Euclides de Alexandria (Figura 18) teve pseudônimo conhecido desse modo por ter sido professor de Matemática em Alexandria. Ele é mais um dos matemáticos gregos que se destaca na Grécia antiga, e que a história pouco sabe sobre sua vida. Embora alguns digam que ele viveu, provavelmente, de 360 a.C. a 295 a.C., Boyer (2002, p. 69) diz que tão obscura ficou sua vida que nenhum lugar de nascimento é associado ao seu nome.
Figura 18 – Euclides de Alexandria
Fonte: Imagem coletada no provedor google.
Sabemos que no tempo depois da morte de Alexandre o Grande, Ptolomeu I, em 306 a.C., entre outras criações, cria uma escola que fica conhecida como Museu e nela convida Euclides para lecionar. Para Contador (2006), o Museu de Alexandria era uma instituição pública custeada pelo rei e continha coleções de estátuas, galeria de pinturas, as grandes bibliotecas. Além de Euclides, trabalhavam e residiam no Museu os matemáticos Erastóstenes (276 a.C - 194 a.C) e Apolônio (2 a.C - C 98).
Euclides é considerado o pai da Geometria por ter sido um sábio matemático e autor
de célebres obras e textos matemáticos, sendo que cinco “sobreviveram”: Os elementos
(Stoichia), os dados, divisão de figuras, os fenômenos e Óptica. Para Boyer (2002), a obra Os elementos foi escrito por Euclídes por volta do século IV a.C.. Ao contrário do que se pensa, não era um compêndio de todo conhecimento geométrico; ele é um texto introdutório que cobre toda matemática elementar, a Aritmética, no sentido de teoria dos números, Geometria sintética (de pontos, retas, círculos e esferas) e álgebra. A obra Os elementos está dividida em 13 livros ou capítulos, dos quais os seis primeiros são sobre geometria plana elementar, os três seguintes sobre teoria dos números, o Livro X sobre incomensuráveis e os três últimos sobre geometria no espaço.
Para Boyer (2002, p. 69), Euclides e Os elementos (figura 19) são frequentemente considerados sinônimos. Ele escreveu por volta de uma dúzia de tratados em que estão tópicos desde óptica, astronomia, música e mecânica, além de uma obra sobre seções cônicas. Mas
nosso maior interesse é estudar o conhecimento de Euclides em Os elementos e, consequentemente, proporção, razão e incomensurabilidade.
Figura 19 – Os elementos (Stoichia) de Euclides
Fonte: Eves, 2002
Nessa obra, Euclides define seus postulados e apresenta importantes proposições com suas demonstrações geométricas. Destacaremos, dos treze livros de Euclides, a teoria da proporção e a teoria dos incomensuráveis.
Bicudo, na apresentação do texto de Euclides (2009, p. 83), acrescenta que, quem se achegar descuidosamente a essa história, a impressão é que a geometria nasceu inteiramente radiante da cabeça de Euclides, como Atenas da de Zeus. Isso, devido à repercussão e à grande aceitação culminando com o êxito que foi a obra de Euclides Os elementos no
“resumir, corrigir, dar base sólida e ampliar os resultados até então conhecidos que apagou, quase que completamente os rastros dos que precederam”. Ainda, na introdução da obra Os
elementos, observamos que Bicudo, ao apresentar a obra em destaque, certifica como “um dos capítulos mais importantes da história cultural é a transformação do conhecimento matemático empírico de egípcios e babilônios na ciência matemática grega, dedutiva,
sistemática, baseada em definições e axiomas”.
Therefore, Euclid’s great merit lies in the exceptional ability to illustrate and
synthesize. Although marred by contradictions and gaps, the Elements, in its time, represented a gigantic step forward, especially compared to the fragmentary way in which geometry was known and transmitted. It soon became an immensely useful text for all the fields where geometry was applied. Optics, mensuration, surveying, navigation, astronomy, agriculture and architecture all benefitted in various ways from a newly comprehensive set of rules able to overcome geometrical problems. As its popularity grew, the Elements went through several translations
A autora, com suas explicações, eventualmente confirmam a relevância dessa obra em diversas ciências.
