must give an account of mathematics in philosophical acceptable terms,
understood broadly, employing types of explanation and justification that can broadly be regarded as
appropriate
(SCPM, p. 57). E observa que esse acréscimo é necessário pois, do contrário, a reconceptualização não teria nenhuma chance de ser aceita como tal pelos filósofos da matemática, não podendo, portanto, ter nenhum impacto sobre esse campo. Essa preocupação de Ernest com a aceitação do construtivismo social não está presente em PME, e denota uma postura de maior abertura à negociação, o que não transparece em PME, no qual, nenhuma consideração desse teor é explicitada.PME, a menos de uma meia dúzia de linhas acrescidas, que contêm um adendo explicitando a relação do
absolutismo progressista com a filosofia da ciência de Popper, das supressões de uma citação de Confrey e da consideração pessoal sobre a importância para a educação do fato de nem todas as filosofias absolutistas estarem em pé de igualdade. Não temos nenhuma conjectura que possa explicar porque essas considerações sobre o ensino foram elididas no texto atual.
Quanto ao platonismo, o texto de PME é mantido na íntegra e os seguintes acréscimos são inseridos com seus respectivos propósitos: uma citação de Maddy estabelecendo uma distinção entre realismo matemático e platonismo matemático; considerações sobre o platonismo como uma posição ontológica (em oposição à epistemológica) seguidas da conclusão de que o mesmo não é fundacionista.
A mudança nos critérios amplia consideravelmente o alcance da filosofia da matemática. Uma filosofia da matemática com tal abrangência, acreditamos, deve ser um guia eficiente para nos conduzir junto com os nossos alunos pelos caminhos do mundo matemático e pelos caminhos que levam aos mundos interrelacionados com o mundo matemático. Certamente que, uma formação nessas bases, é o que estão a buscar todos aqueles preocupados com o papel do conhecimento matemático na formação do homem no mundo contemporâneo, tão incrivelmente rápido e difuso em seu dinamismo. Tão profundamente paradoxal, tão caótico, economicamente, e quase sem saída, socialmente falando.
A Filosofia da Matemática de Paul Ernest
O construtivismo social de Paul Ernest é uma filosofia resultante da composição de contribuições de duas filosofias da matemática − o convencionalismo e quase-empirismo −, de uma teoria do conhecimento e de uma teoria da aprendizagem. É, portanto, como acentua o próprio Ernest, uma elaboração e uma síntese. Podemos inferir, a partir dos dois textos de Ernest considerados por nós neste estudo, que o construtivismo social, no texto publicado por ele em 1991, ainda era uma filosofia em elaboração.
O construtivismo social vê a matemática como uma construção social. Tem no convencionalismo uma de suas bases pois considera que a linguagem, as regras e os acordos humanos têm um papel fundamental no estabelecimento e justificação das verdades matemáticas. O quase-empirismo adota a epistemologia falibilista, inclusive o ponto de vista de que o conhecimento e os conceitos matemáticos se desenvolvem e se modificam. Além disso, adota a tese filosófica de Lakatos que afirma que o crescimento do conhecimento matemático se processa através de conjecturas e refutações, utilizando uma lógica de descoberta em matemática.
Do Falibilismo de Popper, via Lakatos, o construtivismo social colhe a retificabilidade da matemática, a falibilidade da matemática e o método de provas e refutações.
Segundo Ernest, o construtivismo social é uma filosofia descritiva da matemática, que tem por objetivo esclarecer a natureza da matemática, entendida em sentido amplo, com base em critérios de adequação por ele estabelecidos para esquadrinhar o que considera uma filosofia adequada da matemática Ernest (PME, p. 27; SCPM, p. 56-7).
contribuição do pensamento lakatosiano.
O conhecimento objetivo e o conhecimento subjetivo são amplamente discutidos por Ernest. Ele estabelece uma relação entre os dois de modo que o limite de um constitui o início do outro. Há, de fato, uma inter-relação entre os dois. E isso é plausível, já que, para o construtivismo social, o conhecimento objetivo é o conhecimento subjetivo após ter sido submetido a determinados processos de avaliação pública.
Para explicar em que sentido usa os termos objetivo e subjetivo aplicados ao conhecimento, Ernest lança mão da teoria dos três mundos de Popper (1979), a qual associa a cada tipo de mundo um tipo de conhecimento.
Diz Popper: Podemos chamar o mundo físico de mundo 1, o mundo de nossas experiências conscientes de
mundo 2 e o mundo dos conteúdos lógicos dos livros, bibliotecas, memórias de computadores e outros de mundo 3
(Popper, 1979, p. 74).
Ernest posiciona o conhecimento subjetivo no mundo 2, isto é, no mundo de nossas experiências conscientes. Já o conhecimento objetivo pertenceria ao mundo 3 no qual Popper inclui os produtos da mente humana, tais como teorias publicadas, as discussões dessas teorias, problemas e provas com elas relacionados.
O conhecimento objetivo é, para Popper, mutável e criado pelo homem. A expressão “conhecimento objetivo”, em Ernest, tem um sabor diferente do que lhe dá Popper. Quando aquele se refere ao conhecimento objetivo, inclui tudo o que Popper concebe como conhecimento objetivo, mas também acrescenta ao mundo 3 de Popper o que chama de ‘produtos adicionais da mente humana’ tais como o conhecimento objetivo, sobretudo as
convenções (possivelmente implícitas) compartilhadas e as regras da linguagem usual (PME, p. 46).
Ernest também considera conhecimento objetivo o conhecimento intersubjetivo, isto é, o conhecimento publicamente compartilhado, ainda que esse último seja um conhecimento implícito que não tenha sido plenamente articulado. Ernest demonstra estar consciente de que, muito provavelmente, essa extensão seria inaceitável para Popper.
Após apresentar aspectos da teoria de Popper para modificá-los de modo a ajustarem-se às suas concepções, Ernest manifesta a intenção de adotar a mesma concepção de objetividade proposta por Bloor (1984):