5.2 O ESTUDO INTERVENTIVO: DA TEORIA À PRÁTICA
5.2.2 Sessão de estudo 2: seção áurea
Para dar continuidade às sessões de estudo, elo encontrado didaticamente para a aplicação de uma sequência de atividades sobre seção áurea, primeiro estudamos a temática através de artigos científicos, livros didáticos e obras clássicas como “Os elementos”. Depois, elaboramos a sequência de atividade com base nos seguintes objetivos: a) representar a seção
áurea como um exemplo a mais dentre os números irracionais, explicando o contexto histórico e a descoberta da incomensurabilidade; b) investigar na obra, Os Elementos de Euclides, a definição de seção áurea; c) compreender a definição da proporção áurea a partir dos gregos antigos; d) construir retângulos áureos cujas medidas das bases correspondam às medidas dos catetos e da hipotenusa de um triângulo retângulo.
Planejamos a sessão de estudo, com duração de seis horas. O desenvolvimento do estudo iniciou-se dia 4 de julho, na turma de Pedagogia, e no dia 14 de julho, na de Matemática, e, respectivamente concluído, dia 11 e 14 de julho, sendo os encontros realizados em duas etapas: uma com 2 horas e outra com 4 horas. Para o primeiro encontro, desenvolvemos a seguinte pauta:
leitura compartilhada com a música “Aula de matemática” - autoria de Antônio
Carlos Jobim e Marino Pinto/ voz de Santiago;
apresentação do slide e vídeo - seção áurea: definição e um breve histórico;
construção do conceito de seção áurea, a partir de um segmento de reta, utilizando
um barbante.
explicação do método/técnica do retângulo áureo; aplicação das atividades de grupo com seção áurea; avaliação do estudo.
Para fomentar o debate sobre seção áurea e revisar o assunto anterior, sobre a incomensurabilidade dos números irracionais, começamos primeiro fazendo uma leitura compartilhada com a letra, antes da execução da música.
Provocamos os alunos de Pedagogia e de Matemática para o debate aproveitando
estrofes, que citam que “Por uma fração infinitesimal; Quando dois meios se encontram
desaparece a fração, E se achamos a unidade; Está resolvida a questão; Se
desesperadamente, incomensuravelmente”. Nesse momento, perguntamos que relação eles
viam dessa estrofe ou até de alguma palavra com os números irracionais e a seção áurea;
como tinham estudado, logo falaram “Ah! Professora é questão do infinito do número” (aluno
de Matemática). Os estudantes participaram do debate mais intensamente, quando
perguntamos sobre o que entendiam por incomensuráveis e uma aluna de Pedagogia disse: “é o que não se mede” ou ainda, quando solicitávamos que enumerassem palavras que remetiam
da música em destaque. De imediato, falaram: “paralelas, dois meios, incomensuráveis. Fração”, essas foram as palavras mais citadas na hora das suas respostas.
Dando continuidade à pauta, fizemos um breve histórico sobre seção áurea, no pensamento grego, apresentamos sua definição e o método do retângulo áureo. Para essa explanação, foram utilizados slides que contemplaram os principais aspectos históricos da seção áurea na Matemática, na Arquitetura grega de Pitágoras e na Renascença de Andrea Palladio. Para finalizar, explicamos a técnica de construção de um retângulo áureo, ao qual foi acrescentado um pequeno vídeo do you tube, pesquisado nos seguintes sites:
http://www.youtube.com/watch?v=3z6A60hrS6A; http://www.youtube.com/watch?v=WVc2bS5Gc-k
Oportunizamos, aos colaboradores da pesquisa, espaços de discussões com a temática. Foram diálogos ricos de aprendizagem e conhecimentos. São horas de escuta, de falas, gravações e de depoimentos, mediados sob nossa intervenção. Para nós, foram momentos acolhedores e prazerosos. Mas, para que isso acontecesse, recorremos a estratégias de ensino diversificadas, sessões de estudos, como também ao uso de uma sequência de atividades.
Na preparação inicial do primeiro encontro com seção áurea, fizemos um painel com diversos retângulos áureos, utilizando cartolinas coloridas, em tamanhos proporcionais, para serem colocados na lousa, junto ao nome do tema em estudo. Convidamos os alunos a montarem uma figura decorativa com os retângulos áureos (Figura 35). Observamos que houve mais participação e empolgação entre os grupos, entre a mediação interventiva e os alunos individualmente para a realização da sequência de atividade. Vimos os alunos, tanto de Pedagogia como de Matemática, fotografar, em suas máquinas ou celulares, no decorrer do estudo, os cenários montados, para seu registro pessoal.
