For exemple, there is a new argument that a reconceptualized philosophy of mathematics should offer an account of the learning of mathematics and its role in the onward transmission of
D. Quasi-empiricism and the Philosophy of Mathematics
que vão integrar dois Capítulos, 3 e 4 de SCPM, dedicados a Wittgenstein e a Lakatos, respectivamente, com todos os acréscimos, modificações e melhorias. Nesses capítulos, Ernest dá conta da sua dívida para com esses dois pensadores. Apresenta a filosofia e a filosofia da matemática deles segundo sua interpretação e elabora considerações e críticas em torno das realizações de cada um.
Já no Capítulo 2 de Social constructivism as a philosophy of mathematics, Ernest respondendo a pergunta −
o que é a filosofia da matemática? − observa que a filosofia da matemática não é nem matemática nem um
subconjunto da matemática, que se trata de um campo de estudo que reflete sobre a matemática a partir de fora; que é uma das metateorias da matemática entre as quais se incluem a sociologia da matemática, a história da matemática, a psicologia da matemática, a antropologia da matemática e a educação matemática. Ele evoca o matemático historiador E. T. Bell que classifica a matemática como arte e ciência, para justificar que as metateorias acima citadas são todas das áreas das humanidades ou das ciências sociais, o que implica que, além de serem diferentes do conteúdo da matemática, ocorrem em uma categoria diferente do esforço intelectual humano.
Para Ernest, o sucesso das escolas fundacionistas teria prejudicado muito o que se entendia por filosofia da matemática. A distinção entre os dois campos, o da filosofia da matemática e o da matemática, ainda estaria confundindo muitos sob a influência da tradição absolutista. Entretanto, consideramos que, se voltarmos a nossa atenção para os fatores que contribuíram para o sucesso das escolas fundacionistas, certamente constataremos que tal sucesso se deveu a características culturais e históricas da nossa civilização. E se olharmos por este ângulo, o sucesso dessas escolas é só conseqüência de determinadas características da nossa forma de vida, ao menos no que se refere à matemática.
Uma área central da controvérsia entre absolutismo e falibilismo na filosofia da matemática trata da distinção entre os contextos da descoberta e da justificação. Para os absolutistas, o contexto da justificação e o da descoberta dizem respeito a domínios distintos do conhecimento; por isso, devem ser mantidos separados. O contexto da justificação lidaria com condições objetivas e lógicas do conhecimento, com a atividade racional da avaliação e da validação do conhecimento constituído; portanto, lidaria com um objeto pertencente ao domínio da epistemologia e da filosofia da matemática. O contexto da descoberta trataria de circunstâncias contingentes da invenção humana ou histórica, e por não ser um processo racional, não poderia ser tratado lógica e objetivamente, constituindo, portanto, um objeto pertencente ao domínio da psicologia ou da história da matemática.
Para o falibilismo, não é possível separar completamente esses dois contextos dentro da matemática. A criação e a justificação do conhecimento matemático, incluindo o escrutínio das garantias e provas matemáticas, são condicionados por seu contexto humano e histórico. Lakatos (1978) é a referência para essa consideração de Paul
tem consistência excluir considerações humanas e genéticas da epistemologia, uma vez que estas estão presentes tão significativamente em sua história.
2. O contexto da descoberta e o da justificação se interpenetram e se sobrepõem. É impossível, na prática da matemática, separar os aspectos relacionados a esses dois contextos.
3. Há uma tendência crescente na filosofia da matemática em considerar a história e a filosofia da matemática, pelo menos em parte, juntas. Essa é uma das bases da tradição “dissidente” identificada por Kitcher e Aspray.
Para Ernest, uma filosofia descritiva da matemática deveria ser capaz de explicar a justificação do conhecimento matemático e de teorias matemáticas na prática, isto é, na atividade matemática; e isto introduziria a história da matemática. Esta, por sua vez, trataria do crescimento e desenvolvimento do conhecimento matemático, e isto constituiria parte do contexto da descoberta. Ele observa que isso não equivale a, de modo algum, admitir o psicologismo, como os absolutistas poderiam temer. Isso porque, a história da matemática trataria do desenvolvimento público da matemática, e isto incluiria muitos elementos lógicos; e, além disso, a história seria pelo menos parcialmente aberta à reconstrução racional. A separação dos contextos da descoberta e da justificação, com base no fato de que eles tratam, respectivamente, de psicologia e de lógica, não poderia ser sustentada, pelo menos a partir de alguns pontos de vista significativos, diz Ernest.
Acreditamos que esse termo significativos poderia ser substituído por falibilista, porque é a partir dessa perspectiva que Paul Ernest está a tecer os seus comentários. Mas ele mesmo não exemplifica qualquer ponto de vista significativo. E como, não poder ser sustentado a partir de alguns pontos de vista é equivalente a poder ser
sustentado a partir de alguns outros pontos de vista, concluímos que se trata, nesse caso, só de pontos de vista
diferentes.
Na perspectiva absolutista, a prova matemática é que fornece garantia objetiva para o conhecimento matemático, para o teorema provado. A garantia depende unicamente da precisão lógica da prova. Os homens podem desempenhar um papel na gênese do conhecimento, mas, uma vez garantido, o conhecimento matemático seria objetivo e definitivo. Se ocorrem erros, esses mostram que os humanos podem, erradamente, identificar alguma coisa como tendo uma garantia objetiva, mas o conhecimento verdadeiro seria incorrigível e final.