Em relação à incomensurabilidade, Boyer (2002) diz que a descoberta ameaçou a Matemática de uma crise lógica, ao lançar dúvidas sobre as provas que usassem proporcionalidade. Contudo, a crise foi enfrentada com êxito devido aos princípios de Eudoxo, e acrescenta que, mesmo assim, a Matemática grega evitava tendenciosamente as proporções.
Nesse caso, apresentaremos as proposições realizadas por Euclides, no Livro V e no Livro X, como provas do autor para seu pensamento que levaram a discutir sobre seção áurea. No caso específico do livro V (EUCLIDES, 2009, p. 205), encontramos definições referentes à proporção ao situar:
- Uma magnitude é uma parte de uma magnitude, a menor da maior, quando meça exatamente a maior.
- Uma razão é a relação de certo tipo concernente ao tamanho de duas magnitudes de mesmo gênero.
- Magnitudes são ditas estar na mesma razão, uma primeira para uma segunda e uma terceira para uma quarta, quando os mesmos múltiplos da primeira e da terceira ou, ao mesmo tempo, excedem ou, ao mesmo tempo, sejam inferiores aos mesmos múltiplos da segunda e da quarta, relativamente a qualquer tipo que seja de multiplicação, cada um de cada um, tendo sido tomados correspondentes.
- E as magnitudes, tendo a mesma razão, sejam ditas as proporções.
São definições mostradas na obra Os elementos, na qual há interesse em tratar a razão áurea. É no livro X que Euclides (2009, p.353) se preocupa com a incomensurabilidade quando define:
1) Magnitudes são ditas comensuráveis as que são medidas pela mesma medida, e incomensuráveis, aquelas das quais nenhuma medida comum é possível produzir-se. 2) Retas são comensuráveis em potência, quando os quadrados sobre elas sejam medidos pela mesma área, e incomensuráveis, quando para os quadrados sobre elas nenhuma área comum seja possível produzir-se.
3) Sendo supostas essas coisas, é provado que existem realmente retas ilimitadas em quantidade, tanto comensuráveis quanto também incomensuráveis com a reta
proposta, umas somente em comprimento e em potência quer em potências somente, racionais, e, por outro lado, as incomensuráveis com essa sejam chamadas irracionais.
4) E, por um lado, o quadrado sobre a reta proposta, racional, e os comensuráveis com esse, racionais, e, por outro lado, os incomensuráveis com esse sejam chamados irracionais, e as que servem para produzi-los, irracionais, se forem quadrados, os próprios lados, ao passo que se alguma outra retilínea, as que descrevem quadrados iguais a elas.
Para Euclides (2009, p. 360), as magnitudes incomensuráveis não têm entre si uma razão que um número para um número. Mas, caso duas magnitudes não tenham entre si uma razão que um número para um número, as magnitudes serão incomensuráveis. Ele explica melhor isso ao frisar que sejam as magnitudes incomensuráveis “A,B: digo que a A não tem para a B uma razão que um número, para um número. Isso, porque se forem comensuráveis, a A terá para a B uma razão que um número, para um número. E não tem, portanto, as
magnitudes A, B são comensuráveis”. O que entendemos como esclarecimento maior é que: Os quadrados sobre as retas comensuráveis em comprimento têm entre si uma razão que um número quadrado, para um número quadrado; e os quadrados que têm entre si uma razão que um número quadrado, para um número quadrado, também terão os lados comensuráveis em comprimento. E os quadrados sobre as retas incomensuráveis em comprimento não têm entre si uma razão que um número quadrado, para um número quadrado; e os quadrados que não têm entre si uma razão que um número quadrado, para um número quadrado, nem terão os lados comensuráveis em comprimento (EUCLIDES, 2009, p. 361).
