Números irracionais e incomensurabilidade

A história da Matemática registra que a geometria do pentagrama e suas associações metafísicas foram exploradas por Pitágoras e, posteriormente, por seus seguidores, que o considerava um emblema de perfeição. O símbolo utilizado pela Escola de Pitágoras era o pentagrama, por possuir algumas propriedades interessantes. Um pentagrama (Figura 12) é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular; pelas interseções dos segmentos desta diagonal é obtido um novo pentágono regular, que é proporcional ao original exatamente pela razão áurea.

Figura 12 – Pentagrama

Erickson e Fossa (2005) asseguram que os matemáticos pitagóricos, da segunda geração, fizeram uma descoberta de que existem grandezas que não podem ser expressas como razão de dois números naturais. Logo, ao perceberem isso, eles realizaram uma descoberta que provocou uma crise pelo fato de ter introduzido com isso uma dissonância ou irracionalidade no universo, que invalidou a sua doutrina criando, desse modo, duas classes distintas de grandezas, como as discretas e as contínuas.

Para esses autores, a aritmética podia tratar das grandezas discretas, mas não das grandezas contínuas. Portanto, para tratar das grandezas contínuas era necessário recorrer à geometria,

[...] já que é possível representar os números racionais geometricamente, porém, a geometria pode tratar também das grandezas discretas e, assim, especialmente depois da teoria das proporções de Eudoxo (viveu aproximadamente 390 e 380 a.C), a Aritmética dos gregos foi geometrizada (ERICKSON; FOSSA, 2005, p. 14).

Choike (1980) adianta que embora a tradição nomeie o jovem discípulo de Pitagóras, Hipasus de Metaponto (470 a.C), como o descobridor da prova da existência dos incomensuráveis, sua defesa junto com a de Kurt Von Fritz sugerem que Hipasus ficou intrigado pela fascinante geometria simétrica do pentagrama. De modo que Choike (1980, p. 313) assevera:

As he stared at the star he saw that in its center was a regular pentagon whose diameters (lines joining nonadjacent vertices) formed another smaller star. And inside this smaller star was yet another pentagon whose diameters yielded a still smaller star. Before him he saw this beautifully endless chain of pentagrams, one nested inside the other. In addition, Hippasus could not help but notice the abundant display of similar triangles and isosceles triangles throughout the chain of stars.

De acordo com Choike (1980), a descoberta do número irracional é baseada sobre o pentagrama. Segundo o autor, isso foi a crença dada por Kurt Von Fritz para ser a prova que Hippasus de Metaponto precisava ter encontrado. Sobre isso, Choike (1980, p. 313) notifica:

The fact is that early Greek historians unanimously attribute this Discovery to Hippasus, but they do not supply any of the details concerning the manner or method of discovery. It should be noted that is required for the proof which we give are two simple facts about triangles, facts which were known by the early Pythagoreans: (i) the sum of the interior angles in any triangle is equal to two right angles; (ii) in any triangle, sides opposite equal angles are equal and angles opposite equal sides are equal.

Essa é a justificativa do autor perante outros sobre a descoberta dos irracionais. Consideramos que Fossa (2007) concorda em parte com Choike (1980) quando assegura ser bastante provável que a descoberta da incomensurabilidade tenha acontecido ao se investigar um pentágono. O mesmo explica que, para isso, basta desenharmos as diagonais de um pentágono regular para verificarmos a criação de um novo pentágono (Figura 13). Para esse fim, a justificativa é que, ao repetirmos esse mesmo processo infinitas vezes, obteremos pentágonos cada vez menores, implicando, assim, que o lado e a diagonal do pentágono não possuem uma medida comum, por isso serem incomensuráveis.

Figura 13 – Criação de um novo pentagrama

Fonte: Arquivo da pesquisadora.