Figura 35 – Ambiente escolar para o encontro sobre seção áurea
Fonte: acervo da pesquisadora
Vencida essa etapa, chegamos ao bloco final da sessão de estudo. Nele, a intenção era oportunizar aos atuantes da pesquisa a compreensão de seção áurea no pensamento de
Euclides (2009, p. 231), no qual enfatiza: “uma reta é dita estar cortada em extrema e média
razão, quando como a toda (a reta) esteja para o maior segmento, assim o maior para o
menor”.
Sugerimos que os alunos formassem grupos; distribuímos para cada grupo dois pedaços de barbantes de tamanhos iguais. Orientamos para eles dividirem um dos pedaços em tamanhos desiguais, colassem em uma folha e trabalhassem esses barbantes como segmento
de retas, identificando neles os pontos das extremidades como A, B; os menores de “a” e “1 – a” e que o barbante completo tomassem como unidade igual a “1 U”. Por fim, algebricamente,
fizessem os cálculos para encontrar o valor de φ. A Figura 36 mostra o cálculo feito por um dos grupos.
Figura 36 – Cálculo da seção áurea
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora - 02/06 a 24/08/2012
Na sequência da pauta, exploramos atividades sobre seção áurea; primeiro revisamos os aspectos históricos do quadrado de lado 1; a raiz quadrada de 2; pentágono e sua relação com a seção áurea; a descoberta da incomensurabilidade e com eles os números irracionais até chegarmos aos matemáticos antigos, como Pitágoras e Euclides.
Organizamos os alunos em grupo e entregamos cópia da atividade (Apêndice B). Antes de respondê-la, sugerimos que eles construíssem um retângulo áureo, utilizando régua não milimetrada e compasso, conforme orientações do método da sua construção. A Figura 37 mostra uma das construções feitas pelos grupos.
Figura 37 – Geometrizando seção áurea
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora - 02/06 a 24/08/2012
Para facilitar a construção do retângulo áureo, apresentamos aos alunos seis etapas que possibilitaram relembrar conceitos matemáticos e geométricos, como quadrado, ponto médio, reta perpendicular, diagonal, segmento de reta, entre outros. Após essa execução, entregamos retângulos de cartolinas com diferentes medidas de comprimento e largura, e solicitamos que cada aluno verificasse, com auxílio de régua e compasso, se o mesmo, geometricamente, era áureo. Houve grupo que usou réguas e calculadoras para fazer as mensurações do comprimento e da largura, cujo cálculo deveria ser equivalente a Fi = √5 +1/2. O valor a ser descoberto pelos alunos, em atividade, deveria ser aproximado a 1,618... . Assim, os alunos de Pedagogia e de Matemática descobriam se o retângulo era áureo (Figura 38).
Figura 38 – Provando com régua e compasso retângulos áureos
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora - 02/06 a 24/08/2012
Durante essa atividade, houve muita integração e interesse dos alunos. Na sala de aula de Pedagogia, descobrimos que tínhamos artistas: um pintor de tela, uma cordelista, um saxofonista e uma desenhista. Esta, desde o início da pesquisa, ressaltava que não gostava de Matemática. Ela até participava das discussões, mas, na hora dos cálculos, não tinha interesse em fazê-los. A partir desse estudo, para nós, começava a desconstrução dessa matemática vista no seu pensar, para uma nova matemática; foi muito evidente a mudança do pensamento dessa aluna, como também de outras alunas.
Explicamos às turmas o porquê de trabalhar com régua não milimetrada; asseguramos estar tratando da Geometria euclidiana e de uma geometria antiga, acreditando- se que seus instrumentos eram rudimentares. Naquela ocasião, indagamos se eles tinham uma ideia de como eram esses instrumentos matemáticos, que possivelmente existiam na época dos pitagóricos e de Euclides. Um dos participantes da Pedagogia, o aluno pintor, advertiu
“acho [que] eles usavam compasso com pregos, para fazer as circunferências”. Recordamos
que no tempo de Pitágoras, seção áurea era identificada por secção e, no tempo de Euclides, era conhecida por extrema e média razão.
Divididos em grupos, apresentamos a questão 1: nela os alunos eram convidados a abrir a obra Elementos de Euclides (Fotos 39 e 40) para pesquisarem a definição de seção
áurea. Encontrada a definição, solicitamos que um dos alunos fizesse a leitura oral e depois copiassem na lousa para os outros colegas.