No que se trata de seção áurea, encontramos no livro VI, de Euclides (2009, p. 231),
entre outras definições, a que enfatiza: “[...] uma reta é dita estar cortada em extrema e média
razão, quando como a toda (a reta) esteja para o maior segmento, assim o maior para o
menor”. Mas é nas afirmações referentes a um cortar de uma reta finita dada em extrema e
média razão que o autor explica:
Seja a reta finita AB; é preciso, então, cortar a reta AB em extrema e média
razão.
Fique descrito sobre a AB o quadrado BC, e fique aplicado AC o paralelogramo
CD igual ao BC, excedente pela figura AD semelhante ao BC.
Mas o BC é um quadrado: portanto, também a AD é um quadrado. E, como o BC é igual ao CD, fique subtraído o CE comum; portanto, o BF restante é igual a AD restante. Mas também é equiângulo com ela. Portanto, os lados, á volta dos ângulos iguais, dos BF, AD são inversamente proporcionais; portanto, como a FE está para a ED, assim a AE para a EB. Mas, por um lado, a FE é igual a AB, e, por outro lado a ED, a AE. Portanto, como a BA está para a AE, assim a AE para EB. Mas a AB é maior do que a AE; portanto, também a AE é maior do que a EB.
Portanto, a reta AB foi cortada em extrema e média razão no E, e o maior
Então, é desse modo que Euclides, no seu livro Os elementos, apresenta a seção áurea de maneira geométrica.
Outro exemplo similar para a resolução geométrica desta proporção é o seguinte: Dado o segmento AB, constrói-se o quadrado ABA'B'; constrói-se M, como o ponto médio de AA'. Prolonga-se o segmento AA' e constrói-se a circunferência de centro M e raio MB', acha-se o ponto C de interseção da circunferência com a semirreta AA'; constrói-se o quadrado de lado A'C. O prolongamento do lado DD' determina o ponto X em AB que seciona o segmento na razão desejada, como podemos visualizar na Figura 20.
Figura 20 – Representação do retângulo áureo
Fonte: Arquivo da pesquisadora
Nesse caso, a construção da seção áurea pode ser explicada igual à resolução de uma equação quadrática. Para isso, é preciso considerar que AB = a e AC = x. Então, pela propriedade da seção áurea a/x = x/a-x, multiplicando meios e extremos temos a equação x² = a² - a x, cujo resultado é:
Um dado a ser considerado na resolução dessa equação quadrática, cujo resultado é
√5 – 1/2 é que provavelmente os pitagóricos tenham utilizado um processo geométrico para
chegar a essa descoberta.
Geometricamente a seção áurea pode ser construída a partir de vários métodos ou técnicas, no entanto, neste estudo, o destaque se constituirá sobre o método da construção do retângulo áureo (Figura 21).
Figura 21 – Construção de retângulo áureo
Fonte: Boussora; Mazouoz (2004)
Para realizar a construção do retângulo áureo, Boussora; Mazouoz (2004) recomendam: draw a square having AB as a side; divide AB in half; draw a diagonal from the middle of the side AB to the opposite corner; swing this diagonal till it cuts the line AB at C.
Os autores acrescentam: “The golden rectangle generated will have AC as its length;
its width will be equal to AB. Following the same method, a golden section progression will be obtained across the entire line AB. We will then have: AC : AB :: AB : BC :: BC :CD:: BD: BC :: Φ” (BOUSSORA; MAZOUOZ 2004, p. 11).
As representações geométricas apresentadas nessa subseção confirmam que a seção áurea com razão no Φ estão presentes na obra Os elementos de Euclides.
Veremos, na subseção seguinte, algumas considerações relacionadas ao estudo de uma matemática que envolve a arquitetura de Andrea Palladio no seu tratado.