A particularidade existente de infinito no pentágono (Figura 15) na visão de Fossa (2007) é clara, pois, ao ter-se um pentágono estrelado e, nela, procurar saber a razão de AB para BC, passa-se a considerar que os lados AC, CD etc. são diagonais do pentágono. Dessa maneira, chama-nos atenção para percebemos que os três triângulos ACD, ABE e BCF são isósceles com o mesmo ângulo entre os lados iguais (Figura 14).

Figura 14 – Pentágono estrelado

Fonte: Arquivo da pesquisadora.

De modo que os três triângulos são considerados semelhantes, e logo possuem lados proporcionais, como: AC : AB::AB : BC. A definição de Fossa (2008, p. 43) precisamente

para a seção áurea é: “O todo : a parte maior :: a parte maior : a parte menor”

Roque (2012, p. 125) diz que o problema da incomensurabilidade parece ter surgido no seio da própria matemática, mais precisamente da geometria, sem relevância filosófica que lhe é atribuída. Geometricamente para uma melhor explicação temos:

Resolvendo algebricamente como: RS = a e RP1 = x RP1= x; pela propriedade da seção áurea a: x= x: (a – b) e multiplicando os termos médios e extremos resulta na equação: x2 = a2– ax.

Dada outra situação:

Sendo dado o segmento de reta com extremidade AC e ponto médio B, poderá ser expressa matematicamente algebricamente por: (AB) / (BC) = (BC) / (AC)

Considerando-se: AB = y ; BC = x ; AC = x + y

Pode-se, então, definir o Ф se fizermos: AB = y ; BC = x ; AC = x + y Substituindo-se, encontramos a razão entre x e y: y / x = x / ( x + y ) Se ainda substituir y por 1, teremos: 1 / x = x / ( x + 1 )

Resolvendo esta equação quadrática, obtêm-se as seguintes soluções:

X’ = (1 + 5) / 2 e X” = ( 1 - 5 ) / 2

Considerando-se o valor positivo X’, achamos:

Ф = ( 1 + 5 ) / 2,

Logo:

Para os gregos antigos, esse tipo de subdivisão, como feito no pentágono, foi muito natural. Tornou-se tão familiar que não se achava necessário ter um nome especial para ela,

por isso a designação “divisão de um segmento em média e extrema razão em geral é substituída simplesmente pela palavra seção” (BOYER, 2002, p. 35).

Ainda de acordo com Boyer (1996), a construção de pentagrama ou pentágono estrelado se tornou na geometria pitagórica, uma questão tantalizante.

Para construí-lo, basta começar por um polígono regular ABCDE, nele traçarmos suas diagonais, que se cortarão em pontos como FG H I e, por conseguinte, ele formará outro pentágono regular (Figura 15).

Figura15 – Pentágono regular

Fonte: Arquivo da pesquisadora

Sobre essa representação do tipo (Figura 14), observa-se que os lados dos pentágonos o ângulo CDE é igual ao ângulo CDI. Nesse caso, Fossa (2008) lembra sendo os dois o ângulo interno do pentágono. Tendo como consequência os dois triângulos já mencionados, passa a serem classificados como isósceles e congruentes na mesma base EC: ED = EI. Mas, I parte o segmento EB na seção áurea e, portanto, BE : EI é a razão áurea.

Com relação ao pentágono regular, Boyer (2002, p. 34) admite que, para os

pitagóricos, “não é improvável, mesmo que eles não conhecessem o octaedro e o icosaedro,

conhecessem algumas propriedades do pentágono regular”.

Contudo, é válido lembrar que, de acordo com Fossa (2001, p.110), os gregos antigos não conheceram os irracionais, porque, como já foi mencionado na subseção anterior (3.2),

“[...] os números eram concebidos como grandezas distintas, análogos a pontos geométricos,

enquanto os incomensuráveis formaram grandezas contínuas, análogas a comprimentos

geométricos”.

Na subseção seguinte, teremos a definição da redução ao absurdo e o estudo acerca da raiz quadrada de 2.