Figura 39 – Alunos de Matemática discutindo seção áurea em Os elementos
Fonte: acervo da pesquisadora
Figura 40 – Alunos de Pedagogia em atividades de seção áurea
Fonte: acervo da pesquisadora
Ainda nessa questão, propomos que os alunos falassem sobre a discussão existente na história pitagórica, referente ao pentagrama, o quadrado de lado 1, a definição da seção áurea e a incomensurabilidade dos irracionais. Um aluno de Matemática disse: “Bastante interessante, pois podemos discutir sobre as hipóteses da origem dos números irracionais,
através da seção áurea, e podemos compreender quando um retângulo é áureo (AM)”. Ainda
na discussão da incomensurabilidade dos irracionais, os alunos de Pedagogia disseram: “Os pentágonos regulares possuem a característica de gerar uma sequência infinita de
pentágonos” (AP3); “Que dentro de um pentágono regular, vai gerando uma infinita série de pentágono” (AP17).
Na sequência da atividade realizada pelos alunos, destacaremos a quarta questão. Explicamos aos grupos como os gregos antigos consideravam os retângulos, cujo lado maior
fosse para o lado do menor numa razão 1 + √5 / 2, seriam retângulos harmoniosos. Essa
divisão, que eles chamavam de extrema ou média razão, tornou-se conhecido como seção áurea, proporção áurea, razão áurea, número áureo ou número de ouro e assim um número irracional.
Com base nessas informações, orientamos que os alunos respondessem o que era harmonia e obtivemos como respostas: “Sequência de forma organizada” (AP20);
“Disposição bem ordenada entre as partes de um todo (AM14)”; “É algo que existe equilíbrio” (AM17); ”São razões que podem ser consideradas como proporcionais” (AM13); “Quando há uma proporcionalidade entre as partes de um corpo ou figura”; “Representações que se encaixam perfeitamente” (AM18); “É quando tudo se encaixa se combina se complementa” (AP2); “Tudo tem que estar no seu estado perfeito, correto, unido,
organizado” (AP3); “É interação de algo para se chegar ao todo” (AP20); “É quando tudo
se complementa de forma proporcional” (AP19); “É algo, belo, perfeito, organizado” (AP3).
Para que os alunos melhor compreendessem a seção áurea, foram apresentadas tarefas como a quinta questão e demos um quadro para ser completado de acordo com o que era solicitado. Por exemplo, o grupo escolhia os objetos retangulares de sua preferência e, fazendo cálculos com as medidas de comprimento e largura, eles verificariam se os retângulos eram áureos; para isso, dividiam e encontravam as razões nesses objetos. Em equipe, eles trabalharam com cartões de crédito, carteira de estudante, documentos pessoais, folha do ofício e até celulares. A figura 41 evidencia o cálculo que o grupo fez para saber se o celular representava um quadrado áureo.
Figura 41 – Descobrindo objetos retangulares áureos
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora
Os alunos também responderam a questão, após discussão entre os colegas do seu grupo. Sobre esse ponto, os graduandos de Matemática, assim se expressaram: “É a razão
entre o comprimento e a largura do retângulo” (AM12; AM14); “Quando divide-se o comprimento pela largura e o resultado deve ser igual a Fi” (AM9); “Se dá quando a razão entre o comprimento e a largura é igual ao valor do Phi” (AM5); “Quando dividimos o
comprimento pelo valor da largura do retângulo, onde o valor do resultado é o valor do resultado é o valor de φ” (AM2).
Sobre essa mesma questão, os alunos da Pedagogia disseram: “Os retângulos são
proporcionais, a partir do quadrado de forma harmoniosa, essa harmonia forma seção áurea” (AP2; Ap19; AP4); “É a medida que classifica o retângulo como perfeito” (AP8); “É a
unidade que classifica o retângulo como sendo perfeito” (AP6); “É a medida que classifica se
o retângulo como sendo perfeito” (AP15).
Propomos, ainda, que os participantes comparassem as suas definições com a definição dada por Euclides, em Os Elementos, escrevendo o que elas tinham em comum.
“proporcionalidade”; “Euclides definiu de forma científica, utilizando-se de linguagem
voltada aos termos geométricos, enquanto que o grupo define de forma simples, dentro de
nossa compreensão”. Após a aplicação dessas atividades e, para finalizar a discussão sobre o assunto, lançamos aos participantes do estudo duas perguntas: “O que eu não sabia sobre
seção áurea?” e “O que aprendi sobre seção áurea no decorrer dos encontros?” O Quadro 13 sinaliza as respostas dos alunos.
Quadro 13 - Respostas dos alunos relativas ao estudo sobre seção áurea O QUE EU NÃO SABIA SOBRE SEÇÃO
ÁUREA? O QUE APRENDI SOBRE SEÇÃO ÁUREA?
Eu nunca tinha ouvido nem falar o que era
seção áurea, não tinha noção nenhuma sobre esse assunto;
Eu nunca tinha ouvido ou visto falar deste
termo;
O que era seção áurea; Não sabia nada;
Não lembro ter estudado, se quer ouvindo
falar;
Eu não sabia nada sobre seção áurea,
contudo com a aula da professora, eu já consigo identificar um pouco sobre o tema;
Da seção áurea não vi ou não lembrava mais
a aula foi válida;
Não sabia que existem retângulos perfeitos e
não perfeitos;
Tudo;
As aulas foram de extrema importância. Ela
nos trouxe assuntos que não tínhamos o conhecimento;
Conceitos etc, ouvia falar;
Eu não sabia que existia retângulo áureo;
Após as aulas aprendi que Euclides descobriu o valor do
Fi, e do Pi que segmentos compostos por parte geométrica retangular. E que há retângulos áureos ou não. Fi= √5+
1/2 e Pi= 3,14 (Φ e );
Seção áurea é a harmonia, a proporção entre dois segmentos. Aprendi também sobre o valor do “fi” que é √5+ ½
Aprendi um pouco. Porque pouco sei de Matemática; Novos conhecimentos sobre o valor de φ e como encontrar
o retângulo áureo;
Aprendi o que é φ fi;
Eu aprendi na aula passada que existe retângulo áureo (de
ouro). Para que tenha esta característica, as extremidades do quadrado encontrado devem está de acordo. Ao usar o compasso; dividir o comprimento pela largura do quadrado e seu resultado seja 1,618.
Que á a razão entre dois segmentos fi maiúsculo Φ - φ
minúsculo;
Com os encontros da professora passei a conhecê-la um
pouco. Não posso dizer que domino, mas ao ver num livro este assunto, penso que realizarei os cálculos.
Pena por que faltei algumas aulas; mas quando participei,
relembrei da fórmula de Báscara, do teorema de Pitágoras, sobre razão e lembrei de Π de quanto ele valia e aprendi sobre os naturais, reais, irracionais está sendo muito importante essas aulas.
Para mim veio algumas lembranças sobe proporção e
razão;
O que é seção áurea;
Que a partir de um pentágono-pentagrama, φ Fi
Fi foi um assunto que jamais havia escutado falar dentro
da Matemática. Entendo que qualquer conhecimento que nos é proporcionado é válido.
Parte geométricas (retângulo) e que é um segmento.; Euclides descobriu o valor do Fi φ e do Pi Π =3,14 e
outras como o histórico da seção áurea e de seus historiadores....
Retângulo áureo é o retângulo perfeito. Quando dividido o
comprimento pela largura o seu resultado deve ser 1,618.
Com essa aula descobri que uma de suas características e
divisão do comprimento pela largura seja igual a 1,618.
A partir de cálculos em determinado retângulo, encontra-
se um quadrado para a partir de centralidade desse quadrado, encontrar sua diagonal e com o ponto na parte superior, com um compasso, traçar até o final. Se o retângulo encontrado coincidir com o final do inicial, foi encontrado o retângulo áureo. Seu cálculo mede 1,618;
valor de fi (φ).
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora
Na turma de Matemática, ao finalizarmos o encontro sobre seção áurea, perguntamos quem gostaria de falar sobre o assunto. O discente (AM14) foi, por sinal, um dos que mais
incorporou o espírito atuante junto à nossa pesquisa, fato positivo por termos percebido ser o mesmo uma liderança na sala junto aos seus colegas, ao fim desse encontro falou:
“professora, eu só tenho uma palavra para definir o dia de hoje: foi incomensurável”
(AM14); mencionado isto, os demais aplaudiram. Uma aluna, dias após a conclusão do assunto em sala, nos corredores, em conversa informal, ainda fez referência ao estudo e expôs sua preocupação: “professora, eu sou supervisora e esse conteúdo não está na grade
curricular da escola, mas é importante que o professor mostre aos alunos” (AM18). Nesse
caso, somos solícitos a informar que comungamos conteúdos na visão de Castro e Carvalho
(2001, p. 18), quando orienta conteúdos tidos [...] “como aquisições por meio de
aprendizagem, que no caso ideal deveriam tornar-se permanentes”.
Isso nos fez perceber que as atividades desenvolvidas têm contribuído para eles entenderem seção áurea, não de forma mecânica e repetitiva, mas vê-la como um conteúdo matemático possível de ser abordado na sala de aula e de forma criativa. Enfim, concluímos
esta terceira sessão, e suas respectivas tarefas, certos de que o professor é “[...] construtor da
sua prática, de saberes, quando no contexto singular da sala de aula sob finalidades de pesquisas, na busca de criar situações mediadas por valores e critérios educativos” (RAMALHO; NUÑEZ; GAUTHIER, 2004, P.27).