Em outras palavras, é como se não existissem erros matemáticos, mas tão-somente erros humanos no lidar com a matemática. Pelo menos é o que podemos depreender, de forma simplificada, da concepção que tem Ernest da posição absolutista acerca da prova matemática
A título de esclarecimento, Ernest considera dois tipos de absolutismo: o absolutismo formal e o progressista. O formal é aquele que considera que os conceitos matemáticos não são desenvolvidos, mas descobertos; e que a descoberta de novas verdades em matemática não atinge as verdades até então existentes. Nesse sentido, o formalismo e o logicismo seriam filosofias absolutistas formais da matemática. Já o absolutismo progressista aceita a criação e a mudança de novas teorias e reconhece que a intuição é necessária para a criação de teorias assim como o papel da ação humana nessa criação. Nesses termos, o intuicionismo é uma filosofia absolutista
ilegítimo, o fato empírico de que os padrões de racionalidade e lógica mudam e têm mudado. O modo padrão de fazer isso é sustentar que lógica e prova somente são relevantes para o contexto da justificação.
Essa posição, diz Ernest, pode ser mantida consistentemente, mas falha em acomodar a justificação do conhecimento matemático dentro da perspectiva naturalista (isto é, dentro de uma perspectiva descritiva). A perspectiva naturalista em filosofia da matemática se caracteriza por levar em consideração a construção social do matemático individual e sua criatividade. E, como ocorre no terreno da filosofia das ciências, preocupa-se em descrever o desenvolvimento da matemática, em vez de prescrever acerca do que ela deveria ser. Além de preocupar-se com o contexto da justificação do conhecimento, preocupa-se, igualmente, com o contexto da descoberta.
Para os absolutistas progressistas o conhecimento outorgado por racionalidade e lógica humana é sempre uma representação potencialmente falível da verdade, a qual seria gradualmente descoberta por esforço humano, mas existiria independentemente de nós.
Ernest replica essa razão com mais observações falibilistas, constatando que nenhuma garantia ou prova poderia ser dada de que nós tivéssemos alcançado a verdade, pois essa suposta garantia seria circular e falharia, ou então nos levaria ao infinito regresso.
Uma outra razão absolutista progressista é que a prova permaneceria puramente objetiva, ainda que o rigor completo não pudesse ser alcançado.
O problema com este argumento, segundo Ernest, é que se as provas não são redutíveis a regras rigorosas e explícitas, então, seria preciso recorrer ao julgamento para se decidir quais provas seriam aceitáveis. Isso exigiria que se recorresse à dimensão externa humana, cortando pela raiz a exigência de objetividade.
O falibilismo rejeita a separação da matemática de outras áreas do conhecimento por duas razões. Primeiro, porque a visão apriorística do conhecimento matemático, como um corpo de verdades derivado através de inferência e que preserva a verdade de premissas verdadeiras, é rejeitada. Em vez disso, o conhecimento matemático é visto como quase-empírico. De acordo com Lakatos (1978, 1981), as conseqüências são deduzidas de conjuntos hipotéticos de suposições matemáticas, e se falsificadas por contradições, ou por teorias informais, as suposições são rejeitadas ou modificadas. Assim, a avaliação de um suposto conhecimento matemático inclui um elemento quase- empírico dependente da experiência humana. Kitcher (1984) também considera a matemática como empírica, porque experiências particulares são necessárias para garantir o conhecimento. Nenhum desses dois tipos de experiências consiste de observações do mundo externo, mas desde que a matemática é vista como quase-empírica, ela não pode ser categoricamente divorciada do conhecimento das ciências físicas e de outras ciências.
Os falibilistas incluem o conhecimento humano como uma legítima preocupação da filosofia da matemática. Como resultado de uma das atividades cognitivas dos seres humanos, a matemática estaria relacionada com o conhecimento humano, uma vez que estaria fundada na força do entendimento do sujeito humano, associando-se, assim, a todos os domínios do conhecimento.
justificado’. Em outras palavras, a justificação de todo conhecimento também repousa sobre uma base compartilhada, a saber, o acordo humano. Assim, em termos de sua origem e também de suas bases justificativas, o conhecimento humano tem uma unidade fundamental e todos os seus campos estão, desse modo, interligados.
Essa perspectiva falibilista é pós-lakatosiana, pois em Provas e refutações Lakatos é totalmente hostil aos convencionalistas e não admite, de forma alguma, a existência de árbitro final ou de uma última instância de justificação para o conhecimento matemático. Daí, não se poder falar em conhecimento justificado para Lakatos. Aliás, essa é a essência da noção de falibilidade, isto é, o fato de que o conhecimento matemático seria infinitamente retificável, não se podendo chegar a uma última instância de justificação. Nesse sentido poderíamos dizer que foram os falibilistas pós-lakatosianos que desradicalizaram Lakatos.
Ernest ainda alarga a sua reflexão em torno da resposta da pergunta o que é a filosofia da matemática. Elenca algumas respostas de alguns autores. Dentre elas, destacamos uma referência atribuída a Maddy, que não estava presente em PME, acerca da tarefa do filósofo da matemática, qual seja, a de “descrever e explicar a matemática e não a de reformá-la”. Suprime uma referência atribuída a Körner e mantém uma referência atribuída a Tymoczko, as quais também estão presentes em PME (p. 23-24).
Maddy e Tymoczko colocam-se sob o ponto de vista de que a tarefa da filosofia da matemática é explicar e descrever a matemática. Ernest considera que esse ponto de vista não contempla o que ele entende ser a preocupação específica da filosofia da matemática em oposição às preocupações da história e da sociologia da matemática. E é em Priest (tal como em PME) que ele encontra uma saída satisfatória para caracterizar a especificidade da filosofia da matemática, em relação a outras áreas que lhe seriam correlatas. O contraste entre as citações de Timoczko e Maddy, por um lado, e a de Priest por outro, dá conta do que Ernest entende ser a tarefa específica da filosofia da matemática. É o seguinte o texto de Priest que parece satisfazer às reivindicações de Ernest: